高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)歸納（3篇）

第12頁共12頁高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)歸納【（一）、映射、函數(shù)、反函數(shù)】1、對應(yīng)、映射、函數(shù)三個概念既有共性又有區(qū)別，映射是一種特殊的對應(yīng)，而函數(shù)又是一種特殊的映射.2、對于函數(shù)的概念，應(yīng)注意如下幾點：（1）掌握構(gòu)成函數(shù)的三要素，會判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù).（2）掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實際問題尋求變量間的函數(shù)關(guān)系式，特別是會求分段函數(shù)的解析式.（3）如果y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做f和g的復(fù)合函數(shù)，其中g(shù)（x）為內(nèi)函數(shù)，f（u）為外函數(shù).3、求函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)的一般步驟：（1）確定原函數(shù)的值域，也就是反函數(shù)的定義域;（2）由y=f（x）的解析式求出x=f-1（y）;（3）將x，y對換，得反函數(shù)的習(xí)慣表達(dá)式y(tǒng)=f-1（x），并注明定義域.注意①：對于分段函數(shù)的反函數(shù)，先分別求出在各段上的反函數(shù)，然后再合并到一起.②熟悉的應(yīng)用，求f-1（x0）的值，合理利用這個結(jié)論，可以避免求反函數(shù)的過程，從而簡化運算.【（二）、函數(shù)的解析式與定義域】1、函數(shù)及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函數(shù)是不存在的，因此，要正確地寫出函數(shù)的解析式，必須是在求出變量間的對應(yīng)法則的同時，求出函數(shù)的定義域.求函數(shù)的定義域一般有三種類型：（1）有時一個函數(shù)來自于一個實際問題，這時自變量x有實際意義，求定義域要結(jié)合實際意義考慮;（2）已知一個函數(shù)的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可.如：①分式的分母不得為零;②偶次方根的被開方數(shù)不小于零;③對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;④指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;⑤三角函數(shù)中的正切函數(shù)y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函數(shù)y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等.應(yīng)注意，一個函數(shù)的解析式由幾部分組成時，定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分（即交集）.（3）已知一個函數(shù)的定義域，求另一個函數(shù)的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可.已知f（x）的定義域是[a，b]，求f[g（x）]的定義域是指滿足a≤g（x）≤b的x的取值范圍，而已知f[g（x）]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f（x）的定義域，即g（x）的值域.2、求函數(shù)的解析式一般有四種情況（1）根據(jù)某實際問題需建立一種函數(shù)關(guān)系時，必須引入合適的變量，根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)知識尋求函數(shù)的解析式.（2）有時題設(shè)給出函數(shù)特征，求函數(shù)的解析式，可采用待定系數(shù)法.比如函數(shù)是一次函數(shù)，可設(shè)f（x）=ax+b（a≠0），其中a，b為待定系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，求出a，b即可.（3）若題設(shè)給出復(fù)合函數(shù)f[g（x）]的表達(dá)式時，可用換元法求函數(shù)f（x）的表達(dá)式，這時必須求出g（x）的值域，這相當(dāng)于求函數(shù)的定義域.（4）若已知f（x）滿足某個等式，這個等式除f（x）是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量（如f（-x），等），必須根據(jù)已知等式，再構(gòu)造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f（x）的表達(dá)式.【（三）、函數(shù)的值域與最值】1、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采用何種方法求函數(shù)值域都應(yīng)先考慮其定義域，求函數(shù)值域常用方法如下：（1）直接法：亦稱觀察法，對于結(jié)構(gòu)較為簡單的函數(shù)，可由函數(shù)的解析式應(yīng)用不等式的性質(zhì)，直接觀察得出函數(shù)的值域.（2）換元法：運用代數(shù)式或三角換元將所給的復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡單函數(shù)再求值域，若函數(shù)解析式中含有根式，當(dāng)根式里一次式時用代數(shù)換元，當(dāng)根式里是二次式時，用三角換元.（3）反函數(shù)法：利用函數(shù)f（x）與其反函數(shù)f-1（x）的定義域和值域間的關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域，形如（a≠0）的函數(shù)值域可采用此法求得.（4）配方法：對于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法.（5）不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈（0，+∞）]可以求某些函數(shù)的值域，不過應(yīng)注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧.（6）判別式法：把y=f（x）變形為關(guān)于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式.（7）利用函數(shù)的單調(diào)性求值域：當(dāng)能確定函數(shù)在其定義域上（或某個定義域的子集上）的單調(diào)性，可采用單調(diào)性法求出函數(shù)的值域.（8）數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域：利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數(shù)的值域，即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域.2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最?。ù螅?shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲?因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異.如函數(shù)的值域是（0，16]，值是16，無最小值.再如函數(shù)的值域是（-∞，-2]∪[2，+∞），但此函數(shù)無值和最小值，只有在改變函數(shù)定義域后，如x>0時，函數(shù)的最小值為2.可見定義域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響.3、函數(shù)的最值在實際問題中的應(yīng)用函數(shù)的最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價最低”，“利潤”或“面積（體積）（最小）”等諸多現(xiàn)實問題上，求解時要特別關(guān)注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值.【（四）、函數(shù)的奇偶性】1、函數(shù)的奇偶性的定義：對于函數(shù)f（x），如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f（-x）=-f（x）（或f（-x）=f（x）），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)（或偶函數(shù)）.正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，要注意兩點：（1）定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是函數(shù)f（x）為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件;（2）f（x）=-f（x）或f（-x）=f（x）是定義域上的恒等式.（奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì)）.2、奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時需要將函數(shù)化簡或應(yīng)用定義的等價形式：注意如下結(jié)論的運用：（2）f（x）、g（x）分別是定義域D1、D2上的奇函數(shù)，那么在D1∩D2上，f（x）+g（x）是奇函數(shù)，f（x）·g（x）是偶函數(shù)，類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;（3）奇偶函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的奇偶性通常是偶函數(shù);（4）奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。3、有關(guān)奇偶性的幾個性質(zhì)及結(jié)論（1）一個函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點對稱;一個函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱.（2）如要函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱且函數(shù)值恒為零，那么它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).（3）若奇函數(shù)f（x）在x=0處有意義，則f（0）=0成立.（4）若f（x）是具有奇偶性的區(qū)間單調(diào)函數(shù)，則奇（偶）函數(shù)在正負(fù)對稱區(qū)間上的單調(diào)性是相同（反）的。（5）若f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，則F（x）=f（x）+f（-x）是偶函數(shù)，G（x）=f（x）-f（-x）是奇函數(shù).（6）奇偶性的推廣函數(shù)y=f（x）對定義域內(nèi)的任一x都有f（a+x）=f（a-x），則y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱，即y=f（a+x）為偶函數(shù).函數(shù)y=f（x）對定義域內(nèi)的任-x都有f（a+x）=-f（a-x），則y=f（x）的圖象關(guān)于點（a，0）成中心對稱圖形，即y=f（a+x）為奇函數(shù)?！荆ㄎ澹?、函數(shù)的單調(diào)性】1、單調(diào)函數(shù)對于函數(shù)f（x）定義在某區(qū)間[a，b]上任意兩點x1，x2，當(dāng)x1>x2時，都有不等式f（x1）>（或<）f（x2）成立，稱f（x）在[a，b]上單調(diào)遞增（或遞減）;增函數(shù)或減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).對于函數(shù)單調(diào)性的定義的理解，要注意以下三點：（1）單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念.一個函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性.（2）單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的“整體”性質(zhì)，因此定義中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替.（3）單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，討論單調(diào)性必須在定義域范圍內(nèi).（4）注意定義的兩種等價形式：設(shè)x1、x2∈[a，b]，那么：①在[a、b]上是增函數(shù);在[a、b]上是減函數(shù).②在[a、b]上是增函數(shù).在[a、b]上是減函數(shù).需要指出的是：①的幾何意義是：增（減）函數(shù)圖象上任意兩點（x1，f（x1））、（x2，f（x2））連線的斜率都大于（或小于）零.（5）由于定義都是充要性命題，因此由f（x）是增（減）函數(shù)，且（或x1>x2），這說明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系可以“正逆互推”.5、復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]的單調(diào)性若u=g（x）在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)性，與y=f（u）在[g（a），g（b）]（或g（b），g（a））上的單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]在[a，b]上單調(diào)遞增;否則，單調(diào)遞減.簡稱“同增、異減”.在研究函數(shù)的單調(diào)性時，常需要先將函數(shù)化簡，轉(zhuǎn)化為討論一些熟知函數(shù)的單調(diào)性。因此，掌握并熟記一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將大大縮短我們的判斷過程.6、證明函數(shù)的單調(diào)性的方法（1）依定義進(jìn)行證明.其步驟為：①任取x1、x2∈M且x1（或<）f（x2）;③根據(jù)定義，得出結(jié)論.（2）設(shè)函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).如果f′（x）>0，則f（x）為增函數(shù);如果f′（x）<0，則f（x）為減函數(shù).【（六）、函數(shù)的圖象】函數(shù)的圖象是函數(shù)的直觀體現(xiàn)，應(yīng)加強對作圖、識圖、用圖能力的培養(yǎng)，培養(yǎng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題的意識.求作圖象的函數(shù)表達(dá)式與f（x）的關(guān)系由f（x）的圖象需經(jīng)過的變換y=f（x）±b（b>0）沿y軸向平移b個單位y=f（x±a）（a>0）沿x軸向平移a個單位y=-f（x）作關(guān)于x軸的對稱圖形右不動、左右關(guān)于y軸對稱上不動、下沿x軸翻折y=f-1（x）作關(guān)于直線y=x的對稱圖形y=f（ax）（a>0）橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變y=af（x）y=f（-x）作關(guān)于y軸對稱的圖形【例】定義在實數(shù)集上的函數(shù)f（x），對任意x，y∈R，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）·f（y），且f（0）≠0.①求證：f（0）=1;②求證：y=f（x）是偶函數(shù);③若存在常數(shù)c，使求證對任意x∈R，有f（x+c）=-f（x）成立;試問函數(shù)f（x）是不是周期函數(shù)，如果是，找出它的一個周期;如果不是，請說明理由.思路分析：我們把沒有給出解析式的函數(shù)稱之為抽象函數(shù)，解決這類問題一般采用賦值法.解答：①令x=y=0，則有2f（0）=2f2（0），因為f（0）≠0，所以f（0）=1.②令x=0，則有f（x）+f（-y）=2f（0）·f（y）=2f（y），所以f（-y）=f（y），這說明f（x）為偶函數(shù).③分別用（c>0）替換x、y，有f（x+c）+f（x）=所以，所以f（x+c）=-f（x）.兩邊應(yīng)用中的結(jié)論，得f（x+2c）=-f（x+c）=-[-f（x）]=f（x），所以f（x）是周期函數(shù)，2c就是它的一個周期.高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)歸納（二）函數(shù)的值域與最值（1）直接法：亦稱觀察法，對于結(jié)構(gòu)較為簡單的函數(shù)，可由函數(shù)的解析式應(yīng)用不等式的性質(zhì)，直接觀察得出函數(shù)的值域.（2）換元法：運用代數(shù)式或三角換元將所給的復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡單函數(shù)再求值域，若函數(shù)解析式中含有根式，當(dāng)根式里一次式時用代數(shù)換元，當(dāng)根式里是二次式時，用三角換元.（3）反函數(shù)法：利用函數(shù)f（x）與其反函數(shù)f-1（x）的定義域和值域間的關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域，形如（a≠0）的函數(shù)值域可采用此法求得.（4）配方法：對于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法.（5）不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈（0，+∞）]可以求某些函數(shù)的值域，不過應(yīng)注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧.（6）判別式法：把y=f（x）變形為關(guān)于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式.（7）利用函數(shù)的單調(diào)性求值域：當(dāng)能確定函數(shù)在其定義域上（或某個定義域的子集上）的單調(diào)性，可采用單調(diào)性法求出函數(shù)的值域.（8）數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域：利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數(shù)的值域，即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域.2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最?。ù螅?shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲?因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異.如函數(shù)的值域是（0，16]，最大值是16，無最小值.再如函數(shù)的值域是（-∞，-2]∪[2，+∞），但此函數(shù)無最大值和最小值，只有在改變函數(shù)定義域后，如x>0時，函數(shù)的最小值為2.可見定義域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響.3、函數(shù)的最值在實際問題中的應(yīng)用函數(shù)的最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價最低”，“利潤最大”或“面積（體積）最大（最小）”等諸多現(xiàn)實問題上，求解時要特別關(guān)注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值.高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)歸納（三）一：函數(shù)及其表示知識點詳解文檔包含函數(shù)的概念、映射、函數(shù)關(guān)系的判斷原則、函數(shù)區(qū)間、函數(shù)的三要素、函數(shù)的定義域、求具體或抽象數(shù)值的函數(shù)值、求函數(shù)值域、函數(shù)的表示方法等1.函數(shù)與映射的區(qū)別：2.求函數(shù)定義域常見的用解析式表示的函數(shù)f（x）的定義域可以歸納如下：①當(dāng)f（x）為整式時，函數(shù)的定義域為R.②當(dāng)f（x）為分式時，函數(shù)的定義域為使分式分母不為零的實數(shù)集合。③當(dāng)f（x）為偶次根式時，函數(shù)的定義域是使被開方數(shù)不小于0的實數(shù)