專題02 平面向量-直擊2020新高考數(shù)學(xué)多選題

專題02平面向量一、知識梳理1.向量的運算：設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).向量運算法則(或幾何意義)坐標運算向量的線性運算加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)減法a－b＝(x1－x2，y1－y2)數(shù)乘(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0λa＝(λx1，λy1)向量的數(shù)量積運算a·b＝|a||b|cosθ(θ為a與b的夾角)規(guī)定0·a＝0數(shù)量積的幾何意義是a的模與b在a方向上的投影的積a·b＝x1x2＋y1y22.兩個定理(1)平面向量基本定理①定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.②基底：把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.(2)向量共線定理向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.3.向量的平行與垂直a，b為非零向量，設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b有唯一實數(shù)λ使得b＝λa(a≠0)x1y2－x2y1＝0a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0二、跟蹤檢測1.判斷下列命題中不正確的是()①若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；②若向量|a|＝|b|，則a與b的長度相等且方向相同或相反；③對于任意|a|＝|b|，且a與b的方向相同，則a＝b；④向量a與向量b平行，則向量a與b方向相同或相反.【答案】A，B，D.【解析】對于A，因為向量是不同于數(shù)量的一種量.它由兩個因素來確定，即大小與方向，所以兩個向量不能比較大小，故A不正確；對于B，由|a|＝|b|只能判斷兩向量長度相等，并不能判斷方向，故B不正確；對于C，因為|a|＝|b|，且a與b同向.由兩向量相等的條件可得a＝b，C正確；對于D，因為向量a與向量b若有一個是零向量，則其方向不確定故D不正確.故選A，B，D.2.如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點，則下列等式中正確的是()A.eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝0B.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0C.eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))【答案】A，B，C【解析】eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝0，eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝0，eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋0＝eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))≠eq\o(BD,\s\up6(→)).故選A，B，C.3.下面給出的四個選項，運算結(jié)果等于0的有（）A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))B.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))D.eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→)).【答案】A，C，D【解析】對于A，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0；對于B，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝(eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))＋(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))；對于C，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0；對于D，eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→))＝0.故填A(yù)，C，D.4.已知m，n是實數(shù)，a，b是向量，則下列命題中正確的為()A.m(a－b)＝ma－mbB.(m－n)a＝ma－naC.若ma＝mb，則a＝bD.若ma＝na，則m＝n.【答案】B【解析】對于A和B屬于數(shù)乘對向量與實數(shù)的分配律，正確；對于C，若m＝0，則不能推出a＝b，錯誤；對于D，若a＝0，則m，n沒有關(guān)系，錯誤.故選A，B.5.如果e1，e2是平面α內(nèi)兩個不共線的向量，那么選項中正確的是()A.λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量；B.對于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λe1＋μe2的實數(shù)對(λ，μ)有無窮多個；C.若向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，則有且只有一個實數(shù)λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；D.若存在實數(shù)λ，μ使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0.【答案】A，D【解析】由平面向量基本定理可知，A，D是正確的.對于B，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數(shù)對是唯一的.對于C，當兩向量的系數(shù)均為零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0時，這樣的λ有無數(shù)個，故選A，D6.下列選項中正確的是A.相等向量的坐標相同；B.平面上一個向量對應(yīng)于平面上唯一的坐標；C.一個坐標對應(yīng)于唯一的一個向量；D.平面上一個點與以原點為始點，該點為終點的向量一一對應(yīng).【答案】A，B，D【解析】由向量坐標的定義不難看出一個坐標可對應(yīng)無數(shù)個相等的向量，故③錯誤.7.下面給出的選項中正確的是()A.0·a＝0；B.a2＝|a|2；C.|a·b|≤a·b；D.(a·b)2＝a2·b2.【答案】A，B【解析】A，B正確，對于C，應(yīng)為|a·b|≤|a||b|，C錯誤，D錯誤，(a·b)2＝(|a||b|·cosθ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2，選C.8.設(shè)a，b，c是任意的非零向量，且它們相互不共線，給出下列選項，其中正確的有（）A.a·c－b·c＝(a－b)·c；B.(b·c)·a－(c·a)·b不與c垂直；C.|a|－|b|<|a－b|；D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.【答案】A，C，D【解析】根據(jù)向量積的分配律知A正確；因為[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b與c垂直，B錯誤；因為a，b不共線，所以|a|，|b|，|a－b|組成三角形三邊，∴|a|－|b|<|a－b|成立，C正確；D正確.故正確命題的序號是A，C，D.9.給出下列四個命題，其中正確的選項有（）A.非零向量a，b滿足|a|＝|b|＝|a－b|，則a與a＋b的夾角是30°B.若(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，則△ABC為等腰三角形C.若單位向量a，b的夾角為120°，則當|2a＋xb|(x∈R)取最小值時x＝1D.若eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(6，－3)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(5－m，－3－m)，∠ABC為銳角，則實數(shù)m的取值范圍是m＞－eq\f(3,4).【答案】A，B，C【解析】A中，令eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))為鄰邊作平行四邊形OACB.∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴四邊形OACB為菱形，∠AOB＝60°，∠AOC＝30°，即a與a＋b的夾角是30°，故A正確.B中，∵(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2，故△ABC為等腰三角形.故B正確.C中，∵(2a＋xb)2＝4a2＋4xa·b＋x2b2＝4＋4xcos120°＋x2＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，故|2a＋xb|取最小值時x＝1.故③正確.D中，∵eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3，－4)－(6，－3)＝(－3，－1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(5－m，－3－m)－(6，－3)＝(－1－m，－m)，又∠ABC為銳角，∴eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＞0，即3＋3m＋m＞0，∴m＞－eq\f(3,4).又當eq\o(BA,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))同向共線時，m＝eq\f(1,2)，故當∠ABC為銳角時，m的取值范圍是m＞－eq\f(3,4)且m≠eq\f(1,2).故D不正確.故選A，B，C.10.在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，如圖，則下列等式不成立的是()A.|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))B.|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))C.|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))D.|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))·\o(BA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|2)【答案】A，B，D【解析】eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o