解直角三角形的應(yīng)用2

第三課時解直角三角形的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)：1.理解直角三角形的概念及錐度、仰角和俯角、坡度和坡角、方向角和方位角的概念，靈活運用直角三角形中邊與角的關(guān)系和勾股定理解直角三角形，提高把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題的能力；2.利用銳角三角函數(shù)和直角三角形，體會數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的重要數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用。教學(xué)重點:靈活運用直角三角形中邊與角的關(guān)系和勾股定理解直角三角形，提高把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題的能力；教學(xué)難點:體會數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的重要數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用。教學(xué)過程知識梳理1、仰角、俯角的概念：在測量時，視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫仰角，在水平線下方的叫俯角。2.坡度(坡比)、坡角的概念：通常把坡面的鉛直高度h與水平寬度l的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i來表示，即.這里，α是坡面與水平面的夾角，這個角叫坡角。自學(xué)檢測1、如圖，ΔABC中，∠C=90°，D為AC邊上的一點，AD=9cm，cos∠A=12/13，tan∠BDC=，則BC的長是。2、等腰梯形腰長20cm，底角正切為4/3，下底長為27cm，則梯形的面積是。3、如圖，在四邊形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的長。4、如圖，某同學(xué)在30米高的建筑物的頂部A，測得對面另一建筑物的頂部D點的俯角α為30°，測得底部C點的俯角β為45°，求另一建筑物CD的高度。5、在RtΔABC中，∠C=90°，b=8，∠A的平分線AD=，求∠B及a、c的值。6、如圖，某學(xué)生站在公園的湖邊M處，測得湖心亭A位于北偏東30°方向上，又測得游船碼頭B位于南偏東60°方向上，現(xiàn)有一艘游船從湖心亭A處沿正南方向航行返回游船碼頭，已知M處與AB的距離為千米，求湖心亭與2游船碼頭間的距離。（精確到千米)一展身手1.如圖，廣場上空飄著一只汽球P，A、B是地面上相距90米的兩點，它們分別在汽球的正西和正東，測得仰角∠PAB＝45°，仰角∠PBA=30°，求汽球P的高度（精確到0.1米，）分析：本例中，ΔABC是斜三角形，故不能直接求解，題目給的信息中有點P的高度，引導(dǎo)我們作AB邊上的高PC，從而得到Rt△PAC和Rt△PBC，這種化斜三角形為直角三角形的方法是常用的方法。解：作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，∵∠PAB＝45°，∴AC=PC·cot∠PAB=PC,又在Rt△PBA中，∵∠PBA=30°，∴BC=PC·cot∠PBA=PC,∴PC+PC=BC=90，∴PC=.答：汽球P的高度是米。2.一水壩的橫斷面為梯形ABCD，迎水坡i=1∶2，背水坡AD的坡角∠A=60°，壩頂寬CD=4m，高DE=6m，求斜坡BC、AD及壩底AB長。解：作CF⊥AB于F，則四邊形DEFC是矩形，∴EF=CD=4，CF=DE=6，∵在Rt△BCF中，，∴BF=2CF=12，∴?！咴赗t△AED中，AE=DE÷tan60°=6÷tan60°=2，AD==4.∴AB=AE+EF+BF=2+4+12=16+2.答：斜坡BC長6m,AD長4m，壩底AB長(16+2)m.評：解直角三角形的知識在實際生活中應(yīng)用非常廣泛，是考查聯(lián)系實際能力的常見問題。要解決這類問題，首先要找它的數(shù)學(xué)模型，然后，再把它化歸為角直角三角形來解決。當(dāng)圖形是梯形時，通常是作高構(gòu)造直角三角形，再根據(jù)解直角三角形的知識求出問題的解，另外還要理解坡度的含義。3、如圖，某船向正東航行，在A處望見某島C在北偏東60°，前進(jìn)6海里到B點，測得該島在北偏東30°，已知在該島周圍6海里內(nèi)有暗礁，問若船繼續(xù)向東航行，有無觸礁的危險？請說明理由。解：要考察船從B處繼續(xù)向東航行，有無觸礁的危險，關(guān)鍵是看AB是否通過以島C為圓心，6海里長為半徑的暗礁區(qū)域內(nèi)。4、如圖所示，一艘輪船以20海里/小時的速度由西向東航行，途中接到臺風(fēng)警報，臺風(fēng)中心正以40海里/小時的速度由南向北移動，距臺風(fēng)中心20海里的圓形區(qū)域（包括邊界）都屬臺風(fēng)區(qū)。當(dāng)輪船到A處ABD···GEABD···GEFC分析：（1）這一問我們應(yīng)考慮的是輪船繼續(xù)航行，臺風(fēng)中心也隨著向北移動，在這個過程中，輪船到臺風(fēng)中心的距離是否≤20海里，由于這個距離無法直接確定，我們假設(shè)輪船行駛到C處剛好到臺風(fēng)中心的距離等于20海里，這樣我們得到一個直角三角形，它的兩條直角邊是關(guān)于輪船行駛的時間的代數(shù)式，而斜邊等于20海里，由勾股定理，得到一個關(guān)于時間的方程，若它有實數(shù)根，則說明輪船會遇到臺風(fēng)，否則就不會遇到臺風(fēng)。（2）有第一問作基礎(chǔ)，在這一問中，我們知道了AD,臺風(fēng)到達(dá)D時，其中心到達(dá)F，則FD=20，在△AFD中，知道∠FAD=120°，通過將這個三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形，求得FB，就可知道臺風(fēng)到達(dá)F的時間，便可求輪船速度至少應(yīng)提高多少了。解：（1）設(shè)輪船在C處遇到臺風(fēng)，這時臺風(fēng)中心到達(dá)E處，所用的時間為x小時，則AE=100－40x，AC=20x，EC=20，由勾股定理得：AF2+AC2=EC2，即(100–40x)2+(40x)2=(20)2，解得：x=1或3（2）設(shè)臺風(fēng)到達(dá)D時臺風(fēng)中心到達(dá)F，則FD=20，作DG⊥AB于G，則DG=AD·sin60°=30，AG=30,∴，AF=36－30=6,∴BF=100－6=94，∴臺風(fēng)中心到達(dá)D的時間為94/40=(小時)，輪船從A到D速度至少應(yīng)為60/≈26(海里/小時)。答：輪船經(jīng)過1小時最初遇到臺風(fēng)；輪船速度至少應(yīng)提高6(海里/小時)評：本例是一個綜合性問題，它集直角三角形和方程于一體，在解題過程中要認(rèn)真審題，抓住問題提供的一切信息，分析圖形，利用直角三角形邊角關(guān)系，列出方程，從而解決問題。拓展延伸1.在東西方向的海岸線上有一長為1km的碼頭MN（如圖），在碼頭西端M的正西19．5km處有一觀察站A．某時刻測得一艘勻速直線航行的輪船位于A的北偏西30°,且與A相距40km的B處；經(jīng)過1小時20分鐘，又測得該輪船位于A的北偏東60°，且與A相距km的C處．（1）求該輪船航行的速度（保留精確結(jié)果）；（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否正好行至碼頭MN靠岸？請說明理由．2、如圖，河流的兩岸PQ，MN互相平行，河岸PQ上有一排小樹，已知相鄰兩樹之間的距離CD=50米，某人在河岸MN的A處測的∠DAN=35°，然后沿河岸走了120米到達(dá)B處，測的∠CBN=70°，求河流的寬度CE（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字）。（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈Sin70°≈，cos70°≈，tan70°≈）小結(jié)作業(yè)必做題1、小明沿著坡度為1:2的山坡向上走了1000m，則他升高了.2、如圖所示,小明在家里樓頂上的點A處，測量建在與小明家樓房同一水平線上相鄰的電梯樓的高，在點A處看電梯樓頂部點B處的仰角為60°，在點A處看這棟電梯樓底部點C處的俯角為45°，兩棟樓之間的距離為30m，則電梯樓的高BC為米ABCDE3、如圖所示,小明在家里樓頂上的點A處，測量建在與小明家樓房同一水平線上相鄰的電梯樓的高，在點A處看電梯樓頂部點B處的仰角為60°，在點A處看這棟電梯樓底部點C處的俯角為45°，兩棟樓之間的距離為30m，則電梯樓的高BC為米（精確到）.（參考數(shù)據(jù)：ABCDE4.如圖所示，小楊在廣場上的A處正面觀測一座樓房墻上的廣告屏幕，測得屏幕下端D處的仰角為30o，然后他正對大樓方向前進(jìn)5m到達(dá)B處，又測得該屏幕上端C處的仰角