試析二元函數(shù)的重極限、連續(xù)、偏導數(shù)、可微之間的關系

試析二元函數(shù)的重極限、連續(xù)、偏導數(shù)、可微之間的關系1引言二元函數(shù)的重極限、連續(xù)、偏導數(shù)、可微在數(shù)學分析中占有很重要的地位，無論是研究生考試，還是專升本，或者是社會上的一些成人自考，都會或多或少的涉及到這些方面的知識，因此我們很有必要認真仔細的研究它們.而且重極限、連續(xù)、偏導數(shù)、可微之間的關系將是我們重點研究的對象.本論文欲通過證明和舉反例的方法來闡述它們之間的一些內在聯(lián)系.2二元函數(shù)的重極限、連續(xù)、偏導數(shù)、可微的定義二元函數(shù)的重極限定義設二元函數(shù)f(x,y)在平面點集D上有定義，(x0,y0)為D的聚點，A為常數(shù)，若 >0,>0,使得(x,y)D,當0<J(xXo)2~(yy。)2<時，或(x,y)D,當xXo<,yy。<，且(x,y)(x。，y。)時，有f(x,y)A<成立，則稱A為f(x,y)在點(xo,y。)的二重極限，記為limf(x,y)A或limf(x,y)A.xx0 (x,y)(x0,y。)yy0二元函數(shù)的連續(xù)性定義如果limf(x,y)f(x0,yO),(x,y)(x0,y0)則稱f(x,y)在(x0,y0)處連續(xù).函數(shù)f(x,y)在D內的每一點都連續(xù)，則稱f(x,y)在D上連續(xù).二元函數(shù)偏導數(shù)定義設函數(shù)zf(x,y)在點(x°,y°)的某一鄰域內有定義， 當y固定在y而x在x0處有增量x時，相應的函數(shù)有增量zf(x° x,y°)f(x0,y0),如果f(x°x,y°)f(x0,y°)lim x0 x存在，則稱此極限為函數(shù)zf(x,y)在點(x0,y0)處又^x的偏導數(shù)，記作

fx(Xo，y0fx(Xo，y0)或如果函數(shù)zf(x,y)在區(qū)域D內任一點(xo,yo)處對x的偏導數(shù)都存在，那么這個偏導數(shù)就是x,y的函數(shù)，它稱為函數(shù)zf(x,y)對自變量x的偏導數(shù)，記作TOC\o"1-5"\h\zz f—，—，Zx或 fx(x,y).x x同理可以定義函數(shù)zf(x,y)在點(x0,y0)對y的偏導數(shù)，記作fy(x0,y0)或 -y(x0,y0)2.4二元函數(shù)的可微性定義[1](P107)設函數(shù)zf(x,y)在某鄰域U(P。)內有定義，對于U(P0)中的點P(x,y)(x0 x,y° y)若函數(shù)f在點P0的全增量z可表示為：zf(x° x,y° y) f(x0,y°) AxBy() (1)其中A,B是僅與P0有關的常數(shù)， ~y2,()是較 的高階無窮小量，則稱f在點P?？晌?，并稱(1)式中關于x,y的線性表達式AxBy為f在點P0的全微分，記作dz df(x0,y°) AxBy (2)p0f(x,y) f(x0,y°)A(x%)B(yy°)由(1)、f(x,y) f(x0,y°)A(x%)B(yy°)在使用上，也可以把(1)寫成如下形式:這里(x,l(x,lym(0,0)(、則0,0)3四者之間的關系重極限與連續(xù)的關系1)若函數(shù)f(x,y)在1)若函數(shù)f(x,y)在(x°,y°)連續(xù)，則(x,y)(x0,y0)由連續(xù)定義 limf(x,y) f(x0,y0)知limf(x,y)一定存在.(x,y)(x0,y0) (x,y)(x0,y0)2)若limf(x,y)存在，函數(shù)f(x,y)在(x0,yo)不一定連續(xù).(x,y)(X0,y0)[1](P105)、幾例 設f(x,y)sinxy2 2 ,xy0,2 2,xy2 21, xy 0,求證limf(x,y)存在，但f(x,y)在(0,0)點不連續(xù).(x,y)(0.0)證明因為sinxy2 2xy了2x.xy0,所以(J%)f(x,y)0.而f(0,0)10,故f(x,y)在(0,0)點不連續(xù).可微與連續(xù)的關系1)若zf(x,y)在點(x0,yO)可微，則zf(x,y)在點(x°,y°)處一定連續(xù).因為zf(x,y)在點(％,丫。)可微，即z f(x0 x,Noy) f(x0,y°)AxBy()所以當x0,y0時，有z0,即zf(x,y)在該點連續(xù)?證畢.2)若函數(shù)f(x,y)在點(x°,y°)連續(xù)，則f(x,y)在點(x0,y。)不一定可微.例函數(shù)f(x,y)Jx2y2,這是上半圓錐，顯然在(0,0)點連續(xù),-fay)0 f(0,0)f(x,0) f(0,0) ,x2 1,x0,x x1,x0,故fx0,0不存在.由x,y的對稱性,fy(0,0)不存在.從而,f(x,y)在(0,0)點不可微(否則,fx(0,0)，fy(0,0)必均存在)3.3知函數(shù)3.3知函數(shù)f(x,y)在可微點處必連續(xù)，再由3.1知f(x,y)在連續(xù)點處必存在重極限，所以此例說明，連續(xù)不一定可微.可微與重極限的關系1)lim f(x,y)一定存在.)(x0,y0)若函數(shù)f(x,y)在點(x1)lim f(x,y)一定存在.)(x0,y0)(x,y)得證.若(」%0)"3若(」%0)"3)存在,則f(x,y)在點(xo,yo)不一定可微.(Ji",。)""sinxy_y (Ji",。)""sinxy_y 0xy而f(x,y)在(0,0)點不連續(xù)，所以f(x,y)在(0,0)點不可微,即重極限存在不一定可微.設函數(shù)f(x,y)sinxy,在(0,0)點有..sinxy..lim lim(x,y)(0,0)x(x,y)(0,0)可微與偏導數(shù)的關系1)若zf(x,y)在點1)若zf(x,y)在點(x,y)可微，則zf(x,y)在點(x,y)處的兩個偏導數(shù)都存在，且因為zf(x,y)在點(x,y)可微，即zf(xx,yy)f(x,y)A若令上式中的y0,貝U zf(xx,y)f(x,y)若令上式中的y0,貝U zf(xx,y)f(x,y)x),所以limf(xx,y)f(x,y)x0 xAlim一x)A,即-zA,類似地可證二B.證畢.x y2)若f(x,y)在(x°,y°)2)若f(x,y)在(x°,y°)兩個偏導數(shù)都存在，則f(x,y)在點(x°,y°)不一定可微.例1設函數(shù)f(x,y)xy2 2,xy0,fx(0,0) limnx02 2xyf(0 x,0)0,在(0,0)點處有0,f(0,0)lim-0—0 0.x0xf(0,0y) f(0,0)同樣fy(0,0) lim- y0 yf(0,0y) f(0,0)同樣fy(0,0) lim- y0 ylimy0所以f(x,y)在(0,0)點的兩個偏導數(shù)都存在.我們再讓(x,y)沿直線ykx趨于(0,0)xylim.'.(x,y)(0,0)x2y2limx0kx2

x2(1k2)k1k2它將隨k的不同而具有不同的值，因此極限limx0ykx2xy2不存在，即xyf(x,y)在(0,0)點不連續(xù).又因為連續(xù)是可微的必要條件，不連續(xù)一定不可微，所以f(x,y)在(0,0)點不可微.此例說明，偏導數(shù)存在不一定可微.3)若zf(x,y)在點(x0,y0)處的兩個偏導數(shù)連續(xù)，則zf(x,y)在該點一定可微.將z寫成如下形式： zf(x0x,y0 y)f(x0,y°)或 z[f(x0x,y0y) f(x0x,y。)] [f(x°x,y°) f(x°,y0)]由假設fx及fy都存在，所以當x,y充分小時，將中值定理應用于上式中每一個差，就有TOC\o"1-5"\h\zzfy(x0 x,y° iy) yfx(x0 2x,y°)x (0 1 1,0 2 1)又由假設fx及fy在點(x,y)皆連續(xù)，因而有fy(x0 x,y0 1y) fy(x0,y°) ,fx(x° 2x,y°) fx(x0,y°) ,且當x0,y0時，，都趨于零，于是zfx(x0,y°)x fy(x0,y0)yxy.而當x0,y0時，,xy= 0,J(x)2(y)2由定義可知，f(x,y)在點(x0,yO)可微.證畢.4)若函數(shù)f(x,y)在點(x°,y°)可微，則f(x,y)在(x°,y°)的偏導數(shù)不一定連續(xù).2 2 1 2 2例2設函數(shù)f(x,y)(xy)sin-例2設函數(shù)f(x,y)xy 在(0,0)點處有2 20, xy0,fx(0,0) limx0f(x,0)f(0,0)2 . 1xsin—xxlimxsin^0由x,y的對稱性，fy(0,0)0.所以取A fx(0,0)fy(0,0)(因為所以f(x,y)f(0,0)(x2Ax(x2(?叫,。)2x■y)sin—xBy (x2y2)siny2)sin,2 2、. 1(xy)sin- 2xy故f(x,y)在(0,0)點可微.且df(0,0)fxfx(x,y)0,八. 12xsin- 2xyAxBy(.x2y2)(xj)%)'x2(、x2 y2))sin0,(0,0)dxfy(0,0)dy2x 1~~2 2cos-2 2,xyxy0,0,顯然limfx(x,y)yx2xsin42x21 1一cos—2x 2x不存在，故lim fx(x,y)不存在，從而fx(x,y)在(x,y)(0,0)x xJ(0,0)點不連續(xù).由x,y的對稱性,fy(x,y)在(0,0)點也不連續(xù).此例說明函數(shù)在某點可微，其偏導數(shù)不一定連續(xù).3.5連續(xù)與偏導數(shù)的關系1)若f(x,y)在(x0,y°)連續(xù)，則f(x,y)在(x0,y0)不一定存在偏導數(shù).證明函數(shù)z&y2在點(0,0)連續(xù)但偏導數(shù)不存在.證明因為limxy0x0.y0z0,0,所以函數(shù)zJx2y2在點(0,0)連續(xù).由于當x。時，z(0 x,0)z(0,0)(x)2-x的極限不存在，因而z(x,y)在點(0,0)關于x的x偏導數(shù)不存在.同理可證它關于 y的偏導數(shù)也不存在.2)若f(x,y)在(Xo,yo)存在偏導數(shù)，則f(x,y)在(x°,y°)不一定連續(xù).例2[4](P144)設函數(shù)f(x,y)1,xy0，在點(0,0)處有0,xy0,fx(0,0)limf(x，0) f(0，0) 0,fy(0,0)limf(0，y)f(0，0) 0,x0 x y0 y即f(x