試析二元函數(shù)的重極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微之間的關(guān)系

試析二元函數(shù)的重極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微之間的關(guān)系1引言二元函數(shù)的重極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微在數(shù)學(xué)分析中占有很重要的地位，無(wú)論是研究生考試，還是專(zhuān)升本，或者是社會(huì)上的一些成人自考，都會(huì)或多或少的涉及到這些方面的知識(shí)，因此我們很有必要認(rèn)真仔細(xì)的研究它們.而且重極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微之間的關(guān)系將是我們重點(diǎn)研究的對(duì)象.本論文欲通過(guò)證明和舉反例的方法來(lái)闡述它們之間的一些內(nèi)在聯(lián)系.2二元函數(shù)的重極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微的定義二元函數(shù)的重極限定義設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在平面點(diǎn)集D上有定義，(x0,y0)為D的聚點(diǎn)，A為常數(shù)，若 >0,>0,使得(x,y)D,當(dāng)0<J(xXo)2~(yy。)2<時(shí)，或(x,y)D,當(dāng)xXo<,yy。<，且(x,y)(x。，y。)時(shí)，有f(x,y)A<成立，則稱(chēng)A為f(x,y)在點(diǎn)(xo,y。)的二重極限，記為limf(x,y)A或limf(x,y)A.xx0 (x,y)(x0,y。)yy0二元函數(shù)的連續(xù)性定義如果limf(x,y)f(x0,yO),(x,y)(x0,y0)則稱(chēng)f(x,y)在(x0,y0)處連續(xù).函數(shù)f(x,y)在D內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱(chēng)f(x,y)在D上連續(xù).二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定義設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x°,y°)的某一鄰域內(nèi)有定義， 當(dāng)y固定在y而x在x0處有增量x時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)有增量zf(x° x,y°)f(x0,y0),如果f(x°x,y°)f(x0,y°)lim x0 x存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處又^x的偏導(dǎo)數(shù)，記作

fx(Xo，y0fx(Xo，y0)或如果函數(shù)zf(x,y)在區(qū)域D內(nèi)任一點(diǎn)(xo,yo)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x,y的函數(shù)，它稱(chēng)為函數(shù)zf(x,y)對(duì)自變量x的偏導(dǎo)數(shù)，記作TOC\o"1-5"\h\zz f—，—，Zx或 fx(x,y).x x同理可以定義函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，記作fy(x0,y0)或 -y(x0,y0)2.4二元函數(shù)的可微性定義[1](P107)設(shè)函數(shù)zf(x,y)在某鄰域U(P。)內(nèi)有定義，對(duì)于U(P0)中的點(diǎn)P(x,y)(x0 x,y° y)若函數(shù)f在點(diǎn)P0的全增量z可表示為：zf(x° x,y° y) f(x0,y°) AxBy() (1)其中A,B是僅與P0有關(guān)的常數(shù)， ~y2,()是較 的高階無(wú)窮小量，則稱(chēng)f在點(diǎn)P?？晌ⅲ⒎Q(chēng)(1)式中關(guān)于x,y的線性表達(dá)式AxBy為f在點(diǎn)P0的全微分，記作dz df(x0,y°) AxBy (2)p0f(x,y) f(x0,y°)A(x%)B(yy°)由(1)、f(x,y) f(x0,y°)A(x%)B(yy°)在使用上，也可以把(1)寫(xiě)成如下形式:這里(x,l(x,lym(0,0)(、則0,0)3四者之間的關(guān)系重極限與連續(xù)的關(guān)系1)若函數(shù)f(x,y)在1)若函數(shù)f(x,y)在(x°,y°)連續(xù)，則(x,y)(x0,y0)由連續(xù)定義 limf(x,y) f(x0,y0)知limf(x,y)一定存在.(x,y)(x0,y0) (x,y)(x0,y0)2)若limf(x,y)存在，函數(shù)f(x,y)在(x0,yo)不一定連續(xù).(x,y)(X0,y0)[1](P105)、幾例 設(shè)f(x,y)sinxy2 2 ,xy0,2 2,xy2 21, xy 0,求證limf(x,y)存在，但f(x,y)在(0,0)點(diǎn)不連續(xù).(x,y)(0.0)證明因?yàn)閟inxy2 2xy了2x.xy0,所以(J%)f(x,y)0.而f(0,0)10,故f(x,y)在(0,0)點(diǎn)不連續(xù).可微與連續(xù)的關(guān)系1)若zf(x,y)在點(diǎn)(x0,yO)可微，則zf(x,y)在點(diǎn)(x°,y°)處一定連續(xù).因?yàn)閦f(x,y)在點(diǎn)(％,丫。)可微，即z f(x0 x,Noy) f(x0,y°)AxBy()所以當(dāng)x0,y0時(shí)，有z0,即zf(x,y)在該點(diǎn)連續(xù)?證畢.2)若函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x°,y°)連續(xù)，則f(x,y)在點(diǎn)(x0,y。)不一定可微.例函數(shù)f(x,y)Jx2y2,這是上半圓錐，顯然在(0,0)點(diǎn)連續(xù),-fay)0 f(0,0)f(x,0) f(0,0) ,x2 1,x0,x x1,x0,故fx0,0不存在.由x,y的對(duì)稱(chēng)性,fy(0,0)不存在.從而,f(x,y)在(0,0)點(diǎn)不可微(否則,fx(0,0)，fy(0,0)必均存在)3.3知函數(shù)3.3知函數(shù)f(x,y)在可微點(diǎn)處必連續(xù)，再由3.1知f(x,y)在連續(xù)點(diǎn)處必存在重極限，所以此例說(shuō)明，連續(xù)不一定可微.可微與重極限的關(guān)系1)lim f(x,y)一定存在.)(x0,y0)若函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x1)lim f(x,y)一定存在.)(x0,y0)(x,y)得證.若(」%0)"3若(」%0)"3)存在,則f(x,y)在點(diǎn)(xo,yo)不一定可微.(Ji",。)""sinxy_y (Ji",。)""sinxy_y 0xy而f(x,y)在(0,0)點(diǎn)不連續(xù)，所以f(x,y)在(0,0)點(diǎn)不可微,即重極限存在不一定可微.設(shè)函數(shù)f(x,y)sinxy,在(0,0)點(diǎn)有..sinxy..lim lim(x,y)(0,0)x(x,y)(0,0)可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系1)若zf(x,y)在點(diǎn)1)若zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，則zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且因?yàn)閦f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，即zf(xx,yy)f(x,y)A若令上式中的y0,貝U zf(xx,y)f(x,y)若令上式中的y0,貝U zf(xx,y)f(x,y)x),所以limf(xx,y)f(x,y)x0 xAlim一x)A,即-zA,類(lèi)似地可證二B.證畢.x y2)若f(x,y)在(x°,y°)2)若f(x,y)在(x°,y°)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，則f(x,y)在點(diǎn)(x°,y°)不一定可微.例1設(shè)函數(shù)f(x,y)xy2 2,xy0,fx(0,0) limnx02 2xyf(0 x,0)0,在(0,0)點(diǎn)處有0,f(0,0)lim-0—0 0.x0xf(0,0y) f(0,0)同樣fy(0,0) lim- y0 yf(0,0y) f(0,0)同樣fy(0,0) lim- y0 ylimy0所以f(x,y)在(0,0)點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在.我們?cè)僮?x,y)沿直線ykx趨于(0,0)xylim.'.(x,y)(0,0)x2y2limx0kx2

x2(1k2)k1k2它將隨k的不同而具有不同的值，因此極限limx0ykx2xy2不存在，即xyf(x,y)在(0,0)點(diǎn)不連續(xù).又因?yàn)檫B續(xù)是可微的必要條件，不連續(xù)一定不可微，所以f(x,y)在(0,0)點(diǎn)不可微.此例說(shuō)明，偏導(dǎo)數(shù)存在不一定可微.3)若zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則zf(x,y)在該點(diǎn)一定可微.將z寫(xiě)成如下形式： zf(x0x,y0 y)f(x0,y°)或 z[f(x0x,y0y) f(x0x,y。)] [f(x°x,y°) f(x°,y0)]由假設(shè)fx及fy都存在，所以當(dāng)x,y充分小時(shí)，將中值定理應(yīng)用于上式中每一個(gè)差，就有TOC\o"1-5"\h\zzfy(x0 x,y° iy) yfx(x0 2x,y°)x (0 1 1,0 2 1)又由假設(shè)fx及fy在點(diǎn)(x,y)皆連續(xù)，因而有fy(x0 x,y0 1y) fy(x0,y°) ,fx(x° 2x,y°) fx(x0,y°) ,且當(dāng)x0,y0時(shí)，，都趨于零，于是zfx(x0,y°)x fy(x0,y0)yxy.而當(dāng)x0,y0時(shí)，,xy= 0,J(x)2(y)2由定義可知，f(x,y)在點(diǎn)(x0,yO)可微.證畢.4)若函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x°,y°)可微，則f(x,y)在(x°,y°)的偏導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù).2 2 1 2 2例2設(shè)函數(shù)f(x,y)(xy)sin-例2設(shè)函數(shù)f(x,y)xy 在(0,0)點(diǎn)處有2 20, xy0,fx(0,0) limx0f(x,0)f(0,0)2 . 1xsin—xxlimxsin^0由x,y的對(duì)稱(chēng)性，fy(0,0)0.所以取A fx(0,0)fy(0,0)(因?yàn)樗詅(x,y)f(0,0)(x2Ax(x2(?叫,。)2x■y)sin—xBy (x2y2)siny2)sin,2 2、. 1(xy)sin- 2xy故f(x,y)在(0,0)點(diǎn)可微.且df(0,0)fxfx(x,y)0,八. 12xsin- 2xyAxBy(.x2y2)(xj)%)'x2(、x2 y2))sin0,(0,0)dxfy(0,0)dy2x 1~~2 2cos-2 2,xyxy0,0,顯然limfx(x,y)yx2xsin42x21 1一cos—2x 2x不存在，故lim fx(x,y)不存在，從而fx(x,y)在(x,y)(0,0)x xJ(0,0)點(diǎn)不連續(xù).由x,y的對(duì)稱(chēng)性,fy(x,y)在(0,0)點(diǎn)也不連續(xù).此例說(shuō)明函數(shù)在某點(diǎn)可微，其偏導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù).3.5連續(xù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系1)若f(x,y)在(x0,y°)連續(xù)，則f(x,y)在(x0,y0)不一定存在偏導(dǎo)數(shù).證明函數(shù)z&y2在點(diǎn)(0,0)連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在.證明因?yàn)閘imxy0x0.y0z0,0,所以函數(shù)zJx2y2在點(diǎn)(0,0)連續(xù).由于當(dāng)x。時(shí)，z(0 x,0)z(0,0)(x)2-x的極限不存在，因而z(x,y)在點(diǎn)(0,0)關(guān)于x的x偏導(dǎo)數(shù)不存在.同理可證它關(guān)于 y的偏導(dǎo)數(shù)也不存在.2)若f(x,y)在(Xo,yo)存在偏導(dǎo)數(shù)，則f(x,y)在(x°,y°)不一定連續(xù).例2[4](P144)設(shè)函數(shù)f(x,y)1,xy0，在點(diǎn)(0,0)處有0,xy0,fx(0,0)limf(x，0) f(0，0) 0,fy(0,0)limf(0，y)f(0，0) 0,x0 x y0 y即f(x