數(shù)模型培訓(xùn)概念

數(shù)模型培訓(xùn)概念第一頁，共四十一頁，2022年，8月28日

模型是人們所研究的客觀事物有關(guān)屬性的模擬，它應(yīng)當(dāng)具有事物中使我們感興趣的主要性質(zhì)，因而應(yīng)具有如下的特點。

（1）它是客觀事物的一種模擬或抽象；它的一個重要作用就是加深人們對客觀事物如何運行的理解，為了使模型成為幫助人們合理進行思考的一種工具，因此要用一種簡化的方式來表現(xiàn)一個復(fù)雜的系統(tǒng)或現(xiàn)象。第二頁，共四十一頁，2022年，8月28日

（2）為了能協(xié)助人們解決問題，模型必須具有所研究系統(tǒng)的基本特征或要素。此外，還應(yīng)包括決定其原因和效果的各個要素之間的相互關(guān)系。有了這樣的一個模型，人們就可以在模型內(nèi)實際處理一個系統(tǒng)的所有要素，并觀察它們的效果。

那末如何給數(shù)學(xué)模型下一個具體的定義呢？數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實世界和為一種特殊目的而作的一個抽象的、簡化的結(jié)構(gòu)。第三頁，共四十一頁，2022年，8月28日

具體說來，數(shù)學(xué)模型就是為了某種目的，用字母、數(shù)字及其它數(shù)學(xué)符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖形、框圖等描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達式。

由于各個人所站角度不同，可以給出不同的定義，故我們沒有必要去追求精確的定義，那不是我們的目的。第四頁，共四十一頁，2022年，8月28日二、建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟1．調(diào)查研究

在建模前應(yīng)對實際問題的歷史背景和內(nèi)在機理要有深刻的了解，必須對該問題進行全面的、深入細致的調(diào)查和研究。首先要明確所解決問題的目的要求和著手收集數(shù)據(jù)，而數(shù)據(jù)是為建立模型而收集的，因此，如果在調(diào)查研究時對建立什么樣的模型有所考慮的話，那么我們就按模型的需要更有目的地，更合理地來收集有關(guān)數(shù)據(jù)。第五頁，共四十一頁，2022年，8月28日

收集數(shù)據(jù)時應(yīng)注意精度的要求，在對實際問題作深入了解時，應(yīng)向有關(guān)專家或從事實際工作的人員請教，將使你對問題的了解更快和走捷徑。

2．現(xiàn)實問題的理想化

現(xiàn)實問題錯綜復(fù)雜，涉及面非常之廣。因此要想建立一個數(shù)學(xué)模型來反映一個現(xiàn)實問題面面俱到、無所不包是不可能的，也是沒有必要的。一個模型，只要能反映我們所需要的某一個側(cè)面就行了，或者在此基礎(chǔ)之上進一步提高。第六頁，共四十一頁，2022年，8月28日

建模前必須先將問題理想化，簡單化，即首先抓住主要因素，暫不考慮次要因素。在相對比較簡單的情況下，理清變量之間的關(guān)系，建立相應(yīng)的模型（在三級火箭模型和人口模型中會有所體會）。

為此對所給問題給予必要的假設(shè)，不同的假設(shè)會得到不同的模型。這一步是建立模型的關(guān)鍵。第七頁，共四十一頁，2022年，8月28日

如果假設(shè)合理，則模型與實際問題比較吻合；如果假設(shè)不合理或過于簡單（即過多地忽略了一些因素），則模型與實際情況不吻合，或部分吻合，就要修改假設(shè)，修改模型。3．建立模型

在已有假設(shè)的基礎(chǔ)上，可以著手建立數(shù)學(xué)模型，建模時應(yīng)注意以下幾點：第八頁，共四十一頁，2022年，8月28日（1）分清變量類型恰當(dāng)使用數(shù)學(xué)工具。

如果實際問題中的變量是確定性變量，建模時數(shù)學(xué)工具多用微積分、微分方程、線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、網(wǎng)絡(luò)、確定性存貯論等數(shù)學(xué)方法。

如果變量是隨機變量，建模時數(shù)學(xué)工具多用概率、統(tǒng)計、隨機性存貯論、排隊論、對策論、決策論、隨機微分方程等數(shù)學(xué)方法。

第九頁，共四十一頁，2022年，8月28日

由于數(shù)學(xué)分支很多，又加之相互交叉滲透，派生出許多分支，建模具體用什么分支好，一是因問題而異，二是因人而異，應(yīng)看自己對哪門學(xué)科比較熟悉精通，盡量發(fā)揮自己的特長?？傊?，對變量進行分析是建立模型的基礎(chǔ)。（2）抓住問題的本質(zhì)，簡化變量之間的關(guān)系。

因為模型過于復(fù)雜，則無法求解或求解困難，就不能反映客觀實際。因此應(yīng)盡可能用簡單的模型如線性化，均勻化等來描述客觀實際。第十頁，共四十一頁，2022年，8月28日

建模的原則是：模型盡可能簡單、明了，思路清晰，能不采用則盡量不用高深的數(shù)學(xué)知識，不要追求模型技術(shù)的完美，側(cè)重于實際應(yīng)用。只要問題能解決，模型越簡單越能被決策者所采用。（3）建模要有嚴(yán)密推理。

在已定的假設(shè)下，建模過程中推理一定要嚴(yán)密，以保證模型的正確性，否則會造成模型錯誤，前功盡棄。第十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日（4）建模要有足夠的精確度。

由于實際問題常對精度有所要求，建模時和收集資料時要予以充分考慮。但同時實際問題又非常復(fù)雜，作假設(shè)時又要去掉非本質(zhì)的東西，把本質(zhì)的東西和關(guān)系反映進去，因而要掌握好這個尺度，有時要有一個反復(fù)摸索的過程。第十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日4．模型求解

不同的模型要用到不同的數(shù)學(xué)工具求解。這就要求從事實際工作者對相應(yīng)的數(shù)學(xué)分支知識有一定的了解。當(dāng)然，由于計算機的廣泛使用，利用已有的許多計算機軟件為我們求解帶來方便。因而盡可能地掌握已有的軟件，使你解決問題省力不少。第十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日5．模型分析

對模型求出的解進行數(shù)學(xué)上的分析，有助于對實際問題的解決。分析時，有時要根據(jù)問題的要求對變量間的依賴關(guān)系進行分析和對解的結(jié)果穩(wěn)定性進行分析。有時根據(jù)求出的解對實際問題的發(fā)展趨勢進行預(yù)測，為決策者提供最優(yōu)決策方案。除此之外，常常需要進行誤差分析，模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析和靈敏度分析等。第十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日6．模型檢驗

一個模型是否反映了客觀實際，可用已有的數(shù)據(jù)去驗證。如果由模型計算出來的理論數(shù)值與實際數(shù)值比較吻合，則模型是成功的（至少是在過去的一段時間內(nèi)是成功的）。如果理論數(shù)值與實際數(shù)值部分吻合，則可找原因，發(fā)現(xiàn)問題，修改模型。如果理論數(shù)值與實際數(shù)值差別太大，則模型是失敗的。如果模型用于預(yù)測，模型計算的理論預(yù)測值與經(jīng)驗推算比較相差太大，也可推知模型存在問題，必須修改。第十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日當(dāng)然，并非所有的模型都要驗證，如核武器競賽模型等。

7．模型的修改

實際問題比較復(fù)雜，但由于理想化后拋棄了一些次要因素，因此建立的模型與實際問題就不完全吻合了。

此時，要分析假設(shè)的合理性，將合理部分保留，不合理部分去掉或修改，對實際問題中的主次因素再次分析。

第十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日如果某一因素因被忽略而使前面模型失敗或部分失敗，則再建立模型時把它考慮進去。修改時可能去掉（或增加）一些變量，有時要改變一些變量的性質(zhì)，如把變量看成常量，常量看成變量，連續(xù)變量看成離散變量，離散變量看成連續(xù)變量，或改變變量之間的函數(shù)關(guān)系，如線性改為非線性或非線性改為線性。第十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日

修改模型時對約束條件也要重新考慮，增加、減少或修改約束條件。8．模型應(yīng)用

數(shù)學(xué)模型應(yīng)用非常廣泛，可以說已經(jīng)應(yīng)用到各個領(lǐng)域，而且越來越滲透到社會學(xué)科、生命學(xué)科、環(huán)境學(xué)科等。由于建模是預(yù)測的基礎(chǔ)，而預(yù)測又是決策與控制的前提。因此用數(shù)學(xué)模型對許多部門的實際工作進行指導(dǎo)，可節(jié)省開支、減少浪費，增加收入。特別是對未來可以預(yù)測和估計，這對促進科學(xué)技術(shù)和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的發(fā)展具有更大的意義。第十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日建立數(shù)學(xué)模型的步驟由圖1.5所示。第十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日三、模型的分類

數(shù)學(xué)模型可以按照問題本身所處的領(lǐng)域和解決問題的辦法，以及按照人們的各種不同意愿有各種不同的方式分類，下面介紹幾種分類方法。1．按變量性質(zhì)分

根據(jù)變量是確定的還是隨機的可分為確定性模型和隨機性模型。根據(jù)變量是連續(xù)的還是離散的可分為連續(xù)模型和離散模型。第二十頁，共四十一頁，2022年，8月28日2．按時間關(guān)系分

考慮模型是否因時間關(guān)系而變化可分為靜態(tài)模型和動態(tài)模型。3．按所用研究方法分

有初等模型、幾何模型、微分方程模型、運籌學(xué)模型、概率模型、統(tǒng)計模型、層次分析法模型、系統(tǒng)動力學(xué)模型、灰色系統(tǒng)模型等。第二十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日4．按研究對象所在領(lǐng)域分有經(jīng)濟模型、生態(tài)模型、人口模型、交通模型、戰(zhàn)爭模型、資源模型、環(huán)境模型、大氣污染模型、水污染模型、氣象模型、地震模型等。5．按建模目的分有分析模型、預(yù)測模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等。第二十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日6．按對研究對象的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和性能的了解程度分

有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。把研究對象當(dāng)作一只箱子，如果所研究的對象的機理比較清楚，稱為白箱。如力學(xué)、電學(xué)等一些學(xué)科中研究的問題機理相當(dāng)清楚以及相應(yīng)的工程技術(shù)問題，不必再研究模型構(gòu)造，只是設(shè)計問題。第二十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日

如果對所研究對象的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和性能的信息完全不知或知之甚少，稱其為黑箱。如生命學(xué)科和社會學(xué)科中許多機理很不清楚的現(xiàn)象。

如果所研究對象內(nèi)部結(jié)構(gòu)和性能中既有已知的又有許多未知的非確定的信息，稱其為灰箱。如經(jīng)濟、生態(tài)、氣象、管理、社會、生命等系統(tǒng)中的許多現(xiàn)象。

當(dāng)然白箱、灰箱和黑箱之間沒有確切的界限，由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和人們對該問題研究的深入，許多黑箱問題逐漸變灰，灰箱問題逐漸變白。第二十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日

灰箱問題、黑箱問題往往機理復(fù)雜，所知信息較少，因而建立模型困難更大。由于在這些領(lǐng)域，人們過去作的研究少，而這些領(lǐng)域又與人類休戚相關(guān)，因此我們應(yīng)投入更多的精力去研究這些領(lǐng)域內(nèi)的問題。華中理工大學(xué)鄧聚龍教授等在解決灰箱問題方向作了不少工作。在國際上首先提出了解決灰箱問題的新的基本理論并用于實際取得了許多可喜的成果。

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黑箱問題過去作定性研究的多，但研究逐漸往定量化方向發(fā)展。定性因素數(shù)量化，是人類認(rèn)識社會的需要，只有這樣對生命現(xiàn)象和社會科學(xué)等許多領(lǐng)域的認(rèn)識才能深刻。定性因素數(shù)量化可用模糊數(shù)學(xué)方法、優(yōu)度法、比較矩陣法外，還可用文獻[5]中所提供的各種方法。第二十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日玩具、照片、飛機、火箭模型……~實物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機……~物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號模型1.1

從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型我們常見的模型第二十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征第二十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日你碰到過的數(shù)學(xué)模型——“航行問題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x=20y=5求解第二十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；用符號表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；回答原問題（船速每小時20千米/小時）。第三十頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)和數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模第三十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日1.2

數(shù)學(xué)建模的重要意義電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。

在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；

在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；

數(shù)學(xué)進入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地。第三十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用

分析與設(shè)計

預(yù)報與決策

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計算機技術(shù)知識經(jīng)濟如虎添翼第三十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模的基本方法機理分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認(rèn)識，找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律將對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究(CaseStudies)來學(xué)習(xí)。以下建模主要指機理分析。二者結(jié)合用機理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測試分析確定模型參數(shù)1.3

數(shù)學(xué)建模的方法和步驟第三十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對象特征形成一個比較清晰的‘問題’第三十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日模型假設(shè)針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設(shè)在合理與簡化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)建模的一般步驟第三十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計算機技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模