2023屆新高考數(shù)學(xué)（新高考Ⅰ卷）模擬試卷十三（學(xué)生版+解析版）

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2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

新高考I卷數(shù)學(xué)模擬卷十三

學(xué)校：——姓名：一一班級(jí)：——考號(hào)：一

題號(hào)一二三四總分

得分

注意：本試卷包含I、H兩卷。第I卷為選擇題，所有答案必須用2B鉛筆涂在答題卡

中相應(yīng)的位置。第II卷為非選擇題，所有答案必須填在答題卷的相應(yīng)位置。答案寫在試

卷上均無(wú)效，不予記分。

第I卷(選擇題)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(l-i)(l+ai)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為()

A.-1B.0C.1D.2

2.設(shè)集合A={x6N*|l<log2x<3},B={1,2,3,4},則集合HUB的元素個(gè)數(shù)為()

A.6B.7C.8D.9

3.已知圓錐的高為遙，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為()

A.2V2B.2V3C.2V6D.4V2

4.在△ABC中，ABAC=p點(diǎn)尸在邊BC上，貝I]"4P=：BC"是“尸為8c中點(diǎn)”的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.記又為等差數(shù)列{a}的前"項(xiàng)和.若其=：，則4=()

n匕+與5。3+。6

A.-B.-C.-D.-

154163

6.北京時(shí)間2021年10月16日0時(shí)23分，神舟十三號(hào)載人飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心

成功發(fā)射，受到國(guó)際輿論的高度關(guān)注.為弘揚(yáng)航天精神、普及航天知識(shí)、激發(fā)全校

學(xué)生為國(guó)爭(zhēng)光的榮譽(yù)感和責(zé)任感，某校決定舉行以“傳航天精神、鑄飛天夢(mèng)想”為

主題的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).現(xiàn)有A,B兩隊(duì)報(bào)名參加，A,8兩隊(duì)均由兩名高一學(xué)生和兩

名高二學(xué)生組成.比賽共進(jìn)行三輪，每輪比賽兩隊(duì)都隨機(jī)挑選兩名成員參加答題,

若每位成員被選中的機(jī)會(huì)均等，則第三輪比賽中被兩隊(duì)選中的四位學(xué)生不全來(lái)自同

一個(gè)年級(jí)的概率是（）

A.-9B.-9C.-18D.-36

7.已知a>b+l>l,則下列不等式一定成立的是（）

A.\b-a\>bB.a+3>b+￡

）

C.a-l~In-aD.a+InZ<b+Ina

8.若斜率為k（k>0）的直線/與拋物線y2=4尤和圓M-.（x-5）2+y2=9分別交于A,

B和C,。兩點(diǎn)，且4c=BO,則當(dāng)4MCO面積最大時(shí)上的值為（）

A.1B.V2C.2D.2V2

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.折紙發(fā)源于中國(guó).19世紀(jì)，折紙傳入歐洲，與自然科學(xué)結(jié)合在一起成為建筑學(xué)院

的教具，并發(fā)展成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個(gè)分支.我國(guó)傳統(tǒng)的一種手工折紙風(fēng)車（如圖1）

是從正方形紙片的一個(gè)直角頂點(diǎn)開(kāi)始，沿對(duì)角線部分剪開(kāi)成兩個(gè)角，將其中一個(gè)角

折疊使其頂點(diǎn)仍落在該對(duì)角線上，同樣操作其余三個(gè)直角制作而成的，其平面圖如

圖2,貝（1（）

C.EG=TH+EFD.EC-EHECED

10.下列命題正確的是（）

A.若zrZ2為復(fù)數(shù)，則憶㈤=|z/,

B.若五，石為向量,M|ab|=|a|■\b\

C.若Z「Z2為復(fù)數(shù),且區(qū)+Z2I=區(qū)-Z2I，則Z1Z2=0

D.若詭石為向量，且|弓+方|=I五一E|,yiija-b=0

11.已知函數(shù)/'（x）=+[aM+1,則（）

A.Va€R,函數(shù)f(x)在R上均有極值

B.3aER,使得函數(shù)/(x)在R上無(wú)極值

C.VaeR,函數(shù)/(x)在(-8,0)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

D.3a使得函數(shù)f(x)在(—8,0)上有兩個(gè)零點(diǎn)

12.甲同學(xué)投擲骰子5次，并請(qǐng)乙同學(xué)將向上的點(diǎn)數(shù)記錄下來(lái)，計(jì)算出平均數(shù)和方差.由

于記錄遺失，乙同學(xué)只記得這五個(gè)點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)為2,方差在區(qū)間口.2,2.4］內(nèi)，則

這五個(gè)點(diǎn)數(shù)()

A.眾數(shù)可能為1B.中位數(shù)可能為3

C.一定不會(huì)出現(xiàn)6D.出現(xiàn)2的次數(shù)不會(huì)超過(guò)兩次

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.記數(shù)列包工的前〃項(xiàng)積為T”，寫出一個(gè)同時(shí)滿足①②的數(shù)列｛a.｝的通項(xiàng)公式，則

①｛即｝是遞增的等比數(shù)列；②&=r6.

14.設(shè)點(diǎn)P是曲線y=y-|lnx上的任意一點(diǎn)，則P到直線y=—x的最小距離是

15.已知0,尸2分別為雙曲線C：接一，=1的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)尸2關(guān)于雙曲線C的漸

近線的對(duì)稱點(diǎn)E在C上，則雙曲線C的離心率為.

16.已知直三棱柱ABC-a/iCi中，力B1BC,AB=BC=BB1=2,E分別為棱4口,

A5的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)當(dāng)，D,E作平面a將此三棱柱分成兩部分，其體積分別記為匕，

彩(匕＜%)，則%=;平面a截此三棱柱的外接球的截面面積為

四'解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

17.由①M(fèi)C=2MB；②sinC=詈；③S-BM=遮這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下

面問(wèn)題(2)的橫線上，并解答下列題目.

在44BC中，已知角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=2夕，bsin^=asinB.

⑴求A；

(2)若M為邊AC上一點(diǎn)，且乙4BM=/BAC,，求44BC的面積.

18.若數(shù)列｛即｝滿足即+m=。"+d(meN*,d是不等于0的常數(shù))對(duì)任意716N*恒成立,

則稱｛a,｝是周期為〃?，周期公差為”的“類周期等差數(shù)列”.己知在數(shù)列｛a.｝中，

%=1,an+an+1=4n+l(neN*).

(1)求證：｛a"是周期為2的“類周期等差數(shù)列”，并求。2,。2022的值：

(2)若數(shù)列｛b｝滿足%=an+1-an(neN*),求｛b｝的前n項(xiàng)和

19.2021年8月國(guó)務(wù)院印發(fā)《全民健身計(jì)劃2021-2025》，《計(jì)劃》中提出了各方面

的主要任務(wù)，包括加大全民健身場(chǎng)地設(shè)施供給、廣泛開(kāi)展全民健身賽事活動(dòng)、提升

科學(xué)健身指導(dǎo)服務(wù)水平、激發(fā)體育社會(huì)組織活動(dòng)、促進(jìn)重點(diǎn)人群健身活動(dòng)開(kāi)展和營(yíng)

造全民健身社會(huì)氛圍等.在各種健身的方式中，瑜伽逐漸成為一種新型的熱門健身

運(yùn)動(dòng).某瑜伽館在9月份隨機(jī)采訪了100名市民，對(duì)于是否愿意把瑜伽作為主要的

健身方式作了調(diào)查.

愿意不愿意合計(jì)

方性252550

女性401050

合計(jì)6535100

(1)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“愿意把瑜伽作為主要健身方式”

與性別有關(guān)？

2_n(ad-bc)2

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(x2>&)0.1000.0500.0100.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

(2)為了推廣全民健身，某市文化館計(jì)劃聯(lián)合該瑜伽館舉辦“瑜你一起”的公益活

動(dòng)，在全市范圍內(nèi)開(kāi)設(shè)一期公益瑜伽課，先從上述參與調(diào)查的100人中選擇“愿意”

的人按分層抽樣抽出13人，再?gòu)?3人中隨機(jī)抽取2人免費(fèi)參加.市文化館撥給瑜

伽館一定的經(jīng)費(fèi)補(bǔ)貼，補(bǔ)貼方案為：男性每人1000元，女性每人500元.求補(bǔ)貼

金額的分布列及數(shù)學(xué)期望(四舍五入精確到元).

20.如圖，在四面體中，己知△AB。是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，△BCD是以點(diǎn)C

為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，E為線段AB的中點(diǎn)，G為線段8。的中點(diǎn)，尸為線

段3。上的點(diǎn).

A

(1)若4G〃平面CEF,求線段CF的長(zhǎng);

(2)若二面角4-BD-C的大小為30°,求CE與平面48。所成角的大小.

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)4(-2,0),8(2,0),直線PA與直線P8的斜率之

積為-；，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)若點(diǎn)M為曲線C上的任意一點(diǎn)(不含短軸端點(diǎn))，點(diǎn)。(0,1),直線AM與直線8。

交于點(diǎn)。，直線。M與x軸交于點(diǎn)G,記直線AQ的斜率為七,直線GQ的斜率為七，

求證：七―2k2為定值.

22.已知函數(shù)f(x)=ln(e*—1)—Inx.

(1)判斷/(x)的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；

(2)若數(shù)列｛an｝滿足的=1,an+1=/(an),求證：對(duì)任意？iEN*,an>an+1>去.

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2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

新高考I卷數(shù)學(xué)模擬卷十三

學(xué)校：—姓名：一一班級(jí)：—考號(hào)：一

題號(hào)―?二三四總分

得分

注意：本試卷包含I、n兩卷。第I卷為選擇題，所有答案必須用2B鉛筆涂在答題卡中相

應(yīng)的位置。第n卷為非選擇題，所有答案必須填在答題卷的相應(yīng)位置。答案寫在試卷上均無(wú)

效，不予記分。

第I卷(選擇題)

一'單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

23.設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(l-i)(l+ai)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值為()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了復(fù)數(shù)的基本概念及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，得出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，然后利用純虛數(shù)的概念即可得到”的值.

【解答】

解:可知(1—i)(l+at)=1+ai—i+a=(1+a)+(a—l)i?

因?yàn)閺?fù)數(shù)(1-i)(l+ai)是純虛數(shù)，

所以1+a=0,即a=—1.

故選：A.

24.設(shè)集合4={xeN*|l<log2%<3},B={1,2,3,4},則集合AUB的元素個(gè)數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查并集運(yùn)算和集合中的元素個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

求出A,再求出4U8,即可得其元素個(gè)數(shù).

【解答】

解：A={x&N*|l<log2x<3}={3,4,5,6,7},

又B={1,2,3,4）>

則AUB={1,2,3,4,5,67）,

故集合A有7個(gè)元素.

故選：B.

25.已知圓錐的高為遙，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（）

A.2V2B.2V3C.2V6D.472

【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.

求出底面圓的半徑，即可求圓錐的母線長(zhǎng).

【解答】

解：設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為h,母線長(zhǎng)為1

則h=V6.

因?yàn)樵搱A錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓

貝ij2nr=nl=zrV/i2+r2=7rV6+r2,解得r=V2

故I=V/i2+r2=2V2

所以圓錐的母線長(zhǎng)為2&.

故選4

26.在△ABC中，Z.BAC=p點(diǎn)尸在邊BC上，則“AP=：BC”是“尸為BC中點(diǎn)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查充分、必要、充要條件的判斷，及直角三角形的性質(zhì)，是中檔題.

由直角三角形的性質(zhì)知，當(dāng)4P=時(shí)，點(diǎn)P不一定是BC的中點(diǎn)，而當(dāng)P為BC中點(diǎn)時(shí)必

有從而判斷B正確.

【解答】

解：在ZL4BC中，ABAC=\點(diǎn)P在邊BC上，

如圖所示，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)時(shí)，AD=\BC,

當(dāng)以A為圓心，以AD為半徑作弧且弧與BC有另一交點(diǎn)P時(shí)，

此時(shí)滿足4P=AD=但點(diǎn)P不是BC的中點(diǎn)，所以充分性不成立；

若P是BC的中點(diǎn)，顯然由直角三角形的性質(zhì)知4P=\BC,故必要性成立;

因此"4P是“P為BC中點(diǎn)”的必要不充分條件.

故選：B.

27.記％為等差數(shù)列8"的前八項(xiàng)和.若親=；,則=匚=()

A.-B.-C.-D.-

154163

【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)等差數(shù)列｛&?｝的首項(xiàng)為由，公差為d,因?yàn)槿許6=4S3,利用求和公式可知

d=2%,再根據(jù)通項(xiàng)公式即可解決問(wèn)題.

【解答】

解：設(shè)等差數(shù)列｛a"的首項(xiàng)為四，公差為d,

因?yàn)閍所以S6=4S3，

因?yàn)?6=6。14-~~~?S3=3al4~~~d>

于是可得：6Ri+等d=4（3%+言d）,即d=2%,

因此就;ai+2d-%-=5

(%+2d)+(4+54)-16al-16'

故選：C.

28.北京時(shí)間2021年10月16日0時(shí)23分，神舟十三號(hào)載人飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功

發(fā)射，受到國(guó)際輿論的高度關(guān)注.為弘揚(yáng)航天精神、普及航天知識(shí)、激發(fā)全校學(xué)生為國(guó)

爭(zhēng)光的榮譽(yù)感和責(zé)任感，某校決定舉行以“傳航天精神、鑄飛天夢(mèng)想”為主題的知識(shí)競(jìng)

賽活動(dòng).現(xiàn)有A，B兩隊(duì)報(bào)名參加，A,8兩隊(duì)均由兩名高一學(xué)生和兩名高二學(xué)生組成.比

賽共進(jìn)行三輪，每輪比賽兩隊(duì)都隨機(jī)挑選兩名成員參加答題，若每位成員被選中的機(jī)會(huì)

均等，則第三輪比賽中被兩隊(duì)選中的四位學(xué)生不全來(lái)自同一個(gè)年級(jí)的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

991836

【答案】c

【解析】

【分析】

本題考查古典概型概率及其計(jì)算，組合與組合數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題.

由組合知識(shí)算出從A,B兩隊(duì)中各選出兩名同學(xué)的選法，減去四名同學(xué)全來(lái)自同一年級(jí)的選

法，即可得到四位學(xué)生不全來(lái)自同一年級(jí)的選法；由古典概型的概率計(jì)算公式

=事件力所包含的基本事件個(gè)數(shù)

一基本事件總個(gè)數(shù),即可求解.

【解答】

解：從A,B兩隊(duì)中各選出兩名同學(xué)的不同選法：底x盤=36種，

四名同學(xué)全來(lái)自同一年級(jí)的選法：2種（都是高一或都是高二），

則四位學(xué)生不全來(lái)自同一年級(jí)的選法：36-2=34種，

「―事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)

由古典概型的概率計(jì)算公式一基本事件總個(gè)數(shù)可得：

兩隊(duì)選中的四位學(xué)生不全來(lái)自同一年級(jí)的概率：P=^=^,

3618

故選：C.

29.已知+則下列不等式一定成立的是（）

A.\b-a\>bB.Q+[>b+：

C.——V---D.a+InZ?<b+Ina

a-lIna

【答案】c

【解析】

【分析】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)比較大小，不等式的性質(zhì)，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化與

化歸思想，屬于中檔題.

利用特殊值判斷A；利用作差法判斷B；構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性判斷D,再

結(jié)合排除法，即可得答案.

【解答】

解：由題意，a>l,b>0,a>b+1,

對(duì)于A,\b-a\>b,即b-a<—b或b-a>b,故2b<a或a<0,而a<0不成立，2b<a

也不一定成立，比如a=4,b=2.9,故A不一定成立；

對(duì)于B,a+；>b+2，即(a+3)-(b+1)>0,

即(a+?G+2*^>。，

a-b>0,ab>0,但ab-1>0不一定成立，比如a=2,b=0.2,故B不一定成立；

對(duì)于D,a+Inh<b+Ina,即a—Ina<b—Inb,

設(shè)/(x)=x-Inx,則/''(x)=1-：=?，

當(dāng)xe(0,1)時(shí)，f(x)<0,當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，/'(*)>0,

所以函數(shù)/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

由于a>l,b>0,無(wú)法確定/'(a)與/'(b)的大小，故D不一定成立.

故選：C.

30.若斜率為k(k>0)的直線/與拋物線y2=4x和圓M：(%-5)2+丫2=9分別交于4B

和C,。兩點(diǎn)，且AC=BC,則當(dāng)4MCD面積最大時(shí)A的值為()

A.1B.V2C.2D.2V2

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查直線與拋物線、直線與圓的位置關(guān)系，三角形面積的最值問(wèn)題，是難題.

由題設(shè)可設(shè)直線1的方程為y=kx+b,CD的中點(diǎn)為N,聯(lián)立直線與拋物線的方程得UM+

(2kb-4)x+爐=0,由題知N是AB的中點(diǎn)，從而可求出N的坐標(biāo)為N(誓,》，由MN±I

得，kb=2-3k2,由SAMCO=：|。。|?d=一矛=J-(d2-1)2+y,知t/2=制，

4MCD面積最大，從而(粵1)2=；,得到2爐-19k2+31=0,再聯(lián)立這兩個(gè)式子求出k

vfcz+l2

的值即可.

【解答】

解：設(shè)宜線1的方程為丁=kx+b,401/1),8(亞,丁2)，設(shè)CD的中點(diǎn)為N,

聯(lián)立方程組匕2：,；：b,消去y得k2x2+Qkb-4)x+爐=0,

由4=(2kb-4)2-4k2b2>o,可得kb<1,

由韋達(dá)定理得/+%2=鏟，

因?yàn)?4cl=\BD\,CD的中點(diǎn)為N,

所以MC|+\CN\=\BD\+\DN\,即14Vl=\BN\,

所以點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，則》.=號(hào)=需，

從而YN=*+b=:即N(淺

由直線1與圓M交于點(diǎn)C,D,可知

則褊出=T，又點(diǎn)M(5,0),

所以&-4=一1，整理得妨=2-3k2①

R-5

不妨設(shè)點(diǎn)M到直線1的距離為d,由垂徑定理，可知|CD|=2位不，

所以SAMCD=/CD|.d=?-d4=J_(d2T7+4

故當(dāng)d2=3寸，4MCD面積最大，

此時(shí)d=黯，則(篇)2，

整理得2扭-19k2+31=0②

聯(lián)立①②得Y-7k2-8=0,解得必=8,

又k>0,故k=2遮，從而b=-3夜，滿足A>0.

故選：D.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得。分。

31.折紙發(fā)源于中國(guó).19世紀(jì)，折紙傳入歐洲，與自然科學(xué)結(jié)合在一起成為建筑學(xué)院的教

具，并發(fā)展成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個(gè)分支.我國(guó)傳統(tǒng)的一種手工折紙風(fēng)車(如圖1)是從正

方形紙片的一個(gè)直角頂點(diǎn)開(kāi)始，沿對(duì)角線部分剪開(kāi)成兩個(gè)角，將其中一個(gè)角折疊使其頂

點(diǎn)仍落在該對(duì)角線上，同樣操作其余三個(gè)直角制作而成的，其平面圖如圖2,則（）

A.EH//FCB.AH-BE=0

C.IG=EH+EFD.EC-EH=EC-~ED

【答案】BCD

【解析】

【分析】

本題主要考查平面向量的數(shù)量積，向量的加減運(yùn)算等，屬于中檔題.

結(jié)合圖形的對(duì)稱性，逐一判斷即可.

【解答】

解：由圖可知，前與正不平行，故A錯(cuò)誤；

由圖形對(duì)稱性，可得14Ml=|BN|,\MH\=\NE\,

AH-'BE=(AM+MH)■(BN+~NE)=祠.麗+俞.而+麗?前+麗?赤

=0+麗|?|麗|cos45°+\MH\'\BN|cosl35。+0=0,

故B正確：

由圖形對(duì)稱性，可得四邊形EHGF是正方形，所以的=前+正，故C正確；

設(shè)4CC8D=。，則

ECTH=\'EC\-\EH\cosZ.HEC=\EC\-\EO\,

EC-ED=|EC|-|ED|coszDFC=|￡?|?\EO\,

：.EC-'EH=JCED,故D正確.

故選：BCD.

32.下列命題正確的是()

A.若Zi，Z2為復(fù)數(shù)，則Iz/zl=區(qū)|?%|

B.若方，石為向量，則|五㈤=|引?|方|

C.若Z],Z2為復(fù)數(shù)，且憶1+Z2I=%-Zzl，則Z1Z2=0

D.若五，方為向量，且|五+方|=|日一方|,則0

【答案】AD

【解析】

【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)運(yùn)算，向量的模，向量的數(shù)量積，屬于中檔題.

對(duì)于A,設(shè)Zi=a+bi,a,beR,Z2=c+di,c,de/?,利用復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式，分別求得

|z「Z2l，Iz/lzzl，即可判斷；對(duì)丁-B,利用數(shù)量積的運(yùn)算公式即可判斷；對(duì)于C,舉反例，

即可排除；對(duì)于D,將|五+石|=|五-兩邊平方，化簡(jiǎn)即可判斷.

【解答】

解：對(duì)于A,設(shè)z1=a+bi,a,beR,z2=c+di,c,d&R,

則Z],Z2=(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i,

所以[Z]?Z2I=y/(ac—bd)2+(ad+be)2=Va2c2+b2d2+a2d2+b2c2,

2222222222222222

|z1||z2l=Va+b-'Jc+d=7(a+6)(c+d)=Vac+bd+ad+bc,

故ZZ2I=%|%],故A正確;

對(duì)于B,|a-6|=|a|-|K||cos(a,K)|,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,令Zi=1-i*2=1+i,

則Z]+z2=2,zr—z2=-2i,

則0+Z2I=|Z1-Z2I=2,但Z1Z2HO,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由I于+』|=I五一^\a+b\2=|a-K|2,

所以12+片+21大=片+石2一2五7,

所以立7=0,故D正確.

故選:AD.

33.已知函數(shù)/'(x)=：爐+gax?+1,則()

A.VaeK,函數(shù)f(x)在R上均有極值

B.3a￡/?,使得函數(shù)/(x)在R上無(wú)極值

C.Va6R,函數(shù)/(x)在(一8,0)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

D.ma6R,使得函數(shù)f(x)在(-8,0)上有兩個(gè)零點(diǎn)

【答案】BC

【解析】

【分析】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)零點(diǎn)存

在性定理，屬于較難題.

根據(jù)題意，對(duì)函數(shù)/(外求導(dǎo)，得到尸(x)=/+ax,然后可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行分析，考慮a=0可

判斷A、8正誤；其次，可分a>0或a<0,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性，以及利用函

數(shù)的零點(diǎn)存在性定理分析判斷C、￡>選項(xiàng).

【解答】

解：由題意，對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得到/'(x)="+ax,

下面對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行分析：

對(duì)于A,若a=0,則/'(x)=/？o對(duì)任意xeR恒成立，

所以函數(shù)/"(X)在R上單調(diào)遞增，即函數(shù)f(x)在R上無(wú)極值，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,由以上分析可知，故8正確；

對(duì)于C,由上分析可知，a=0時(shí)，函數(shù)/"(X)在R匕單調(diào)遞增，

此時(shí)f(X)=；/+1,易知XT-8,/(%)-?-OO,且/'(())=1,

所以由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)/(X)在(-8,0)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

下面分a>。或a<0兩種情況進(jìn)行考慮，且x€(-oo,0),

若a>0,令/(x)>0,即得x<-a,令/(x)<0,即得—a<x<0,

所以函數(shù)f(x)在(-8,-a)上單調(diào)遞增，在(-a,0)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)f(x)在x=—a處取得極大值，

即/(—Cl)-CpHCj3+1=1H@3>0,

326

注意到XT-00,/(X)T-8,y(0)=1,

所以函數(shù)/(X)在(-8,0)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

若a<0,令f'(x)>0,即得x<0,所以函數(shù)/Xx)在(一8,0)上單調(diào)遞增，

注意到XT-8,/(X)——8,/(0)=1,

所以函數(shù)f(X)在(-8,0)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，故C正確；

對(duì)于/),由上對(duì)C的分析可知。錯(cuò)誤.

故選：BC.

34.甲同學(xué)投擲骰子5次，并請(qǐng)乙同學(xué)將向上的點(diǎn)數(shù)記錄下來(lái)，計(jì)算出平均數(shù)和方差.由于

記錄遺失，乙同學(xué)只記得這五個(gè)點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)為2,方差在區(qū)間口.2,2.4]內(nèi)，則這五個(gè)

點(diǎn)數(shù)()

A.眾數(shù)可能為IB.中位數(shù)可能為3

C.一定不會(huì)出現(xiàn)6D.出現(xiàn)2的次數(shù)不會(huì)超過(guò)兩次

【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題考查了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差在統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用，各個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)總體的影響，屬基礎(chǔ)

題.

根據(jù)題意，結(jié)合眾數(shù)，中位數(shù)和方差等知識(shí)舉例說(shuō)明，即可得出正確選項(xiàng).

【解答】

解：對(duì)于A,當(dāng)每個(gè)同學(xué)擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1,1,1,3,4時(shí)，滿足平均數(shù)為2,眾數(shù)為1,

S2=,3x(1-2)2+(3-2/+(4-2)2]=1.6,滿足題意，故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)個(gè)同學(xué)擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1,1,3,3,3時(shí)，滿足中位數(shù)為3,且此時(shí)是平均數(shù)

最小的情況，平均數(shù)大于2,故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若平均數(shù)為2,且出現(xiàn)6,則方差s2>((6-2)2=3.2>2.4,所以平均數(shù)為2,

方差為2.4的一定沒(méi)有出現(xiàn)6,故C正確；

對(duì)于。，當(dāng)擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1,2,2,2,3時(shí)，平均數(shù)為2,

方差為s2=|[(1-2/+(3-2)2]=0.4,

當(dāng)擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1,1,2,2,4時(shí)，平均數(shù)為2,

方差為52=與2*(1—2)2+(4-2)2]=1.2,滿足題意，故D正確.

故選：ACD.

第H卷(非選擇題)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

35.記數(shù)列｛冊(cè)｝的前〃項(xiàng)積為勿，寫出一個(gè)同時(shí)滿足①②的數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式，則

a-n=-------

①｛a”｝是遞增的等比數(shù)列；②&=T6.

【答案】2n-5

【解析】

【分析】

本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

由73=76得出。5=1，由等比數(shù)列遞增，可取公比大于1的任意實(shí)數(shù)，不妨設(shè)公比為2,即

可寫出通項(xiàng)公式.

【解答】

斷:：由&—〃口Id導(dǎo)，。2。3=。3。4。5，即Q4a5。6=1，

又=@4@6，則=1?解得。5=1，

因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，故可設(shè)公比為2,

可得的=72'所以即=aiqZ=2n-5.

16

故答案為：2n-5(答案不唯一).

36.設(shè)點(diǎn)P是曲線y=a—|lnx上的任意一點(diǎn)，則P到直線y=—x的最小距離是

【答案】V2

【解析】

【分析】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及點(diǎn)到直線的距離公式，體現(xiàn)r轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

作直線y=-x的平行線，使此平行線和曲線相切，由導(dǎo)數(shù)的兒何意義得出切點(diǎn)，再由點(diǎn)到

直線的距離公式即可得出結(jié)果.

【解答】

解：作直線y=-x的平行線，使此平行線和曲線相切，

則曲線的切線方程為y=-x+m的形式，

對(duì)曲線求導(dǎo)，得了=1%心—力,

令;/=—1,得X=1,

故切點(diǎn)為(1,1),該點(diǎn)到直線y=-％的距離即為最小值，

故答案為：V2.

f(x)=y/x--lnx

37.已知F2分別為雙曲線C：冬一3=1的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)尸2關(guān)于雙曲線C的漸近線

的對(duì)稱點(diǎn)E在C上，則雙曲線C的離心率為.

【答案】V5

【解析】

【分析】

本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線垂直的條件，斜率之積為

-1,以及點(diǎn)滿足雙曲線的方程，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

設(shè)尸2(60)，漸近線方程為y=3萬(wàn)，對(duì)稱點(diǎn)為以成⑶，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線垂直的條

件，斜率之積為-1,求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，由離心率公式計(jì)算即可得到

所求的值.

【解答】

解：設(shè)尸290),漸近線方程為yF2的對(duì)稱點(diǎn)為4(m,n),

所以4(一職)

又b2=c2-a2,即做二廠,等)，

代入雙曲線的方程'一3=l(a>0,b>0)中,

(Za2-c2)24a2b2

c2a2c2b2

化簡(jiǎn)可需—4=1,即有e2=*

解得e=病或e=-的（舍去）.

故答案為：V5.

38.已知直三棱柱ABC中，4B1BC,AB=BC=BBr=2,D,E分別為棱4G，

AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Bi，D,E作平面a將此三棱柱分成兩部分，其體積分別記為匕，彩（匕＜

彩），則彩=；平面a截此三棱柱的外接球的截面面積為.

【答案】】

6

26

豆7r

【解析】

【分析】

本題考查了簡(jiǎn)單多面體（棱柱、棱錐、棱臺(tái)）及其結(jié)構(gòu)特征，簡(jiǎn)單組合體及其結(jié)構(gòu)特征，棱柱、

棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積、表面積和體枳，面面垂直的性質(zhì)，空間中的距離和平面的基本性質(zhì)及

應(yīng)用，屬于較難題.

利用直三棱柱ABC-①當(dāng)口的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)建邊長(zhǎng)為2的正方體4BCG-41B1GG1，利用

平面的基本性質(zhì)得過(guò)點(diǎn)D,E作平面a就是平面EHD&,再利用棱柱和棱臺(tái)的體積公式計(jì)

算得取的中點(diǎn)0,利用直三棱柱ABC—A/iCi的外接球和正方體ABCG-

A&GG1的外接球的結(jié)構(gòu)特征，可得0是直三棱柱4BC-4B1G的外接球的球心，且直三

棱柱ABC的外接球的半徑為百，再利川面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合空間中的距離得0

到平面EH。%的距離為汨尸=最后計(jì)算得結(jié)論.

【解答】

解：因?yàn)樵谥比?BC-48iCi中，AB1BC,AB=BC=BB1=2,

所以構(gòu)建邊長(zhǎng)為2的正方體4BCG-&B1GG1如下圖，

因?yàn)镈是棱41cl的中點(diǎn),連接&G1，則8住102送1=。,

連接B6交AC于1，取A/的中點(diǎn)H,連接EH,

因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，所以EH空BQ”當(dāng)。，

因此過(guò)點(diǎn)為，D,E作平面a就是平面EHOBi，

由圖可知：^AEH-AABXDV/HC8-DQ8i，即匕=^AEH-AXB^D^，2=^EHCB-DC1B1?

又因?yàn)镾A&DB|=1，ShAEH=i,所以匕=(x2(i+；+

717

因此彩=K48C-AB1Q_匕.=4一1=1；

又因?yàn)橹比庵鵄BC—aaa的外接球就是正方體4BCG-4B1GG1的外接球，

所以取的中點(diǎn)0,則0是直三棱柱ABC-&B1G的外接球的球心，

且直三棱柱ABC-&B1G的外接球的半徑為百，

又因?yàn)樵谡襟w4BCG-&B1C1G1中，平面￡77。為1平面力4口。交于DH,

所以在平面441cle內(nèi)過(guò)外作名尸1DH于F,

則由面面垂直的性質(zhì)知：。1尸，平面七"。81，

因此。/的長(zhǎng)就是。1到平面EH。4的距離，

所以0到平面EHOB］的距離為：。1尸=gx彳=%

因此平面a截此三棱柱的外接球的截面圓的半徑為J(、⑸2-(I)=亨，

所以平面a截此三棱柱的外接球的截面面積為^兀.

故答案為：工,當(dāng)加

69

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

39.由①M(fèi)C=2MB；②sinC=^；③SMBM=8這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)

題(2)的橫線上，并解答下列題目.

在ZL4BC中，己知角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=2近，6sin^=asinB.

(1)求A;

(2)若M為邊AC上一點(diǎn)，且N4BM=NB4C,,求Z4BC的面積.

【答案】解：(1)由題意,在A4BC中,利用正弦定理可得bsiml=asinB,

利用二倍角公式可得ZbsingcosT=asinB,①

又因?yàn)锽+C-TT-A,利用誘導(dǎo)公式可得sin=sin\^=cos1,

于是bsin=asinB可化為bcos?=asinB②

注意到46(0,兀)，所以T6(0,9同時(shí)由①②可得sin*最

所以?=g，即得4=?

Z63

(2)根據(jù)題意，作出圖形如下所示：

B

若選擇條件①，由⑴知4=或

又乙=所以△ABM為等邊三角形，故N8MC=4,

設(shè)MB=x,即得M4=MB=K,

因?yàn)镸C=2MB,所以MC=2M4=2x,AC=3x,

又a=BC=2V7,

在△BMC中，利用余弦定理可得:

coszBMC=-i_MB?+MC2-BC2X2+4X2-28

2MBMc

化簡(jiǎn)上式可得：7/=28,解得x=2（負(fù)值第=—2舍去）,

所以AB=MB=2,AC=3MB=6,

于是△ABC的面積為：SMBC=|48?4CsinA=|x2x6xy=3V3；

若選條件②,由⑴知4=梟

在AABC中，利用正弦定理可得勺=二，

BCsinC_26X等_

即得4B

設(shè)AC=x,于是在利用余弦定理可得:

A1AB2+AC2-BC24+X2-28

cosA=—==,

22ABAC4x

化簡(jiǎn)整理上式可得/—2x—24=0,解得x=6（負(fù)值x=—4舍去），

于是△ABC的面積為：SAABC=^AB-ACsinA=|x2x6Xy=3V3；

若選擇條件③，由（1）知4=^且由條件①分析知448”為等邊三角形，

于是△48M的面積為SMBM=^AB2sinA=^-AB2=?

所以4B=2（負(fù)值48=-2舍去），

于是同條件②，設(shè)AC=x,于是在△ABC中，利用余弦定理可得：

.1AB2+AC2-BC24+X2-28

cos/l=-=----------------=----------,

22ABAC4X

化簡(jiǎn)整理上式可得/一2x-24=0,解得x=6（負(fù)值x=-4舍去），

于是△4BC的面積為:S&ABC=\AB-ACsinA=1x2x6Xy=3^3.

【解析】本題考查解三角形，涉及正余弦定理以及三角形面積公式、誘導(dǎo)公式以及二倍角公

式，屬于中檔題.

(1)根據(jù)題意，利用二倍角公式以及誘導(dǎo)公式可得sin?=也于是可求A的大?。?/p>

(2)若選擇條件①，可證△48M為等邊三角形，在ABMC中利用余弦定理可求MB長(zhǎng)，進(jìn)而

利用三角形面積公式可求△48c的面積;若選條件②,在4/WC中，利用正弦定理可求4B=2,

于是在A/IBC中，利用余弦定理可求4c=6,進(jìn)而利用三角形面積公式可求△ABC的面積；

若選條件③，利用三角形面積公式可求48=2,后續(xù)步驟可類似同條件②可求AABC的面積.

40.若數(shù)列｛an｝滿足斯+巾=an+d(meN*,d是不等于0的常數(shù))對(duì)任意neN*恒成立,則稱

｛%J是周期為優(yōu)，周期公差為”的“類周期等差數(shù)列”.已知在數(shù)列｛an｝中，%=1,

an+an+1=4n4-l(nWN*).

(1)求證：｛an｝是周期為2的“類周期等差數(shù)列”，并求02,。2。22的值;

(2)若數(shù)列｛4｝滿足“=an+1-an(nEN*),求｛,｝的前n項(xiàng)和

【答案】解：(1)證明：由于冊(cè)+Qn+1=4幾+1,所以即+1+冊(cè)+2=4(幾+1)+1,

兩式相減得：an+2-an=4(n6N*),

所以｛Qn｝是周期為2,周期公差為4的“類周期等差數(shù)列”，

由+a2=5,Q]—-1?4導(dǎo)Ct2=4,

所以Q2022=02+(2022-2)x2=44-4040=4044：

(2)解：由于b=與+1一M，所以%+1=%1+2-%+1，

兩式相加得：bn+1+bn=an+2—an=4,

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，7；=(&+與)+(優(yōu)+%)+-+(%-1+bn)=4彳=2n,

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，〃=瓦+(電+b3)+(64+壇)+■-?+(&?.1+匕)=3+4?.=2n+1.

T_12n+1,打?yàn)槠鏀?shù)

綜上所述："I2m中為偶數(shù)

【解析】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題.

(1)由a.+an+1=4n+1,a?+1+an+2=4(n+1)+1,相減得an+2-an=4(neN*),

即可得證；

(2)由垢=an+1-an,bn+1=an+2-an+1,得+bn=an+2-an=4,需要按照n為

偶數(shù)時(shí)和n為奇數(shù)討論，即可求得｛九｝的前n項(xiàng)和7n.

41.2021年8月國(guó)務(wù)院印發(fā)《全民健身計(jì)劃2021-2025》，《計(jì)劃》中提出了各方面的主

要任務(wù)，包括加大全民健身場(chǎng)地設(shè)施供給、廣泛開(kāi)展全民健身賽事活動(dòng)、提升科學(xué)健身

指導(dǎo)服務(wù)水平、激發(fā)體育社會(huì)組織活動(dòng)、促進(jìn)重點(diǎn)人群健身活動(dòng)開(kāi)展和營(yíng)造全民健身社

會(huì)氛圍等.在各種健身的方式中，瑜伽逐漸成為一種新型的熱門健身運(yùn)動(dòng).某瑜伽館在

9月份隨機(jī)采訪了100名市民，對(duì)于是否愿意把瑜伽作為主要的健身方式作了調(diào)查.

愿意不愿意合計(jì)

男性252550

女性401050

合合6535100

(1)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“愿意把瑜伽作為主要健身方式”與

性別有關(guān)？

附.____n(-z______

'”(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(x22&)0.1000.0500.0100.0050.001

%02.7063.8416.6357.87910.828

(2)為了推廣全民健身，某市文化館計(jì)劃聯(lián)合該瑜伽館舉辦“瑜你一起”的公益活動(dòng)，

在全市范圍內(nèi)開(kāi)設(shè)一期公益瑜伽課，先從上述參與調(diào)查的100人中選擇“愿意”的人按

分層抽樣抽出13人，再?gòu)?3人中隨機(jī)抽取2人免費(fèi)參加.市文化館撥給瑜伽館一定的

經(jīng)費(fèi)補(bǔ)貼，補(bǔ)貼方案為：男性每人1000元，女性每人500元.求補(bǔ)貼金額的分布列及

數(shù)學(xué)期望(四舍五入精確到元).

【答案】解：⑴#2=幽生—==些=9.8901>6.635.

\50X50X65X3591

所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“愿意把瑜伽作為主要健身方式”與性別

有關(guān)；

(2)因?yàn)?5人中有25個(gè)男生，40個(gè)女生，

所以用分層抽樣抽出13人中的男生人數(shù)為13xfl=5(人)，

65

女生為13xf=8(人)，

65

設(shè)補(bǔ)貼的金額為X,則X可能的取值為2000,1500,1000,

P(X=2000)=昌=白，

G13

「。=1500)=器=3

p(x=iooo)="=3

補(bǔ)貼金額的分布列如下：

X200015001000

52014

p

393939

所以數(shù)學(xué)期望為E(X)=2000x5+1500x墨+1000x葛=?1385(元).

【解析】本題考查獨(dú)立檢驗(yàn)的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，排列組合

等基礎(chǔ)知識(shí)，是中檔題.

(1)由列聯(lián)表求出f的值，從而得出結(jié)論.

(2)所抽取的13人中男生有5人，女生有8人，從而補(bǔ)貼金額X的可能值為2000,1500,

1000,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

42.如圖，在四面體A3CQ中，已知△力BC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，ABC。是以點(diǎn)C為直

角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，E為線段48的中點(diǎn)，G為線段8。的中點(diǎn)，尸為線段8。上

的點(diǎn).

⑴若4G〃平面CEF,求線段CF的長(zhǎng)；

(2)若二面角4-BD-C的大小為30。，求CE與平面A8O所成角的大小.

【答案】解:(1)連接CG,

4G〃平面CEF,AGu平面ABD,平面4BDC平面CEF=EF,:*AG//EF.

??,E是AB中點(diǎn)，G是BD中點(diǎn)，??.F是BG中點(diǎn)，所以8F=FG==，

BCD是以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

???CG=-2BD=1,CG1BD,

I---------------V5

■■CF=y/CG2+FG2

(2)