線性代數(shù)標準正交基

線性代數(shù)標準正交基第一頁，共二十一頁，2022年，8月28日設為Rn的一組基.n+1個n維向量線性相關.線性表示:線性無關,從而可由且表法唯一.稱為在基下的坐標.如為R3的一組基.在此基下的坐標為在此基下的坐標為第二頁，共二十一頁，2022年，8月28日為Rn的標準基,在基下的坐標為恰為α的分量.第三頁，共二十一頁，2022年，8月28日定義2.18實數(shù)稱為向量和的內(nèi)積.記為T.和的內(nèi)積為二、向量的內(nèi)積給定Rn中向量如T=第四頁，共二十一頁，2022年，8月28日兩個n維實向量的內(nèi)積說明1)2)只有維數(shù)相同的3)設則和的內(nèi)積為是一個實數(shù).兩個向量才有內(nèi)積.本書的向量均為列向量，故一般情況下，兩個向量的內(nèi)積記為T.第五頁，共二十一頁，2022年，8月28日和的內(nèi)積為第六頁，共二十一頁，2022年，8月28日內(nèi)積具有如下性質：T≥0,T=0（分配律）（交換律）第七頁，共二十一頁，2022年，8月28日第八頁，共二十一頁，2022年，8月28日三、向量的長度定義2.19非負實數(shù)稱為向量的長度,或向量的范數(shù),記為對Rn中向量第九頁，共二十一頁，2022年，8月28日在n維空間Rn中例都是單位向量.第十頁，共二十一頁，2022年，8月28日（k為實數(shù)）向量的長度具有以下性質：對任意向量和，有第十一頁，共二十一頁，2022年，8月28日對Rn中任意非零向量，事實上，用非零向量的長度得到一個稱為把向量單位化。單位向量,與同方向的如是單位向量.如去除向量,第十二頁，共二十一頁，2022年，8月28日定義2.20四、正交向量組T=0,則稱與正交如果設與正交第十三頁，共二十一頁，2022年，8月28日在n維空間Rn中Rn中的單位向量組稱為Rn中的時,一般地,兩兩正交.1,2,…,n正交單位向量組.第十四頁，共二十一頁，2022年，8月28日定義2.21則稱向量組1,2,…,s如是R3中的正交向量組.注意：兩兩正交,為正交向量組.每個向量正交向量組中，如果Rn中的非零向量組即正交單位向量組.如果一個正交向量組中，每個向量都是單位向量,則該向量組稱為是正交單位向量組.都不是零向量。第十五頁，共二十一頁，2022年，8月28日定理2.15證一般地，線性無關.

Rn中是Rn中的正交向量組.線性無關.設時,設的正交向量組第十六頁，共二十一頁，2022年，8月28日定義2.22在Rn中,n個向量為Rn的一個標準正交基.如為Rn的標準正交基.又如為R3的一組基.滿足：中，任意兩個都正交；則稱但不是R3的標準正交基.第十七頁，共二十一頁，2022年，8月28日五、施密特正交化方法設向量組是正交向量組,且線性無關，令≌第十八頁，共二十一頁，2022年，8月28日定義2.23則稱Q為說明例都是實數(shù).（3）Q可逆，五、正交矩陣設n階實矩陣Q正交矩陣.正交矩陣單位矩陣E為正交矩陣即正交矩陣的元素n階矩陣Q是正交矩陣定理2.17及推論滿足必是實矩陣,由（2）（1）正交矩陣一定是方陣.第十九頁，共二十一頁，2022年，8月28日正交矩陣具有下列性質：若Q是正交矩陣，證若Q為正交矩陣,若P，Q都是證則Q的行列式的值則Q可逆,則PQ也是正交矩陣.∴PQ是正交矩陣。也是正交矩陣.且證等于1或－1n階正交矩陣，第二十頁，共二十一頁，2022年，8月28日定理是單位正交向量組.是單位正交向量