考點(diǎn)33中考最值問(wèn)題（原卷版）

考點(diǎn)（特色）33：中考最值問(wèn)題重要考點(diǎn)知識(shí)解讀一、代數(shù)中的最值問(wèn)題在中學(xué)數(shù)學(xué)題中，最值題是常見(jiàn)題型，圍繞最大（?。┲邓龅臄?shù)學(xué)題是各種各樣，就其解法，主要為以下幾種：1.二次函數(shù)的最值公式二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)且）其性質(zhì)中有①若當(dāng)時(shí)，y有最小值。；②若當(dāng)時(shí)，y有最大值。。2.一次函數(shù)的增減性一次函數(shù)的自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，圖象是一條直線，因而沒(méi)有最大（?。┲?；但當(dāng)時(shí)，則一次函數(shù)的圖象是一條線段，根據(jù)一次函數(shù)的增減性，就有最大（?。┲?。3.判別式法根據(jù)題意構(gòu)造一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的一元二次方程；再根據(jù)x是實(shí)數(shù)，推得，進(jìn)而求出y的取值范圍，并由此得出y的最值。4.構(gòu)造函數(shù)法“最值”問(wèn)題中一般都存在某些變量變化的過(guò)程，因此它們的解往往離不開(kāi)函數(shù)。5.利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，顯然有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為k。6.零點(diǎn)區(qū)間討論法用“零點(diǎn)區(qū)間討論法”消去函數(shù)y中絕對(duì)值符號(hào)，然后求出y在各個(gè)區(qū)間上的最大值，再加以比較，從中確定出整個(gè)定義域上的最大值。7.利用不等式與判別式求解在不等式中，是最大值，在不等式中，是最小值。8.“夾逼法”求最值在解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)轉(zhuǎn)化、變形和估計(jì)，將有關(guān)的量限制在某一數(shù)值范圍內(nèi)，再通過(guò)解不等式獲取問(wèn)題的答案，這一方法稱(chēng)為“夾逼法”。幾何中的最值問(wèn)題在平面幾何問(wèn)題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí)，求某幾何量（如線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)）的最大值或最小值問(wèn)題，稱(chēng)為最值問(wèn)題。注意：解決幾何最值問(wèn)題的通常思路（1）兩點(diǎn)之間線段最短；（2）直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線段中，垂線段最短；（3）三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊（重合時(shí)取到最值）。（1）（2）（3）三個(gè)定理是解決幾何最值問(wèn)題的理論依據(jù)，根據(jù)不同特征轉(zhuǎn)化是解決最值問(wèn)題的關(guān)鍵．通過(guò)轉(zhuǎn)化減少變量，向三個(gè)定理靠攏進(jìn)而解決問(wèn)題；直接調(diào)用基本模型也是解決幾何最值問(wèn)題的高效手段．幾何最值問(wèn)題中的基本模型舉例軸對(duì)稱(chēng)最值圖形原理兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短三角形三邊關(guān)系特征A，B為定點(diǎn)，l為定直線，P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP+BP的最小值A(chǔ)，B為定點(diǎn)，l為定直線，MN為直線l上的一條動(dòng)線段，求AM+BN的最小值A(chǔ)，B為定點(diǎn)，l為定直線，P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|AP-BP|的最大值轉(zhuǎn)化作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)折疊最值圖形原理兩點(diǎn)之間線段最短特征在△ABC中，M，N兩點(diǎn)分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△BMN沿MN翻折，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'，連接AB'，求AB'的最小值．轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化成求AB'+B'N+NC的最小值中考典例解析【例題1】（2022山西模擬）二次函數(shù)y=2（x﹣3）2﹣4的最小值為．【例題2】（2022齊齊哈爾模擬）設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，那么的最小值為_(kāi)______?！纠}3】（2021湖南永州）如圖，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，3），B（0，﹣3），在x軸上找一點(diǎn)P，使線段PA+PB的值最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是．【例題4】（2021湖南株洲）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝2x的圖象l與函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象（記為Г）交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B，且AB＝1，點(diǎn)C在線段OB上（不含端點(diǎn)），且OC＝t，過(guò)點(diǎn)C作直線l1∥x軸，交l于點(diǎn)D，交圖象Г于點(diǎn)E．（1）求k的值，并且用含t的式子表示點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；（2）連接OE、BE、AE，記△OBE、△ADE的面積分別為S1、S2，設(shè)U＝S1﹣S2，求U的最大值．【例題5】（2021湖南益陽(yáng)）已知函數(shù)y＝的圖象如圖所示，點(diǎn)A（x1，y1）在第一象限內(nèi)的函數(shù)圖象上．（1）若點(diǎn)B（x2，y2）也在上述函數(shù)圖象上，滿(mǎn)足x2＜x1．①當(dāng)y2＝y(tǒng)1＝4時(shí)，求x1，x2的值；②若|x2|＝|x1|，設(shè)w＝y(tǒng)1﹣y2，求w的最小值；（2）過(guò)A點(diǎn)作y軸的垂線AP，垂足為P，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′，過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線AQ，垂足為Q，Q關(guān)于直線AP′的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q′，直線AQ′是否與y軸交于某定點(diǎn)？若是，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)問(wèn)題綜合訓(xùn)練一、選擇題1.（2022河南模擬）要使代數(shù)式有意義，則x的（）A.最大值為B.最小值為C.最大值為D.最大值為2．（2021湖北鄂州）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足PA2+PC2＝AC2．當(dāng)PB的長(zhǎng)度最小時(shí)，△ACP的面積是（）A．3 B．3 C． D．二、填空題1.（2022四川綿陽(yáng)模擬）不等邊三角形的兩邊上的高分別為4和12且第三邊上的高為整數(shù)，那么此高的最大值可能為_(kāi)_______。2.（2022云南模擬）如圖，MN是⊙O的直徑，MN=4，∠AMN=40°，點(diǎn)B為弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為．3.（2022江西模擬）如圖，AB是⊙O的弦，AB=5，點(diǎn)C是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=45°，若點(diǎn)M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，則MN長(zhǎng)的最大值是．4.（2021黑龍江綏化）某學(xué)校計(jì)劃為“建黨百年，銘記黨史”演講比賽購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品．已知購(gòu)買(mǎi)2個(gè)種獎(jiǎng)品和4個(gè)種獎(jiǎng)品共需100元；購(gòu)買(mǎi)5個(gè)種獎(jiǎng)品和2個(gè)種獎(jiǎng)品共需130元．學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)兩種獎(jiǎng)品共20個(gè)，且種獎(jiǎng)品的數(shù)量不小于種獎(jiǎng)品數(shù)量的，則在購(gòu)買(mǎi)方案中最少費(fèi)用是_____元．5．（2021內(nèi)蒙古鄂爾多斯）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)F是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接CF，DF，且∠ADF＝∠DCF，點(diǎn)E是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接EB，EF，則EB+EF長(zhǎng)度的最小值為．6．（2021哈爾濱）二次函數(shù)y＝﹣3x2﹣2的最大值為．7．（2021湖北襄陽(yáng)）從噴水池噴頭噴出的水珠，在空中形成一條拋物線，如圖所示，在拋物線各個(gè)位置上，水珠的豎直高度y（單位：m）與它距離噴頭的水平距離x（單位：m）之間滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣2x2+4x+1噴出水珠的最大高度是m．8．（2021黑龍江鶴崗）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝6，以點(diǎn)O為圓心，3為半徑的⊙O，與OB交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)P是邊OA上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PD的最小值為．三、解答題1.某公司經(jīng)營(yíng)某種農(nóng)產(chǎn)品，零售一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)是70元，批發(fā)一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)是40元．（1）已知該公司某月賣(mài)出100箱這種農(nóng)產(chǎn)品共獲利潤(rùn)4600元，問(wèn)：該公司當(dāng)月零售、批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品的箱數(shù)分別是多少？（2）經(jīng)營(yíng)性質(zhì)規(guī)定，該公司零售的數(shù)量不能多于總數(shù)量的30%．現(xiàn)該公司要經(jīng)營(yíng)1000箱這種農(nóng)產(chǎn)品，問(wèn)：應(yīng)如何規(guī)劃零售和批發(fā)的數(shù)量，才能使總利潤(rùn)最大？最大總利潤(rùn)是多少？2.已知拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．（1）若拋物線過(guò)點(diǎn)，求的最小值；（2）已知點(diǎn)中恰有兩點(diǎn)在拋物線上．①求拋物線的解析式；②設(shè)直線l：與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)A在直線上，且，過(guò)點(diǎn)A且與x軸垂直的直線分別交拋物線和于點(diǎn)B，C．求證：與的面積相等．3．（2021廣西玉林）某市垃圾處理廠利用焚燒垃圾產(chǎn)生的熱能發(fā)電．有A，B兩個(gè)焚燒爐，每個(gè)焚燒爐每天焚燒垃圾均為100噸，每焚燒一噸垃圾，A焚燒爐比B焚燒爐多發(fā)電50度，A，B焚燒爐每天共發(fā)電55000度．（1）求焚燒一噸垃圾，A焚燒爐和B焚燒爐各發(fā)電多少度？（2）若經(jīng)過(guò)改進(jìn)工藝，與改進(jìn)工藝之前相比每焚燒一噸垃圾，A焚燒爐和B焚燒爐的發(fā)電量分別增加a%和2a%，則A，B焚燒爐每天共發(fā)電至少增加（5+a）%，求a的最小值．4．（2021湖北鄂州）數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)在學(xué)習(xí)了完全平方公式之后，針對(duì)兩個(gè)正數(shù)之和與這兩個(gè)正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系進(jìn)行了探究，請(qǐng)閱讀以下探究過(guò)程并解決問(wèn)題．猜想發(fā)現(xiàn)由5+5＝2＝10；+＝2＝；＝2＝；+5＞2＝2；＞2＝；+＞2．猜想：如果a＞0，b＞0，那么存在a+b≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立）．猜想證明∵（﹣）2≥0，∴①當(dāng)且僅當(dāng)﹣＝0，即a＝b時(shí)，a﹣2+b＝0，∴a+b＝2；②當(dāng)﹣≠0，即a≠b時(shí)，a﹣2+b＞0，∴a+b＞2．綜合上述可得：若a＞0，b＞0，則a+b≥2成立（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立）．猜想運(yùn)用對(duì)于函數(shù)y＝x+（x＞0），當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)y的值最??？最小值是多少？變式探究對(duì)于函數(shù)y＝+x（x＞3），當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)y的值最?。孔钚≈凳嵌嗌?？拓展應(yīng)用疫情期間，為了解決疑似人員的臨時(shí)隔離問(wèn)題．高速公路檢測(cè)站入口處，檢測(cè)人員利用檢測(cè)站的一面墻（墻的長(zhǎng)度不限），用63米長(zhǎng)的鋼絲網(wǎng)圍成了9間相同的長(zhǎng)方形隔離房，如圖．設(shè)每間離房的面積為S（米2）．問(wèn)：每間隔離房的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，可使每間隔離房的面積S最大？最大面積是多少？5．（2021湖北恩施州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)A，B在x軸上，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，D（﹣4，5）兩點(diǎn)，且與直線DC交于另一點(diǎn)E．（1）求拋物線的解析式；（2）F為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，Q為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)Q，F(xiàn)，E，B為頂點(diǎn)的四邊形是以BE為邊的菱形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）P為y軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線對(duì)稱(chēng)軸的垂線，垂足為M，連接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．（2021內(nèi)蒙古鄂爾多斯）鄂爾多斯市某賓館共有50個(gè)房間供游客居住，每間房?jī)r(jià)不低于200元且不超過(guò)320元、如果游客居住房間，賓館需對(duì)每個(gè)房間每天支出20元的各種費(fèi)用．已知每個(gè)房間定價(jià)x（元）和游客居住房間數(shù)y（間）符合一次函數(shù)關(guān)系，如圖是y關(guān)于x的函數(shù)圖象．（1）求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)房?jī)r(jià)定為多少元時(shí)，賓館利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？7．（2021浙江嘉興）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+6x﹣5．（1）求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)1≤x≤4時(shí)，函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？（3）當(dāng)t≤x≤t+3時(shí)，函數(shù)的最大值為m，最小值為n，若m﹣n＝3，求t的值．8.（2022湖北荊州模擬）某玩