2012江蘇省數(shù)學(xué)競(jìng)賽《提優(yōu)教程》第40講-格點(diǎn)

11-/NUMPAGES11第4０講格點(diǎn)節(jié)主要內(nèi)容有格點(diǎn)的概念,及格點(diǎn)在解題中的應(yīng)用．格點(diǎn)，又叫整點(diǎn),指的是在直角坐標(biāo)系中,每個(gè)坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)。或者直接在平面上取兩組互相垂直的平行線（在空間中就取三組互相垂直的平行平面）,相鄰的兩條平行線的距離相等，這兩組平行線的交點(diǎn)就是格點(diǎn)。當(dāng)一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都是?兩組互相垂直的平行線，相鄰的兩條平行線的距離相等，這兩組平行線的交點(diǎn)就是格點(diǎn)．關(guān)于格點(diǎn)多邊形,有下列定理:定理1（皮克定理）設(shè)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有N個(gè)格點(diǎn)，邊界上有L個(gè)格點(diǎn),則其面積Ｓ=Ｎ+eｑ＼ｆ（1,2）L—１．（證明略）定理2邊與兩軸平行的正方形(頂點(diǎn)不一定是格點(diǎn)）,如果其面積大于１，則其內(nèi)部至少有一個(gè)格點(diǎn)．證明如圖,設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為a，b,則r＝b－a＞1．若a為整數(shù)，則a+1＜ｂ，而a+1為整數(shù)，此時(shí)，直線x=a＋１穿過正方形AＢＣＤ內(nèi)部；若a不是整數(shù),［a]是不超過a的最大整數(shù),{ａ}＝a－[a］,有０〈｛a｝<1，此時(shí)ａ＝[a]＋{ａ}＜[a]+1=a-［a］＋1=a+1－[a］<ｂ-[a]＜b.即直線ｘ=[a]＋1穿過正方形內(nèi)部.總之,正方形內(nèi)部有一條豎直格線穿過.同理,正方形內(nèi)部有一條水平格線穿過．即其正方形內(nèi)部有一個(gè)格點(diǎn)．A類例題例1⑴內(nèi)部不含格點(diǎn)的圓，其面積≤eq\f（，２)．⑵內(nèi)部恰有一個(gè)格點(diǎn)的圓,其半徑不大于1．分析本題是定理２的一個(gè)直接應(yīng)用.⑴證明如果圓的面積〉ｅq\f（,2)，則其半徑＞eq＼f（１，＼r（2）)其內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)＞1．由定理2可知其內(nèi)部必有格點(diǎn)．故證。⑵證明設(shè)⊙O有內(nèi)部恰有一個(gè)格點(diǎn)，且其的半徑〉1．圓心Ｏ必在某個(gè)格點(diǎn)正方形ABCD內(nèi)或在其邊上．從而A、B、C、Ｄ至少有三點(diǎn)在⊙O外或⊙Ｏ上．于是相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)Ａ、C或B、D同在⊙Ｏ外或⊙Ｏ上，例如B、Ｄ在⊙O外(或⊙O上).于是ＢO≥1，ＤO≤1．即O應(yīng)在以B、Ｄ為圓心,1為半徑的圓外（或邊界上),又在正方形AＢＣD內(nèi)部,這是不可能的．例2⑴找出內(nèi)部恰有0個(gè)、1個(gè)、２個(gè)、3個(gè)、4個(gè)格點(diǎn)的面積最大的圓.⑵能否找到內(nèi)部恰有5個(gè)格點(diǎn)的面積最大圓？⑴解(如圖）內(nèi)部恰有０個(gè)格點(diǎn)的面積最大圓的半徑＝eq\f（1,\r（２)）;內(nèi)部恰有1個(gè)格點(diǎn)的面積最大圓的半徑＝1；內(nèi)部恰有2個(gè)格點(diǎn)的面積最大圓的半徑=ｅｑ\f（\r（5），2）；內(nèi)部恰有3個(gè)格點(diǎn)的面積最大圓的半徑＝eｑ\f（５\r（2),6）；內(nèi)部恰有４個(gè)格點(diǎn)的面積最大圓的半徑＝ｅｑ\f（\ｒ（１0）,2)．⑵解如左圖畫的是內(nèi)部有5個(gè)格點(diǎn)且過4個(gè)格點(diǎn)的圓，其半徑=ｅq＼ｒ(2）．但這圓不是內(nèi)部有5個(gè)格點(diǎn)的面積最大圓.如右圓,取內(nèi)部恰有四個(gè)格點(diǎn)的面積最大圓（虛線畫的圓），其圓心為O，點(diǎn)P1、Ｐ2、Ｐ3、…、P8等8個(gè)格點(diǎn)在此圓上,其半徑=eq\f（\r(10），2）＞eｑ\r(2)．可以作一個(gè)圓使原來四個(gè)在圓內(nèi)的格點(diǎn)仍在此圓內(nèi)，且使P１在圓內(nèi)而原來在圓上的其他格點(diǎn)都在圓外。為此?。?P８、P2P3的垂直平分線ｌ1、l2,則在這兩條直線圍出的右上平面內(nèi)的點(diǎn)，到Ｐ１的距離比到P8的距離小,到Ｐ２的距離比到P3的距離小，再作P2P８的垂直平分線l３，則l3上的點(diǎn)到P２、P８距離相等,現(xiàn)在l3上靠近點(diǎn)O取一點(diǎn)Q，以Q為圓心,QP2為半徑畫一圓，顯然，此圓內(nèi)恰有５個(gè)格點(diǎn)．只要點(diǎn)Ｑ充分接近O，則⊙Q的半徑充分接近ｅq\f（\r（10），2），但圓內(nèi)恒有５個(gè)格點(diǎn)．即沒有圓內(nèi)恰有5個(gè)格點(diǎn)而面積最大的圓．情景再現(xiàn)1。內(nèi)部不含格點(diǎn)的正方形,其面積≤2。2.找出內(nèi)部恰有1個(gè)，2個(gè)格點(diǎn)的面積最大的正方形.Ｂ類例題例3求證:對(duì)任何n（n∈N），可以作一個(gè)圓,恰蓋住n個(gè)格點(diǎn)(格點(diǎn)在圓內(nèi)部)．分析只要能證明，平面上存在一點(diǎn),到所有格點(diǎn)的距離兩兩不等.為此，可以利用“無理數(shù)不等于有理數(shù)”來解．證明取一點(diǎn),其兩個(gè)坐標(biāo)都是無理數(shù)，例如取點(diǎn)W(eｑ\ｒ（2），eｑ＼r(3)）,先證明，以W為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作的圓，至多通過一個(gè)格點(diǎn).設(shè)某個(gè)以W為圓心的圓通過兩個(gè)格點(diǎn)（m，n），(ｐ,ｑ)(m，n，ｐ,q∈Z）,則（ｍ－eq\r（２））２＋（n－eｑ\ｒ(3)）２＝(p—eq\r(2））2+(q—eq＼r（３））2.展開整理得,m２＋n2-p２－q２＝２eq＼r（2)（p-ｍ）＋2ｅq＼r（3）（q－ｎ）．左邊是有理數(shù),右邊當(dāng)且僅當(dāng)p＝ｍ，q=n時(shí)為有理數(shù)。故證。于是可知以Ｗ為圓心的圓至多通過一個(gè)格點(diǎn)．現(xiàn)考慮，平面上所有的點(diǎn)與W的距離，這些距離沒有兩個(gè)相等。把所有的格點(diǎn)與點(diǎn)W的距離按從小到大排隊(duì)０＝r0＜r1<ｒ2〈r３＜…〈rn＜…。取線段ｒ，滿足ｒn<r<rn+1，以W為圓心，r為半徑作圓,則此圓內(nèi)恰有ｎ個(gè)格點(diǎn)．說明本題即是辛澤爾定理,利用本題的結(jié)果可以解1987年的全國(guó)高中聯(lián)賽題二試第2題．若a與b是互質(zhì)的正整數(shù)，證明ｅq\b＼bc＼[(\f(a,b））＋eq＼b\ｂｃ\［(\f（２a,b)）＋eq\b\bc\［（＼f(3ａ，b)）+…+eq\b\ｂc\[（\f（(ｂ－１）ａ，b））=eq＼f（1,2)（a－1）(ｂ－1）.分析研究數(shù)［ｋａ］（ｋ，a∈N＊)的幾何意義:取函數(shù)y=kx，這是一條直線,在直線上取一點(diǎn)(a,ka），在連結(jié)點(diǎn)（a,0）與點(diǎn)（a,ka)的線段上（不含點(diǎn)(a,0)而含點(diǎn)(a，ｋａ)時(shí)），恰有[ka］個(gè)格點(diǎn).證明取直線y＝ｅq\f(a，b)x(右圖中以a＝5，b＝9為例)．對(duì)于k=1，2,…，b-1,由（a，ｂ）＝1,知beq\o（｜，＼s\ｄo1（/））ａk．所以直線y＝ｅq\f(a,ｂ）x與x=k（k=1,2,…，b-1）的交點(diǎn)都不是格點(diǎn).而ｅq\b\ｂc＼［（＼ｆ（ｋa，ｂ))表示線段x=k（y∈（0，ｋａ])上的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)，所以,eｑ\b\ｂc＼［（＼ｆ(a,b）)+ｅｑ\b\bc\［(\f(2a,ｂ））＋eq＼ｂ\bc\[（\ｆ（３a,b))+…+eｑ\b\ｂｃ\[(＼f（(ｂ—1)a，ｂ））表示以O(shè)(0,０）,A(b，0）,B（b,a)為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)．由于線段y＝eq\f（a，b)ｘ(x∈（0,b）上沒有格點(diǎn)，由對(duì)稱性知，△OAB內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)等于矩形OABＣ(其中點(diǎn)Ｃ坐標(biāo)為（0，a）)內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)的一半.而矩形OABC內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)=(a-1)（b－1）(共a-1行,b－1列）．從而ｅｑ\b\bc\［（\ｆ（ａ，b）)＋ｅq\ｂ\bc\［（\f(2a,b)）+eq\b\ｂc\［(\f（3a，b））+…＋ｅq\b\ｂc\[（\f（（b-1）a，b))＝ｅq\f(１,2）（ａ—1）（ｂ-1）．說明本題所證明的恒等式稱為厄爾米特恒等式．本題是把《高斯函數(shù)》中的內(nèi)容與格點(diǎn)聯(lián)系起來的一個(gè)定理.例5若每邊長(zhǎng)均為整數(shù)，三邊不等且最大邊長(zhǎng)為n的三角形共有600個(gè)，求n.分析先列出相關(guān)條件，把相關(guān)條件轉(zhuǎn)化為平面上滿足這些條件的格點(diǎn)數(shù)。解設(shè)三邊長(zhǎng)為x，ｙ，n，且x<y〈n，則有x+y>n.本題可以理解為滿足y＜ｎ，y〉x，x+y＞n的區(qū)域中恰有6０0個(gè)整點(diǎn)。故在坐標(biāo)系內(nèi)作直線y=ｘ，ｘ＋ｙ=n，y=n,若A(ｎ，0)，B（ｎ，n），C(0，n），AC、ＯB的交于點(diǎn)Ｐ．由這三條直線圍成的三角形ＰBC即為所求區(qū)域．正方形內(nèi)共有(ｎ-1）２個(gè)格點(diǎn),線段ＡC、ＯＢ內(nèi)各有n－1個(gè)格點(diǎn)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，P不是格點(diǎn),當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),P是格點(diǎn)．由對(duì)稱性，ΔPAB、ΔＰBC、ΔPＣO、ΔPOA內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)相等。故有(n－1）2—2(n-1）+k=6００×4。(ｎ為偶數(shù)時(shí)k＝1,ｎ為奇數(shù)時(shí)，k=0)即ｎ2-4n＋3=24０0－k．當(dāng)ｎ為奇數(shù)時(shí)，(n－2)２＝2401＝492,所求正整數(shù)解為n=５1．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，（n－2）２=2400，無整數(shù)解．所以n＝51．情景再現(xiàn)3．⑴如圖⑴,在一個(gè)棋盤形的街區(qū)圖中，縱線與橫線都表示街道，有人沿此街道從（0，０）直到(n，m)，問使路程最短的走法有多少種?⑵如圖⑵，仍在此街道圖中，如果在點(diǎn)(ｐ,q）與（p,q+1)(0≤ｐ≤n，0≤q≤m－1）間的街道（圖中用粗線標(biāo)出）戒嚴(yán)，禁止通行,則從(0，0)到(n,ｍ)的最短走法有多少種？4.試設(shè)計(jì)一種染色方法,把所有的平面整點(diǎn)染色，每一整點(diǎn)染成紅色、白色或黑色中的一種顏色，使:⑴每一種顏色出現(xiàn)在無窮多條與橫軸平行的格線上；⑵對(duì)任意白點(diǎn)A，紅點(diǎn)B，黑點(diǎn)C，必可找到一個(gè)紅點(diǎn)Ｄ，使ABCD為平行四邊形.(１986年全國(guó)高中聯(lián)賽）5.中國(guó)象棋的“馬"可以從一個(gè)１×2矩形的一個(gè)頂點(diǎn)跳到相對(duì)的頂點(diǎn)上（不妨稱之為１×2馬)。問一個(gè)中國(guó)象棋的馬能否從其起點(diǎn)A出發(fā)，不重復(fù)不遺漏地跳遍半個(gè)棋盤?６．在一個(gè)n×n的方格紙上任意選定同一行的相鄰兩個(gè)方格Ａ與B，在左面的Ａ格中放了一枚棋子,它可以向上、右、和斜左下的格子走，試證明：對(duì)任何正整數(shù)n(n＞1）,這枚棋子不能走遍所有的格子并最后走到B，而且每個(gè)格子都只走過一次。C類例題例6起點(diǎn)為(０，0），終點(diǎn)為(2n，0）(n∈N＊）的折線由(p，ｑ）→(p＋１，q±1）類型的線段構(gòu)成。集合Ａ表示該折線除起點(diǎn)與終點(diǎn)外與y=０還有一個(gè)公共點(diǎn)，但位于y=0上方的折線集合；集合B表示該折線除起點(diǎn)與終點(diǎn)外與y=0沒有公共點(diǎn),且位于y=0上方的折線集合．求證：cａrd（A）＝ｃarｄ（B)．證明對(duì)于每個(gè)A中的任意一條折線ｌ，設(shè)它與x軸(除起點(diǎn)與終點(diǎn)外)的交點(diǎn)為(2k,0）．此點(diǎn)把l分成兩部分:前段l1與后段l2，現(xiàn)把l2中從(2ｋ,0）到(2k+1,1）的一節(jié)截出放到從（０,0）到（1,1），并把前段l1按（0，0)到（1,1）的向量平移,這樣就得到了一條B中的折線．反之,對(duì)于每條B中的折線ｌ,它至少有兩次與直線y=１相交。第一次交于（1，１），設(shè)第二次交于點(diǎn)（２k+1,1），這兩點(diǎn)把l分成三段.一段是從(0，0)到(1，１）,一段是從(１,1）到（２k+1,1)，一段是從(２k＋1,1）到（２n，０），現(xiàn)把第一段移至(2k，０)到(2k＋１，１）,第二段按(1，1)至（０，0）的向量平移，則得到了一條Ａ中的折線．這說明Ａ中的折線與B中的折線有一個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．∴cａrｄ（A）=ｃarｄ（B)．例7在平面直角坐標(biāo)系中,任取6個(gè)格點(diǎn)Ｐi（xi，yi)(i＝１，２,3,4，5，６)滿足：⑴｜xｉ｜≤2，｜ｙi｜≤２（i＝１，2，3，4,5，6);⑵任何三點(diǎn)不在一條直線上．試證明：在以Pi(i=1,2,3，４,5，6)為頂點(diǎn)的所有三角形中，必有一個(gè)三角形的面積不大于2．(１992年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）分析滿足要求的格點(diǎn)共2５個(gè)，設(shè)法把它們分組,使同組三個(gè)格點(diǎn)連成三角形面積不超過２，再研究可能取點(diǎn)的情況．證明如圖，滿足條件的格點(diǎn)只能是圖中A、Ｂ、…、Y這２5個(gè)格點(diǎn)中的６個(gè)。把這25個(gè)格點(diǎn)分成三個(gè)矩形：矩形ＡＥFJ、KOWU、MNYX．若所取的6個(gè)點(diǎn)中有三個(gè)點(diǎn)在上述三個(gè)矩形中的某一個(gè)中,則此三點(diǎn)即滿足要求．若三個(gè)矩形中均無所取6點(diǎn)中的３點(diǎn)，則必是某個(gè)矩形中有所取的2個(gè)點(diǎn).⑴若E、F、Ｄ、G、Ｏ、R、W中有所取的點(diǎn)，則此點(diǎn)與矩形MＮYＸ中的兩點(diǎn)滿足要求;⑵若上述7點(diǎn)均未取，則A、B、C、Ｈ、I、Ｊ中必有兩點(diǎn),此時(shí)若L、K中有所取的點(diǎn),則亦有三點(diǎn)滿足要求;⑶若Ｌ、K亦未取，則必在P、Q、V、U中取了2點(diǎn)，矩形ＡCHJ中取了２點(diǎn)：此時(shí)取P、Q兩點(diǎn)，或Q、Ｖ兩點(diǎn)，或V、U兩點(diǎn)，或U、P兩點(diǎn),或Q、Ｕ兩點(diǎn)，則無論ACHＪ中取任一點(diǎn),與之組成三角形面積均滿足要求.若取P、V兩點(diǎn)，則矩形AＣHJ中必有一點(diǎn)異于C,取此點(diǎn)與P、V滿足要求.綜上可知,必有滿足要求的3點(diǎn)存在.例8平面上有限點(diǎn)集的集合S.其中每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是整數(shù)，是否可以把這個(gè)集合中的某些點(diǎn)染紅色，其余點(diǎn)染白色,使得與縱橫坐標(biāo)軸平行的每一條直線L上所包含的紅、白點(diǎn)的個(gè)數(shù)至多相差1個(gè)？分析本題不外以下三種結(jié)果:1?對(duì)于一切n∈Ｎ＊,均無法染成，此時(shí)要給出證明；2?對(duì)于一切n∈N＊，均可以染成，此時(shí)要給出一個(gè)染色的方法;3?對(duì)于某些ｎ∈N*,可以找到染色方法;而對(duì)于另一些ｎ∈N＊,則無法染成;此時(shí)要給出分類的標(biāo)準(zhǔn),并對(duì)無法染成的給出證明,對(duì)可以染成的給出染色方法．為了證明本題，可以先看最簡(jiǎn)單的情況,n=1，2，3等，于是可以考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明本題。證明用數(shù)學(xué)歸納法證明:若n=１，則可以將此點(diǎn)任意染成紅色或白色.若n=2,則可把這兩個(gè)點(diǎn)一個(gè)染紅一個(gè)染白.即ｎ=1，2時(shí)命題成立．設(shè)當(dāng)n＝ｋ（k∈Ｎ＊）時(shí)都有滿足上述要求的染法,當(dāng)ｎ＝k+1時(shí)，①若某一條縱線（或橫線)上有奇數(shù)個(gè)點(diǎn),則將此直線上的點(diǎn)去掉１個(gè),此時(shí)，共余下k個(gè)點(diǎn)，可以有滿足上述要求的染法．由于去掉一個(gè)點(diǎn)后，這條直線上有偶數(shù)個(gè)點(diǎn)，故這條線上的其余點(diǎn)染成紅白各半,而該點(diǎn)所在橫線上的紅白點(diǎn)或相等或相差１個(gè)，如果相等,則可把這點(diǎn)任意染色,如果紅白相差1個(gè)，則染成較少個(gè)數(shù)的顏色,于是有滿足要求的染法。②如果任一條橫線與縱線上都有偶數(shù)個(gè)點(diǎn),不妨在某條橫線l１與縱線m1相交處的點(diǎn)被去掉，對(duì)于余下的這k個(gè)點(diǎn)，由歸納假設(shè)知必有合要求的染色方法，此時(shí)去掉點(diǎn)所在橫線l1與縱線m１上都有奇數(shù)個(gè)點(diǎn),必為某色多1，現(xiàn)只要說明,這兩條線上是同色點(diǎn)多1即可.設(shè)ｌ1上紅點(diǎn)多1，先不看l1，統(tǒng)計(jì)其余橫線上的紅白點(diǎn)數(shù)，由于其余橫線上都是偶數(shù)個(gè)點(diǎn)，因此，都染成紅白各半，所以這k個(gè)點(diǎn)染色時(shí)，紅點(diǎn)總數(shù)應(yīng)多1個(gè)。再不看m1，統(tǒng)計(jì)其余縱線上的紅白點(diǎn)數(shù)，由于其余縱線上也全為偶數(shù)個(gè)點(diǎn),故也是紅白各半,但由于紅點(diǎn)總數(shù)多1個(gè),故m1上點(diǎn)必染成紅點(diǎn)多1個(gè)．于是可以把去掉的點(diǎn)補(bǔ)回,并染白，就得到了滿足要求的染色法．根據(jù)數(shù)學(xué)歸納原理知,對(duì)于任何ｎ∈N*，均有符合要求的染色法．情景再現(xiàn)７.設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)為正整數(shù)l,ｍ，ｎ，且l≤ｍ≤ｎ.⑴當(dāng)n=9時(shí),有多少個(gè)這樣的三角形？⑵對(duì)于一般的n的值，有多少個(gè)這樣的三角形？8．給定一個(gè)正4５邊形，在它的每個(gè)頂點(diǎn)上標(biāo)上０，1，2，…，9這十個(gè)數(shù)字中的一個(gè)．另一方面，由這10個(gè)數(shù)字中的不同的數(shù)字組成了任意的數(shù)對(duì),問能否找到這樣的一種標(biāo)數(shù)法,使得對(duì)于每一個(gè)數(shù)對(duì)都有一條邊與之對(duì)應(yīng),且這條邊兩端標(biāo)的數(shù)字就是這個(gè)數(shù)對(duì)。習(xí)題4０1．一個(gè)平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)是格點(diǎn)，則其第四個(gè)頂點(diǎn)也是格點(diǎn)．2．若有一個(gè)無限大的棋盤及一匹１×n的“超級(jí)馬"（即一步從某個(gè)1×ｎ格點(diǎn)長(zhǎng)方形的一個(gè)頂點(diǎn)跳到與之相對(duì)的頂點(diǎn),中國(guó)象棋的“馬”是1×2馬),問n應(yīng)該滿足什么條件,才能使它從某個(gè)格點(diǎn)跳到任一格點(diǎn)．3．在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)都是有理數(shù)的點(diǎn)稱為有理點(diǎn)，若α為無理數(shù),則過(α，０）的所有直線中，有且只有1條直線至少通過兩個(gè)有理點(diǎn)。4．各邊的長(zhǎng)都為整數(shù)的三角形,其三邊的和為5０,這樣的三角形有多少種？5．對(duì)任意正整數(shù)n，連結(jié)原點(diǎn)O與點(diǎn)An（n，ｎ+３)，用f(n)表示線段OAn上的整點(diǎn)個(gè)數(shù)（不計(jì)端點(diǎn))，試求ｆ(1）+ｆ(2)+…+f（1990）．(1990年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，原題是填空題）6．給定一個(gè)n×n的格點(diǎn)陣，以此陣中的格點(diǎn)為頂點(diǎn)的格點(diǎn)正方形有多少個(gè)？７。若每邊長(zhǎng)均為整數(shù)，三邊不等且最大邊長(zhǎng)為n的三角形共有6００個(gè),求n．8.設(shè)n>0,給定平面區(qū)域Ｐ＝｛(x，y)|x>0，y〉０,且xy≤n｝．求證：P內(nèi)格點(diǎn)的個(gè)數(shù)S=2eｑ\o（\s＼do20（x∈N＊），\ｓ＼do１2（0〈x<\r（ｎ）），∑）ｅｑ＼ｂ\bｃ＼[(\ｆ(n，x))－eq\b＼ｂc\[（\r(n))2。9.設(shè)有一條平面閉折線Ａ1Ａ2…AnA1,它的所有頂點(diǎn)都是格點(diǎn)(即縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn))，且｜Ａ１A2｜=｜A2A３｜=…=｜An—1Aｎ｜=|AnＡ1｜.證明：ｎ為偶數(shù)．(198６年第1屆國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)訓(xùn)練題）10。某次共有１8名學(xué)生參加選舉,每人投1票，投給2名侯選人中的１人，投票完畢后，由1名學(xué)生逐張開票，１名學(xué)生記錄開票的結(jié)果．若最后侯選人甲得到１１張票．問在開票過程中，甲得票數(shù)始終不少于乙的開票方法有多少種？１1．把邊長(zhǎng)為1的正三角形ABＣ的各邊分為n等分，過各分點(diǎn)作平行于其他兩邊的平行線，將這個(gè)三角形分成小正三角形，各小三角形的頂點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn),在每個(gè)結(jié)點(diǎn)上放置一個(gè)實(shí)數(shù)，已知：⑴A、Ｂ、C上放置的數(shù)分別為a、b、c（a、b、ｃ不全相等），⑵在每個(gè)有公共邊界的兩個(gè)最小三角形組成的菱形中,兩組相對(duì)頂點(diǎn)上放置的數(shù)的和相等。試求:⑴放置最大數(shù)與放置最小數(shù)的點(diǎn)之間的最短距離ｒ；⑵所有結(jié)點(diǎn)上放置的數(shù)的總和S．（第二屆國(guó)家冬令營(yíng))12。試求格點(diǎn)凸32邊形周長(zhǎng)的最小值.?本節(jié)“情景再現(xiàn)"解答：1．證明若正方形的面積〉2，則其邊長(zhǎng)＞eq\r（2）,其內(nèi)切圓的直徑＞eｑ\f(＼r(2)，２)．而此內(nèi)切圓的邊與坐標(biāo)軸平行的內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)〉1,于是，由定理2，此正方形內(nèi)部至少有一個(gè)格點(diǎn)。矛盾.2。解內(nèi)部恰有一個(gè)格點(diǎn)的正方形邊長(zhǎng)=2，３.解：⑴圖中用粗線標(biāo)出了一種走法．顯然，長(zhǎng)一種滿足要求的走法都包含了n段短橫線與m段短豎線．故可以考慮給出ｎ+ｍ個(gè)位置，在這些位置中選擇n個(gè)位置給“橫”，其余m個(gè)位置給“豎”.于是所求的走法數(shù)為Ceq＼a（n，n+ｍ)。⑵從（0，0）到（p,ｑ）有Ceq\a(p,p＋ｑ)種走法，從（p,ｑ+１)到(n，m）有Cｅｑ＼a(n-p,ｎ＋m—p－q－1）種方法；∴共有Ceq\a（n,n＋m)－Ceq\a(p，ｐ＋ｑ)·Ceq\a（n－p,ｎ+m－ｐ－q－1）種方法．4.解把每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的和記在此格點(diǎn)旁,凡記數(shù)被4除余0、余２的點(diǎn)染紅，被４除余1的點(diǎn)染白，被4除余3的點(diǎn)染黑．此時(shí)每條格線上都有三種顏色的點(diǎn)．設(shè)取了白點(diǎn)A(４ｋ+r，4k+１－r)，5．解把棋盤的格點(diǎn)染成紅藍(lán)兩色：相鄰的點(diǎn)染色都不同,如圖中畫圈的點(diǎn)染紅,未畫圈的點(diǎn)染藍(lán)。則馬只能從某色點(diǎn)跳到不同色的點(diǎn).圖中共有２3個(gè)紅點(diǎn)，22個(gè)藍(lán)點(diǎn).故若馬從藍(lán)點(diǎn)出發(fā)，跳遍棋盤,若最后跳到藍(lán)點(diǎn)，則跳過的藍(lán)點(diǎn)應(yīng)比紅點(diǎn)數(shù)多1個(gè),若最后跳到紅點(diǎn),則紅點(diǎn)與藍(lán)點(diǎn)個(gè)數(shù)相等，但圖中紅點(diǎn)多1個(gè),故不存在這種跳法．6．證明設(shè)向上走x步，向右走y步,向斜左下走z步，共經(jīng)過m(ｍ＝n2)個(gè)格點(diǎn)（包括Ａ、B）,則若能走,可得ｘ=ｚ,ｙ＝z+1，x+y+z＝ｍ-1，即3z=m－2,故n2=3z+２≡２(moｄ3），但平方數(shù)被3除的余數(shù)不可能為2．故證。7。⑴解取x=l,y=m，則有ｘ≤y≤９，ｘ+y〉9．這可用直角坐標(biāo)系內(nèi)的區(qū)域表示：即直線ｘ+y=9，y=x，ｙ＝９這三條直線圍成的三角形的內(nèi)部及部分邊界上的整點(diǎn)數(shù)即為解數(shù)．現(xiàn)考慮由x=0,x＝９，y＝０,y＝9這四條直線圍成的正方形，其內(nèi)部及邊界上共有１０×10=100個(gè)格點(diǎn)．直線y＝x上在正方形內(nèi)部的格點(diǎn)有一半滿足要求，直線x+ｙ=９上的點(diǎn)不滿足要求，這兩條直線的交點(diǎn)不是格點(diǎn).直線ｙ=９上有點(diǎn)(1,9)，（2，9)，…，（９,９)滿足要求.故這１00個(gè)格點(diǎn)中恰有ｅｑ\ｆ（1,４）滿足要求。∴共有２5個(gè)滿足條件的三角形．⑵解:對(duì)于一般的n值,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),三角形數(shù)=eq\f(１,４)（n＋１）2。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)三角形數(shù)由于y=x與ｘ＋ｙ=n的交點(diǎn)是格點(diǎn)，故三角形數(shù)＝eq\f（1，4）（（n+1）2－1）．總之，對(duì)于一切ｎ,三角形數(shù)＝［ｅq＼f（1,４）（ｎ+1）2］。8.解先考慮數(shù)０，它可以組成9個(gè)數(shù)對(duì)(0,１）,（0,2),(0，3)，…,(０，9)。如果這9個(gè)數(shù)對(duì)都要出現(xiàn)，則由于一個(gè)頂點(diǎn)只連了兩條邊,故0至少要在5個(gè)頂點(diǎn)上標(biāo)記才有可能．同理,1、２、3、……，9都至少要在5個(gè)頂點(diǎn)標(biāo)記才行,這樣這個(gè)多邊形至少要有5０個(gè)頂點(diǎn)。故這個(gè)正45邊形不可能出現(xiàn)滿足要求的標(biāo)記法．“習(xí)題40"解答：1．解：由于平行四邊形對(duì)角線互相平分，故設(shè)其頂點(diǎn)坐標(biāo)依次為（ｘｉ，yi),(i＝1,2,3,４），且(x１,y1）、(ｘ２，y2）、(ｘ3,y3）為格點(diǎn)，則x4＝ｘ1+x3—x2,y4＝y(tǒng)１+y3—y2，故（ｘ４，ｙ4）也是格點(diǎn)．2.解把此棋盤按上題的方法染色,當(dāng)ｎ為奇數(shù)時(shí)，馬只能從某色點(diǎn)跳到同色點(diǎn)而不能跳到異色點(diǎn)，故當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),不可能．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),只要說明馬能從一點(diǎn)跳到其相鄰的點(diǎn)即可,如圖，馬從（０,0）先跳到（1,ｎ），再跳到(n+1，n—1）,(1，ｎ—2），…，(1，０)．即跳到相鄰的點(diǎn)．于是可以跳到任意一點(diǎn)(圖中畫的是一個(gè)1×4“超級(jí)馬”).3.證明經(jīng)過(α，０）的與x軸垂直的直線l可寫為x=α，此直線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于α，故都不是有理點(diǎn).經(jīng)過（α,0)的且不與x軸垂直的直線ｌ可寫為y=k（x—α）。設(shè)l經(jīng)過兩個(gè)有理點(diǎn)（m，n），（h,g）。（m，n，h，g都是有理數(shù),m≠h）,則n＝ｋ(m－α)，ｇ=k(h—α),n－ｇ=k(m—h）,由知ｍ≠h，且k=eq＼f(ｎ－ｇ，ｍ－ｈ）為有理數(shù)。若ｎ－g≠0，則ｋ≠0.此時(shí)，由m—α為無理數(shù)，故k（ｍ－α)為無理數(shù)。與n為有理數(shù)矛盾。故n-g＝0，此時(shí)直線為ｙ=０，經(jīng)過無窮多個(gè)有理點(diǎn)．即經(jīng)過(α,0)的直線有且只有一條經(jīng)過至少兩個(gè)有理點(diǎn).4．解:設(shè)三邊長(zhǎng)分別為x、y、z，由于對(duì)稱性，可設(shè)x≤y≤z，可得x+ｙ+z＝5０z=50—ｘ—ｙ；故有y≥x,①x+y＞z即x+y＞25，②y≤zx+２ｙ≤5０,③問題即是滿足條件①②③的整數(shù)解有多少組?問題轉(zhuǎn)化為求由條件①②③確定的平面區(qū)域中整點(diǎn)的個(gè)數(shù)．易于計(jì)數(shù)得解為52種．５．解線段OAｎ的方程為y＝eq＼f（ｎ+3，n)ｘ（0≤ｘ≤ｎ)，故f（n）等于該線段內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)．若n=3ｋ（k∈N＊），則得y=eq\f(k+1,k）x（0≤x≤ｎ)(ｋ∈N＊)，其內(nèi)有兩個(gè)整點(diǎn)（k，k+1),(2k，2k+2），此時(shí)f(n）＝2;若n＝3k±１（k∈N＊），則由于n與ｎ+3互質(zhì)，故OＡn內(nèi)沒有格點(diǎn)，此時(shí)f(n）=0.∴ｆ（1）+f（２）+…+f(199０)=２[eq\f（1990,3）]=1３26。6。解把這些正方形分為兩類:①邊與格線平行的正方形;②邊不與格線平行的正方形．①邊與格線平行的正方形:邊長(zhǎng)為k的這類正方形有（n－ｋ）２個(gè)；②邊不與格線平行的正方形：它們都是前一種正方形的內(nèi)接正方形：每個(gè)邊長(zhǎng)為k的第一類正方形，其一條邊內(nèi)都有k-1個(gè)格點(diǎn)，每個(gè)這種格點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)內(nèi)接正方形，從而都有k－1個(gè)內(nèi)接的正方形.所以,共有格點(diǎn)正方形的總數(shù)S=ｅq＼o(k＝1,\s\up7（∑），\s＼ｕp1８（n—1)）ｋ(n-k）2=n2ｅq\o(ｋ＝１，\s＼up7（∑),\ｓ\up18（n－1）)ｋ—２ｎｅｑ\o(k=1,\s\up7（∑）,＼s\up１8（n—1)）ｋ2＋eq\o（ｋ=1,\ｓ\up7(∑），\ｓ\ｕp18（n－１))k3＝ｎ２eｑ\f(1，２）n(n-１）－2ｎeq\f(1,6）（ｎ－1）n（2ｎ—1）+ｅｑ\f（1,4）n2（n-1）２=eｑ\f(1，12)n2(ｎ－1)[6n－４(2ｎ-１）+3（n—1)］=eq\f（1,12)ｎ2（n２-1）。7．解設(shè)三邊長(zhǎng)為ｘ,ｙ，n，且x〈ｙ〈n,則有x+y>n，本題可以理解為滿足y<ｎ，y〉x，x+y〉ｎ的區(qū)域中恰有60０個(gè)整點(diǎn).故在坐標(biāo)系內(nèi)作直線y＝ｘ，x+y=ｎ，y=ｎ,由這三條直線圍成的三角形ＰＢC即為所求區(qū)域．正方形內(nèi)共有（n—1）2個(gè)格點(diǎn),線段AC、OB內(nèi)各有n－1個(gè)格點(diǎn)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),P不是格點(diǎn)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),P是格點(diǎn)．由對(duì)稱性,ΔPAB、ΔＰBC、ΔPCO、ΔＰOA內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)相等.故(n－1)2－2（n－１)＋k=600×4．(n為偶數(shù)時(shí)k＝１，n為奇數(shù)時(shí)，k＝0）∴n2—４ｎ+3=2４0０－k.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),（n-2）２=2４01=49２，解為n=５1。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，(n－２)２=2４0０,無整數(shù)解．∴n=51。8。解本題即，當(dāng)0<x＜eｑ\r（ｎ)，x∈N*時(shí)，［eｑ＼f(n，k)］可以表示直線ｘ=ｋ（0＜k〈eq＼r（n))上滿足０<y〈eq\ｆ(n，ｋ）的格點(diǎn)數(shù),eq＼o（\s＼dｏ20（x∈N＊)，＼s＼dｏ１2(０<x<\r(n)），∑)eq\b\ｂc\［（\f(n，x))表示直線x〉0，ｘ≤eｑ\r（n）及ｙ>０,y≤eｑ＼f（n，ｘ）表示的區(qū)域內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)。由對(duì)稱性，也表示x>0,x≤eq＼f(ｎ,y)及y>0，y≤ｅq\r（n)表示的區(qū)域內(nèi)的格點(diǎn)數(shù),此二區(qū)域的并集即區(qū)域Ｐ,但其中由x=0,y=0,x=eq\r(n）,ｙ＝eq\r（ｎ）圍成的正方形區(qū)域內(nèi)的格點(diǎn)被計(jì)算了兩次，從而應(yīng)該減去其中的格點(diǎn)數(shù)一次.故得證。９．證明令Ａi(ｘi,yi)（i=1,2，…，ｎ,xi,yi∈Z)，則(x2－ｘ1)2＋(y2－ｙ1)2=（ｘ３－x2)２+（ｙ３—y２)２=…=(xn-xｎ－１）２+(yn－yn－1）2＝(x1－xｎ）2+（y1－yn）2．令αi＝ｘi＋1-xi，βi=yi+1—yi,αi2+βｉ2=M（i=1,2,…，ｎ，ｘn＋1＝x1，yn＋1=y1），則α1+α２＋…+αn＝0，β１+β2+…+βn＝0，若αｉ、βi全為偶數(shù)，則可在上面三式中約去2的最低次冪，因此可以假定αi、βi中至少有一個(gè)為奇數(shù)．由于奇數(shù)的平方mod4后余1，故M≡1或2(mｏd４）.①若Ｍ≡1（moｄ4)，則每對(duì)αi、βi中都必有一