向量的內(nèi)積及其運(yùn)算-教學(xué)設(shè)計(jì)

第七章平面向量7.4.1向量的內(nèi)積【教學(xué)目標(biāo)】.理解并掌握平面向量?jī)?nèi)積的基本概念，會(huì)用已知條件來(lái)求向量的內(nèi)積..掌握向量?jī)?nèi)積的基本性質(zhì)及運(yùn)算律并運(yùn)用其解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題..通過(guò)教學(xué)，滲透一切事物相互聯(lián)系和相互制約的辯證唯物主義觀點(diǎn).【教學(xué)重點(diǎn)】平面向量?jī)?nèi)積的概念，平面向量?jī)?nèi)積的基本性質(zhì)及運(yùn)算律.【教學(xué)難點(diǎn)】平面向量?jī)?nèi)積的概念、基本性質(zhì)及運(yùn)算律的正確理解.【教學(xué)方法】本節(jié)課采用啟發(fā)式教學(xué)和講練結(jié)合的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生分析歸納，形成概念.【教學(xué)過(guò)程】環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生了位移s,那么力F所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計(jì)算？教師提出問(wèn)題.并簡(jiǎn)單講解什么是功，讓學(xué)生對(duì)功有個(gè)基本了解.師生共同計(jì)算這個(gè)力所做的功.我們知道，功只有大小，沒(méi)有方向，它由力和位移兩個(gè)向量來(lái)確定，這給我們一種啟示，能否把“功”看成是這兩個(gè)向量的一種運(yùn)算的結(jié)果呢？引出課題.此引例體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)與其他學(xué)科的聯(lián)系，讓學(xué)生了解所學(xué)內(nèi)容在實(shí)際生活中的具體應(yīng)用.^^e；.?s()O力做的功為W=|sIIFIcos仇其中e是f與s的夾角.IFIcose是F在物體前進(jìn)方向上分量的大小.IsIIFIcose稱為位移s與力向量F的內(nèi)積.新課1.兩個(gè)非零向量夾角的概念已知非零向量a與瓦作~C)A=a,加=瓦則/AOB叫向量a與b的夾角.記作<a,b>,規(guī)定0O<<a,b><180°.說(shuō)明：(1)當(dāng)、，b>=0°時(shí)，a與b同向；(2)當(dāng)口，b>=180°時(shí)，a與b反向；(3)當(dāng)<a,b>=90。時(shí)，a與b垂直，記做a±b；學(xué)生閱讀課本，討論并回答教師提出的問(wèn)題：(1)當(dāng)<a,b>=0°和180°時(shí)a與b的方向是怎樣的？(2)當(dāng)<a,b>=90。時(shí)，a與b的方向又是怎樣的？師生共同總結(jié)，師重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)說(shuō)明(4).此問(wèn)題是為本課重點(diǎn)向量的內(nèi)積概念而準(zhǔn)備.通過(guò)問(wèn)題的詳細(xì)探究給出概念，比直接給出更符合學(xué)生的特點(diǎn)，容易被學(xué)生接受.

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊下冊(cè)新課(4)在兩向量的夾角定義中，兩向量必須是同起點(diǎn)的.2.向量的內(nèi)積已知非零向量a與b，<a，岳為兩向量的夾角，則數(shù)量IaIIbIcos<a，歷叫做a與b的內(nèi)積.記作a,b=IaIIbIcos<a,b>.規(guī)定：0向量與任何向量的內(nèi)積為0.說(shuō)明：(1)兩個(gè)向量的內(nèi)積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零，符號(hào)由cos<a,歷的符號(hào)所決定；(2)兩個(gè)向量的內(nèi)積，寫(xiě)成a?b,符號(hào)“?”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“X”代替.例1求IaI=5,IIbI=4,<a,b>=120。.求a,b.解由已知條件得a,b=IaIIbIcos<a,b>=5X4Xcos120。=—10..向量的內(nèi)積的性質(zhì)設(shè)a,b為兩個(gè)非零向量，e是單位向量，則：a-e=e-a=1aIcos<a,e>；a±b=a'b=0；a-a=IaI2或IaI=Oa；;|a-b|W|aIIbI..向量的內(nèi)積的運(yùn)算律(1)交換律：a-b=b-a；(2)結(jié)合律：(Aa)-b=丸(a-b)=a-(Ab)；(3)分配律：(a+b)-c=a-c+b-c.教師直接給出向量?jī)?nèi)積的基本表達(dá)式.教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)向量?jī)?nèi)積的概念.學(xué)生閱讀課本中向量?jī)?nèi)積的概念，在理解的基礎(chǔ)上記憶向量?jī)?nèi)積的概念.教師總結(jié)向量?jī)?nèi)積的含義，以及公式中的注意事項(xiàng).學(xué)生討論求解.學(xué)生閱讀課本中向量?jī)?nèi)積的性質(zhì)，在理解的基礎(chǔ)上記憶向量?jī)?nèi)積的性質(zhì).教師對(duì)于每一個(gè)性質(zhì)都要引領(lǐng)學(xué)生從向量?jī)?nèi)積的表達(dá)式入手，仔細(xì)推導(dǎo).教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)向量?jī)?nèi)積的運(yùn)算律.讓學(xué)生明確內(nèi)積滿足交換律和分配律，不滿足結(jié)合律.比如，實(shí)數(shù)乘法滿足在本節(jié)中首次引入了抽象的向量?jī)?nèi)積，學(xué)生往往只接受具體的基本表達(dá)式，而不能接受ab的含義，所以應(yīng)讓學(xué)生從符號(hào)的含義開(kāi)始認(rèn)識(shí)，這部分教師必須講解清楚.求內(nèi)積題目不必過(guò)難，重點(diǎn)在理解內(nèi)積的概念.兩向量的內(nèi)積是兩向量乘法的一種，是學(xué)生以前所未接觸過(guò)的，與以前數(shù)量間的乘法、蟲(chóng)數(shù)與向量間的乘法有很大區(qū)另ij,因此運(yùn)算法則、運(yùn)算律都要重新推導(dǎo)，學(xué)生對(duì)于概念和運(yùn)算法則的理解和掌握有些困難.它與實(shí)數(shù)乘法的概念，性質(zhì)

第七章平面向量新課例2求證：(1)(a+b)?(a-b)=1a12—|b12；(2)|a+b|2+|a—b|2=2(|a|2—|b|2).證明(1)顯然(a+b)?(a—b)=a?a——a?b+b?a——b?b=|a|2—|b|2；(2)因?yàn)閨a+b|2=(a+b)?(a+b)=|a|2+2a?b+|b|2,|a—b|2=(a—b)?(a—b)=|a|2—2a?b+|b|2,所以|a+b|2+|a—b|2=2(|a|2—|b|2).練習(xí)1.已知1a1,1b1,<a,歷，求a?b：(1)1a1=7,1b1=12,<a,b>=120°；(2)1a1=8,1bl=4,<a,b>=n2.已知lal,lbl,a?b,求<a,b>：(1)lallbl=16,a?b=—8；(2)lallbl=12,a?b=65.結(jié)合律：(a,b)?c=a?(b,c),而向量的內(nèi)積不滿足；又如實(shí)數(shù)乘法滿足：a?c=b?ca=b，而向量的內(nèi)積不滿足這種推出關(guān)系.學(xué)生分組討論證明的方法；小組討論后，教師對(duì)學(xué)生的回答給以補(bǔ)充、完善，師生共同總結(jié)解答方法.教師給出具體的證明步驟.師生合作共同完成.及運(yùn)算律有聯(lián)系也有區(qū)別，這一區(qū)別是教學(xué)的重點(diǎn)也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).通過(guò)例2可讓學(xué)生加深對(duì)結(jié)合律與運(yùn)算律的理解.通過(guò)學(xué)生討論，老師點(diǎn)撥，可以突出解題思路，深化解題步驟，分解難點(diǎn).學(xué)習(xí)新知后緊跟練習(xí)，有利于幫助學(xué)生更好的梳理和總結(jié)本市所學(xué)內(nèi)容.有利于教師檢驗(yàn)學(xué)生的掌握情況.小結(jié)本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了平面向量的內(nèi)積，常見(jiàn)的題型主要有：(1)直接計(jì)算內(nèi)積；(2)由內(nèi)積求向量的模；(3)運(yùn)用內(nèi)積的性質(zhì)判定兩向量是否垂直；(4)性質(zhì)和運(yùn)算律的簡(jiǎn)單應(yīng)用.學(xué)生閱讀課本，暢談本節(jié)課的收獲，老師引導(dǎo)梳理，總結(jié)本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn).梳理總結(jié)也可針對(duì)學(xué)生薄弱或易錯(cuò)處進(jìn)行強(qiáng)調(diào)和總結(jié).

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊下冊(cè)作業(yè)教材P54練習(xí)A組第2題（1）（3）,第3題（1）（2）；（選做）練習(xí)B組第1題.鞏固拓展.第七章平面向量7.4.2向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)運(yùn)算與距離公式【教學(xué)目標(biāo)】.掌握向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)表示，并應(yīng)用向量?jī)?nèi)積的知識(shí)解決有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題..能夠根據(jù)平面向量的坐標(biāo)，判斷向量是否垂直..通過(guò)學(xué)習(xí)向量的坐標(biāo)表示，使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)形結(jié)合思想，認(rèn)識(shí)事物之間的相互聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生辯證思維能力.【教學(xué)重點(diǎn)】向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)表達(dá)式，向量垂直的充要條件，向量長(zhǎng)度的計(jì)算公式的應(yīng)用.【教學(xué)難點(diǎn)】向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)表達(dá)式的推導(dǎo)，即a?b=1aIIbIcos<a,b>與a,b=a1b1+a2b2兩個(gè)式子的內(nèi)在聯(lián)系.【教學(xué)方法】本節(jié)課采用啟發(fā)式教學(xué)和講練結(jié)合的教學(xué)方法.向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)表達(dá)式，是向量運(yùn)算內(nèi)容與形式的統(tǒng)一.無(wú)論是向量的線性運(yùn)算還是向量的內(nèi)積運(yùn)算，最終歸結(jié)為直角坐標(biāo)運(yùn)算.教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生抓住這條線索，不斷使學(xué)生的平面向量知識(shí)系統(tǒng)化、條理化，從而有利于學(xué)生知識(shí)體系的形成.【教學(xué)過(guò)程】環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入已知非零向量a與b，則a與b的內(nèi)積表達(dá)式是怎樣的？由內(nèi)積表達(dá)式怎樣求cos<a,b>?a±b= ；IaI與aja,a有何關(guān)系？教師提出問(wèn)題.學(xué)生回憶解答.師生共同回憶舊知識(shí).師：對(duì)平面向量的內(nèi)積的研究不能僅僅停留在幾何角度，還要尋求其坐標(biāo)表示.引出探究問(wèn)題.為知識(shí)遷移做準(zhǔn)備.新課已知e1,e2是直角坐標(biāo)平面上的基向量，a=(a15a2),b=(bb2),你能推導(dǎo)出a?b的坐標(biāo)公式嗎？探究過(guò)程a*b=(a1e1+a2%)*(b1e1+b2e2)=a1b1e1*e1+a1b2e1*e2+a2b1e1*e2+a2b2e2*e2，又因?yàn)閑1?e1=1,e2?e2=1,e1?e2=0,所以a,b=a1b1+a2b2.學(xué)生討論并回答，教師再提出的下列問(wèn)題：(a1e1+a2e2),(b1e1+b2e2)是怎樣進(jìn)行運(yùn)算的？e1?e1,e2?e2,e1?e2的內(nèi)積是怎樣計(jì)算的？教師針對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行點(diǎn)評(píng).師生共同寫(xiě)出詳細(xì)的探究過(guò)程.問(wèn)題為復(fù)習(xí)向量的線性運(yùn)算和向量的內(nèi)積而設(shè)計(jì).通過(guò)學(xué)生的探究給出結(jié)論，比直接給出更符合學(xué)生的特點(diǎn)，容易被學(xué)生接受.通過(guò)結(jié)論的探究，讓學(xué)生初步感受到無(wú)論是向量的線性運(yùn)算還是向量的內(nèi)積運(yùn)算，最終都?xì)w結(jié)為直角坐標(biāo)運(yùn)算.

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊下冊(cè)定理在平面直角坐標(biāo)系中，已知e1,e2是直角坐標(biāo)平面上的基向量，兩個(gè)非零向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),則a?b=a1b1+a2b2.這就是說(shuō)，兩個(gè)向量的內(nèi)積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.我們還可以得到以下結(jié)論：(1)向量垂直的充要條件為a_Lba1b1+a2b2=。；(2)兩向量夾角余弦的計(jì)算公式為a14+a2b2cos<a,b>—j ^-1-r^ .aja12+a22Vb12+b22教師給出向量?jī)?nèi)積的直角坐標(biāo)運(yùn)算公式.并引導(dǎo)學(xué)生用文字?jǐn)⑹?在教師的引導(dǎo)下學(xué)生討論得出.問(wèn)題：教師提出問(wèn)題，稍加點(diǎn)撥.通過(guò)對(duì)問(wèn)題的詳(1)若已知a—(a1,a2),你能用上面學(xué)生討論解答.細(xì)探究得到性質(zhì)，比新的定理求出la1嗎？解因?yàn)榻處熆偨Y(jié)得出這就是根據(jù)直接給出結(jié)論更容易課向量的坐標(biāo)求向量長(zhǎng)度的計(jì)算被學(xué)生接受.同時(shí)加laI2—a?a=(a1,a2)?(a1,a?)公式.深對(duì)a,b—ab+ab—a12+a22,的理解.從而提高學(xué)所以IaI—a1a12+a22.生的思維能力.這就是根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量長(zhǎng)度的計(jì)算公式.(2)若已知A(x1,j1),B(x2,y2),你教師提出問(wèn)題.使剛剛學(xué)過(guò)的知能求出1成I嗎？學(xué)生討論解答.識(shí)及時(shí)得到應(yīng)用.解因?yàn)锳(x1,y1),B(x2,y2),所以教師總結(jié)得出這就是根據(jù)AB—(x2—x1,y2—y1).兩點(diǎn)的坐標(biāo)求兩點(diǎn)之間的距離因?yàn)镮aI—a1a12+a22,所以IABI=4(x2—x1)2+(y2—y1)2,這就是根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)求兩點(diǎn)之間的距離公式.例1設(shè)a—(3,—1),b—(1,—2),公式.學(xué)生嘗試解答.教師針對(duì)通過(guò)例1可讓學(xué)求：學(xué)生的回答進(jìn)行點(diǎn)評(píng).生加深對(duì)向量?jī)?nèi)積的

第七章平面向量新課a?b； (2)1a1；(3)Ib1； (4)<a,b>.解(1)a-b=3X1+(—1)X(—2)=3+2=5；IaI=432+(—1)2=V10；IbI=412+(—2)2=V5；(4)因?yàn)?ab 5歷cos<a,b>=.?,= =,,1aIIb1 \10XV5 2所以<a,b>=4例2已知4(2,—4),B(—2,3),r、 ^求IABI.解因?yàn)?(2,—4),B(—2,3),所以矗=(—2,3)—(2,—4)=(—4,7),所以I-BI=^72+(—4)2=，必.例3已知4(1,2),B(3,4),C(5,0),求證：△4BC是等腰三角形.證明因?yàn)?-B=(3—1,4—2)=(2,2), 一 一一 — — ，， 一4C=(5—1,0—2)=(4,—2), 一 ，—一 — ， ，一 ，BC=(5—3,0—4)=(2,—4),I4CI=N42+(—2)2=^20,IBCI=q22+(—4)2=V20,所以I就I=IBCI.教師點(diǎn)撥，學(xué)生解答.教師針對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行點(diǎn)評(píng).教師點(diǎn)撥，學(xué)生討論解答.小組討論時(shí)教師巡視，并針對(duì)學(xué)生的回答給予補(bǔ)充、完善.最后師生共同完成此題.教師給出具體的解題步驟.直角坐標(biāo)運(yùn)算公式及向量的長(zhǎng)度公式的理解和記憶.鞏固公式，形成技能.在板書(shū)