第1章流體力學的基本概念

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流體力學是研究流體的運動規(guī)律及其與物體相互作用的機理的一門專門學科。本章敘述在以后章節(jié)中經常用到的一些基礎知識，對于其它基礎內容在本科的流體力學或水力學中已作介紹，這里不再敘述。

連續(xù)介質與流體物理量

連續(xù)介質

流體和任何物質一樣，都是由分子組成的，分子與分子之間是不連續(xù)而有空隙的。例如，常溫下每立方厘米水中約含有3×1022

個水分子，相鄰分子間距離約為3×10－8

厘米。因而，從微觀結構上說，流體是有空隙的、不連續(xù)的介質。

但是，詳細研究分子的微觀運動不是流體力學的任務，我們所關心的不是個別分子的微觀運動，而是大量分子“集體”所顯示的特性，也就是所謂的宏觀特性或宏觀量，這是因為分子間的孔隙與實際所研究的流體尺度相比是極其微小的。因此，可以設想把所討論的流體分割成為無數無限小的基元個體，相當于微小的分子集團，稱之為流體的“質點”。從而認為，流體就是由這樣的一個緊挨著一個的連續(xù)的質點所組成的，沒有任何空隙的連續(xù)體，即所謂的“連續(xù)介質”。同時認為，流體的物理力學性質，例如密度、速度、壓強和能量等，具有隨同位置而連續(xù)變化的特性，即視為空間坐標和時間的連續(xù)函數。因此，不再從那些永遠運動的分子出發(fā)，而是在宏觀上從質點出發(fā)來研究流體的運動規(guī)律，從而可以利用連續(xù)函數的分析方法。長期的實踐和科學實驗證明，利用連續(xù)介質假定所得出的有關流體運動規(guī)律的基本理論與客觀實際是符合的。

所謂流體質點，是指微小體積內所有流體分子的總體，而該微小體積是幾何尺寸很?。ǖh大于分子平均自由行程）但包含足夠多分子的特征體積，其宏觀特性就是大量分子的統計平均特性，且具有確定性。

流體物理量

根據流體連續(xù)介質模型，任一時刻流體所在空間的每一點都為相應的流體質點所占據。流體的物理量是指反映流體宏觀特性的物理量，如密度、速度、壓強、溫度和能量等。對于流體物理量，如流體質點的密度，可以地定義為微小特征體積內大量數目分子的統計質量除以該特征體積所得的平均值，即

V

M

VV??=?→?'lim

ρ（1-1）

式中，M?表示體積V?中所含流體的質量。按數學的定義，空間一點的流體密度為

V

M

V??=→?0

lim

ρ（1-2）

由于特征體積'

V?很小，按式（1-1）定義的流體質點密度，可以視為流體質點質心（幾何點）的流體密度，這樣就應予式（1-2）定義的空間點的流體密度相一致。為把物理概念與數學概念統一起來，方便利用有關連續(xù)函數的數學工具，今后均采用如式（1-2）所表達的流體物理量定義。所謂某一瞬時空間任意一點的物理量，是指該瞬時位于該空間點的流體質點的物理量。在任一時刻，空間任一點的流體質點的物理量都有確定的值，它們是坐標點),,(zyx和時間t的函數。例如，某一瞬時空間任意一點的密度是坐標點),,(zyx和時間t的函數，即

),,,(tzyxρρ=（1-3）

描述流體運動的兩種方法

描述流體運動的方法有拉格朗日（Lagrange）法和歐拉（Euler）法。

拉格朗日法

拉格朗日法是以個別的流體運動質點為對象，研究這些指定質點在整個運動過程中的軌跡以及運動要素隨時間變化的規(guī)律。各個質點運動狀況的總和就構成了整個流體的運動。這種方法又稱為質點系法。

在某直角坐標系0xyz中，將0tt=時的某流體質點在空間的位置坐標),,(cba作為該質點的標記。在此后的瞬間t，該質點),,(cba運動到空間位置),,(zyx。不同的質點在0t時，具有不同的位置坐標，如),,(cba'''、),,(cba''''''……，這樣就把不同的質點區(qū)別開來。同一質點在不同瞬間處于不同位置；各個質點在同一瞬間t也位于不同的空間位置。因而，任一瞬時t質點),,(cba的空間位置),,(zyx可表為

??

?

??

===),,,(),,,(),,,(tcbazztcbayytcbaxx

(1-4a)

式中cba,,稱為拉格朗日變數。若給定式中的cba,,值，可以得到某一特定質點的軌跡方程。將某質點運動的空間位置的時間歷程描繪出來就得到該質點的跡線。

將式（1-4a）對時間t取偏導數，可得該流體質點在任意瞬間的速度u在zyx,,軸向的分量

?

?????

???=??==??==??=

),,,(),,,(),,,(tcbautzutcbautyutcbaut

xuzzyyxx（1-5a）

若坐標用ix表示，3,2,1=i，即用321,,xxx代替zyx,,；用iu，即321,,uuu，代替

zyxuuu,,；用kx0，3,2,1=k，即030201,,xxx，代替cba,,；則式（1-4a）~(1-5a)可寫

為

),(0txxxkii=（1-4b）

),(0txut

xukii

i=??=

（1-5b）對于某一特定質點，給定cba,,值，就可利用式（1-4）~(1-5)確定不同時刻流質點的坐標和速度。

歐拉法

歐拉法是以考察不同流體質點通過固定的空間點的運動情況來了解整個流動空間內的流動情況，即著眼于研究各種運動要素的分布場。這種方法又叫做流場法。

采用歐拉法，流場中任何一個運動要素可以表示為空間坐標和時間的函數。在直角坐標系中，流速是隨空間坐標),,(zyx和時間t而變化的。因而，流體質點的流速在各坐標軸上的投影可表示為

?

?

?

??

===),,,(),,,(),,,(tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx（1-6a）

或

),(txuukii=（1-6b）

式中3,2,1,=kxk，代表自變量zyx,,。若令上式中zyx,,為常數，t為變數，即可求得在某一空間點),,(zyx上，流體質點在不同時刻通過該點的流速變化情況。若令t為常數，

zyx,,為變數，則可求得在同一時刻，通過不同空間點上的流體質點的流速分布情況（即流

速場，velocityfield）。

流速v

是一個矢量，所以流速場是一個矢量場。流速雖是流動的一個重要參數，但只有

流場不足以完全說明流動的全部情況，還應知道其他表達流動的各個參數的分布情況。一個標量，如流體的密度ρ，溫度T等，在空間和時間上的連續(xù)分布就成為一個標量場。應力ijσ是一個二階張量，所以應力在空間和時間上的分布是一個張量場。表述流動的各種場的綜合成為流場（flowfield），如流速場t)z,y,(x,v

，密度場),,,(tzyxρ等。

質點的加速度公式和隨體導數

質點加速度公式

質點加速度是質點速度向量隨時間的變化率。在Lagrange法中是以單個流體質點作為研究對象，因此位移函數（1-4）式對時間求二次偏導數可得流體質點的加速度a在各軸向的投影：

?

???

???

??=??==??==??=),,,(),,,(),,,(22

22

22tcbaatz

atc

baaty

atc

baatx

azzyyxx（1-7a）

或

),(022txat

xakii

i=??=（1-7b）

歐拉法不追蹤質點運動而著眼于流場，由速度場)t,x(u,ki計算),(txk處的質點加速度

ia時必須求出該質點在tδ時間內的速度增量，在求其極值，即

t)

t,x(u)tt,xx(ulim

akikki0x0tiiδδδδδ-++=

→→（1-8）

式中kxδ是質點在tδ時間內的位移。利用Taylor’sSeries展開，則

)xt,x,t(O)t

ut()xux()t,x(u)tt,xx(uk2

k2xitkik

kikkikδδδδδδδδ+??+??+=++略去高階微小量，所以

tk

ikxixitkik

kikki)xu

(x)tu(t)tut()xux()t,x(u)tt,xx(ukk??+??=??+??=-++δδδδδδ代入式(1-8)，得

t

xxutuak

kiiiδδ??+??=

注意到ixδ是質點位移，因而

kk

tut

xlim

=→δδδ則得歐拉法描述流體質點加速度的表達式

k

ikiixu

utua??+??=

（1-9a）或寫為

3

i32i21i1iixu

uxuuxuutua??+??+??+??=

（1-9b）以矢量表示為

v)v(t

va??+??=（1-9c）

在直角坐標系下，加速度表述為

?

?????

???

??+??+??+??==??+??+??+??==??+??+??+??==

zuuyuuxuutudtduazuuyuuxuutudtduaz

uuyuuxuutudtduazzzyzxzzyyzyyyxyyyxzxyxxxxx（1-9d）

以上三式中等號右邊第一項

tux??、tuy??、t

uz

??表示在每個固定點上流速對時間的變化

率，稱為時變加速度（當地加速度）。等號右邊的第二項至第四項之和

zuuyuuxuuxzxyxx

??+??+??、zuuyuuxuuyzyyyx??+??+??、z

uuyuuxuuzzzyzx??+??+??是表示流速隨坐標的變化率，稱為位變加速度（遷移加速度）。因此，一個流體質點在空間點上

的全加速度應為上述兩加速度之和。

質點的隨體導數

將推導加速度公式的方法推廣到質點上任意物理量的增長率的計算，引出質點的隨體導數的概念。質點攜帶的物理量隨時間的變化率稱為質點的隨體導數，用Dt

D

表示。在歐拉法描述中的任意物理量Q的質點隨體導數表述如下：

k

kxQ

utQDtDQ??+??=（1-10）式中，),(txQQk=可以是標量、向量或張量。質點導數公式對任意物理量都成立，故將質點隨體導數的運算符號表示如下：

k

kxutDtD??+??=（1-11a）或

3

32211xuxuxutDtD??+??+??+??=（1-11b）其中，

t??

稱為局部隨體導數，k

kxu??稱為對流隨體導數，即在歐拉法描述得流動中，物理

量的質點隨體導數等于局部隨體導數與對流隨體導數之和。

體積分的隨體導數

上面講了質點的隨體導數，研究流體運動，還需要考慮由流體質點組成的物質線、物質面和物質體。因為在流體質點組成的線、面、體上，往往定義有某種物理量，如物質線上的速度環(huán)量，物質面上的渦通量，物質體上的質量、動量、動能等。在流動過程中，連續(xù)的物質線、面、體隨時間而不斷改變其位置和形狀，且將繼續(xù)維持其連續(xù)性。同時，定義在這些線（面、體）上的物理量也隨時間而不斷變化著。描述這種變化過程就是這些線積分、面積分、體積分的隨體導數。其中，體積分的隨體導數公式在建立流體力學基本方程時經常用到，推導如下。

考慮一個由流體質點組成的以S為界的流動體積V（圖1-1）。設)t,r(

φ是V內定義的標量函數，體積V內φ的總量為

?V

dVφ。在運動過程中，組成體積V的流體質點不斷地改

變它的位置，因此流體質點組成的體積V也不斷地改變著它的大小和形狀。此外，在體積V中取值的標量函數φ在運動過程中也改變著它的數值。由此可見，上述積分在不同的瞬間將有不同的數值。上述體積分的變化過程將由該積分的隨體導數?VdVdt

d

φ來描述。

圖1-1體積分的隨體導數（圖中的γ符號換為V）

設t時刻的體積為V，其表面積為S。過了t?時段以后，即在tt?+時刻，表面上的流體質點由于存在著速度的法向分量，在法線方向移動了tun?的距離。設tt?+時隔立體的表面積為)(ttS?+、體積為)(ttV?+。根據隨體導數的定義，我們有

????????????-+=???+→)

(0),(),(1limttVVtVdVtrdVttrtdVdtd????φφφ令VVttV??+=+)(，于是，上式改寫為

[]{}

?

??++-+=→V

V

tV

dVttrdVtrttrtdVdtd?????),(),(),(1lim

0φφφφ（1-12）

上式表明，體積分的變化由兩部分組成：右邊第一項所代表的，即標量函數φ隨時間t所引起的變化。這部分變化可由下式表示為

???VdVtφ

（1-13）

第二部分的變化是由于流動，體積變化V?所引起的。從圖1-1可以看出，體積的變化

可表示為

tdSudVn?=

其中dS為表面S中的微小面積，nu是法線n方向的速度投影。于是，上式右邊第二部分可寫為

dSutrdSuttrdVttrtnsnVstt???=?+=?+??→?→?),(),(lim),(1

lim

00φφφ（1-14）將式（1-13）和（1-14）代入式（1-12），得體積分的隨體導數公式

???+??=VSnVdSudVtdVdtdφφφ(1-15a)依同理可得矢量a

的體積分的隨體導數公式

???+??=V

VSndSudVtdVdtd(1-16a)從上式可得重要結論，體積分的隨體導數由兩項組成：第一項是函數φ（或）對時間的偏導數沿體積V的積分，它是由標量場（或矢量場）的非恒定性所引起的；第二項是函數φ（或）通過表面S的通量

dSuS

n

?φ（或dSu

S

n

?），它是由于體積V的改變引起的。

應用高斯公式（奧高定理）

?

?=V

S

ndSadVadiv

(1-17)

式（1-15a）和（1-16a）也可寫為

dVvdivDtDdV)v(divtdSudVtdVdtdVVVSnV???????

????+=??????+??=+??=φφ

φφφφφ

(1-15b)

???????

?

??+=??????+??=+??=VVVVSndV)vdivaDtaDdV)va(divtadSaudVtadVadtd

(1-16b)

式（1-15）和式（1-16）在流體力學應用很廣，有時也稱之為運輸定理（transporttheorem）。

流體微團運動分析

亥姆霍茲速度分解定理

剛體運動的形式只有平移和轉動，流體因為具有易流動性，極易變形，所以任一流體微團在運動過程中，不僅與剛體一樣會發(fā)生平移和轉動，而且還會發(fā)生變形運動。

定理：流場)t,x(uji中微團上任意一點的運動可以分解為平動、旋轉和變形三部分之和。

證明如下：任取一流體微團，其上的參考點ojx在時間t的速度)t,x(uuojioi=，同一時刻，在流體微團上距點ojx為jxδ任一質點jx，jojjxxxδ+=，的速度

)t,xx(uujojiiδ+=。

利用Taylor’sSeries展開，則

)x(Oxxu

xxuxxu)t,x(u)t,xx(u2j33

i22i11iojijojiδδδδδ+??+??+??+

=+略去高階微小量，則有

jj

i

oijixxuu)t,x(uδ??+

=（1-20）其中

j

i

xu??是一個二階張量，可以進一步分解一個對稱張量和反對稱張量之和，即)xuxu(21)xuxu(21xui

j

jiijjiji??-??+??+??=??（1-21）

上式右端第一項用ijD表示，是對稱張量，它有六個獨立分量；第二項用ijR表示，是反對稱張量，有三個獨立分量。因為

jiji

ijijjiijD)xuxu(21)xuxu(21D=??+??=??+??=

jij

i

ijijjiijR)xuxu(21)xuxu(21R-=??-??-=??-??=

因此，亥姆霍茲速度分解定理（Helmholtzvelocitydecomposingtheorem）的數學表達式為

jijjijoijix)R(x)D(u)t,x(uδδ++=（1-22）

變形率張量

對于腳標zyxji,,3,2,1,或=，寫出ijD的所有分量，則

????????

?

???

???

?

??????+????+????+

??????+????+????+????=zu)

zuyu(21)zux

u(21)yuzu(21yu)yuxu(21)xuzu(21)xuyu(21xuDzyzxzzyyx

yz

xyxxij令

)z

uyu(21),yuzu(21)zuxu

(21),xuzu(21)y

uxu(21),xuyu(21z

u,

yu,x

uyzzyzyyz

xzzxzxxzxyyxyxxyz

zzy

yyx

xx??+??=??+??=??+??=??+??=??+??=??+??=??=

??=

??=εεεεεεεεε或寫為

)xuxu(21i

j

jiij??+??=ε（1-23）

則

????

?

?????=3332312322

211312

11εεεεεεεεεijD（1-24）其中iiε表示所在方向的線性變形率，其余jiij≠,ε，為角變形率。ijD稱為變形率張量。

旋轉角速度

同理，對于腳標zyxji,,3,2,1,或=，寫出ijR的所有分量，則

????????

?

???

???

?

????-????-????-

????-????-????-??=0)zuyu(21)zux

u(21)yuzu(210)yuxu(21)xuzu(21)xuyu(210Ryzxzzyx

yz

xyxij令

?

??

?

???

??

??-??=??-??=??-??=)zuyu

(21)xuzu(21)yuxu(

21yzxzxyxyzωωω（1-25a）

或寫為

)xuxu(

21j

i

ijk??-??=ω（1-25b）

則

???

?

?

????

?---=00

0Rx

yxz

yzijωωωωωω（1-26）

其中，zyzωωω,,為流體微團的旋轉角速度，顯然，ijR是一反對稱張量。ijR亦可寫為

kijkijRωε-=（1-27）

由以上分析得知，在亥姆霍茲速度分解定理的數學表示式（1-22）中，oiu表示平動；

jijxDδ)(表示變形，包括線變形和角變形，jijxRδ)(表示旋轉。

流體微團有無旋轉對流動分析的影響很大，流體微團有無旋轉成為流動分類的一個重要

指標。流體微團沒有旋轉的流動，稱為無旋流動(irrotationalflow)，或稱無渦流動，亦稱有勢流動(potentialflow)。流體微團有旋轉的流動，稱為有旋流動(rotationalflow)，亦稱有渦流動。

下面舉例說明微團旋轉的概念。

例1-1設有兩塊平板，一塊固定不動，一塊在保持平行條件下作直線等速運動。在兩塊平板之間裝有粘性液體。這時的液體流動稱為簡單剪切流動，如圖1-2所示。其流速分布為cyux=，0=yu，其中0≠c。試判別這個流動是勢流還是有渦流

解：02

1)(21≠-=??-??=

cyuxuxyzω故該流動為有渦流。盡管質點都作直線運動，流線也都是平行直線，在表觀上看不出有

旋轉的跡象。

圖1-2簡單剪切流動

例1-2從水箱底部小孔排水時，在箱內形成圓周運動，其流線為同心圓，如圖1-3所時，流速分布可表示為

0c,y

xcx

u,yxcyu2

2y22x≠+=+-

=試判斷該流體運動是勢流還是有渦流

解：??

?

???+--+-=??-??=222

2222222)()()()(2c)(21yxxyyxxyyuxuxyzω除原點)0,0(==yx外0=zω，該流動為勢流。盡管質點沿圓周運動，但微團并無繞其自身軸的轉動。

圖1-3水箱底部小孔排水時同心圓流線

渦量與環(huán)量

渦量

流體運動可以分為有旋運動和無旋運動，當流體的旋轉角速度不為0，即ω≠0時，流體的運動是有旋的；當ω=0時,流體的運動是無旋的。所以判斷流體是無旋流動還是有旋流動,應根據流體微團本身是否旋轉,而與微團運動的軌跡并無關系。

流體的旋轉角速度可以用張量式表示如下

???

?

????-??=jiijkxuxu21ω（1-28）其中腳標k表示流體運動平面的法線方向。

流體力學中多采用渦量(vorticity)來描述流體微團的旋轉。定義旋轉角速度的兩倍為渦量，即

kkω2=Ω（1-29a）

渦量是一矢量，它與旋轉的平面垂直，其方向的正負按右手法則確定，如圖1-4所示。寫成矢量形式

vrotvvcurl=??==Ω（1-29b）

在流場中，渦量是位置和時間的函數，即

)t,z,y,x(kkΩΩ=（1-30）

如同流速場描述質點的運動情況，渦量場則表達流體微團的旋轉情況。

用流線用來描述流場，同樣，可用與流線類似的渦線來描述渦量場。在某一瞬間,在流場中繪制的處處與渦矢量相切的曲線稱為渦線(vortexline)。渦線一般不與流線重合，但相交，如圖1-5所示。渦線微分方程與流線微分方程類似,可表示為

z

yxdzdydxΩ=Ω=Ω（1-31）以渦線為側壁的管段稱為渦管(vortextube)。渦管里面繞同一旋轉軸旋轉著的流體稱為渦束或渦絲(vortexfilament)。

圖1-4渦量矢量（圖中改ω為Ω）圖1-5渦線（圖中改ω為Ω）

速度環(huán)量

分析帶旋轉的流體運動常要用到速度環(huán)量的概念。速度沿封閉曲線的積分稱為速度環(huán)量(circulation),通常用Γ表示

??=L

ld

Γ（1-32）

在直角坐標系下為

dzudyudxuzL

yx++=Γ?（1-33）

斯托克斯定理

環(huán)量與渦量之間由斯托克斯（Stokes）定理聯系。斯托克斯定理表述為：沿包圍單連通域的有限封閉周線的速度環(huán)量，等于穿過此連通域的渦量通量。數學表述如下

????=?L

S

ldvdsn

Ω（1-34）

式中，S為表面積，L為周線長度。上式說明通過面的渦通量等于沿邊界的速度環(huán)量。Stokes定理應用很廣，它把一個面積分和一個線積分聯系在一起。

在直角坐標系下，式（1-34）表述為

()()()ds

z,ncosyuxuy,ncosxuzux,ncoszuyudzudyu

dxuSxyZxyzzy

L

x

??????

?????????????-??+???

????-??+????????-??=

++（1-35）

圖1-7環(huán)量與渦量

應力張量

實際流體具有粘滯性。由于粘滯性的存在，有相對運動的各層流體之間將產生切應力。因此，在運動的實際流體中，不但有壓應力，而且還有切應力。如在運動流體中任一點A取垂直于z軸的平面（圖1-8），則作用在該平面上A點的表面應力并非沿內法線方向，而是傾斜方向的。表面應力在x、y、z三個軸向都有分量：一個與z平面成法向的正應力zzp；兩個與z平面成切向的切應力zxτ及zyτ。壓應力和切應力的第一個下標表示作用面的法線方向，即表示應力作用面與那個軸垂直；第二個下標表示應力的作用方向，即表示應力作用方向與那個軸平行。同樣在垂直于y軸平面上，作用的應力有yyp、yxτ、yzτ；在垂直于x軸的

平面上，作用的應力有xxp、xyτ、xzτ。這樣，任一點在三個互相垂直的作用面上的應力共有9個分量，其中三個壓應力xxp、yyp、zzp和六個切應力xyτ、xzτ、yxτ、yzτ、zxτ、zyτ。

寫成矩陣形式

???

?

?

?????=??????????=zzzy

zx

yzyy

yxxzxy

xx

ppppppppppppPττττττ3332

31

232221

1312

11（1-36a）

或壓應力與切應力均用統一符號ijp表示，表述如下

????

?

?????==3332

31

232221

131211

ppppppppppPij（1-36b）稱為應力張量(stresstensor)，它是一個二階張量，而且yxxyττ=，zyyzττ=，xzzxττ=（證明見后）。因此，應力張量是一個對稱張量。

圖1-8垂直于z軸平面上A點的表面應力

下面討論切應力和壓應力的特性。1.切應力的特性

切應力互等定律，即作用在兩互相垂直平面上且與該兩平面的交線相垂直的切應力大小都是相等的。表述如下：

yxxyττ=，zyyzττ=，xzzxττ=（1-37）

證明如下：在實際流體中取一微小六面體，邊長dx、dy、dz，各表面的應力如圖1-9所示。對通過六面體中心點S并平行于x軸的軸線取力矩，因質量力通過中心點S，則得

2

1

)(2121)(2

1

=???+-?-???+

+?dydxdzdyydydxdzdzdxdydzzdzdxdyyzyzyzzy

zyzyττττττ忽略三階以上的微量，則

0dxdydzdxdydzyzzy=-ττ

于是得

yzzyττ=

同理，可以證明xzzxyxxyττττ==及。

圖1-9實際流體微小六面體各表面的應力分量

2.壓應力的特性

壓應力的大小與其作用面的方位有關，三個相互垂直方向的壓應力一般是不相等的，即

zzyyxxppp≠≠。但從幾何關系上可以證明，同一點上，三個相互垂直面的壓應力之和，

與那組垂直面的方位無關，即)(zzyyxxppp++值總保持不變。在實際流體中，任何三個互相垂直面上的壓應力的平均值定義為動水壓強，以p表示，則

)ppp(3

1

pzzyyxx++=（1-38）

因此，實際流體的動水壓強也只是位置坐標和時間的函數，即),,,(tzyxpp=。

一般規(guī)定，切應力的方向與坐標軸一致時為正；法向應力的方向與作用面的外法線一致時為正，與作用面的內法線一致時為負，即壓應力為負。

牛頓流體的本構方程

把應力張量ijp與變形速率張量ijε聯系起來的方程稱為本構方程(constitutiveequation)。

滿足切應力與剪切變形線形關系的流體為牛頓流體。一般的牛頓流體有水，空氣，油等。本節(jié)只討論不可壓縮牛頓流體中應力張量與變形速率張量的關系。

1.切應力與流速變化的關系

因變形和速度變化有關，所以切應力與流速變化有關。由牛頓內摩擦定律可知，在二維平行直線流動中，切應力的大小表述為

dt

ddyduxyxθ

μμ

τ==即切應力與剪切變形速度（即角變形率）成比例。這個結論可以推廣到三維情況。由流體微團運動分析知，xoy平面上的角度形率為

)(21y

uxux

yxy??+??=ε

這是微團的角變形率，而實際上的直角變形率dtdθ應為上式的兩倍。所以

)(

y

ux

ux

yyx??+

??=μτ同理，對三個互相垂直的平面上均可得出

?????

????????+??==??+??==??+??==)xuz

u()zuyu()yux

u(zx

zx

xzyzyzzyxyxyyxμττμττμττ（1-39a）

這就是粘性流體中切應力的普遍表達式，稱為廣義的牛頓內摩擦定律。以張量的形式表述為

)ji,3,2,1j,i(,

2pijij≠==με（1-39b）

2.法向應力與線變形率的關系

各個方向的法向應力可以認為等于動水壓強p加上一個附加應力，即

zzzzyyyyxxxxppppppppp'+-='+-='+-=,,

這些附加應力可以認為是由于粘滯性所引起的相應結果，因而和流體的變形有關。因為粘性的作用，流體微團除發(fā)生角變形外，同時也發(fā)生線變形，即在流體微團的法線方向上有相對的線變形率

z

uxuz

x??????、、yuy，使法向應力（壓應力）的大小與理想流體相比有所改變，產生附加壓應力。在理論流體力學中可以證明，對于不可壓縮均質流體，附加壓應力與線變形率之間有類似于式（1-39）的關系，即

z

u

pyupxupzzzyyyxxx

??-=??-=??-=μμμ2,2,2'''

式中，負號是因為當x

ux??為正值時，流體微團是伸長變形，周圍流體對它作用的是拉力，xx

p'應為負值；反之，當x

ux?