向量組地線性相關(guān)與線性無關(guān)-向量組地線性無關(guān)

1/12 12t12t1122tt12tt (k)t這樣的表示是有好處的。12t12t1122tta12tt (k)tbt (k)t12t12t12t12s12t12s12t12s12t12s2/12 12r12s12tjkjkijijj=1a=xsxb=xsxxtyc=xt(xsyx)c，i=1,2,...,rijijjikjkkjjik12t12t1122tt12t12t按照線性表示的矩陣記法，a,a,...,a線性相關(guān)即齊次線性方程組12t (k)t2t12t3/12 t (k)t12n12n12n12n121212k零，不妨假設(shè)k士0，如此a=一2b，故a,b平行，即對應(yīng)分量成比例。如果a,b1k13x)|312tt12t4/12 12t12s12tk12t1122tt1122tt12s12t12t12s后一個結(jié)論是前一個結(jié)論的逆否命題，因此也正確。的新向量組仍然線性無關(guān)。設(shè)a,a,...,a=Rn為一組線性無關(guān)的向量。不妨假設(shè)新的元素都增加在向量12t(a)(a)(a)(ka+ka+...+ka)1122tt12t(4)向量組線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其中有一個向量可以由其余向量線性表示。Rn12t必要性假如a,a,...,a線性相關(guān)，如此存在一組不全為零的k數(shù),k,...,k，12t12t使得1122tt5/12 12tjka+...+ka+ka+...+kaa=11j1j1j+1j+1ttjkj充分性假如a,a,...,a中某個向量可以表示成其余向量的線性組合，假設(shè)12takakaka+...+kaj11j1j1j+1j+1tt也就是11j1j1jj+1j+1tt12t12t可由a,a,...,a線性表示，且表示方法唯一。12t1122ttt+1t+1t+11122tt12tka+ka+...+kab=1122ttk12t假設(shè)b=xa+xa+...+xa=ya+ya+...+ya，如此1122tt1122tt6/12 11222ttt12t1122tt1122tt因此，表示法唯一。1t性表示，如此表示法唯一。事實上，向量b可由線性無關(guān)向量組a,...,a線性表1t1t1t1t因此，假如有解，當(dāng)然解唯一，即表示法唯一。12t12s12t12s (x) (x)…………………….… (x)kk,...,k，如此12tx(k)1x(k)1x|||||||||||||kxkx1122tt12t12s2 (k) x (k) xtstt7/12 x)2t x)2tx||||xxxxx為一個s根t階矩陣，而t>x x ss2st (ss2stt (k)t12t1122tt12t12t(7)假如兩線性無關(guān)向量組a,a,...,a和b,b,...,b可以相互線性表示，如此12t12saaa12t12t2t12tPa,Pa,...,Pa線性表示。假如可以線性表示，表示的系數(shù)不變。t1122tt1122tt1122tt1122tt1122tt1122tt8/12 12tiii12riii12r12tiii12raa...,a為a,a,...,a的極大線性無關(guān)組。iii12t12r12ta,a,...,a為其極大線性無關(guān)組。按照定義，iii12r12tiiiiii12r12r12t12tiii12r個向量組都與其極大線性無關(guān)組等價。的，因此，由之前的性質(zhì)(7)，向量組的任意兩個極大線性無關(guān)組含有一樣【備注6】按照定義，向量組a,a,...,a線性無關(guān)，充分必要條件即其秩為t。12t12tiii12riii12t12r12t面，如果a,a,...,a線性無關(guān)，且iii12ra12tiii12t12r9/12 (0) ( (0) (0) (0)12s12s12ri12r12riii12r12r12t12ra12ri12r【備注9】設(shè)向量組a,a,...,a的秩為r，如此其極大線性無關(guān)向量組含有r個向12t量。反過來，其中任何r個線性無關(guān)向量所成的向量組也是a,a,...,a的一個極12t。秩稱為矩陣A的行秩。ij12nb)b)bn000) ||||||||(1)0(0)(1)0(0)1|||||||||||||||||||||||||||||||...0/12 )|)|)|等于A的秩。12tiii12k12t12t的極大線性無關(guān)組。iii12t12k如果k<r，如此a,a,...,a不是a,a,...,a的一個極大線性無關(guān)組，于是，iii12t12ka,a,...,a必有元素不能由其線性表示，設(shè)為a，由性質(zhì)(5)，向量組12tiiiii12kk+1iiii12t12kk+1組，無須再添加向量。aaaaiiii12t12kk+1于是，a,a,...,a必有元素不能由其線性表示，設(shè)為a，由性質(zhì)(5)，向量組12tik iiikikik同樣的過程