備戰(zhàn)2023年上海高考黃金30題系列之?dāng)?shù)學(xué)填空題壓軸題專題1 函數(shù)（含詳解）

專題1函數(shù)

1.(2022?上海市大同中學(xué)高三開學(xué)考試)已函數(shù)小)+2=7^而當(dāng)xw(0,l]時(shí),

f(x)=x2,若在區(qū)間(-1,1］內(nèi)，g(x)=/(x)—(x+l)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范

圍是.

2.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知了(吁腕2“2-X-2,若口’產(chǎn)，且方程

2c,八-1<Z?<1

"(x)]2-4(x)+0=0有5個(gè)不同根，則"

的取值范圍為

3.(2022?上海?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,滿足/(x+l)=2〃x),且當(dāng)

xw(O,l］時(shí)，〃x)=x(x-l)，若對任意,都有/(x)>-j,則，”的最大值是.

4.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知二次函數(shù)/(x)=2019M+bx+c(a>0),若存在x°eZ,

滿足"(%)區(qū)短，則稱％為函數(shù)/(x)的一個(gè)"近似整零點(diǎn)"，若f(x)有四個(gè)不同的“近似整

零點(diǎn)”，則”的取值范圍是

5.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃力=1嗚(3'+1)+；。加為偶函數(shù)，

1乙

g(x)=2'+歲為奇函數(shù)，其中〃、b為常數(shù)，則

(〃+。)+(/+從)+(/+63)+…+(400+〃00)=

6.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知點(diǎn)P、Q分別為函數(shù)/*)=%2+1依20)和81)=，1萬圖

像上的點(diǎn)，則點(diǎn)P和Q兩點(diǎn)距離的最小值為.

7.(2022?上海?高三專題練習(xí))我們把一系列向量1(i=l,2,按次序排成一列，稱之為向

量列，記作｛1｝,已知向量列｛「｝滿足

4=(i,i),a?=(x?,y“)=g(X“T一y,i，x,i+)(〃*2),設(shè)必表示向量可與晶的夾角，若

"=J4對任意正整數(shù)〃，不等式任+任+…+后>log?(l-2a)恒成立，則實(shí)數(shù)?的

取值范圍是

8.(2022?上海?高三專題練習(xí))設(shè)二次函數(shù)/(同=(26+1)￡+我一加一2,且〃)

在［2,3］上至少有一個(gè)零點(diǎn)，則/+〃2的最小值為.

9.(2022?上海?高三專題練習(xí))設(shè)尸(x)為f(x)=?.cosx+*,xe［0,句的反函數(shù)，則

y=/(x)+f-'(x)的最大值為.

10.(2022?上海?高三專題練習(xí))定義域?yàn)榧希?,2,3,…,12｝上的函數(shù)f(x)滿足：①/(1)=1；

②|f(x+l)-f(x)|=l(x=l,2,…,11)；③〃1)、/(6)、/(12)成等比數(shù)列;這樣的不同函數(shù)”x)

的個(gè)數(shù)為________

11.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(力定義在R上的偶函數(shù)，在［0,M)是增函數(shù)，

且/(f+or+b)<f(2x2+4x+l)恒成立，則不等式/吟*>^-2的解集為.

12.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛《,｝滿足％=-2,且S“=；《,+〃(其中S“為數(shù)列｛〃,,｝

前〃項(xiàng)和)，/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(2—x)=/(x),則/(%)=.

13.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知y=/(x)是奇函數(shù)，定義域?yàn)椋?1』，當(dāng)x>0時(shí)，

f(x)=(￡|-/-1(a>0,ae。)，當(dāng)函數(shù)g(x)=/(x)T有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，則實(shí)數(shù)f的取

值范圍是.

14.(2022?上海,高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x+J,給出下列命題：①存在實(shí)數(shù)a,

使得函數(shù)>=/(x)+/(x-a)為奇函數(shù)；②時(shí)任意實(shí)數(shù)。，均存在實(shí)數(shù)機(jī)，使得函數(shù)

g(x)=/(x)+〃x-a)關(guān)于x=m對稱;③若對任意非零實(shí)數(shù)+都成立，

則實(shí)數(shù)Z的取值范圍為(9,4］；④存在實(shí)數(shù)火，使得函數(shù)y=/(x)+/(x-a)-%對任意非

零實(shí)數(shù)。均存在6個(gè)零點(diǎn).其中的真命題是.(寫出所有真命題的序號)

15.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知y=/(x)是奇函數(shù)，定義域?yàn)椋?15.當(dāng)x>0時(shí)，

/(x)=(￡|—x"-l(a>0,ae。)，當(dāng)函數(shù)g(x)=/(x)T有3個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)r的取值范圍

是.

［x-2,x<3

16.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知〃>0且awl,設(shè)函數(shù)/(x)=。,。的最大值

13+log〃x,x>3

為1,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

log1(1-x),-l<x<n

17.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=("(〃<血)的值域是［-1，21,

22~1v2,-2,n<x<m

當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

18.(2022?上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高三開學(xué)考試)已知aeR,函數(shù)

|x+a|+|x-2|,x>0

/(x)=,1八的最小值為%,則由滿足條件的。的值組成的集合是

廠一ar+—a+l,x<0

2

19.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(幻=<若/(x)在區(qū)

間。上的最大值存在，記該最大值為K｛。｝,則滿足等式K｛［0,a)｝=3-K｛&2a|｝的實(shí)數(shù)。

的取值集合是.

20.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知曲線C:個(gè)=2(14x42),若對于曲線C上的任意一點(diǎn)

P(x,y),都有(x+y+G)(x+y+C2)40,貝ijlq-c?|的最小值為.

21.(2022?上海,高三專題練習(xí))定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集的偶函數(shù)“X)滿足/(x+l)=〃x-l),xeR

恒成立，若當(dāng)xe［2,3］時(shí)，/(%)=%,給出如下四個(gè)結(jié)論：

①函數(shù)"X)的圖象關(guān)于直線x=T對稱；

②對任意實(shí)數(shù)。，關(guān)于x的方程/(力-卜-。|=0一定有解；

③若存在實(shí)數(shù)“，使得關(guān)于x的方程/(x)Tx-a|=0有一個(gè)根為2,則此方程所有根之和為

-20；

④若關(guān)于x的不等式/(力-k-4<0在區(qū)間［0,+?)上恒成立，貝IJa有最大值.

其中所有正確結(jié)論的編號是.

22.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知函數(shù)y=/(x)的定義域是［0,”)，滿足

2x0<x<1

f(x)=-x2-4x+51<X<3JHf(x+4)=f(x)+a,若存在實(shí)數(shù)k,使函數(shù)g(x)=/(x)+?在

-2x+83<x<4

區(qū)間［0,2021］上恰好有2021個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為—

23.(2022?上海,高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=|lgx|-米-2,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①若A=0,/(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)；

②存在負(fù)數(shù)&,使得f(x)恰有個(gè)1零點(diǎn)；

③存在負(fù)數(shù)腔使得八刈恰有個(gè)3零點(diǎn)；

④存在正數(shù)攵，使得/(x)恰有個(gè)3零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號是.

24.(2022?上海?高三專題練習(xí))設(shè)｛靖是集合忖-e'|0<r<s,且s,feN｝(其中e為自然對

數(shù)的底數(shù)）中所有的數(shù)從小到大排成的數(shù)列，若1g。2m<1。，則機(jī)的最大值為.

25.（2022?上海?高三專題練習(xí)）對于定義域?yàn)镈的函數(shù)f（x）,若存在不々e。且占二々，使

得f（X；）=/（引=2/a+乙），則稱函數(shù)Hx）具有性質(zhì)M,若函數(shù)g（X）=腿2x-l|,xe（O,a］

具有性質(zhì)M,則實(shí)數(shù)a的最小值為

26.（2022?上海市松江二中高三開學(xué)考試）已知函數(shù)〃x）=2',g（x）=log0x,若對于/（x）圖

像上的任意一點(diǎn)P,在g（x）的圖像上總存在一點(diǎn)2,滿足OP_L。。，且則實(shí)

數(shù)”.

27.（2022?上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)〃'）=如+、（/?>0,〃>0）的定義域?yàn)?/p>

（0,+8）,若x=l時(shí)，/（X）取得最小值，則降匚+與M的取值范圍是___________.

n+2加+2

28.（2022?上海市控江中學(xué)高三開學(xué)考試）已知/（此=2/+2犬+。是定義在［-1,0］上的函數(shù),

若/"（x）］40在定義域上恒成立，而且存在實(shí)數(shù).%滿足：/"（%）］=%且/（%）。/，則實(shí)數(shù)

方的取值范圍是

29.（2022?上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三開學(xué)考試）已知aNO,b>0,若

/（x）=b3+〃|—?dú)w了+留一力2有兩零點(diǎn)々、X］,且占+々<0,則藍(lán)的取值范圍是

30.（2022?上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三階段練習(xí)）已知/（月=以2+8乂+3,對于給定的負(fù)數(shù)。，有

一個(gè)最大的正數(shù)用（。），使得x?0，M（叫時(shí)，都有|〃力歸5,則何（a）的最大值為

專題1函數(shù)

1.(2022?上海市大同中學(xué)高三開學(xué)考試)已函數(shù)"、)+2=菽而當(dāng)xw(0,l］時(shí),

f(x)=x2,若在區(qū)間(-詞內(nèi)，g(x)=/(x)—(x+l)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范

圍是.

【答案】［o,l

【解析】

【分析】

由g(x)=f(x)-Kx+D=0得f(x)=f(x+1),分別求出函數(shù)/(x)的解析式以及兩個(gè)函數(shù)的圖

象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.

【詳解】

當(dāng)X￡(0,1］時(shí)，f(x)=X2,

I___2-2r

當(dāng)-15。，可得。f(x)+2=Ef(x)=77T

可知函數(shù)在上的解析式為f(x)=Jx+l'一

x2,0<%<1

山g(x)=/(x)-r(x+l)=0得f(x)=f(x+D,

可將函數(shù)/(x)在上的大致圖象呈現(xiàn)如圖：

根據(jù)y=f(x+D的幾何意義，

x軸位置和圖中直線位置為y=f(x+D表示直線的臨界位置,

當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)(1,1),可得r=g,

因此直線的斜率t的取值范圍是(0，

故答案為(0，；

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

||oar|—<r<9f—

2.(2022?上海,高三專題練習(xí))已知/*)=1I2一一，若~7",且方程

"(創(chuàng)2一叭%)+力=0有5個(gè)不同根,則12“4+"的取值范圍為.

75

【答案】。孚)

【解析】

【分析】

設(shè)r=/(x)，作出函數(shù)y=/(x)的圖象，由方程［/(X)了-硝x)+b=o有5個(gè)不同根轉(zhuǎn)化為

二次方程產(chǎn)一4f+〃=0的兩根0</1<1，&<0,并構(gòu)造函數(shù)g(7)=/一s+匕，轉(zhuǎn)化為二次函

?g⑼<0f-l<a<l

數(shù)的零點(diǎn)分布，得出］M>0,結(jié)合小可作出關(guān)于。、匕的不等式組，作出可行

\2a-b+]\

域,將視為可行域中的點(diǎn)(a,6)到直線勿-6+1=0的距離，結(jié)合圖象可得出答案.

【詳解】

作出函數(shù)y=〃x)的圖象如下圖所示:

設(shè)t=/(x)，則方程［〃切2-4(x)+匕=0有5個(gè)不同根轉(zhuǎn)化二次方程產(chǎn)-ar+h=0的兩根

0<r,<1,馬<0，

構(gòu)造函數(shù)g(E)=/-af+/,可得不等式,g(0)<0即b<0

g⑴>?！碶-a+b>01

1-1<iZ<l

結(jié)合*皿,作出圖形如下圖所示，不等式組*行表示的平面區(qū)域?yàn)檫呴L為2的

b<0

1—tz+Z7>0

正方形A8CQ,不等式組1I,八表示的區(qū)域?yàn)橄聢D中的陰影部分(不包括。軸),

-\<b<\

代數(shù)式色葺5視為可行域中的點(diǎn)(a,3到直線2a-8+1=0的距離,

當(dāng)點(diǎn)(a力)與點(diǎn)E(l,0)重合時(shí)，生詈11=也半,

|2?—/?+1|

結(jié)合圖形可知,~^r~的取值范圍是,故答案為

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，涉及二次函數(shù)零點(diǎn)分布、線性規(guī)劃以及點(diǎn)到直線的距離,

解題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)零點(diǎn)的分布，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,

屬于難題.

3.(2022?上海?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(力的定義域?yàn)镽,滿足〃x+l)=2〃x),且當(dāng)

7

xe(0,l］時(shí)，f(x)=x(x-l),若對任意xe(fo,，n|,都有八力2-,，則機(jī)的最大值是.

［答案］"二立

6

【解析】

【分析】

xe(O,l］時(shí)，/(0=》(％-1)最小值為-；,根據(jù)/(》+1)=2"》),從工€(0,1］往工軸負(fù)方向每

移動一個(gè)單位，最小值都是相鄰的g倍,同理從x€(0』往x軸正方向每移動一個(gè)單位,最小值

都是相鄰區(qū)間的2倍,xe(l,2］的最值為-；,x?2,3］的最值為-1,所以對任意XG(YO,/M］,

/(X)>-1時(shí)，機(jī)的最大值為xe(2,3］圖像與宜線y=-：左交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

【詳解】

xe(O,l］時(shí),/(x)=x(x-l)=(x-g)2-；,

最小值為-；,〃x+l)=2/(x),

x?T,O］時(shí)，X+1E(O,1］,

"a)=g/a+i)=*+i)x=；(x+g)V

最小值為-:，同理光￡(-2,-1］最小值為-白,匕

8Io

xw(l,2］的最小值為-；,x?2,3］的最值為-1,

2

所以對任意，都有了(X)2-1,

，”的最大值為xe(2,3］圖像與直線y=-；

左交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

xe(2,斗時(shí),x-2w(0,l］,

〃x)=2/(1)=4/(x—2)=4(x-2)(x—3)

2

令〃x)=4(x-2)(x-3)2-§,

噌或￥-43

解得2<x4

”二立時(shí)恒成立,

所以

63

2

即對任意XC(YO,間，都有/(x)2

則〃?的最大值是"二叵

6

故答案為"二更

6

【點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)的解析式和最值特征，考查函數(shù)的圖像,以及一元二次不等式的解法，可借

助函數(shù)圖像直觀性找到解題思路，屬于難題

4.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知二次函數(shù)/(x)=2019or2+bx+c(a>0),若存在％eZ,

滿足"(%)區(qū)，歷，則稱％為函數(shù)/(X)的一個(gè)"近似整零點(diǎn)"，若/(x)有四個(gè)不同的"近似整

零點(diǎn)”，則〃的取值范圍是

【答案】(°，壺］

【解析】

【分析】

設(shè)函數(shù)的四個(gè)"近似整零點(diǎn)"為見m+1,/77+2,〃,+3,再利用絕對值不等式和"(%)|<短，

求得。的取值范圍.

【詳解】

設(shè)函數(shù)的四個(gè)“近似整零點(diǎn)”為m,m+1,m+2,加+3,

所以4x2019a=/(m)++3)—fQn+1)-f(m+2)

/(/?)I+1f(m+3)|+|f(rn+1)|+14-2)|<4x^^

故答案為(°，盛】?

【點(diǎn)睛】

本題考查“近似整零點(diǎn)"的定義，求解的關(guān)鍵是讀懂新定義，且理解"近似整零點(diǎn)"只與圖象的

開口大小有關(guān)，且四個(gè)整零點(diǎn)之間的最小距離為3,此時(shí)。可取到最大值.

5.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=log[3*+l)+；而x為偶函數(shù)，

3Z

g(x)=2'+祟為奇函數(shù)，其中。、匕為常數(shù)，則

(〃+。)+儂+22)+,3+川)+…+@00+400)=

【答案】-1

【解析】

【分析】

由奇偶函數(shù)的定義列出關(guān)于。、8的方程組，求出它們的和與積的值，在轉(zhuǎn)化為對應(yīng)一元二

次方程的根,進(jìn)而求出復(fù)數(shù)4和6,再利用和與積的值和原=力=1求出a2+b2,a3+b3,a4+。

等，找出具有周期性T為3,再利用周期性求出式子的和.

【詳解】

解：?.?/*)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，

,J/(D=/(-D

"U(0)=0

即，岫+暝黑=-；"+log/',

1+。+b=0

二復(fù)數(shù)。、b是方程d+x+l=0的兩個(gè)根，

解得，a=-；+與i,6=-；-爭

.-.a3=^=l

已知la+b=-l,ab=l；則/+從=(“+力?-2ab=-1,a3+b3=2,

同理可求/+b*=-l,a5+bs=-1,a6+b6=2,歸納出有周期性且T=3,

(a+h)+(a2+b3)+...+(a'a>+hm)=99[(a+h)+(a2+h2)+(a}+h3)]+(a+b)=-}

故答案為：T.

【點(diǎn)睛】

本題考查了奇(偶)函數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的運(yùn)算，再求復(fù)數(shù)的值時(shí)用到轉(zhuǎn)化思想，求和式的值

時(shí)利用a3=b3=1找出每項(xiàng)的和的周期，利用周期性求所求和式的值.

6.(2022,上海?高三專題練習(xí))已知點(diǎn)P、Q分別為函數(shù)/(犬)=*2+1年0)和8(為=，1萬圖

像上的點(diǎn)，則點(diǎn)P和Q兩點(diǎn)距離的最小值為.

【答案】壬；

4

【解析】

【分析】

確定/*）=/+1（X20）和g（x）=Gf互為反函數(shù)，點(diǎn)P和Q兩點(diǎn)距離的最小值為點(diǎn)P到直

線距離最小值的兩倍，設(shè)尸（。,/+1）,計(jì)算點(diǎn)到直線的距離得到答案.

【詳解】

易知函數(shù)F（x）=x2+i（xzo）和g（x）=7T萬互為反函數(shù)，故函數(shù)關(guān)于y=x對稱

則點(diǎn)P和Q兩點(diǎn)距離的最小值為點(diǎn)P到直線y=x距離最小值的兩倍.

設(shè)尸（。方+1），〃」/+1一4_（"2）+4,當(dāng)°=:時(shí)

故點(diǎn)P和Q兩點(diǎn)距離的最小值為逑

4

故答案為：逑

4

【點(diǎn)睛】

本題考查了反函數(shù)，距離的最值，將兩點(diǎn)間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?上海?高三專題練習(xí)）我們把一系列向量1（i=l,2,…,〃）按次序排成一列，稱之為向

量歹U，記作｛a,｝,已知向量列｛1｝滿足1=（1，1），匚=（x.,y“）=g（x“_1-N2）,

設(shè)q,表示向量％與a,T的夾角，若或=24對任意正整數(shù)〃，不等式

7T

曲+后+…+J｛>log“（l-2a）恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是

【答案】（0，；）

【解析】

【分析】

由題意結(jié)合平面向量數(shù)量積可得cos%=也，即可得4=f（〃N2）,進(jìn)而可得勿=日（〃*2）,

n2474'/

利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【詳解】

由題意可得，當(dāng)〃22時(shí),

W除」+心?，(怎t-y,iY+(%i+%F2

.'.C,—2---H-----1--1-----,

（〃+2〃+32n+2）

??-c?+I-c?=2（--------|>0,

"（2〃+l2n+2）

，數(shù)列｛q｝單調(diào)遞增，且（C“）min=l，.-.logu（l-2?）<l=log??,

山1-勿>0可得a<一,0<a，1-2a>a解得a<一,

223

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（og）.

故答案為：（o,g］

8.（2022?上海■高三專題練習(xí)）設(shè)二次函數(shù)〃"=（2，??+1）》2+京一根-2,（R且相片-g）

在［2,3］上至少有一個(gè)零點(diǎn)，則疝+/的最小值為.

4

【答”

【解析】

【分析】

由/（力=（2加+1）X2+玄一“一2=。可得（2/-1）加+也+任-2）=0,即變換主元,視為關(guān)于

（?,?）的直線方程，則m2+〃2表示原點(diǎn)到點(diǎn)（加,〃）的距離的平方，最小值即為原點(diǎn)到直線

（2/一1）〃?+初+卜2-2）=。的距離的平方,進(jìn)而利用均值不等式求得力的最小值即可

【詳解】

由題，當(dāng)Xw［2,3］時(shí),/（X）=⑵〃+1）*2+玄—m_2=0有解，

則可設(shè)點(diǎn)（加>〃）在直線（2十—1）%+必+,2-2）=0上,

則川表示原點(diǎn)到點(diǎn)（相⑼的距離的平方，

/+〃2的最小值為原點(diǎn)到直線(2f-l)m+M+(x2-2)=0的距離的平方,

/-“+4_2_113X2-15

4JC4-3X2+1~4~4'4X4-3X2+1

令/=13/-15c[37,102],

11169

7心+出+中

484

因?yàn)?++81*2*88+81=257,當(dāng)且僅當(dāng)4f=亍，即f=11時(shí)等號成立,不符合題意,

所以當(dāng)f=37時(shí),47+十484最小,此時(shí)小取得最小值為—4,

4

則nr+rr的最小值為77，

_4

故答案為:六

53

【點(diǎn)睛】

本題考查由零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍，考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用,考查利用均值定理求最值,

考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力.

9.(2022?上海?高三專題練習(xí))設(shè)尸(x)為〃x)=：—(cosx+?,》?0,乃］的反函數(shù)，則

y=/(x)+/T(x)的最大值為.

【答案】"

【解析】

【分析】

由函數(shù)“X)是［0,可上的遞增函數(shù)，得到尸(X)的單調(diào)性相同，得出v=f(x)+尸(X)的定

jr

義域?yàn)?,萬，進(jìn)而可得y=〃x)+/'(x)的最大值，即可求解.

【詳解】

由題意，函數(shù)"x)vqcosx+?是［0,句上的單調(diào)遞增函數(shù)，

且廣(X)為/(x)=：-*cosx+?,xe［o,；r］的反函數(shù),

所以函數(shù)與廣(x)的單調(diào)性相同，

當(dāng)X=T時(shí)，函數(shù)“x)取得最大值“萬)=￡_7cos/r+/=1,

4oo2

TTTT

當(dāng)x=0時(shí)，/(0)=--cos0+--0,

OO

、［乙1rt_L/(冗、1兀n7T?TT7t

當(dāng)x=一時(shí),/(—)=—X-------COS——I——=——，

—272428284

所以函數(shù)＞=/(刈+尸(外的定義域?yàn)椋踥q］,且當(dāng)x=3時(shí)，尸&=萬，

所以y=〃x)+尸(x)的最大值為應(yīng))+廣(夕=?+T4，

故答案為：——.

4

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了反函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)的定義域與值域，著重考查分析問題和解答問題的

能力，屬于中檔試題.

10.(2022?上海?高三專題練習(xí))定義域?yàn)榧希?,2,3,…,12｝上的函數(shù)/(X)滿足：①/⑴=1；

②l/(x+l)-〃x)|=l(x=l,2,…,11)；③/⑴、八6)、f(12)成等比數(shù)列;這樣的不同函數(shù)/(x)

的個(gè)數(shù)為________

【答案】155

【解析】

【分析】

分析出f(x)的所有可能的取值，得到使/(x)中/(1)、f(6),f(12)成等比數(shù)列時(shí)對

應(yīng)的項(xiàng)，再運(yùn)用計(jì)數(shù)原理求出這樣的不同函數(shù)/(x)的個(gè)數(shù)即可.

【詳解】

解：經(jīng)分析，f(x)的取值的最大值為x,最小值為2-X,并且成以2為公差的等差數(shù)列，

故/(6)的取值為6,4,2,0,-2,-4.

f(12)的取值為12,10,8,6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10,

所以能使/(x)中的f(1)、/(6)、f(12)成等比數(shù)列時(shí)，/(1)、/(6)、f(12)的取值

只有兩種情況：

①/(1)=1、f(6)=2、f(12)=4；②f(1)=1、/(6)=-2、f(12)=4.

\f(x+1)-f(x)|=1(x=l,2,11),f(x+1)—f(x)+1,或者/(x+1)—f(x)

-1,即得到后項(xiàng)時(shí)，把前項(xiàng)加1或者把前項(xiàng)減L

(1)當(dāng)/(1)=1、/(6)=2、f(12)=4時(shí)；將要構(gòu)造滿足條件的等比數(shù)列分為兩步，

第一步：從/(I)變化到/(6),第二步：從/(6)變化的/(12).

從/(1)變化到/(6)時(shí)有5次變化，函數(shù)值從1變化到2,故應(yīng)從5次中選擇3步加1,

剩余的兩次減1.對應(yīng)的方法數(shù)為仁=10種.

從/(6)變化到/(12)時(shí)有6次變化，函數(shù)值從2變化到4,故應(yīng)從6次變化中選擇4次

增加1,剩余兩次減少1.對應(yīng)的方法數(shù)為C；=15種.

根據(jù)分步乘法原理，共有10X15=150種方法.

(2)當(dāng)/(I)=1、/(6)=-2、/(12)=4時(shí)，將要構(gòu)造滿足條件的等比數(shù)列分為兩步，

第一步：從/(1)變化到/(6),第二步：從/(6)變化的/(12).

從/(I)變化到/(6)時(shí)有5次變化，函數(shù)值從1變化到-2,故應(yīng)從5次中選擇1步加1,

剩余的4次減1.對應(yīng)的方法數(shù)為C；=5種.

從/(6)變化到/(12)時(shí)有6次變化，函數(shù)值從-2變化到4,故應(yīng)從6次變化中選擇6

次增加1,對應(yīng)的方法數(shù)為C；=1種.

根據(jù)分步乘法原理，共有5X1=5種方法.

綜上，滿足條件的/(X)共有：150+5=155種.

故填：155.

【點(diǎn)睛】

解決本題的難點(diǎn)在于發(fā)現(xiàn)f(x)的取值規(guī)律，并找到使/(1)、/(6)、/(12)成等比數(shù)列

所對應(yīng)的三項(xiàng).然后用計(jì)數(shù)原理計(jì)算種類.本題屬于難題.

11.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)定義在R上的偶函數(shù)，在［0,內(nèi))是增函數(shù),

且/任+奴+沖<f(2x2+4x+l)恒成立，則不等式一嗚&/Z-2的解集為.

【答案】{1}

【解析】

由題意可得出卜2+公+。卜|2/+4犬+1］,可知方程/+火+6=0與方程2/+4x+l=0同解,

可解得a=2,6=g,進(jìn)而由所求不等式得出f-2x+24sin長，再由

X2-2X+2=\

x2-2x+2=(x-l)*^+1>1,-l<sin—<1,可得出，，即可得出原不等式的解

sm——=1

2

集.

【詳解】

由于函數(shù)〃力定義在Rl二的偶函數(shù)，在［0,”)是增函數(shù)，

山+ax+b^<f(2x2+4x+l)nJ得川“2+辦+闿)(/(Rf+4x+l|j,

所以，|x2+ar+/?|<|2x2+4x+1|,

-2+V2-2-y/2

解方程2x2+4x+l=O可得用=,AS,—

2-2

令且(%)=冗2+辦+力，<0,

所以,是方程f+雙十力=o的兩根,

一。=%+/=-2a=2

由韋達(dá)定理可得，1解得，I.

b=—

sin：

由/嗚*>/*-2可得2r>2~*+2,所以，d-2x+24sin]■,

，7TX

因?yàn)閅—2x+2=(x-1)+121,-IKsin-^-Wl,

X2-2X+2=\

所以《,TCX?解-得X=l.

sin—=1

2

故答案為：｛1｝.

【點(diǎn)睛】

對于求值或求解函數(shù)不等式的問題，一般先利用函數(shù)的奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用

其單調(diào)性脫去函數(shù)的符號轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，若f(x)為偶函數(shù)，則

/(-x)=/(x)=/(|x|).

3

12.(2022?上海?高三專題練習(xí))己知數(shù)列｛/｝滿足弓=-2,且S”=〃(其中S“為數(shù)列｛att｝

前〃項(xiàng)和)，/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足/(2-無)=/(%),則.

【答案】0

【解析】

首先求出函數(shù)的周期性，再利用構(gòu)造法求出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，即可得到小⑼=1-3?⑼，

再根據(jù)：項(xiàng)式定理判斷32⑷被4除的余數(shù)，即可計(jì)算可得；

【詳

解：因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足/(2-x)=/(x)

所以f(-x)=/(x+2)=-"x),/(x+4)=-/(x+2)=/(x)

所以/(x)的最小正周期為4

又因?yàn)閿?shù)列他“｝滿足4=-2,且S“=〃①;

3

當(dāng)〃22時(shí)，s,i=5%+〃-i②;

33

①減②得勺=嚴(yán)-/i+l,所以4〃=34T-2,4-1=3(41-1)

所以也—1}以一3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以4-1=-3",即

所以%⑼=l-32°2i

又32021=(4-1)202,=42021+.■?+C^,.(-1).42020-1

所以3成被4除余3

所以八限)=/(1-32021)=-/(32021-1)=-/(-1-1)=/(2)=/(0)=0

故答案為：0

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的周期性的應(yīng)用，若存在非零常數(shù)T,若對定義域內(nèi)任意的x都有

f(x+T)=f(x),則7為函數(shù)的周期;

13.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知y=/(x)是奇函數(shù)，定義域?yàn)椴?』，當(dāng)x>0時(shí),

x"-l(a>0,aeQ),當(dāng)函數(shù)g(x)=/(x)T有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，則實(shí)數(shù)f的取

值范圍是.

【答案】卜，彳U{0}U；』)

【解析】

首先根據(jù)函數(shù)y=fxe(O,l］的單調(diào)性和端點(diǎn)值畫出函數(shù)的圖象，再根據(jù)函數(shù)的性

質(zhì)畫出函數(shù)>=/(x)的圖象，根據(jù)數(shù)形結(jié)合求，的取值范圍.

【詳解】

2x-l]

當(dāng)xe(O,l］時(shí)，易知函數(shù)y=|-丁單調(diào)遞減，且x->0時(shí)，y->2,X=1時(shí)，y=--

其大致圖象如下,

又函數(shù)，(x)是定義在上的奇函數(shù)，故函數(shù)/(X)的圖象如下,

要使函數(shù)g(x)=/(x)-f有3個(gè)零點(diǎn)，只需函數(shù)y=〃x)的圖象與直線y=f有且僅有3個(gè)交

點(diǎn)，

由圖象可知，1￡(一1,一；U{O}U

故答案為：U{o}upl].

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，一般可采用1.直接法：直接

求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍：(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，

轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系

中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解，此時(shí)需要根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)合理尋找"臨界"情況，特別注

意邊界值的取舍.

14.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=x+g,給出下列命題：①存在實(shí)數(shù)”，

使得函數(shù)y=/(x)+/(x-a)為奇函數(shù)；②對任意實(shí)數(shù)。，均存在實(shí)數(shù)機(jī)，使得函數(shù)

g(x)=f(x)+〃x-a)關(guān)于x=m對稱;③若對任意非零實(shí)數(shù)+都成立，

則實(shí)數(shù)火的取值范圍為(《,4]；④存在實(shí)數(shù)女，使得函數(shù)y=/(x)+/(x-a)-%對任意非

零實(shí)數(shù)〃均存在6個(gè)零點(diǎn).其中的真命題是.(寫出所有真命題的序號)

【答案】②③

【解析】

利用特殊值法可判斷①不正確；驗(yàn)證g3-x)=g(x),可判定②正確；利用基本不等式可

判定③正確;當(dāng)。>0時(shí),分析出函數(shù)g(x)在3+。)上現(xiàn)遞減再遞增,即8(力.=85),

44

可得出女>max{a+-,g(x())},利用A2a+一不恒成立，可判定④錯(cuò)誤，同理可得，當(dāng)a<0時(shí)，

aa

命題④也不成立，從而得到④為假命題.

【詳解】

由題意,令g(x)=f(x)+f(x-a),

函數(shù)的定義域?yàn)閧xIx*0}，則/(-%)=|r-—1=1x+[=/(x),

所以函數(shù)為偶函數(shù).

對于①，若”=0,則g(x)=2x+—,則g⑴=2=g(-l),此時(shí)函數(shù)g(x)不是奇函數(shù)；

若亦0,則函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閧用#0且…},g(])=2嗚)=專+()，

8(-彳)=不+—+?+丁>°，顯然g(_〉_g(「).

22a23a22

綜上所述，對任意的aeR,函數(shù)g(x)=〃x)+/(x-0都不是奇函數(shù)；

對于②，g(a-x)=/(a-x)+/(-x)=/(x-a)+/(x)=g(x),

所以，函數(shù)g(x)=/")+/(x-a)關(guān)于直線x對稱.

因此，對任意實(shí)數(shù)。，均存在實(shí)數(shù)機(jī)，使得函數(shù)g(x)=/(x)+〃x-a)關(guān)于x=m對稱，所以

②正確;

對于③，〃力=舊=兇+點(diǎn)22舊；=2,當(dāng)且僅當(dāng)工=±1時(shí)，等號成立，

/(x-a)=(x-a)+-^—=|%-?|+1—!—7>2J=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=a±[時(shí)，等號

X~ClX_62VX—

成立，

所以g(x)=/(x)+〃x-a)N4,

因?yàn)閍/0,當(dāng)x=12時(shí)，兩個(gè)等號可以同時(shí)成立，所以々W4.

因此，實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-8,4],③正確；

對于④，假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得直線丫=無與函數(shù)g(x)的圖象有6個(gè)交點(diǎn),

若4＞0,當(dāng)0cxe〃時(shí)入

ZX11。1

g(x)=x+—+a-x+----=a+-------=a+—Z---------

xa-xx(a-x)a"/a，

——?！獂)2

42

此時(shí)，函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,，單調(diào)遞減，在區(qū)間(呈/上單調(diào)遞增，

當(dāng)0cxea時(shí)，g(x)mi”=g($=^^=a+：；

當(dāng)x＞a時(shí)，任取石,％2e(4，+8),且玉＞工2，即無1＞々＞4，

則g(斗)—g(“2)=(西---FX—。+----)—(x24----1-x2—a+--------)

$x{-ax2x2-a

=2(%-x2)+(----)+(----------)

x}x2x}-ax2-a

XXXx

=2c/U|-^2)、+-2~-\L+；---V2~1-\x

XjX2-ci)［x2-a)

=a-X2)［2—!—z------；-----d,

c11

因?yàn)樗?gt;W>4，2一轉(zhuǎn)-卜―粗丫_。)隨著百二的增大而增大,

當(dāng)％-a且9-a時(shí),入--樂立寸一

6111c

當(dāng)％-+8且N-+80寸，［2一丁一(――尸2,

所以%>〃，使得當(dāng)a<X2<±<x°B寸，［2一?一(…

則g(±)<g(W),所以，函數(shù)g(x)在區(qū)間(a,.)上單調(diào)遞減;

當(dāng)…4時(shí)，［2-太-(-)；…］>0,則g(6g&),

所以，函數(shù)g(x)在區(qū)間(X”+00)上單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)x>a時(shí)，g(x)而“=g(%).

若存在實(shí)數(shù)上使得函數(shù)g(x)=〃x)+/(x-a)-%對任意非零實(shí)數(shù)。均存在6個(gè)零點(diǎn),

即直線y=々與函數(shù)g(X)的圖象有6個(gè)交點(diǎn)，

由于函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=］對稱,

則直線y=上與函數(shù)g(x)在宜線x=微右側(cè)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，

44

所以，Z>max{〃+—,g(Xo)}NQ+—.

aa

4

由于攵為定值，當(dāng)口當(dāng)。逐漸增大時(shí)，。+—也在逐漸增大，

a

4

所以憶>。+—不可能恒成立，

a

所以當(dāng)a>OB寸，不存在實(shí)數(shù)上使得函數(shù)g(x)=/(x)+/(x-。)-々對任意非零實(shí)數(shù)。均存

在6個(gè)零點(diǎn)；

同理可知，當(dāng)a<0時(shí)，不存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)g(x)=/(x)+/(x-a)-%對任意非零實(shí)數(shù)。

均存在6個(gè)零點(diǎn)，故命題④錯(cuò)誤.

故答案為：②③.

【點(diǎn)睛】

己知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)的取值范圍問題的常用方法：

1、分離參數(shù)法：一般命題的情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法

為從/(x)中分離出參數(shù)，構(gòu)造新的函數(shù)，求得新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)

的不等式，從而確定參數(shù)的取值范圍：

2、分類討論法：一般命題的情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通

常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)研究函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各校范圍并在一起，即為所求的范圍.

15.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知y=.f(x)是奇函數(shù)，定義域?yàn)椋?1』.當(dāng)x>0時(shí)，

—x"7(e>°，aeQ)，當(dāng)函數(shù)g(x)=/*)一有3個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)r的取值范圍

是.

【答案】

【解析】

【分析】

易知，函數(shù)y=-犬在xe(O,l］單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)，作出函數(shù)“X)的圖象，

利用數(shù)形結(jié)合即可得解.

【詳解】

當(dāng)xe(O,l］時(shí)，易知函數(shù)尸U'—x"單調(diào)遞減，且當(dāng)x-0時(shí)，y-4；當(dāng)》=1時(shí)，y=-1,

其大致圖象如下,

又函數(shù)f(x)是定義在［-1,1］上的奇函數(shù)，故函數(shù)/(X)的圖象如下,

要使函數(shù)g(x)=/(x)-f有3個(gè)零點(diǎn)，只需函數(shù)y=〃x)的圖象與直線y=f有且僅有3個(gè)交

點(diǎn)，

由圖象可知，實(shí)數(shù)，的取值范圍是(T，-；U{o}u

故答案為：+1，-5U{o}u?).

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，一般可采用1.直接法：直接

求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，

轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系

中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解，此時(shí)需要根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)合理尋找"臨界"情況，特別注

意邊界值的取舍.

（x-2,x<3

16.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知a>0且設(shè)函數(shù)/（幻=%,。的最大值

［3+log“x,x>3

為1,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】冬1

./

【解析】

【分析】

由函數(shù)y=f（x）在（e,3］上單調(diào)遞增，旦"3）=1,結(jié)合題中條件得出函數(shù)y=f（x）在

（3,銬）上單調(diào)遞減，且3+log“3Vl,由此列出不等式組求出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

由題意知,函數(shù)y=〃x）在（F,3］上單調(diào)遞增,且"3）=1,

/、（x-2,x<3

由于函數(shù)〃x）=的最大值為1,

則函數(shù)/（x）=3+log〃x在（3,田）上單調(diào)遞減且3+log“3Vl,

0<a<I0<?<1解得近

則有21即

3+loga3<lbga3