變胞機(jī)構(gòu)的自由度及形態(tài)變化分析

-.z.變胞機(jī)構(gòu)的自由度及形態(tài)變化分析摘要：綜述了變胞機(jī)構(gòu)自由度的計(jì)算方法和變胞過程的矩陣描述理論。在自由度計(jì)算中運(yùn)用了基于約束的螺旋求解法；在變胞過程的矩陣描述中介紹了鄰接矩陣、變胞源機(jī)構(gòu)與變胞子機(jī)構(gòu)、變胞源矩陣與變胞子矩陣的概念，引入了變胞方程以及兩條修正規(guī)則，說明了矩陣法在變胞機(jī)構(gòu)變胞過程中的應(yīng)用過程，并通過實(shí)例分析了這兩種理論。關(guān)鍵詞：變胞；自由度；矩陣描述0前言機(jī)構(gòu)是機(jī)器的組成局部，它將輸入的運(yùn)動(dòng)或力由一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式。對(duì)于傳統(tǒng)機(jī)構(gòu)，其在運(yùn)動(dòng)和力的傳遞過程中有效構(gòu)件數(shù)及自由度均不發(fā)生變化。但近年來研究的一類新型機(jī)構(gòu)，它們?cè)谝欢l件下卻可以改變自身的有效構(gòu)件數(shù)或自由度，從而使得對(duì)于同一輸入產(chǎn)生多種輸出，拓寬了機(jī)構(gòu)的應(yīng)用*圍，這類機(jī)構(gòu)稱為變胞機(jī)構(gòu)。變胞機(jī)構(gòu)在當(dāng)今有著廣泛運(yùn)用，如李威等人創(chuàng)造的用于鋁合金汽車輪轂?zāi)＞咝蘩碇械目焖賷A緊裝置[1]〔圖1〕、理工大學(xué)高楓等人開發(fā)的陸空兩棲球形變胞機(jī)器人[2]〔圖2〕以及倫敦大學(xué)國王學(xué)院研制的變胞手等[3]〔圖3〕。圖1基于變胞原理的快速夾緊裝置圖2陸空兩棲球形變胞機(jī)器人圖3倫敦大學(xué)國王學(xué)院研制的變胞手鑒于變胞機(jī)構(gòu)的廣闊應(yīng)用前景，本文對(duì)變胞機(jī)構(gòu)的有關(guān)理論進(jìn)展了綜述，主要包括變胞機(jī)構(gòu)的自由度計(jì)算以及變胞機(jī)構(gòu)的形態(tài)變化分析。1變胞機(jī)構(gòu)的自由度計(jì)算常見的變胞機(jī)構(gòu)大多為三維空間機(jī)構(gòu)，對(duì)于空間機(jī)構(gòu)自由度的計(jì)算，最簡單有效的方法是約束螺旋求解法，計(jì)算公式為[4]：〔1.1〕這里表示機(jī)構(gòu)的自由度，表示機(jī)構(gòu)的階數(shù)〔，表示機(jī)構(gòu)的公共約束數(shù)〕，表示包括機(jī)架的構(gòu)件數(shù)目，表示運(yùn)動(dòng)副的數(shù)目，表示第個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度，表示多環(huán)并聯(lián)機(jī)構(gòu)在去除公共約束因素后的冗余約束數(shù)目，表示機(jī)構(gòu)中存在的局部自由度。圖4共點(diǎn)球面五桿變胞機(jī)構(gòu)圖5共點(diǎn)球面四桿變胞機(jī)構(gòu)圖4所示是一共點(diǎn)球面五桿變胞機(jī)構(gòu)[5]，圖中的數(shù)字1~5分別表示空間中的5根桿，〔〕表示連接第根桿與第根桿的轉(zhuǎn)動(dòng)副，5個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線相交于球心。以為原點(diǎn)，軸沿軸線，軸沿豎直方向建立坐標(biāo)系，則5個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副對(duì)應(yīng)的螺旋可表示為：則相應(yīng)地存在3個(gè)反螺旋：從反螺旋可以看出，機(jī)構(gòu)存在沿著三個(gè)方向的移動(dòng)公共約束，即，故機(jī)構(gòu)屬于三階螺旋系，此外，由公式〔1.1〕計(jì)算自由度。在一定條件下，桿4與桿5可固連在一起，從而形成圖5所示的共點(diǎn)球面四桿變胞機(jī)構(gòu)，變胞后的4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副對(duì)應(yīng)的螺旋可表示為：易知變胞后的機(jī)構(gòu)仍具有與變胞前機(jī)構(gòu)一樣的3個(gè)反螺旋、、，變胞后機(jī)構(gòu)仍屬于三階螺旋系，此外仍有，自由度通過上述分析可以發(fā)現(xiàn)：該球面變胞機(jī)構(gòu)在變胞前后有效構(gòu)件數(shù)和自由度均發(fā)生了變化。2變胞機(jī)構(gòu)變胞過程的矩陣描述在研究變胞機(jī)構(gòu)的特征時(shí)，一個(gè)重要的工具是鄰接矩陣，其定義如下[6]：其中，為構(gòu)件的數(shù)目。鄰接矩陣中的每一行和每一列均對(duì)應(yīng)一個(gè)構(gòu)件，當(dāng)構(gòu)件與構(gòu)件之間由運(yùn)動(dòng)副直接連接時(shí)，；當(dāng)構(gòu)件與構(gòu)件之間沒有運(yùn)動(dòng)副直接連接時(shí)，；對(duì)應(yīng)構(gòu)件與構(gòu)件自身相連的矩陣元素被賦予零值，即當(dāng)時(shí)，。以圖4為例，由于機(jī)構(gòu)中具有5個(gè)構(gòu)件，故鄰接矩陣為5×5的方陣。因?yàn)闂U1與桿2、桿2與桿3、桿3與桿4、桿4與桿5、桿5與桿1之間由轉(zhuǎn)動(dòng)副直接連接，故鄰接矩陣中、、、、、、、、、均取1，其它元素取0，得到對(duì)應(yīng)的鄰接矩陣：當(dāng)機(jī)構(gòu)發(fā)生變胞轉(zhuǎn)化為圖5所示的形態(tài)后，其對(duì)應(yīng)的鄰接矩陣變?yōu)椋河捎趫D5對(duì)應(yīng)的球面四桿機(jī)構(gòu)是由圖4對(duì)應(yīng)的球面五桿機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化而來，因此我們稱圖5的球面五桿機(jī)構(gòu)是變胞源機(jī)構(gòu)，其對(duì)應(yīng)的鄰接矩陣是變胞源矩陣；而圖4的球面四桿機(jī)構(gòu)是變胞子機(jī)構(gòu)，其對(duì)應(yīng)的鄰接矩陣是變胞子矩陣[7]。顯然，在球面五桿機(jī)構(gòu)的根底上增加不同的連接關(guān)系將得到不同的變胞子機(jī)構(gòu)〔如將球面五桿機(jī)構(gòu)中的桿1與桿3相連將得到圖6所示的變胞子機(jī)構(gòu)，其對(duì)應(yīng)的鄰接矩陣為：它是不同于圖5所示的球面四桿機(jī)構(gòu)的〕。圖6共點(diǎn)球面五桿變胞機(jī)構(gòu)的另一種變胞子機(jī)構(gòu)變胞源矩陣與變胞子矩陣之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系可以用矩陣組來實(shí)現(xiàn)，即〔2.1〕式〔2.1〕稱為變胞機(jī)構(gòu)的變胞方程，用于描述變胞源矩陣到變胞子矩陣的變胞過程。其中矩陣用于將第個(gè)構(gòu)件上的連接關(guān)系轉(zhuǎn)移到第個(gè)構(gòu)件上，矩陣用于消去變胞合并后的構(gòu)件，前乘表示對(duì)變胞源矩陣進(jìn)展行操作，后乘表示對(duì)變胞源矩陣進(jìn)展列操作[8]。仍以圖4到圖5的變胞過程為例，當(dāng)將桿4與桿5相連時(shí)，桿5與周圍各桿的連接關(guān)系將被轉(zhuǎn)移到桿4上，因此需要將變胞源矩陣中第五行和第五列的元素對(duì)應(yīng)加到第四行和第四列上，故容易看出是將五階單位矩陣的第五行加到第四行變化而來。連接關(guān)系轉(zhuǎn)移后，桿5將不復(fù)存在，因而需要將鄰接矩陣中表示桿5連接關(guān)系的第五行和第五列刪除，故容易看出是在四階單位矩陣中參加第五列全零列變化而來。將、代入變胞方程〔2.1〕得：結(jié)果發(fā)現(xiàn)經(jīng)過變胞方程計(jì)算得到的初步結(jié)果與變胞子矩陣并不相等，差異在于矩陣中出現(xiàn)了除0、1以外的其它元素〔即第四行第四列的元素2〕，出現(xiàn)這種情況的原因是桿5與桿4本來就是直接相連的，當(dāng)進(jìn)展矩陣組計(jì)算時(shí)，連接關(guān)系的合并導(dǎo)致桿4與自身連接關(guān)系的顯化。因此為了使得變胞方程成立，需要引入如下的修正規(guī)則[9]：修正規(guī)則=1\*ROMANI：每進(jìn)展一輪矩陣組計(jì)算后，假設(shè)鄰接矩陣元素中出現(xiàn)2，則將其全部以0覆蓋。經(jīng)過修正規(guī)則=1\*ROMANI修正的結(jié)果將與變胞子矩陣完全一樣。為了進(jìn)一步完善變胞方程和加深對(duì)它的理解，再以圖4到圖6的變胞過程為例進(jìn)展說明。當(dāng)將桿1與桿3相連時(shí)，桿3與周圍各桿的連接關(guān)系將被轉(zhuǎn)移到桿1上，因此需要將變胞源矩陣中第三行和第三列的元素對(duì)應(yīng)加到第一行和第一列上，故容易看出是將五階單位矩陣的第三行加到第一行變化而來。連接關(guān)系轉(zhuǎn)移后，桿3將不復(fù)存在，因而需要將鄰接矩陣中表示桿3連接關(guān)系的第三行和第三列刪除，故容易看出是在四階單位矩陣中參加第三列全零列變化而來。將、代入變胞方程〔2.1〕得：計(jì)算后經(jīng)過修正規(guī)則=1\*ROMANI修正的鄰接矩陣中第二行和第二列的元素全為0，這是因?yàn)闉榱藢?shí)現(xiàn)桿1與桿3的合并，桿2將與桿1、桿3連成一體，即桿2被桿1和桿3吞并。因此為使得變胞方程成立，還需添加如下的修正規(guī)則：修正規(guī)則=2\*ROMANII：每進(jìn)展一輪矩陣組計(jì)算后，假設(shè)鄰接矩陣中出現(xiàn)全零行和全零列，則將其刪除。再經(jīng)過修正規(guī)則=2\*ROMANII修正的結(jié)果將與變胞子矩陣完全一樣。當(dāng)變胞機(jī)構(gòu)出現(xiàn)連續(xù)屢次變胞時(shí)，反復(fù)套用變胞方程以及兩條修正規(guī)則，可以很好的貼合變胞過程，但要格外注意變胞過程中鄰接矩陣的行列與構(gòu)件的對(duì)應(yīng)關(guān)系。圖7禮物包裝紙盒圖8半折疊紙盒圖7所示是一個(gè)禮物包裝紙盒，假設(shè)將其每一個(gè)折痕看作轉(zhuǎn)動(dòng)副，每一個(gè)面看作桿，它可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)具有9個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副和10根桿的空間機(jī)構(gòu)[10]，其作為變胞源機(jī)構(gòu)對(duì)應(yīng)的變胞源矩陣為：對(duì)該機(jī)構(gòu)連續(xù)進(jìn)展4次變胞操作可得到4種不同形態(tài)的變胞子機(jī)構(gòu)。首先，將面2、3、4沿著折痕局部折疊并將面1和面10相固連可得到如圖8所示的半折疊紙盒，所對(duì)應(yīng)的矩陣組為：是將十階單位矩陣的第十行加到第一行變化而來。是在九階單位矩陣中參加第十列全零列變化而來。第一次變胞所得的變胞子矩陣為：然后將面6沿著折痕折疊并將其與面5固連，所對(duì)應(yīng)的矩陣組為：是將九階單位矩陣的第五行加到第六行變化而來。是在八階單位矩陣中參加第五列全零列變化而來。第二次變胞所得的變胞子矩陣為：接著將面8沿著折痕折疊至物理極限位置并將面9與面4固連，所對(duì)應(yīng)的矩陣組為：這里需要注意的是，的作用是將面9與周圍各面的連接關(guān)系轉(zhuǎn)移到面4上，由于這一變換關(guān)系針對(duì)的是所對(duì)應(yīng)的變胞子矩陣，而在所對(duì)應(yīng)的變胞子矩陣中，面4對(duì)應(yīng)第四行，面9對(duì)應(yīng)第八行，所以是將八階單位矩陣的第八行加到第四行變化而來。的作用是將中表示面9連接關(guān)系的第八行和第八列刪除，所以是在七階單位矩陣中參加第八列全零列變化而來。第三次變胞所得的變胞子矩陣為：圖9完全折疊的禮物包裝紙盒最后將面8與面7固連，可以得到如圖9所示的六面體盒，所對(duì)應(yīng)的矩陣組為：的作用是將面7與周圍各面的連接關(guān)系轉(zhuǎn)移到面8上，由于這一變換關(guān)系針對(duì)的是所對(duì)應(yīng)的變胞子矩陣，而在所對(duì)應(yīng)的變胞子矩陣中，面7對(duì)應(yīng)第六行，面8對(duì)應(yīng)第七行，所以是將七階單位矩陣的第六行加到第七行變化而來。的作用是將中表示面7連接關(guān)系的第六行和第六列刪除，所以是在六階單位矩陣中參加第六列全零列變化而來。第四次變胞所得的變胞子矩陣為：可以看出最終得到的變胞子矩陣是符合圖9所示的六面體盒各個(gè)面的連接關(guān)系的，即：3總結(jié)本文綜述了變胞機(jī)構(gòu)的自由度計(jì)算及變胞過程的矩陣描述理論，通過對(duì)一共點(diǎn)球面五桿變胞機(jī)構(gòu)和一由禮物包裝盒演化而來的變胞機(jī)構(gòu)的實(shí)例分析說明了這兩種理論的應(yīng)用方法，為進(jìn)一步研究變胞機(jī)構(gòu)提供了一定的理論根底。參考文獻(xiàn)[1]李威，等.一種新型變胞快速夾緊裝置[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與研究，2005,21〔2〕：45~47.[2]羅慶生，高楓等.一種基于變胞原理的陸空兩棲球形變胞機(jī)器人[P].理工大學(xué)，2014.[3]JianS.Dai，DelunWang.Geometricanalysisandsynthesisofthenmetamorphicrobotichand[J].JournalofMechanicalDesign，2007,129：1191~1197.[4]黃真，等.高等空間機(jī)構(gòu)學(xué)[M].：高等教育，2006.[5]JianS.Dai，JohnReesJones.Matri*representationoftopologicalchangesinmetamorphicmechanisms[J].JournalofMechanicalDesign，2005,127：837~840.[6]郭宗和，馬履中，楊啟志.基于變胞原理的變自由度機(jī)構(gòu)拓?fù)湫头治鯷J].中國機(jī)械工程，2005,16〔1〕：1~3.[7]王德倫，戴建生.變胞機(jī)構(gòu)及其綜合的理論根底[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2007,43〔8〕：32~42.[8]戴建生，丁希侖，鄒慧君.變胞原理和變胞機(jī)構(gòu)類型[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2005,41〔6〕：7~12.[9]李端玲，戴