第一章 流體力學(xué)基礎(chǔ)知識

第一章流體力學(xué)基礎(chǔ)知識_文檔視界第一章流體力學(xué)基礎(chǔ)知識

本章先介紹流體力學(xué)的基本任務(wù)，研究方向和流體力學(xué)及空氣動力學(xué)的發(fā)展概述。然后介紹流體介質(zhì)，氣動力系數(shù)，矢量積分知識。最后引入控制體，流體微團及物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的概念。為流體力學(xué)及飛行器空氣動力學(xué)具體知識的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。

1.1流體力學(xué)的基本任務(wù)和研究方法

1.1.1流體力學(xué)的基本任務(wù)

流體力學(xué)是研究流體和物體之間相對運動（物體在流體中運動或者物體不動而流體流過物體）時流體運動的基本規(guī)律以及流體與物體之間的作用力。而空氣動力學(xué)則是一門研究運動空氣的科學(xué)。

眾所周知，空氣動力學(xué)是和飛機的發(fā)生，發(fā)展聯(lián)系在一起的。在這個意義上，這門科學(xué)還要涉及到飛機的飛行性能，穩(wěn)定性和操縱性能問題。事實上，空氣動力學(xué)研究的對象還不限于飛機。

空氣相對物體的運動，可以在物體的外部進行，像空氣流過飛機表面，導(dǎo)彈表面和螺旋漿等；也可以在物體的內(nèi)部進行，像空氣在風(fēng)洞內(nèi)部和進氣道內(nèi)部的流動。在這些外部或內(nèi)部流動中，盡管空氣的具體運動和研究運動的目的有所不同，但它們都發(fā)生一些共同的流動現(xiàn)象和遵循一些共同的流動規(guī)律，例如質(zhì)量守恒，牛頓第二定律，能量守恒和熱力學(xué)第一定律，第二定律等。

研究空氣動力學(xué)的基本任務(wù)，不僅是認(rèn)識這些流動所發(fā)生現(xiàn)象的基本實質(zhì)，要找出這些共同性的基本規(guī)律在空氣動力學(xué)中的表達(dá)，并且研究如何應(yīng)用這些規(guī)律能動地解決飛行器的空氣動力學(xué)問題和與之相關(guān)的工程技術(shù)問題，并對流動的新情況、新進展加以預(yù)測。

1.1.2空氣動力學(xué)的研究方法

空氣動力學(xué)研究是航空科學(xué)技術(shù)研究的重要組成部分，是飛行器研究的“先行官”。其研究方法，如同物理學(xué)各個分支的研究方法一樣，有實驗研究、理論分析和數(shù)值計算三種方法。這些不同的方法不是相互排斥，而是相互補充的。通過這些方法以尋求最好的飛行器氣動布局形式，確定整個飛行范圍作用在飛行器的力和力矩，以得到其最終性能，并保證飛行器操縱的穩(wěn)定性。

實驗研究方法在空氣動力學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，其主要手段是依靠風(fēng)洞、水洞、激波管以及測試設(shè)備進行模擬實驗或飛行實驗。其優(yōu)點在于，它能在所研究的問題完全相同或大致相同的條件下，進行模擬與觀測，因此所得到的結(jié)果較為真實、可靠。但是，實驗研究的方法往往也受到一定的限制，例如受到模擬尺寸的限制和實驗邊界的影響。此外實驗測量的本身也會影響所得到結(jié)果的精度，并且實驗往往要耗費大量的人力和物力。因此這種方法亦常常遇到困難。

理論分析的方法一般包括以下步驟；（1）通過實驗或觀察，對問題進行分析研究，找出其影響的主要因素，忽略因素的次要方面，從而抽象出近似的合理的理論模型；（2）運用基本定律，原理和數(shù)學(xué)分析，建立描寫問題的數(shù)學(xué)方程，以及相應(yīng)的邊界條件和初始條件；（3）利用各種數(shù)學(xué)方法準(zhǔn)確地或近似地解出方程；（4）對所得解答進行分析、判斷，并通過必要的實驗與之修正。

理論分析方法的特點，在于它的科學(xué)抽象，能夠用數(shù)學(xué)方法求得理論結(jié)果，以及揭示問題的內(nèi)在規(guī)律。然而，往往由于數(shù)學(xué)發(fā)展水平的限制，又由于理論模型抽象的簡化，因而無法滿足研究復(fù)雜的實際問題的需要。

上個世紀(jì)七十年代以來，隨著大型高速計算機的出現(xiàn)，以及一系列有效的近似計算方法（例如有限差分方法、有限元素法和有限體積法等）的發(fā)展，使得計算流體力學(xué)（CFD）數(shù)值方法在空氣動力學(xué)研究方法中的作用和地位不斷提高。與實驗方法相比，其研究所需要費用比較少。對有些無法進

行實驗更不能作出理論分析的問題，采用數(shù)值模擬方法進行研究可以得到解決。當(dāng)然數(shù)值方法也有局限性，有時數(shù)值計算結(jié)果可靠性較差，這也是近年來CFD研究的重點。

實驗研究，理論分析和數(shù)值模擬三種方法，各有利弊，相互促進，是空氣動力學(xué)的研究不斷發(fā)展和推進到新的階段。

1.2流體力學(xué)以及空氣動力學(xué)的發(fā)展概述

空氣動力學(xué)是現(xiàn)代流體力學(xué)的一個分支，它是從流體力學(xué)發(fā)展而來的。

18世紀(jì)是流體力學(xué)的創(chuàng)建階段。伯努利（Bernoulli）在1783年發(fā)表的“流體動力學(xué)”一書中，建立了不可壓流體的壓強、高度和速度之間的關(guān)系，即伯努利公式。歐拉（Euler）在1755年建立了理想流體運動的基本方程組，奠定了連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基礎(chǔ)。達(dá)朗貝爾（D’Alembert）提出了著名的達(dá)朗貝爾原理；“達(dá)朗貝爾疑題”就是他在1744年提出的。拉格朗日（Lagrange）改善了歐拉、達(dá)朗貝爾的方法，并發(fā)展了流體力學(xué)的解析方法。關(guān)于研究氣流對物體的作用力，最早是牛頓（Newton）于1726年提出關(guān)于流體對斜板的作用力公式，它實際上是在碰撞理論的基礎(chǔ)上提出來的，沒有考慮流體的流動性。

19世紀(jì)是流體力學(xué)的基礎(chǔ)理論全面發(fā)展的階段。泊桑（Poisson）于1826年解決了一個空間流動-----關(guān)于繞球的無旋流動問題。拉普拉斯（Laplace）于1827年提出著名的拉普拉斯方程。蘭金（Rankine）提出理想不可壓流體運動的位函數(shù)和流函數(shù)，分別滿足拉普拉斯方程，并于1868年提出將直勻流疊加到源（匯）、偶極子等流動上，以構(gòu)成所謂奇點法。海拇霍茲（Helmholtz）創(chuàng)立了旋渦運動理論。

19世紀(jì)形成了流體力學(xué)的兩個重要分支：粘性流體動力學(xué)和空氣-氣體動力學(xué)。

納維（Navier）從分子相互作用的某一假設(shè)出發(fā)，于1826年導(dǎo)出粘性流體的運動方程。斯托克斯（Stokes）于1845年在另一個國家也獨立的導(dǎo)出了粘性流體運動方程。雷諾（Reynolds）在1876-1883年驗證粘性流體在小直徑圓管中的流動時，發(fā)現(xiàn)了流體運動的層流和紊流性質(zhì)，1895年他導(dǎo)出了雷諾平均N-S方程。

空氣動力學(xué)是在流體力學(xué)、熱力學(xué)和聲學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)上發(fā)展的?？諝?氣體動力學(xué)的基本方程組出現(xiàn)在1850年前后；蘭金于1870年，雨果納（Hugoniot）于1887年分別提出了激波前后氣體壓強，速度和溫度之間的關(guān)系。

20世紀(jì)創(chuàng)建了空氣動力學(xué)完整的科學(xué)體系，并取得了蓬勃的發(fā)展。

19世紀(jì)后半葉的工業(yè)革命，蒸汽機的出現(xiàn)和工業(yè)葉輪機的產(chǎn)生，使人們萌發(fā)了建造飛機的想法。1906年，儒可夫斯基（Joukowski）發(fā)表了著名的升力公式，奠定了二維機翼理論的基礎(chǔ)，并提出以他的名字命名的翼型。1903年12月，萊特（Wright）兄弟在美國實現(xiàn)了飛機試飛的成功，從此開創(chuàng)了飛行的新紀(jì)元，人類征服天空的愿望得以實現(xiàn)。爾后的100年間，飛機的速度，高度和航程急劇遞增，乃是空氣動力學(xué)促進航空事業(yè)、而航空實踐本身推動了空氣動力學(xué)的迅速發(fā)展的時期。

1918~1919年，普朗特（Prandtl）提出了大展弦比機翼的升力線理論，1925年阿克萊特（Ackeret）

導(dǎo)出翼型的超音速線化理論，1939年，戈泰特（therto

G）提出了亞音速三維機翼的相似法則。1944年馮卡門（KarmanVon）和錢學(xué)森采用速度圖法，研究和導(dǎo)出了比普朗特-葛勞渥（Glauert）法則更為精確的亞音速相似定律公式，1946年錢學(xué)森首先提出高超音速相似律。

與上面所敘述的無粘空氣動力學(xué)發(fā)展的同時，粘性流體力學(xué)也得到了迅猛的發(fā)展。普朗特與1904年首先提出劃時代的附面層理論，從而使流體流動的無粘流動和粘性流動科學(xué)地協(xié)調(diào)起來，在數(shù)學(xué)和工程之間架起了橋梁。1921年波爾豪生（Plhlhausen）將普朗特的附面層微分方程通過積分，得到附面層動量方程應(yīng)用于解決不可壓有逆壓梯度的粘性流動；1925年普朗特又提出了實用的附面層混合

場理論；1938年馮?卡門和錢學(xué)森用附面層動量方程解得可壓流平板附面層問題；1945年林家翹發(fā)展了附面層穩(wěn)定性理論，并在1955年發(fā)表了著名的“流體動力學(xué)穩(wěn)定性理論”。

1946年出現(xiàn)了第一臺計算機以后，由于計算機飛速的發(fā)展，同樣給流體力學(xué)-空氣動力學(xué)以巨大的影響。從60年代開始，研究流體力學(xué)-空氣動力學(xué)的數(shù)值計算方法蓬勃發(fā)展起來，形成了計算流體-空氣動力學(xué)這門嶄新的學(xué)科，并推進到一個新的階段。

1.3流體介質(zhì)

固體和流體作相對運動時，物體會受到流體對它的作用力和力矩。這里力和力矩的分布情況和及其和力，不僅取決于物體的形狀（包括運動時的姿態(tài)）和速度，而且還取決于流體的具體屬性，如密度、粘性、彈性、傳熱性和流動性等。本節(jié)就是介紹流體介質(zhì)的各項屬性。

1.3.1連續(xù)介質(zhì)假設(shè)

考慮繞物體的流動，比如直徑為d的圓柱。由于流體是有單個分子組成的，這些分子繞圓柱做隨機的運動。分子（空氣分子平均直徑約為3.7×10-8cm）和相鄰分子碰撞之前的平均距離定義為分子平均自由程λ（空氣分子平均自由程約為6×10-6cm）。如果λ的量級比物體特征尺寸d小許多，對物體而言，流場就近似連續(xù)的。流場分子頻繁地碰撞物體表面，以致于根本無法區(qū)分單個分子的碰撞，表面感覺到的是流體是連續(xù)的介質(zhì)。這種流動被稱為連續(xù)流（continuumflow）。另一個極端就是λ和物體尺寸的量級相同；氣體分子分布很稀薄，氣體分子平均距離很大（相對d而言）和物體表面的碰撞不是很頻繁，物體表面能清楚地感覺到單個分子的碰撞。這種流動被稱為自由分子流（freemolecularflow）。對載人航天飛行，太空飛船，在最外層大氣碰到自由分子流，這里空氣的密度很小，以至于λ和飛船的尺寸是同一個量級。還有介于這兩者之間的情況，流動既表現(xiàn)出連續(xù)流的特征，又有自由分子流的特征；這種流動通常被稱為低密度流動（low-densityflow）。到目前為止，絕大多數(shù)實際的空氣動力學(xué)應(yīng)用是關(guān)于連續(xù)流動。低密度流和自由分子流只是整個氣動領(lǐng)域的一個小部分。因此，這本書中我們處理的都是連續(xù)流，我們采用連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，即始終把流體看成連綿不斷、沒有間隙、充滿整個空間的連續(xù)介質(zhì)。

1.3.2流體的壓強、密度、溫度和速度

任何一門科學(xué)都有用來描述其概念和現(xiàn)象的專業(yè)術(shù)語?？諝鈩恿W(xué)中最常用的術(shù)語有：壓強、密度、溫度和流動速度。

考慮流場中的一個面，這個面可以是真實物面，例如管道固壁或物體表面，也可以是流場中的一個自由表面。另外，必須注意到流體分子在運動過程中是連續(xù)的。壓強就是氣體分子在碰撞或穿過取定表面時，單位面積上所產(chǎn)生的法向力。壓強通常定義在流場中的一個點，或者是固體表面的一個點，各點的壓強可以不同。為了弄清楚這點，取流團中的任一點B。

點所在元素的面積BdA=

一側(cè)產(chǎn)生的力由于壓強在dAdF=

于是流場中B點的壓強定義為

0lim→?????=dAdAdFp

壓強p是單位面積上的受力的極限形式，即B點的面積趨于零（嚴(yán)格的說，dA不能取其極限零，因為那樣在B點就沒有分子。上述極限中分母dA在宏觀上趨于零，在微觀上比分子的平均自由程大得多）。顯然，壓強是某個點的特性，流場中各點的壓強值可以不同。

密度定義為單位體積的質(zhì)量。和壓強的論述相似，密度是點的特性，流場中各點的密度可以不同。

考慮流場中一點B。

內(nèi)的流體質(zhì)量點的微元體積繞dvdmBdv==

于是密度定義為

dvdmlim=ρ0→dv因此密度是單位體積內(nèi)質(zhì)量的極限形式。

溫度在高速空氣動力學(xué)中起著十分重要的作用。溫度T和氣體分子平均動能成比例，如果KE是分子平均動能，那么溫度就由kTKE2

3=給出，其中k是Boltzman常數(shù)。因此定性分析可以得知：高溫氣體的分子和原子高速隨機碰撞，而在低溫氣體中，分子的隨機運動相對緩慢些。溫度也表示一個點的特性，流場中各點的溫度可以不同。

空氣動力學(xué)研究的是運動流體，因此流體速度是一個非常重要的概念。和固體相比，速度的概念沒有那么直接和明顯。比如某固體物以sm/30的速度做平移運動，那么該物體的所有部分同時以sm/30的速度運動。然而，流體是沒有固定形態(tài)的物質(zhì)，對運動的流體，其中一部分的運動速度可能與另一部分的運動速度不同，為此采用如下方法描述?？紤]繞翼型的流場，如圖1-1所示。

圖1-1流動速度示意圖

對流場中的某個微小單元（稱為流體微團），觀察該微團隨時間的運動情況。當(dāng)微團從一個點運動到另外一個點時，其速率和方向都是變化的?，F(xiàn)在，觀察空間某一固定點B，如圖1-1所示，流動速度可以定義為：流動氣體在空間某固定點B的速度就是流體微元通過點B時的速度。流動速度V

既有大小，又有方向，它是一個矢量，流動速度V的大小通常用V表示。速度也是點的特性，在流場中各點的速度可以不同。

1.3.3完全氣體的狀態(tài)方程

完全氣體是氣體分子運動論中所采用的一種模型氣體。它的分子是一種完全彈性的微小球粒，內(nèi)聚力十分小，可以忽略不計，彼此只有在碰撞時才發(fā)生作用，微粒的實有總體積和氣體所占空間相比較可以忽略不計。遠(yuǎn)離液態(tài)的氣體基本符合這些假設(shè)，通常狀況下的空氣也符合這些假設(shè)，可以看作完全氣體。

任何狀態(tài)下，氣體的壓強、密度和溫度之間都存在著一定的函數(shù)關(guān)系，即

()Tp,ρ=這個函數(shù)關(guān)系稱為氣體的狀態(tài)方程。對完全氣體，其狀態(tài)方程形式特別簡單

Tm

Rpρ=(1-1)式中R是普適氣體常數(shù)，其數(shù)值為)/(831522Ksm?；m為氣體的分子量；T為絕對溫度。如果將mR/改

用符號R表示，則方程(1-1)可以寫為

RTpρ=(1-2)式中R為氣體常數(shù)，各種氣體的氣體常數(shù)各不相同?？諝馐嵌喾N組分構(gòu)成的混合物，按其組分的質(zhì)量比例計算得其氣體常數(shù)為)/(053.28722Ksm?。

1.3.4壓縮性、粘性和傳熱性

1.3.4.1壓縮性

對氣體施加壓強，氣體的體積會發(fā)生變化。在一定溫度條件下，具有一定質(zhì)量的氣體的體積或密度隨壓強變化而改變的特性，叫做壓縮性（或稱彈性）。

度量氣體壓縮性大小通?？梢杂皿w積彈性模數(shù)，其定義為產(chǎn)生單位相對體積變化所需要的壓強增高，即：

V

dVdpE/-=式中E為體積彈性模數(shù)；V為一定量氣體的體積。對于一定質(zhì)量的氣體，其體積與密度成反比例關(guān)系，因此可得

V

dVd-=ρρ因此，氣體的體積彈性模數(shù)可寫為

ρρddpE=(1-3)在相同的壓強增量作用下，這種相對密度（或體積）的變化的大小和體積彈性模數(shù)的值有關(guān)。各種物質(zhì)的體積彈性模數(shù)不同，因此各種物質(zhì)的壓縮性也各不相同。例如，在常溫下水的體積彈性模數(shù)約為29/101.2mN?，當(dāng)壓強增大一個大氣壓時，由式(1-3)可確定，對應(yīng)的相對密度變化為

4105.0-?≈=E

p??ρρ即一個大氣壓的壓強變化引起的水的相對密度變化值只有萬分之零點五，因此通常情況下，水可視為不可壓縮流體。而液體的體積彈性模數(shù)都比較大，因此對大多數(shù)工程問題而言，液體都是不可壓縮流體。

在通常壓強下，空氣的體積彈性模數(shù)相當(dāng)小，約為水的兩萬分之一。因此，空氣的密度很容易隨壓強的改變而變化，也就是說，空氣具有壓縮性。對于具體流動問題，是否應(yīng)該考慮空氣的壓縮性，應(yīng)該根據(jù)流動過程中所產(chǎn)生的壓強變化是否引起了密度的顯著變化而定。一般情況下，當(dāng)空氣流動速度較低時，壓強變化引起的密度變化很小，可以不考慮空氣的壓縮性對流動特性的影響。

1.3.4.2粘性

任何實際流體都有粘性，只是不同流體的粘性各不相同?？諝夂退恼承远疾淮螅渥饔迷谌粘Ｉ钪胁淮鬄槿怂⒁?。例如，河流近岸處的水流速度比河心處慢，注意觀察水上漂浮物的運動，就可以說明這一點。這種速度的差別就是因為水有粘性與岸邊直接接觸的水層被水的粘性所阻滯而引起的現(xiàn)象。

為了說明粘性力作用的情況和粘性系數(shù)的定義，讓我們看一個有關(guān)空氣粘性的實驗。把一塊無限薄的靜止平板放在氣流速度為∞V的一股直勻流中，使板面與氣流平行，如圖1-2所示。所謂直勻流，指的是來流的速度大小相等并且彼此平行的流動。用尺寸十分小的測量氣體速度的儀器，沿平板法向方向測量平板附近氣體速度分布情況。圖1-2給出離平板前緣距離為x的截面上，沿平板法線方向氣

流速度分布的測量結(jié)果。由圖可見，氣流在沒有流到平板以前，平板對流動沒有擾動，氣流速度均一，其值都為∞V。在流過平板時，緊靠平板表面的那層氣體完全貼附在平板表面上，氣流速度降為零。隨著逐漸遠(yuǎn)離平板，氣流速度逐漸增大，直到離平板表面一定距離以后，氣流速度才基本恢復(fù)到原來的來流值。由此可見，在平板上方，離平板距離不同，其對應(yīng)的氣流速度也不同。也就是說，氣流速度是離開平板表面的距離n的函數(shù)()nfu=，各層之間氣流速度有差別。

圖1-2空氣粘性實驗

氣流速度之所以形成這樣的變化，正是氣體具有粘性的表現(xiàn)。由于氣體粘性的作用，緊靠平板表面的那層氣體被“粘”住在平板上，并形成隨著離平板距離增大、氣流速度逐漸增加這種變化特性。造成氣體具有粘性的主要原因是氣體分子的不規(guī)則熱運動，它使得不同速度的相鄰氣體層之間發(fā)生質(zhì)量交換和動量交換。上層流動速度較大的氣體分子進入下層時，就會帶動下層氣體加速，同樣，當(dāng)下層氣體分子進入上層時，也會阻滯上層氣體使之減速。也就是說，相鄰的兩個流動速度不同的氣體層之間，存在著互相牽扯的作用，這種作用稱之為粘性力或內(nèi)摩擦力。與摩擦力相仿，粘性力或內(nèi)摩擦力的方向總是阻滯速度較大的氣體層使其減速，或牽動速度較小的氣體層使其加速。在圖1-2所示的情況，下層氣體對上層氣體的粘性力向左，而上層氣體對下層氣體作用的粘性力向右。顯然，不同速度的氣體層之間有內(nèi)摩擦力，在緊靠平板表面的那層氣體和平板表面之間也存在著這種摩擦力。

牛頓與1678年經(jīng)實驗研究指出，流體運動所產(chǎn)生的摩擦阻力與接觸面積成正比，與沿接觸面法線方向的速度梯度成正比，牛頓提出的摩阻應(yīng)力公式為

dnduμτ=(1-4)上式稱為牛頓粘性定律。式中τ為摩擦應(yīng)力，即單位面積上的摩擦阻力；μ為比例常數(shù)，稱為流體的粘性系數(shù)，它的單位是2/msN?。

不同的流體介質(zhì)的粘性系數(shù)值各不相同，并且粘性系數(shù)隨溫度變化而變化，但與壓強基本無關(guān)。實驗證明，氣體的粘性系數(shù)隨溫度升高而增大。其原因是當(dāng)溫度升高時，氣體無規(guī)則熱運動速度加大，引起速度不同的相鄰氣體層之間的質(zhì)量交換和動量交換加劇，因而使粘性系數(shù)增大。

在溫度為288.15K時，空氣的粘性系數(shù)值為25/107894

.1msN??-?？諝獾恼承韵禂?shù)隨溫度變化的數(shù)據(jù)可查標(biāo)準(zhǔn)大氣表。

在分析求解時，往往需要知道粘性系數(shù)隨溫度變化的具體表達(dá)式。空氣粘性系數(shù)隨溫度變化的關(guān)系，有許多近似公式可以應(yīng)用，其中最常用的是薩特蘭公式

C

TCT++?????=15.28815.2885.10μμ(1-5)式中0μ為溫度等于288.15K時空氣的粘性系數(shù)值；C為常數(shù)，其值為110.4K。更簡單些的近似式有指數(shù)律式

nTT???

???=00μμ(1-6)

式中指數(shù)n在不同溫度范圍內(nèi)應(yīng)取不同值。在溫度大于90K、小于300K范圍，指數(shù)n可取9/8。溫度越高，n值越小，在溫度大于400K、小于500K范圍，指數(shù)n值約為0.75。在溫度變化范圍不大時，還可以應(yīng)用簡單的直線關(guān)系式，如

()27310934.4107118.185-?+?=--Tμ(1-7)在空氣動力學(xué)許多問題里，慣性力總是和粘性力同時并存，粘性系數(shù)和密度的比值起著重要作用。有時用它們的比值來表示氣體的粘性更為方便，即

ρ

μν=(1-8)式中ν為運動粘性系數(shù)，單位是sm/2。運動粘性系數(shù)的量剛中只有長度和時間，都是運動學(xué)中的量。

當(dāng)溫度為288K，密度為3/225.1mkg時，空氣的運動粘性系數(shù)為sm/104607

.125-?。

1.3.4.3傳熱性

當(dāng)氣體中沿某一方向存在溫度梯度時，熱量就會由溫度高的地方傳向溫度低的地方，這種性質(zhì)稱為氣體的傳熱性。實驗表明，單位時間內(nèi)所傳遞的熱量與傳熱面積成正比，與沿?zé)崃鞣较虻臏囟忍荻瘸烧?，?/p>

n

Tq??-=λ(1-9)式中q表示單位時間通過單位面積的熱量，單位是2/mkJ；nT??/為溫度梯度，單位是mK/；λ是比例系數(shù)，稱之為導(dǎo)熱系數(shù)，單位為)/(sKmkJ??。式(1-9)中負(fù)號表示熱流量傳遞的方向永遠(yuǎn)和溫度梯度的方向相反。

流體的導(dǎo)熱系數(shù)值隨流體介質(zhì)不同而不同，同一種流體介質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度的變化而略有差異。在通常溫度范圍，空氣的導(dǎo)熱系數(shù)為)/(1047.25sKmkJ???-。

由于空氣的導(dǎo)熱系數(shù)很小，當(dāng)溫度梯度不大時，可以忽略空氣傳熱性對流動特性的影響。

1.3.5流體的模型化

實際氣體有著多方面的物理屬性，嚴(yán)格來說，這些物理屬性對于氣體的流動特性都有不同程度的影響。在研究某一具體的流動問題時，如果把流體的所有物理屬性都考慮進去，必然使問題變得非常復(fù)雜，要進行分析并得出一定的結(jié)果就變得非常困難，而且也是不必要的。事實上，在某些具體問題里，氣體各方面的物理屬性并不具有同等的重要性。因此對于一些具體問題來說，可以抓住一些起主導(dǎo)作用的物理屬性，忽略一些居于次要地位的物理屬性。這樣處理問題，使我們能更清楚地看清問題的本質(zhì)，抓住事物的關(guān)鍵，同時使問題得到簡化，便于進行數(shù)學(xué)處理和求解。按照對實際流體物理屬性的不同情況的簡化，可以得出各種流體模型。

1.3.5.1理想流體

這是一種不考慮氣體粘性的模型。在這種模型中，流體微團不承受粘性力的作用。由于空氣的粘性系數(shù)很小，在實際流動中，只有在緊貼物體表面的很薄的一層范圍內(nèi)，各層氣體速度差異很大，因而，速度梯度很大，粘性力比較大。在這一薄層以外的區(qū)域，由于各層氣體之間速度變化很緩慢，速度梯度不大，因此，粘性力也就很小，通常可以忽略粘性作用。

忽略粘性的氣體稱為理想氣體。根據(jù)理想氣體模型計算出來的繞流圖畫和物面壓強分布，一般來說，與實驗證實的結(jié)果比較一致，由此得到的升力和力矩值比較可信。但是當(dāng)流線型物體在大迎角情

況、或?qū)τ诜橇骶€型物體的繞流情況，實際流動中在物體表面將會形成一定程度的分離，忽略粘性用理想氣體模型得出的結(jié)果將與實際情況差異甚大。當(dāng)然，在研究流動阻力問題時，用理想氣體模型得出的結(jié)果往往與實際情況相差較大，這是因為粘性阻力和緊貼物體表面的那一層氣體的流動特性密切相關(guān)。

1.3.5.2不可壓流體

這是一種不考慮氣體壓縮性或彈性的模型?？梢哉J(rèn)為，它的體積彈性模數(shù)為無窮大或它的流體密度等于常數(shù)。液體是十分接近這種情況的。對于氣體按不可壓縮流體處理，初學(xué)者一般不容易接受。求解不可壓流體的流動規(guī)律，只需要服從力學(xué)定律，而不需要考慮熱力學(xué)關(guān)系，因此使問題的求解和數(shù)學(xué)分析大大簡化。

對于流動速度較低的，更準(zhǔn)確的講對流動馬赫數(shù)較低的氣體，是完全可以按不可壓流體來處理流動問題的。飛行器在空氣中飛行時，飛行器周圍的空氣速度有所變化，隨之引起壓強的變化，以及由此而造成密度變化。如果飛行器的飛行速度較低，即來流馬赫數(shù)不大，繞飛行器流場中各點的速度變化不大，因而壓強變化不大，相應(yīng)的密度變化也不大。因此，如果把這種密度變化很小的流動近似地當(dāng)作密度不變的流動，即把低速流動的流體當(dāng)作不可壓流體來處理，簡化數(shù)學(xué)處理過程，在工程問題處理中是合理的。實際應(yīng)用表明，用不可壓流體模型來處理低速情況下的空氣動力學(xué)問題，所得的結(jié)果與實際情況基本一致，是可信的。如果來流速度較大，繞物體流場中各點的速度變化很大，速度變化引起的壓強變化及密度變化也很顯著，必須如實地把空氣看作密度可變的可壓縮流體來處理，才能獲得與實際情況相吻合的結(jié)果。

只考慮氣體的可壓縮性的影響，但不考慮氣體的粘性的影響，就得到了可壓縮理想流體模型。在這種情況下，認(rèn)為氣體的粘性系數(shù)等于零，而它的體積彈性模數(shù)不等于零。與此相對應(yīng)，還可以有不可壓粘性流體模型，對不可壓粘性流體模型而言，它的體積彈性模數(shù)是無窮大（即流體密度為常數(shù)），而它的粘性系數(shù)不等于零。當(dāng)然，最簡單的流體模型莫過于不可壓理想流體模型了，它既不考慮氣體的可壓縮性的影響，也不考慮氣體的粘性影響，也就是說，它認(rèn)為整個流場中，氣體的粘性系數(shù)都等于零，而且氣體的密度都等于常數(shù)。

1.3.5.3絕熱流體

這是一種不考慮流體的熱傳導(dǎo)性的模型，即它把流體的導(dǎo)熱系數(shù)看作為零。由于空氣的導(dǎo)熱系數(shù)量值很小，因此，在低速流動中，除了專門研究傳熱問題的場合外，一般都不考慮流體的熱傳導(dǎo)性質(zhì)，把流體看成為絕熱的，所得到的結(jié)果與實際情況很一致。在高速流動中，在溫度梯度不太大的地方，氣體微團間的傳熱量也是微乎其微的，忽略氣體微團間傳熱量對流動特性的影響不大，因此，也可以不考慮傳熱量的作用。

不考慮氣體微團間熱傳導(dǎo)作用的氣體模型稱之為絕熱氣體。

1.4氣動力和力矩

1.4.1氣動力及力矩

物體所受的氣動力和力矩都是由物體表面的壓強分布p和剪切應(yīng)力分布τ引起的。

定義翼型前緣點和后緣點之間的連線為弦線c。在翼型平面上，把來流

V和弦線間的夾角定義為

∞

幾何迎角，簡稱迎角，用α表示，如圖1-3所示。對弦線而言，來流上偏α為正，下偏α為負(fù)。

氣流繞翼型的流動是二維平面流動，翼型上的氣動力應(yīng)視為無限翼展機翼在z方向截取單位展長

翼段上所產(chǎn)生的氣動力，如圖1-4所示。

圖1-3氣動力及其分量

圖1-4單位展長翼段

翼型表面上每個點都作用有壓強p和摩擦應(yīng)力τ，它們產(chǎn)生一個合力R，將R

分解為垂直于來流和平行于來流方向的兩個分量，并定義

方向的分量在垂直于來流升力∞≡≡VRL

方向的分量在平行于來流阻力∞≡≡VRD

也可以將R分解為垂直于弦線和平行于弦線方向的兩個分量，如圖1-3所示，并定義方向的分量在垂直于弦線法向力cRN≡≡方向的分量在平行于弦線軸向力cRA≡≡因為迎角α定義為弦線c和來流∞V之間的夾角，因此L和N以及D和A之間的夾角都是α。從圖1-3可以知道，它們之間存在如下數(shù)學(xué)關(guān)系：

α

αsincosANL-=(1-10)αcossinAaND+=

(1-11)

為了得到氣動力和力矩，下面詳細(xì)分析壓強和剪切應(yīng)力沿整個翼型表面的積分?？紤]如圖1-5所示的翼型。弦線水平，來流迎角為α。直角坐標(biāo)系的x軸和y軸分別平行和垂直于弦線。對上表面任意點A，到前緣點的弧線距離記為us；同樣，對下表面任意點B，到前緣點的弧線距離記為ls。上表面的壓強和剪切力分別記為up和uτ，up和uτ都是us的函數(shù)。類似地，lp和lτ分別是下表面的壓力強和剪切力，它們都是ls的函數(shù)。在某給定點，壓強總是垂直表面，相對垂直方向成θ角；剪切應(yīng)力與物面相切，與水平方向之間的夾角也為θ。規(guī)定從垂直方向順時針旋轉(zhuǎn)到壓強p的作用線的θ為正；從水平方向順時針旋轉(zhuǎn)到τ的作用線的θ為正，如圖1-5所示。

圖1-5翼型表面壓強和剪切應(yīng)力積分

現(xiàn)在考慮如圖1-5所示翼型的單位展長翼段，如圖1-4所示。取單位展長翼段的一個微元dS，)1)((dsdS=，如圖1-4中陰影部分所示。現(xiàn)在計算在微元區(qū)域dS上的壓強p和剪切應(yīng)力τ對總的法向力'N和軸向力'A的貢獻(xiàn)（這里的'N和'A都是指單位展長翼段上的法向力和軸向力）。分析圖1-4和1-5可以得出微元dS的法向力和軸向力的表達(dá)式：

θτθsincos'uuuuudsdspdN--=(1-12)

θτθcossin'uuuuudsdspdA+-=(1-13)

對下表面，可以得到：

θτθsincos'llllldsdspdN-=

(1-14)θτθcossin'llllldsdspdA+=

(1-15)方程(1-12)到(1-15)中的'N、'A的正向如圖1-3所示，θ遵循上述的正負(fù)規(guī)定。

于是，單位展長翼段上總的法向力和軸向力，可以通過對方程(1-12)到(1-15)從前緣點（LE）到后緣點(TE)的積分得到：

??-++-

=TELElllTELEuuudspdspN)sincos()sincos('θτθθτθ(1-16)??+++-=TE

LElllTE

LEuuudspdspA)cossin()cossin('θτθθτθ

(1-17)

把方程(1-16)、(1-17)代入方程(1-10)、(1-11)，就可以求出翼型的升力和阻力。

翼型上受到的氣動力矩取決于對哪點取力矩。習(xí)慣上規(guī)定使翼型抬頭的力矩為正、低頭為負(fù)。以對前緣點取力矩為例。根據(jù)圖1-5和圖1-4，微元dS上的壓強p和剪切應(yīng)力τ對前緣點的力矩是：

()()uuuuuuuydspxdspdMθτθθτθcossinsincos'+-++=(1-18)

對下表面

()()lllllllydspxdspdMθτθθτθcossinsincos'+++-=(1-19)

這里的θ正負(fù)規(guī)則和前面一樣。對方程(1-18)和(1-19)從前緣點到后緣點積分就可以得到單位展長翼段對前緣點的力矩。

()()[]()()[]??+++-+--+=TELEl

lllluTELEu

uuuLEdsypxpds

ypxpMθτθθτθθτθθτθcossinsincoscossinsincos'(1-20)

1.4.2氣動力及力矩系數(shù)

首先定義自由來流的動壓，用∞q表示

∞∞∞=Vqρ2

1自由來流的動壓是一個很基本的量。它的單位和壓力的單位相同。設(shè)參考面積是S，參考長度為l。無量綱的氣動力系數(shù)和力矩系數(shù)定義如下：

升力系數(shù)SqLCL∞=

阻力系數(shù)SqDCD∞=

力矩系數(shù)Sl

qMMx∞=

對二維情況，一般用小寫字母表示：

cqLcl∞='cqDc

d∞='2'

cqMcm∞=其中參考面積ccS==)1(。

引入兩個即將用到的無量綱參數(shù)：

壓強系數(shù)：∞

∞-=qppCp摩擦應(yīng)力系數(shù)：∞

=qcfτ方程(1-16)、(1-17)和(1-20)最常用的是它們的無量綱形式。由圖1-6有：

圖1-6單位展長翼段上微段弧長的幾何關(guān)系

θcosdsdx=(1-21)

)sin(θdsdy-=(1-22)

)1(cS=(1-23)

把方程(1-21)、(1-22)代入方程(1-16)、(1-17)和(1-20)，并除以∞q和S，可以得到力和力矩系數(shù)的積分形式為：

()??

??????????++-=??c

llfuufcuplpndxdxdycdxdycdxCCcc0..0..1(1-24)()??????++??????-=??

clfufcllpuupadxccdxdxdyCdxdyCcc0..0..1(1-25)()()???+-+??????++??????

???

++-=????clflpcuufuupcllfuufclpupmLEdxycCdxyCdxdyCxdxdxdycdxdycxdxCCcc0..0..0..0..21(1-26)

需要注意的是uy指向x軸的上方，為正；是ly指向x軸的下方，為負(fù)。dxdy在上下表面遵循常規(guī)的微積分原則，即斜率為正時dxdy為正，斜率為負(fù)時dxdy為負(fù)。

升阻力系數(shù)可以從方程(1-10)和(1-11)得到：

ααsincosanlccc-=(1-27)ααcossinandccc+=(1-28)

顯然，把方程(1-24)和(1-25)代入(1-27)和(1-28)可以得到升阻力系數(shù)的積分形式。

1.4.3壓力中心

從方程(1-16)和(1-17)可以看出，法向力和軸向力都是由于分布的壓強和剪切應(yīng)力載荷引起的。同時這些分布載荷還產(chǎn)生了一個對前緣點的力矩，見方程(1-20)。問題：如果物體上受到的氣動力要用一個合力R

或者其分量N和A來表示，那么這些力應(yīng)該作用在物體的什么位置呢？這個問題的答案就是：合力作用在某個具體的位置上，使得合力產(chǎn)生與分布載荷同等的作用。例如，翼型上的分布載荷會產(chǎn)生一個對前緣的力矩見方程(1-20)。因此'N和'A作用的位置，必須使得'N和'A也對前緣點產(chǎn)生同樣的力矩。如圖1-7，如果'A作用在弦線上，那么'N必須作用在離前緣cpx的地方。

圖1-7翼型的壓力中心

'')(NxMcpLE-=

''NMxLEcp-=(1-29)

圖1-7中表示的力矩方向是正向（使機翼抬頭力矩為正）。分析圖1-7，可以看出'N會產(chǎn)生一個關(guān)于前緣的負(fù)力矩（使機翼低頭）。這就是為什么方程見方程(1-29)中有個負(fù)號。

圖1-7和方程(1-29)中的cpx就定義為壓力中心。當(dāng)合力作用在這個點上，合力產(chǎn)生與分布載荷相同的效果。如果對壓力中心取力矩，那么分布載荷產(chǎn)生的力矩在整個翼型表面的積分等于零。因此另一種定義壓力中心的方法就是：壓力中心就是使分布的氣動載荷的總力矩為零的點。

當(dāng)功角很小，0sin≈α和1cos≈α，根據(jù)方程（1-10）有，''NL≈。因此方程(1-29)變?yōu)?/p>

''LMxLE

cp-≈(1-30)

在方程(1-29)和(1-30)中，當(dāng)'N和'L減小，cpx增大。當(dāng)力趨向與零，壓力中心趨向無窮遠(yuǎn)處，因此在空氣動力學(xué)中壓力中心并不總是一個很方便的概念。為了定義分布載荷產(chǎn)生的力-力矩系統(tǒng)，最終的合力可以作用在物體的任何點，只要同時也給出關(guān)于該點的力矩值。例如，圖1-8表示的是翼型上三種等效的力-力矩系統(tǒng)。

圖1-8翼型上力-力矩系統(tǒng)的等效方法

左邊的圖表示合力作用在前緣，以及對前緣的力矩'LEM；中間的圖表示合力作用在4/1弦線上，

以及對4/1弦線處的力矩'4/cM；

右邊的圖表示合力作用在壓力中心，由于分布載荷對該點的力矩為零，因此不要附加額外的力矩。通過分析圖1-8，它們之間存在如下的關(guān)系：

''4/''4LxMLcMcpcLE-=+-=(1-31)

1.5矢量和積分知識

空氣動力學(xué)中經(jīng)常使用矢量，它們既有大小，又有方向。例如力和速度，它們都是矢量。氣動的數(shù)學(xué)公式為了方便，大多是用矢量符號來表示的。這一節(jié)的目的是提前準(zhǔn)備好我們所需要的矢量代數(shù)和矢量運算基本關(guān)系。

1.5.1矢量代數(shù)

考慮矢量A，它的大小和方向都由箭頭在圖1-9中給出。A的大?。＃┦茿，它是標(biāo)量。單

位矢量n定義為：A

An=，它的大小為1，方向和A相同。用

B表示另外一個矢量。A和B的矢量和

C定義為A和B尾首相連的矢量，如圖1-9所示，并記為CBA=+(1-32)考慮B-，它大小和B相同，但方向相反。A與B的矢量差

D定義為A和B-尾首相連的矢量，如圖1-9所示，并記為DBA=-(1-33)矢量乘法有兩種形式?？紤]矢量A和B，夾角為θ，如圖1-9所示。A和B的標(biāo)量積（點積）定義為

θcos||||BABA=?(1-34)

注意到兩個矢量的點積是標(biāo)量。兩個矢量A和B的矢量積（叉乘）定義為

GeBABA==?)sin|||(|θ(1-35)這里G垂直A和B構(gòu)成的平面，方向和A、B成“右手法則”，如圖1-9所示。在方程（1-25）中，e是G方向的單位矢量，如圖1-9。很明顯，兩個矢量的矢量積是個矢量。

圖1-9矢量代數(shù)圖

1.5.2典型的正交坐標(biāo)系

要在數(shù)學(xué)上描述三維空間的流體運動，首先要規(guī)定好三維坐標(biāo)系統(tǒng)。有些氣動問題很適合矩形空間，而有的問題卻具有合圓柱型或球型特性。所謂正交坐標(biāo)系統(tǒng)所有的三個方向都彼此垂直。下面分別討論三種常用的正交坐標(biāo)系：笛卡爾坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。

圖1-10a所示的是笛卡爾坐標(biāo)系。x、y和z軸彼此垂直，i、j和k

分別為x、y和z正方向

的單位矢量。空間任意一點P可以用三維坐標(biāo)),,(zyx來表示，也可以用其方向矢量r來表示kzjyixr++=

如果A是笛卡爾空間的一個給定矢量，則A

可以表示為

kAjAiAAzyx++=

這里xA、yA和zA分別是A沿zyx和,方向的分量大小，如圖1-10b所示。

圖1-10笛卡爾坐標(biāo)系

圖1-11a所示的是柱坐標(biāo)系，虛線表示的是笛卡爾坐標(biāo)系?？臻g點P的位置可以由三維坐標(biāo)),,(zrθ給出，這里θ和r在xy平面度量，如圖1-11a。r的正方向是保持θ和z不變，r增加的方向，re是r方向的單位矢量。類似，θ的正方向是保持zr和不變，θ增大的方向，θe是θ方向的單位矢量；z的正方向是保持θ和r恒定，z增大的方向，ze是z方向的單位矢量。對空間給定矢量A，有

zzrreAeAeAA

++=θθ

這里rA、θA和zA分別是A在r、θ和z方向的分量大小，如圖1-11b所示。笛卡爾坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系可以從圖1-11a中得出

z

zryrx===θθ

sincos(1-36)

反過來

zzx

yyxr==+=arctan

2

2θ(1-37)

圖1-11柱坐標(biāo)系

圖1-12a所示的是球坐標(biāo)系，虛線表示的是笛卡爾坐標(biāo)系（為了清晰起見，z軸垂直繪制）?？臻g點P的位置由三維坐標(biāo)),,(φθr給出，這里r是點P到原點的距離，θ是在rz平面內(nèi)，z軸和r所成的夾角，φ是在xy平面內(nèi)，x軸和r在xy平面內(nèi)的投影線所成的夾角。r的正方向是保持φθ和恒定，r增加的方向，re是r方向的單位矢量。類似，θ的正方向是保持φ和r不變，θ增加的方向，θ

e

是θ方向的單位矢量；φ的正方向是保持θ和r不變，φ增加的方向，φe是φ方向的單位矢量。顯然，

單位矢量re、φe和φe彼此垂直。對球坐標(biāo)系中給定矢量A，有φφθθeAeAeAArr++=

這里rA、θA和φA分別是矢量A沿φθ和,r方向的分量大小，如圖1-12b。從圖1-12a可以得出

球坐標(biāo)系和笛卡爾坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系

θ

φθφ

θsinsinsincossinrzryrx===(1-38)

反過來

2

22222

22arccosarccosarccosyxx

zyxzrz

zyxr+=++==++=φθ

(1-39)

圖1-12球坐標(biāo)系

1.5.3標(biāo)量場和矢量場

由空間坐標(biāo)和時間t的函數(shù)給出的標(biāo)量稱為標(biāo)量場。例如對標(biāo)量壓力、密度和溫度

),,,(),,,(),,,(321trptzrptzyxppφθθ===

),,,(),,,(),,,(321trtzrtzyxφθρθρρρ===

),,,(),,,(),,,(321trTtzrTtzyxTTφθθ===

分別稱為壓力場、密度場和溫度場。類似地，由空間坐標(biāo)和時間t的函數(shù)給出的矢量稱為矢量場。例如對速度矢量

kVjViVVzyx++=

其中

),,,(tzyxVVx=

),,,(tzyxVVyy=

),,,(tzyxVVzz=稱為矢量V在笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量場。在柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下，矢量場有類似的表達(dá)。上述的矢

量和標(biāo)量場，是許多氣動理論問題中，在給定初始條件和邊界條件下所要求解的。

1.5.4標(biāo)量積和矢量積

由式(1-34)和(1-35)所定義的標(biāo)量積和矢量積，可以用矢量分量的形式來表示。

在笛卡爾坐標(biāo)系下

kAjAiAAzyx++=

kBjBiBBzyx++=

那么

zzyyxxBABABABA++=?(1-40)

)()()(xyyxzxxzyzzyz

yxzyxBABAkBABAjBABAiBBBAAAkjiBA-+-+-==?(1-41)在柱坐標(biāo)系下

zzrreAeAeAA

++=θθ

zzrreBeBeBB

++=θθ

那么

zzrrBABABABA++=?θθ

(1-42)z

rzrz

r

BBBAAAeeeBAθθθ

=?

(1-43)

在球坐標(biāo)系下

φφθθeAeAeAArr

++=

φφθθeBeBeBBrr

++=

那么

φφθθBABABABArr++=?

(1-44)φ

θφθφ

θBBBAAAeeeBArrr

=?

(1-45)

1.5.5標(biāo)量場的梯度

考慮壓強標(biāo)量場

),,(),,(),,(321φθθrpzrpzyxpp===

壓強p在空間某點的梯度p?定義為如下矢量：

[1]大小等于空間給定點單位坐標(biāo)長度上壓強p的最大變化率。

[2]方向為給定點壓強p變化最快的方向。

如圖1-13所示二維笛卡爾空間的壓力場。實線是等壓線，是壓力場中所有壓力相等的點的連接線，這些線被稱為等值線。對圖1-13中任意一點),(yx，如果從該點起沿任意方向移動，壓強p通常會改變，因為點的空間位置已經(jīng)改變。再者，沿某個方向，該點壓強p在單位長度上變化最大。這就定義了該點壓強p的梯度方向，如圖1-13。p?的大小是壓強p在梯度方向上單位長度變化率。在坐標(biāo)系中，p?的大小和方向都會隨點的不同而改變。如圖1-13所示，在空間畫一條曲線，線上各點的切線方向就是該點的梯度方向，這樣的曲線稱為梯度線。坐標(biāo)空間中任何點的梯度線和等值線正交。

圖1-13標(biāo)量場的梯度

如圖1-14所示，p?是給定點),(yx的壓強梯度，任意選擇一個方向s，n是s方向的單位矢量。壓強p在s方向上單位長度的變化率是：

npds

dp??=(1-46)在式(1-46)中，dsdp/稱為p在s方向的方向?qū)?shù)。從式(1-46)可以知道壓力p在任意方向的變化率只是壓力梯度p?在該方向的一個分量。

圖1-14方向?qū)?shù)

p?在三種不同坐標(biāo)系統(tǒng)中的表述形式如下：

笛卡兒坐標(biāo)系：),,(zyxpp=

kzpjypixpp??+??+??=?(1-47)

柱坐標(biāo)系：),,(zrppθ=

zrez

peperpp??+??+??=?θθ(1-48)

球坐標(biāo)系：),,(φθrpp=φθφθepeperppr??+??+??=?(1-49)

1.5.6矢量場的散度

設(shè)矢量場

),,(),,(),,(φθθrVzrVzyxVV===

V可以代表任何矢量，出于應(yīng)用目的以及為了理解其物理意義，這里設(shè)V為流動速度。對質(zhì)量一定，以速度V沿流線運動的流體微元，它在空間運動過程中體積通常會改變。在第二章第三節(jié)，我們將證明速度V的散度就是標(biāo)定流體微團在運動過程中相對體積的時間變化率，記為V??。速度散度是個標(biāo)量，在不同坐標(biāo)系下有不同的表達(dá)式

笛卡爾坐標(biāo)系kVjViVzyxVVzyx++==),,(

zVyVxVVzyx??+??+??=??

(1-50)柱坐標(biāo)系zzrreVeVeVzrVV++==θθθ),,(

z

VVrrrVrVzr??+??+??=??θθ1)(1(1-51)球坐標(biāo)系φφθθφθeVeVeVrVVrr++==),,(

()φθθθθφθ??+??+??=??VrVrrVrrVrsin1sinsin1)(122(1-52)

1.5.7矢量場的旋度

設(shè)矢量場

),,(),,(),,(φθθrVzrVzyxVV===

盡管V可以是任意矢量場，這里同樣不妨設(shè)V為速度場。對沿流線運動的流體微團，運動過程中可能有旋轉(zhuǎn)角速度ω。在以后的學(xué)習(xí)中，我們將證明ω是速度旋度的一半，記V的旋度為V??。V的旋度是個矢量，在不同的坐標(biāo)系中有不同的表達(dá)式

笛卡爾坐標(biāo)系kVjViVVzyx++=

????????-??+????????-??+???

?????-??=??????=??yVxVkxVzVjzVyViVVVzyxkjiVxyzxyzz

yx(1-53)柱坐標(biāo)系zzrreVeVeVV++=θθ

z

r

zrVrVVzreeerVθ

θθ??

????

=

??1(1-54)

球坐標(biāo)系φφθθeVeVeVVrr

++=

()()φ

θ

φ

θθφθθθVrrVVr

erererVr

r

sinsinsin12

??

????

=??(1-55)

1.5.7線積分

設(shè)矢量場

),,(),,(),,(φθθrAzrAzyxAA

===

如圖1-15左側(cè)所示，C是連接a和b兩點的空間曲線，設(shè)ds是曲線上的一個微元，n

是曲線的切向單位矢量，定義矢量dsnsd

=。那么A

沿曲線C從a點到b點的線積分是

?

?ba

sdA

如果曲線是封閉的，如圖1-15右側(cè)所示，那么線積分表示為

?

→

?c

dsA

并且規(guī)定逆時針方向封閉曲線C的正方向。（在封閉曲線上沿正方向運動時，封閉的區(qū)域始終在左邊）。

圖1-15線積分

1.5.8面積分

設(shè)非封閉曲面S，邊界是曲線C，如圖1-16所示。設(shè)ds是點P處的一個微面，n

為該處法向單

位矢量，n的正方向與封閉曲線C成右手法則。定義微面面積矢量dsnsd

=。沿曲面S的面積分有三種方式：

量）上的面積分（結(jié)果是矢在非封閉面標(biāo)量Spspds

=??

量）上的面積分（結(jié)果是標(biāo)在非封閉面矢量SAsdAs

=???

量）上的面積分（結(jié)果是矢在非封閉面矢量SAsdAs

=???

如果面S是封閉的（例如，面S是球面或者正方體），n

從封閉體內(nèi)指向外，如圖1-17所示，于是封

閉曲面的積分分別是：

??

s

spd

??

?s

sdA

??

?s

sdA

圖1-16面積分圖1-17封閉曲面S形成的體V

1.5.9體積分

設(shè)空間域ν，ρ是該空間的標(biāo)量場，標(biāo)量ρ在域ν上的體積分記為

???=ν

νρνρ)(結(jié)果是標(biāo)量上的體積分在體標(biāo)量d設(shè)A

是該空間的矢量場，矢量A

在域ν上的體積分記為

)(結(jié)果是矢量上的體積分在體矢量ννν

AdA

=???

1.5.10線積分，面積分和體積分之間的關(guān)系

設(shè)邊界為曲線C的非封閉面S，如圖1-16所示，設(shè)A

是矢量場。由斯托克斯定理（Stokes’theorem），A沿曲線C的線積分和A

沿面S的面積分之間有如下關(guān)系：

(

)

?

?????=

?c

s

sdAsdA

(1-56)

設(shè)由封閉曲面S封閉的空間域ν，如圖1-17所示。由散度定理，矢量場A

的面積分和體積分有

如下關(guān)系：

()?????

??=

?ν

νdAsdAs

(1-57)

如果p表示標(biāo)量場，由梯度定理有：

?????

?=

ν

νpdspds

(1-58)

1.6控制體和流體微團

空氣動力學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，到處滲透著物理觀察。在本書的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)該逐漸的培養(yǎng)對

學(xué)習(xí)內(nèi)容的物理現(xiàn)象的感觀認(rèn)識。任何一個成功的空氣動力學(xué)家在基于思維和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，都有很好的直覺，這使他們在面對難題時有合理的判斷。

1.6.1控制體

考慮如圖1-18中用流線表示的一般流場。想象在流場中存在一個有限封閉區(qū)域，于是這個封閉域就定義了一個控制體ν，控制體ν的封閉邊界定義為控制面S?？刂企w有兩種，一種控制體ν固定在空間，流體在流動時從中穿過。如圖1-18左邊的圖所示；另一種是如圖1-18右邊的圖所示，控制體ν隨流體運動，并且控制體內(nèi)總是包含著相同的流體。不管是哪種情況，控制體都是流動中的有限區(qū)域。因此，采用控制體模型以后，我們只要把注意力局限在控制體的有限區(qū)域內(nèi)，而不必同時研究整個流場。

圖1-18控制體

1.6.2流體微團

考慮如圖1-19中用流線表示的一般流場。想象流場中有一個小小的流體團，這個小小流體團就定義了一個流體微團，其體積為νd。在微分運算中，νd是一個小量，但它內(nèi)部含有足夠多的分子，仍然可以視為連續(xù)介質(zhì)。流體微團也有兩種，一種是流體微團固定在某個空間，流體從中穿過，如圖

1-19左側(cè)所示；另一種是，流體微團以當(dāng)?shù)厮俣萔

沿著流線運動。這樣我們只需在流體微團中運用基本的物理原理，而不必同時研究整個流場。

圖1-19流體微團

1.6.3速度散度的物理意義

在以后的學(xué)習(xí)過程中，經(jīng)常會碰到速度散度V

??，因此在結(jié)束本章之前，有必要理解速度散度的物理意義：速度散度是標(biāo)定流體微團在運動過程中相對體積的時間變化率。取一個隨流體運動的控制體（如圖1-18右圖所示的情況）。當(dāng)它在流場中運動時，該微團總是由相同的流體粒子組成，因此它的質(zhì)量是恒定的，不隨時間變化。然而，當(dāng)它運動到流場的不同區(qū)域時，由于密度的不同，其體積ν和控制面S也隨之改變。也就是說，雖然控制體的質(zhì)量是不變的，但是體積和形狀根據(jù)流場的特性時刻在變化。圖1-20中所示的是某瞬間的一個控制體。

圖1-20運動控制體

設(shè)控制體表面的一個微元dS以當(dāng)?shù)厮俣萔

運動，如圖1-20所示。在時間增量t?內(nèi)，由于dS的運動引起的控制體體積變化ν?，就等于如圖1-20所示的細(xì)長柱體的體積。該柱體的底面積是dS，高為ntV

?)(?。

()[]()

sdtVdsntV

?=?=???ν(1-59)

在時間t?內(nèi)，整個控制體體積的變化量等于式子（1-59）沿控制面求和。當(dāng)0→dS，上述求和就變成面積分。

??

?S

sdtV)(?

如果用這個積分除以t?，那結(jié)果就是控制體體積變化率，記為DtD/ν；

()

????

?=

?=s

s

sdVsdtVt

DtD

??1

ν

(1-60)

記號DtD/的含義將在第二章的內(nèi)容中解釋。運用方程散度定量(1-57)，方程(1-60)右邊可以變成：

()?????=ν

ννdVDt

D

(1-61)

現(xiàn)在設(shè)想圖1-20中運動的控制體收縮成一個體積微量δν，實際上就是一個運動的流體微團，如圖1-19右圖。那么方程(1-61)可以寫成

()()

?????=δν

νδνdVDtD(1-62)假設(shè)δν足夠的小，于是V

??在δν里值保持常值。那么方程（1-62）中的積分約等于()

δνV??。從方程（1-62）我們有；

()()

δνδνVDt

D??=

或者()

Dt

DVδνδν1=??

(1-63)

分析方程(1-63)，表明V

??的物理含義就是標(biāo)定運動流體微團的體積對時間的相對變化率。

1.6.4物質(zhì)導(dǎo)數(shù)

考慮流過流場的一個流體微團，如圖1-21所示。

圖1-21流場中運動的流體微團

速度場由kwjviuV

++=給定

()

()()

tzyxwwtzyxvvtzyxuu,,,,,,,,,===

此外，密度場為

()tzyx,,,ρρ=

在時間1t，流體微團位于流場的1點處，如圖1-21，它的密度為

()11111,,,tzyxρρ=

在2t時間，該微團運動到了流場的另外一點，如圖1-21中的點2。此時，微團在該點處的密度為

()22222,,,tzyxρρ=

由于()tzyx,,,ρρ=，可以把這個函數(shù)在點1處泰勒展開

()()()()高階項+-???

????+-???????+-????????+-???

????+=121121

12112