河南省羅山縣2022年高三第二次模擬考試數學試卷含解析

2021-2022高考數學模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知復數2=「，其中i為虛數單位，則同=（）

1+Z

A.75B.73C.2D.72

2.已知V是函數/（x）=lnx圖象上的一點，過“作圓/+）,2一2》=0的兩條切線，切點分別為A,8,則涼.麗

的最小值為（）

S石

A.20—3B.-1C.0D.--—3

2

3.在很多地鐵的車廂里，頂部的扶手是一根漂亮的彎管，如下圖所示.將彎管形狀近似地看成是圓弧，已知彎管向外

的最大突出（圖中CO）有15cm,跨接了6個坐位的寬度（A3）,每個座位寬度為43cm,估計彎管的長度，下面的結

果中最接近真實值的是（）

A.250cmB.260cmC.295cmD.305cm

___2_______?__

4.如圖，在AABC中，AN=-NC,尸是BN上一點，若4耳=，,耳+—川。，則實數/的值為（）

33

3

-

D.4

5.已知復數z滿足汰=2+i,則z的共軌復數是（）

1-2/B.-1+2/C.1-21D.l+2i

6.若函數/(x)=/1—如？有且只有4個不同的零點，則實數，”的取值范圍是()

「e2、，e2、I(e2\(e2-I

A,—，+coB.—,+℃C.—8,—D.一—

L4)14JI4jI4」

7.已知在AABC中，角A,8,C的對邊分別為a,"c,若函數/(x)=gd+；云2+；(/+/一就卜存在極值，則

角3的取值范圍是()

8.已知實數aMmo/nB+BlrB.CnarBy,則a*,c的大小關系是（）

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

9.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（L4）,P（X>2）=0.3,P（X<0）=（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

（17l\（1Jl\

10.關于函數/（九）=4sin-x+-+4cos-x+-,有下述三個結論：

JJ125）

7T

①函數/（X）的一個周期為一；

2

TT37r

②函數/（X）在上單調遞增；

24

③函數/(x)的值域為［4,4忘］.

其中所有正確結論的編號是()

A.①②B.②C.②③D.③

11.正項等比數列｛4｝中的《、。4039是函數/(力=；/-4/+6%-3的極值點，則log)20=()

A.-1B.1C.72D.2

12.若函數,4x)=2sin(x+2e>cosx(0<^<|)的圖象過點(0,2),則()

A.函數y=/(x)的值域是［0,2］B.點是y=/(x)的一個對稱中心

C.函數y=/(x)的最小正周期是2〃D.直線尤=(是y=/(x)的一條對稱軸

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

xy<2

13.設實數x,y滿足0KxV2,則點P（x,y）表示的區(qū)域面積為.

0<y<2x

14.已知函數/（x）=lnx+x2,則曲線y=/（x）在點（1,/⑴）處的切線方程為.

15.若x>l,則2x+二9；+—1；的最小值是.

x+1x-l

16.隨著國力的發(fā)展，人們的生活水平越來越好，我國的人均身高較新中國成立初期有大幅提高.為了掌握學生的體質

與健康現狀，合理制定學校體育衛(wèi)生工作發(fā)展規(guī)劃，某市進行了一次全市高中男生身高統(tǒng)計調查，數據顯示全市30000

名高中男生的身高4（單位：的）服從正態(tài)分布N（172,4）,且P（172<J§80）=0.4,那么該市身高高于180cm

的高中男生人數大約為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2

17.（12分）已知點知（%，為）為橢圓C：5+y2=l上任意一點，直線/:x°x+2為y=2與圓（x-l）2+y2=6交于A，

B兩點，點F為橢圓C的左焦點.

（1）求證：直線/與橢圓C相切；

（2）判斷是否為定值，并說明理由.

18.（12分）如圖，在直三棱柱ABC-A&C|中，CA=CB,點P,。分別為AB-CG的中點.求證：

（1）尸。//平面ABC；

（2）平面

19.（12分）已知橢圓C：二+2=1（a>Z?>0）過點（0,0）,且滿足4+8=3夜.

a"b~

（1）求橢圓C的方程；

（2）若斜率為;的直線與橢圓C交于兩個不同點A,B,點M坐標為（2,1）,設直線M4與的斜率分別為隊，

k2,試問團+幻是否為定值？并說明理由.

20.（12分）已知2件次品和3件正品混放在一起，現需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回,

直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束.

(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；

(2)已知每檢測一件產品需要費用1()()元，設X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單

位：元)，求X的分布列.

21.(12分)已知/(x)=-2+e-h僅>0)

(1)當x>,時，判斷函數/(X)的極值點的個數；

2

(2)記g(x)=/(x)+x2-mlnx(x>g),若存在實數使直線y=r與函數g(x)的圖象交于不同的兩點

,求證：m>2xtx2.

22.(10分)在△鉆C中，角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,角A、B、C的度數成等差數列，。=舊.

(1)若3sinC=4sinA,求c的值；

(2)求Q+C的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

把已知等式變形，然后利用數代數形式的乘除運算化簡，再由復數模的公式計算得答案.

【詳解】

22(1-0

略解-z=——1+z=——(l+z——)(l-z-)=l-z,

則|z|=JT7T=JL

故選：D.

【點睛】

本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數模的求法，是基礎題.

2.C

【解析】

先畫出函數圖像和圓，可知若設NAMB=28,貝!||次卜|礪卜高，所以

MA-MB^MA^cos2^=2sin2^+—V--3,而要求必.礪的最小值，只要sin。取得最大值，若設圓

sm0

無2+y2-2y=0的圓心為C,貝八皿6=而，所以只要|MC|取得最小值，若設M(x』nx),貝!]

|MC|2=x2+(lnx-l)2,然后構造函數g(x)=x2+(lnx-1%利用導數求其最小值即可.

【詳解】

記圓％2+y2-2y=o的圓心為C,設Z4MC=e,貝！|麻同=|無倒=已),sin8=p^,設

M(x,Inx),|MC|2=x2+(Inx-1)2,記g。)=Y+(仙尤一1尸，貝ij

=2x+2(lnx-l)--=—(x2+lnx-l),令〃(x)=x2+lnx-1,

xx

因為/i(x)=f+]nx-l在(O,+8)上單調遞增,且為1)=0,所以當0<x<l時，h(x)<h(V)=0,gXx)<0；當x>l

時，/?(X)>/7(l)=0,g'(X)>0,則g(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,4W)上單調遞增，所以g(x)min=g6=2,即

也，所以煙?礪=|兩12cos26=2sin2e+一一一3>0(當sin6=X^時等號成立).

\MC\^/2,Q<sin0

2sin'32

【點睛】

此題考查的是兩個向量的數量積的最小值，利用了導數求解，考查了轉化思想和運算能力，屬于難題.

【解析】

A8為彎管，AB為6個座位的寬度，利用勾股定理求出弧AB所在圓的半徑為廣，從而可得弧所對的圓心角，再利

用弧長公式即可求解.

【詳解】

如圖所示，AB為彎管，AB為6個座位的寬度,

貝！IAB-6x43—258c加

CD=15cm

設弧A8所在圓的半徑為廣，則

r2=(r-C￡>)2+AC2

=(r-15)2+1292

解得r?562cm

129

sinZAO￡>=—?0.23

562

可以近似地認為sinx。x,即ZAOD?0.23

于是ZAOBaO.46,AB長“562x0.46彩258.5

所以260c"?是最接近的，其中選項A的長度比A3還小，不可能,

7T

因此只能選B,260或者由cosx工0.97,sin2x?0.45=>2x<—

6

TT

所以弧長＜562x—儀294.

6

故選：B

【點睛】

本題考查了弧長公式，需熟記公式，考查了學生的分析問題的能力，屬于基礎題.

4.C

【解析】

—2—

由題意，可根據向量運算法則得到AP=M〃?AC+(1-/?)通，從而由向量分解的唯一性得出關于f的方程，求出

f的值.

【詳解】

由題意及圖，AP=AB+BP=AB+mBN=AB+a(AN-AB)=mAN+AB,

___2_______2______?___

又，AN^-NC,所以麗=一部，/.AP^-mAC+(1-zn)通，

355

\-m-t

—?1—?51

又衣ufAB+qAC,所以21，解得m=;，t=~,

3—m=—66

153

故選C.

【點睛】

本題考查平面向量基本定理，根據分解的唯一性得到所求參數的方程是解答本題的關鍵，本題屬于基礎題.

5.D

【解析】

兩邊同乘七化簡即可得出答案.

【詳解】

i*z=2+i兩邊同乘-i得z=l-2i,共扼復數為1+23選D.

【點睛】

z=a+bi(a,beR)的共朝復數為\=a-bi

6.B

【解析】

由/(%)=陰-加？是偶函數，則只需/(%)=m在%?(°,物)上有且只有兩個零點即可.

【詳解】

解：顯然如?是偶函數

所以只需Xe(0,+8)時，/(X)=m—皿2=短—巾2有且只有2個零點即可

令0*—皿2=0，貝1!加=一

X

令g(x)=W，g，(x)=e("J2)

XX

xe(O,2),g，(x)<O,g(x)遞減，且x->0+,g(x)->+oo

xw(2,+oo),g<x)>0,g(x)遞增，且xf+oo,g(x)f+oo

g(x"g(2)=1

xe(0,+oo)時，=e*-mx?有且只有2個零點，

2

只需m>—

4

故選：B

【點睛】

考查函數性質的應用以及根據零點個數確定參數的取值范圍，基礎題.

7.C

【解析】

求出導函數/'(x),由/'(x)=0有不等的兩實根，即/>0可得不等關系，然后由余弦定理可及余弦函數性質可得結

論.

【詳解】

=+；加+；(/+/一砒卜,二f\x)=x2+bx+^a2+c2-ac).

若f(x)存在極值，則從一4'}(/+02―")〉0,.“2+。2_/?2<"

又cosB=a+c———，,cos8<，.又：6e(0,兀)，.?.2〈6<兀.

lac23

故選：C.

【點睛】

本題考查導數與極值，考查余弦定理.掌握極值存在的條件是解題關鍵.

8.B

【解析】

4

根據1<ln3<§,利用指數函數對數函數的單調性即可得出.

【詳解】

4

解：***1<ln3<一,

3

4

'0=3+31n3>6,3<"3屋6'

><c<a<b.

故選：B.

【點睛】

本題考查了指數函數對數函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

9.B

【解析】

利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性可得出P（X<0）=P（X>2）,進而可得出結果.

【詳解】

?.?X~N(1,4),所以，P(X<0)=P(X>2)=0.3.

故選：B.

【點睛】

本題考查利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性求概率，屬于基礎題.

10.C

【解析】

jr37r17兀ig詈，/(x)=40ssiin（gx+專），再利用單調性

①用周期函數的定義驗證.②當xe時，+

23

（17nt\（1

判斷.③根據平移變換，函數/（x）=4sin;x+7|+4cos15X+gJ的值域等價于函數

23

；1的值域，而乃)=當團時,g(x)=40sin(g萬

g(x)=4singx+4cosxg(x+g(x),-x-\——再求值域.

23

【詳解】

、

4廉L+7衛(wèi)4+48sL17C

因為/（1+耳4cos++4sin+=|w/(x),故①錯誤;

212(212；212

I,乃3)，17兀1771\7兀r.171171171

當九￡一,---時，—X-\€TTW'所以小)=4sm—XH——-4cos—X-\——=4五sin—X+一

24232323212

17T兀TT\11\771TTT37r

—X~\------G了三所以?。┰?,上單調遞增,故②正確

212324T

的值域等價于函數g(x)=4singx+4cos|x的值域，易知

函數/(x)=4sin

123J

g(x+%)=g(x),故當XG[O,力]時，g(x)=40sin(；x+g)e[4,40],故③正確.

故選：C.

【點睛】

本題考查三角函數的性質，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題.

11.B

【解析】

根據可導函數在極值點處的導數值為0,得出4a4039=6,再由等比數列的性質可得.

【詳解】

解：依題意為、4039是函數/(力=卜3-4/+6>3的極值點，也就是r(x)=f-8x+6=o的兩個根

??a\々4039=6

又｛%｝是正項等比數列,所以%()20=”.“4039=逐

???log#a2020=log?n=L

故選：B

【點睛】

本題主要考查了等比數列下標和性質以應用，屬于中檔題.

12.A

【解析】

根據函數“X)的圖像過點(0,2),求出。，可得/(x)=cos2x+l,再利用余弦函數的圖像與性質，得出結論.

【詳解】

由函數/(x)=2sin(x+26>cosx(0<。<1)的圖象過點(0,2),

可得2sin2^=2,即sin20=1,

.?.2。=工，。=工

24

故/(x)=2sin(x+20)-cosx=2cos2x=cos2x+l,

對于A,由-l〈cos2x〈l,則。故A正確；

對于B,當x=（時，=故B錯誤；

對于C,7=尋="，故C錯誤；

2

對于D,當尤=工時，/fy|=1,故D錯誤；

4

故選：A

【點睛】

本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數的圖像與性質，需熟記性質與公式，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.l+21n2

【解析】

先畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出交點坐標，利用定積分即可求解.

【詳解】

xy<2

畫出實數x,），滿足表示的平面區(qū)域，如圖（陰影部分）:

0<y<2%

【點睛】

本題考查了定積分求曲邊梯形的面積，考查了微積分基本定理，屬于基礎題.

14.3x-y-2=Q

【解析】

根據導數的幾何意義求出切線的斜率，利用點斜式求切線方程.

【詳解】

因為f\x)=-+2x,

x

所以后=ra)=3,

又/⑴=1,

故切線方程為y-1=3(%-1),

整理為3x—y—2—Q,

故答案為：3x-y-2=0

【點睛】

本題主要考查了導數的幾何意義，切線方程，屬于容易題.

15.8

【解析】

9191

根據2%+——+——=x+l+——+X-1+——(%>1),利用基本不等式可求得函數最值.

x+1x-\x+1x-1

【詳解】

9191,91

Qx>l,2XH-----1----=X+1H-----Fx—1H----->6+2=8,當且僅當x+1=----且x-l=----,即x=2

x+1x-1x+1x-\x+1x-1

91

時，等號成立.；.x=2時，2x+」一+——取得最小值8.

X+1x-1

故答案為：8

【點睛】

本題考查基本不等式，構造基本不等式的形式是解題關鍵.

16.3000

【解析】

根據正態(tài)曲線的對稱性求出P(&>180),進而可求出身高高于180cm的高中男生人數.

【詳解】

解：全市30000名高中男生的身高J(單位：加)服從正態(tài)分布N(172,〃)，且P(172<J<180)=0.4,

則尸(［〉］80)=1-0；>2:01,

該市身高高于180cm的高中男生人數大約為30(X)0x0.1=3000.

故答案為：3000.

【點睛】

本題考查正態(tài)曲線的對稱性的應用，是基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（1）證明見解析；（2）是，理由見解析.

【解析】

（1）根據判別式即可證明.

（2）根據向量的數量積和韋達定理即可證明，需要分類討論，

【詳解】

解：（1）當y0=o時直線/方程為x=右或犬=-夜，直線/與橢圓C相切.

￡+2=1

當為*0時，由<2+?—得（2次+*卜2_4/%+4-4尤=0,

*+2%>=2

丫2

由題知，3+y；=l,即片+2y：=2,

所以—（^^?！骸盯破?年附―4y；）=16[x；—2（l_y；）]=16（片+2才—2）=0.

故直線/與橢圓C相切.

（2）設A（X],y）,B（x2,y2）,

當先=0時，％=%2，%=->2，%=土血，

FAFB={x,+1）2-=（%,+1）2-6+（x,-1）2=2x,2-4=0

所以.萬，即NAFB=90°.

當為#0時，由（X—1）+廠=6,得（乂+山2_2（2尤+Xo）x+2-lOy=O,

[x°x+2yoy=2

則…二堂科心郎

—5x^—4尤0+4

2+2y；

因為用一q=（玉+l,^）-（x2+l,y2）

=xix2+玉+工2+1+%、2

4-20v(；+8y(；+4A-()+2+2}^-5.r()-4.r()+4

2+2需2+2/

所以而_L而，即NAF3=90°.故乙”若為定值90°.

【點睛】

本題考查橢圓的簡單性質，考查向量的運算，注意直線方程和橢圓方程聯立，運用韋達定理，考查化簡整理的運算能

力，屬于中檔題.

18.(1)見解析(2)見解析

【解析】

(1)取的中點O,連結PO,8.根據線面平行的判定定理即得；(2)先證Bd_LCO,CD±AB,AB和8月

都是平面AB用A內的直線且交于點B,由(1)得CD〃PQ,再結合線面垂直的判定定理即得.

【詳解】

(1)取A8的中點。，連結PO,CD.

在A484中，?.￥,。分別為AB-A3中點，

PD//BB1,且=「在直三棱柱ABC-44G中，CCJBB、,CG=姐」.?。為棱C￡的中點，

CQ〃網，且。。1叫

/.PD//CQ,PD=CQ.

四邊形PDCQ為平行四邊形，從而PQ//CD.

又CDu平面ABC,P。O平面ABC,PQ//平面ABC.

(2)在直三棱柱ABC-44G中，J.平面ABC.又CDu平面ABC,..BCO.：C4=CB,。為A8中

點，:.CDLAB.

由(1)知CD〃尸Q,.?.84_LPQ,AB1PQ.

又?.?ABplBBi=8,ABI平面ABB4,BB^u平面

?.?PQ_1?平面ABB】A-

【點睛】

本題考查線面平行的判定定理，以及線面垂直的判定定理，難度不大.

22

19.(1)—+^-=1(2)加+近為定值()，見解析

82

【解析】

(1)利用已知條件直接求解。力，得到橢圓的方程；

(2)設直線在V軸上的截距為，”，推出直線方程，然后將直線與橢圓聯立，設A(&y),3(%,)，2),利用韋達定理

求出勺+%，然后化簡求解即可.

【詳解】

(1)由橢圓過點(0,0),則〃=正，又a+b=3叵,所以a=2尬,

2v2

故橢圓的方程為x土+上=1；

82

(2)<+4=0,證明如下:

設直線在)'軸上的截距為〃?，所以直線的方程為：y=^x+m,

1

y--x+m

-2

由，22得:X2+2mx+2m2—4=0,

土+j

82

由△=4m2-Sm2+16>0得一2</?<2,

2

設A(X[，x),Mxt+x2=-2m,xtx2=2m-4,

)[T丁2T(y-1)(尤2-2)+(%-1)(%-2)

所以仁+e=?

%-2X2-2(%1—2)(X2—2)

11

又y=5%+根，%=5%+加，

所以（y—1）（W—2）+（%—1）（七一2）FW+（m-2）（玉+w）-4（m—1）

=2irr—4+（m—2）（—2m）—4（m—1）=0,

故仁+&=0.

【點睛】

本題主要考查了橢圓的標準方程的求解，直線與橢圓的位置關系的綜合應用，考查了方程的思想，轉化與化歸的思想,

考查了學生的運算求解能力.

3

20.(1)—；(2)見解析.

【解析】

(1)利用獨立事件的概率乘法公式可計算出所求事件的概率;

(2)由題意可知隨機變量X的可能取值有200、300、400,計算出隨機變量X在不同取值下的概率，由此可得出

隨機變量X的分布列.

【詳解】

233

(1)詁’第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品"為事件A,則「(田=二><^=記

(2)由題意可知，隨機變量X的可能取值為200、300、400.

4216+3

貝|JP（X=2OO）=^=—,P（X=300）=

1010,

I33

P（X=400）=1-P（X=200）-300）=1---—=-

故X的分布列為

X200300400

133

P

10105

【點睛】

本題考查概率的計算，同時也考查了隨機變量分布列，考查計算能力，屬于基礎題.

21.(1)沒有極值點；(2)證明見解析

【解析】

(1)求導可得r(x)=Z(2x—e-k),再求導可得/〃(》)=以2+呢*)>0,則/'(X)在遞增測

小)>嗎〉0,從而/(X)在(!，+/］遞增，即可判斷;

(2)轉化問題為存在辦,工2,最+00］且王<々，使g(X［)=g(*2),可得

他(1口%2-姑%)=(2+1)3-52)+(6*2-6-3),由(1)可知/(工2)>/(x),即邛5一，一乂尺一不；),則

/、2

mx；一%：--11

1、--〉-------丫-X-)-I

機(加工,一111%)>后一工；,整理可得2,X,,則一>強v，設'■=s〉l,則可整理為S——21ns>0,設

2/2bl上玉“,

玉

Zz(s)=S—』—21ns,利用導函數可得Ms)>〃(1)=0,即可求證.

S

【詳解】

(1)當X〉；時,/'(X)=k(2x一e-力"〃(x)=k(2+ke^)>0,

所以/‘(X)在遞增，所以r(x)>r［；］=k(i—J5)>o,

所以fM在［；,+8］遞增，所以函數/(A)沒有極值點.

(2)由題，g(x)=/(x)+x2-mlnx=(Zr+l)x2-m\nx+e~k',

若存在實數f，使直線'