江蘇省宿遷市2021-2022學年高二下學期數(shù)學期末考試試卷

江蘇省宿遷市2021-2022學年高二下學期數(shù)學期末考試試卷

閱卷人

-------------------、單選題(共8題；共16分)

得分

8

1.(2分)已知-2)7=劭+的(%—1)+a2。-H---Fa8(x—I),則ao+ai+a2T---卜

?8=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【解析】【解答】依題意，當x=2時，的+即+<12+…+。8=2x(2-2)7=0。

故答案為：B

【分析】利用已知條件結(jié)合賦值法，進而求出的+的+^^+…+^^的值。

2.(2分)已知經(jīng)過點4(1,2,3)的平面a的法向量為元=(1,一1,1),則點P(-2,3,1)到平面a

的距離為()

A.V3B.2C.272D.2>/3

【答案】D

【解析】【解答】依題意，而=(一3,1,一2),所以點P到平面a的距離為￡/=磨型=

、7|n|

|—3xl+lx(—l)+(-2)xl|_2聒

Jl2+(-l)2+l2

故答案為：D

【分析】利用已知條件結(jié)合向量的坐標表示，再利用數(shù)量積求出點P到平面a的距離。

3.(2分)下列各式中，不等于用的是()

A.父B.婿1C.A*D.n蝴］

【答案】C

【解析】【解答】A：父=加.判斷正確；

B：父-1=父=川.判斷正確；

C：4+1==(n+1)!.判斷錯誤；

D：n/北二；=n'(n—1)!=n!.判斷正確.

故答案為：C

【分析】利用已知條件結(jié)合排列數(shù)公式的性質(zhì)和排列數(shù)公式，進而找出不等于加的選項。

4.(2分)如果今天是星期二，經(jīng)過7天后還是星期二，那么經(jīng)過22°22天后是()

A.星期一B.星期二C.星期三D.星期四

【答案】C

6737C674

2022674674+674

［解析］［解答】2=23X674=8674=(7+1)674=7674+-7+??

由于括號中，除了最后一項外，其余各項都能被7整除，

故整個式子除以7的余數(shù)為C需=1，2+1=3,

故經(jīng)過22°22天后是星期三。

故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合二項式定理和求余的方法，進而結(jié)合函數(shù)的周期性，進而得出經(jīng)過22022

天后的選項。

5.(2分)已知數(shù)據(jù)(％,y)的三對觀測值為(1,3),(3,5),(5,4).用“最小二乘法''判斷下列直線

的擬合程度，則效果最好的是()

119c115

y=-X+134y=-X+-y=-X+3y=-X+-

A.4443D.22

【答案】A

【解析】【解答】當擬合直線為y=+苧時，預(yù)報值與實際值的差的平方和Si=g_3)2+

923

(4-5)24-(2-4)=于

2

當擬合直線為y=*%+X時，預(yù)報值與實際值的差的平方和S2=8-3)+(3-5)2+(1-4,=

9

29

［22

當擬合直線為y=/久+3時，預(yù)報值與實際值的差的平方和S3=(學—3)+(4-5猿+(竽—4)=

14

百，

當擬合直線為y=5+|時，預(yù)報值與實際值的差的平方和54=(3—3)2+(4-5)2+(5—4)2=

2,

故Si最小，即效果最好的是y=印

故答案為：A.

【分析】利用已知條件結(jié)合“最小二乘法”判斷下列直線的擬合程度，再結(jié)合預(yù)報值與實際值的差的

平方和，進而找出效果最好的直線方程。

6.（2分）甲、乙、丙、丁4位同學進行數(shù)學建模競賽（無并列名次），賽后甲、乙預(yù)估自己成績，

甲說：“我不可能得到冠軍”，乙說：“我應(yīng)該不會是最差的"，假如兩人都猜對了，那么乙得冠軍的概

率為（）

A-IB-IC-ID-I

【答案】D

【解析】【解答】由題意可得，“甲沒有得到冠軍”，"乙不是最差的”

則可能的競賽結(jié)果共有川-“-眉+%=14（種）

其中乙得冠軍共有“=6（種）可能的結(jié)果

則甲乙都猜對了，乙得冠軍的概率為叁=未

故答案為：D

【分析】利用已知條件結(jié)合排列數(shù)公式和古典概型求概率公式，進而得出乙得冠軍的概率。

7.（2分）四面體4BCD中，AB=AC=AD=2,ABAD=90°,~ABCD=-2^則NB4C=（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【解析】【解答】因為而=而一近，/.BAD=90°,所以南?而=0

所以福?而=南?（而一元）=南?而一通?前=-2，

所以麗?元=2，又4B=AC=2,所以而?尼=|而左|cos/BAC=2，

所以COSNB/C=因為“ACe（0,兀）,所以NBAC=60°o

故答案為：C

【分析】利用已知條件結(jié)合三角形法則和數(shù)量積為。兩向量垂直的等價關(guān)系，再利用數(shù)量積的運算

法則，得出筋.病的值，再利用力B=4C=2結(jié)合數(shù)量積的定義，進而結(jié)合兩向量的夾角的取值范

圍，進而求出/B4C的值。

8.(2分)設(shè)隨機變量X?H(10,M,1000)(2WM工992且M€N*),H(2；10,M,1000)最大

時，E(X)=()

A.1.98B.1.99C.2.00D.2.01

【答案】C

【解析】【解答】隨機變量X?H(10,M,1000),則H(2；10,M,1000)=P(X=2)=

CMC1000-M

10

cr1000

H(2；10,M,1000)>W(2；10,M+l,1000)

因為H（2；10,M,因00）最大，則有

W(2；10,M,1000)>H(2；10,M-1,1000)

CMGOOO—M>CM+10999-MM(M-l)(1000-M)!、M(M+1)(999-M)!

-710-710

L1000L1000-28!(992-M)!---28!(991-M)!

M(M-l)(1000-M)!(M-l)(M-2)(1001-M)!'

瑞CfOOO_M>瑞一力001-M.28!(992-M)!之28!(993-M)!

-r10

Ic1000L1000

(M—1)(1000-M)>(M+1)(992-M)

解得199.242002,

M(993-M)>(M-2)(1001-M)

而MCN*,則M=200,所以E（X）=喘范=端黎=2.00。

故答案為：C

【分析】利用機變量X?”（10,M,1000）,再結(jié)合組合數(shù)公式和古典概型求概率公式，進而結(jié)合

H（2；10,M,1000）最大得出M的取值范圍，再利用MEN*,進而得出M的值，再利用數(shù)學期望

公式求出隨機變量X的數(shù)學期望。

閱卷入

—二、多選題（共4題；共8分）

得分

9.（2分）下列說法正確的是（）

A.樣本相關(guān)系數(shù)即為其標準化數(shù)據(jù)向量夾角的余弦值

B.樣本相關(guān)系數(shù)的取值范圍是（-1,1）

0「先）2

C.決定系數(shù)解=1一?越大，一元線性回歸模型的擬合效果越好

D.若變量x與y的線性回歸方程為夕=1.5x-2,則x與y負相關(guān)

【答案】A,C

【解析】【解答】對于A,樣本相關(guān)系數(shù)即為其標準化數(shù)據(jù)向量夾角的余弦值，A符合題意；

對于B,樣本相關(guān)系數(shù)的取值范圍是[-1,1],B不符合題意；

yn（5）2

對于C,決定系數(shù)R2=l一會鏟-------越大，一元線性回歸模型的擬合效果越好，C符合題意;

y⑵-刃2

對于D,變量x與y的線性回歸方程為，=1.5%-2,則x與y正相關(guān)，D不符合題意.

故答案為：AC.

【分析】利用已知條件得出樣本相關(guān)系數(shù)即為其標準化數(shù)據(jù)向量夾角的余弦值，再利用樣本相關(guān)系

yn⑶「無y

數(shù)的取值范圍、再利用決定系數(shù)屐=1----------越大，一元線性回歸模型的擬合效果越好，

/仇-力2

再結(jié)合變量X與y的線性回歸方程為？=1.5%-2,則x與y正相關(guān)，進而找出說法正確的選項。

10.（2分）在長方體ABC。中，AB=4,BC=BBX=2,E,F分別為棱AB,力道1的中

點，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.EF=AA1+^BC+B.\EF\=3

C.ED-EC^=ED-ECD.BF1

【答案】A,B,C

【解析】【解答】如圖建立空間直角坐標系，

則。(0,0,0)、4(2,0,0)、B(2,4,0)、

E(2,2,0)、4(2,0,2)、F(l,0,2)、D^O,0,2)、的(0,4,2)、C(0,4,0),

所以麗=(-1,-2,2)、砧=(0,0,2)、BC=(-2,0,0)、=(0,-4,0).

所以加二痂+④近+4瓦區(qū)，A符合題意；

\EF\=?-1)2+(-2)2+22=3.B符合題意；

ED=(-2,-2,0),西=(-2,2,2),針=(-2,2,0),前=(一1,-4,2),

所以麗?瓦7=o,而?前=o,故而?瓦7=麗?正，即c符合題意；

因為前?瓦7=-2X(-1)+2X(-4)+2X2=-2，所以前與研不垂直，D不符合題意;

故答案為：ABC

【分析】利用已知條件結(jié)合空間向量的方法，再利用平面向量基本定理、向量的坐標運算、向量的

模的坐標表示、數(shù)量積的坐標表示、兩向量垂直數(shù)量積為0的等價關(guān)系，數(shù)量積的坐標表示，進而

找出結(jié)論正確的選項。

11.(2分)已知X?N(〃i，曲)，丫?N(〃2，赍)的正態(tài)密度曲線如圖所示.下列結(jié)論中正確的是

c.VteR,P(X>t)>P(Y>t)D.3teR,P(X>t)>P(Y>t)

【答案】A,B,D

【解析】【解答】由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)可知，X?N3,而)，y~N(42,忌)的正態(tài)密度曲線分別

關(guān)于X=41，x=〃2對稱，。越小密度曲線越“高瘦”，

由題圖可知〃1<“2，6<。2，AB符合題意；

當t24i，P(X>t)<P(.y>O>C不符合題意；

由于正態(tài)密度曲線與工軸之間的面積為1,由題圖可知文eR,>t)>P(Y>t)-D符合題意.

故答案為：ABD.

【分析】由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)可知，X?N(〃i，譜)，Y?NW2，應(yīng))的正態(tài)密度曲線分別關(guān)于

x=x=〃2對稱，。越小密度曲線越“高瘦”，由題圖結(jié)合比較法可知/<的，。1<%，當t?

41，P(X>t)<P(.Y>t);由于正態(tài)密度曲線與工軸之間的面積為1，由題圖可知配CR,P(X>

t)NP(YNt),進而找出結(jié)論正確的選項。

12.(2分)某車間加工同一型號零件，第一、二臺車床加工的零件分別占總數(shù)的40%,60%,各自

產(chǎn)品中的次品率分別為6%,5%.記“任取一個零件為第i臺車床加工。=1,2)”為事件4,“任取一個

零件是次品”為事件B,則()

A.P(5)=0.054B.P(&B)=0.03

C.P(B|4)=0.06D.P(A2\B)=!

【答案】B,C,D

【解析】【解答】依題意P(4)=0.4,P(A2)=0.6,P(BMD=0.06,P(B\A2)=0.05,C符合題

意；

所以P(B)=P(B|Ai)?P(4)+P(B|&)?2(4)=0.4X0.06+0.6X0.05=0.054,

所以P⑻=1-P(B)=1-0.054=0,946,A不符合題意；

因為「(Bl%)=鏢興，所以P(B42)=P(B|%)P(&)=0.6x0.05=0.03,B符合題意；

所以P(4|B)=與需=耦=|,D符合題意；

i1JLX)u.u

故答案為：BCD

【分析】利用已知條件結(jié)合條件概型求概率公式、對立事件求概率公式、獨立事件乘法求概率公

式、互斥事件加法求概率公式，進而找出正確的選項。

閱卷人

-----------------三、填空題(共4題；共5分)

得分

13.(1分)如圖，一條電路從A處到B處接通時，可以有條不同的線路(每條線路僅含

一條通路).

【答案】9

【解析】【解答】依題意按上、中、下三條線路可分為三類,

上線路中有2種，

中線路中只有1種，

下線路中有2X3=6(種).

根據(jù)分類計數(shù)原理，共有2+1+6=9(種)。

故答案為：9。

【分析】利用已知條件結(jié)合分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理，進而得出滿足要求的不同的線

路的種數(shù)。

14.(1分)已知隨機變量f?B(n,p),P(f=l)=*,E(f)=4,則D(f)的值為.

【答案】2

【解析】【解答】由隨機變量f?B(n,p),P(f=l)=*,E(f)=4

可得卜P(-P尸=以解之得,二：,

np=4(P-2

[1

則D(f)=np(l-p)=8x^x^=2o

故答案為：2。

【分析】利用已知條件結(jié)合二項分布求概率公式和二項分布求數(shù)學期望公式，進而得出n,p的

值，再利用二項分布求方差公式，進而求出隨機變量的方差。

15.(1分)已知點4(一1,1,0)、5(1,3,2),與向量而不共線的向量為=(久，y,z)在南上的投

影向量為(1,1,1),請你給出五的一個坐標為.

【答案】(1,2,0)(答案不唯一)

【解析】【解答】由點4(-1,1,0)、5(1,3,2).可得通=(2,2,2),

又因為向量三=(%,y,z)在存上的投影向量為(1,1,1),

則.而=2產(chǎn)2劣+2：.?,2,2)=x+^+z(2,2,2)=(1,1,1),

畫22+22+226

則咨匚=1，又因為向量超與向量壞共線，則尹上齊成立

則可令x=1,y=2,z=0，即3=(1,2,0)。

故答案為：(1，2,0)(答案不唯一)。

【分析】利用已知條件結(jié)合向量求坐標公式和數(shù)量積求投影向量的方法，再利用向量共線定理，進

而得出向量方的一個坐標。

16.(2分)“楊輝三角’’(或"賈憲三角”)，西方又稱為“帕斯卡三角“，實際上帕斯卡發(fā)現(xiàn)該規(guī)律比賈

憲晚500多年，若將楊輝三角中的每一個數(shù)C：都換成分數(shù)月封，就得到一個如圖所示的分數(shù)三角

(n+l)Cn

111

形數(shù)陣，被稱為萊布尼茨三角形.從菜布尼茨三角形可以看出N6萬=加上1、五，

172十九+11九十九+i171十

111111,

其中“=(用r表示)；令斯=4+萬+而+詢+…+/^+同歷祥，則1％冊的

值為.

1

T

￡［

22

11!

363

1-L!

412124

11111

52030205

11111I

6306060306

￡2-J_J_J_1

742105140105427

【答案】r+1；J

111

【解析］［解答］由/*-z.—=:/。得:

(n+2)Cn+1(n+2)Cn+1(n+l)Cn

1_n+21_n+21

篇=m+l)C廠==(4+1)!-5+1)!一

r!(n—r)!r!(n+l—r)!

_(n+2)r!(n—r)!—r!(n+1—r)!

(71+1)!

_r!(n-r)!(n+2—n—1+r)_(r+l)!(n—r)!

一(n+l)!—(n+1)!

1_%!(n+1—%)!

又―5+1)!'

x!(n+l—%)!_(r+l)!(n—r)!

'(n+1)!=~Oi+1)!-'

??.％=r+1；

.1+]=]

'??(n+2居+]5+2)C；[：—：+1解'

<，1._1,________1______——1____1____,，1一------1----

??/.-\/-.n-2/.4\/-.n—3/-.n-3，,-.n-3/-.n-4/4\-4，

(n+l)Cn(n+l)CnnCn_1九%_]加%_1(n-l)Cn_2

1?1=1

(n-l)C^(…以二廠(n-2)cW…，

111=11l1=1

5C：5CJ4cl4C34c廠3葉

111111

將上述各式相加,得(n+1解一2+訴嚴+肅+…+前+4=小

11

即/+冊=4,

(n+l)Cn°

?一12

??冊一4一九(九+1)(九一1)，

1

/.lima?=

n-?+83°

故答案為：r+1；

【分析】利用已知條件結(jié)合萊布尼茨三角形，再利用組合數(shù)公式和求和的方法，進而得出數(shù)列的通

項公式，再結(jié)合數(shù)列求極限的方法，進而得出1區(qū)曲的值。

閱卷人

四、解答題(共6題；共55分)

得分

17.(10分)在條件①無理項的系數(shù)和為-364,②爐的系數(shù)是64,③第3項的二項式系數(shù)與第2項

的二項式系數(shù)的比為5：2中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.

1n

問題：在G—2a)(nCN*)的展開式中一.

(1)(5分)求n的值；

(2)(5分)求展開式中的常數(shù)項.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

1nn—r3

【答案】(I)解：因為g—2?)(neN*)展開式的通項為7V+1=或?4)(-2V^)r=^x-n+2r(-2)r

若選①，當r為奇數(shù)時為無理項，r為偶數(shù)時為有理項，

則?+2底)"的無理項系數(shù)和與?—24)"的無理項系數(shù)和互為相反數(shù),

令。-2毋)n的無理項系數(shù)和為M、有理項系數(shù)和為N,

令x=l,則N+M=(-l)n,N-M=3"

所以M=(T)；-3”=一364，所以九=6；

若選②，令f+*r=3,解得丁二宗九+3),

因為|(n+3)<n且|(n+3)CN*,解得n>6且n為3的倍數(shù)，

222

所

以5n+-+57

c3)3(n3)=64c21，所以1（n+3）W6,所以nW6,

n(-2)n

「

若選—③X，依題意可得牛2=?q，即nf(n—1)_5_,解得7!=6；

Cn2n~2

d6Q

(2)解：由(I)可得(1—2立)，則展開式的通項為7r+i=。5-6+2，(-2)心

令一6+|r=0,解得r=4,所以展開式中常數(shù)項為"=C^°(—2)4=240;

【解析】【分析】(I)利用已知條件結(jié)合二項式定理求出展開式中的通項公式。

若選①，當r'為奇數(shù)時為無理項，？■為偶數(shù)時為有理項，則C+2?)的無理項系數(shù)和與?-24)的

無理項系數(shù)和互為相反數(shù)，令2々)”的無理項系數(shù)和為M、有理項系數(shù)和為N,令x=l,則N+

M=(-l)n,N-M=3n,進而解方程組求出M的值，從而得出n的值；

若選②，令f+|r=3,解得r與n的關(guān)系式，再利用|(n+3)W般且|(n+3)eN*,解得葭26

2

_

3>1

且n為3的倍數(shù)，再結(jié)合n-進而得出n的取值范圍，從而得出n的值;

「2

若選③，依題意可得導(dǎo)=再利用組合數(shù)公式，進而得出n的值。

Cn

(2)由(1)可得?_2女)6,再利用二項式定理求出展開式的通項公式，再利用通項公式求出展開

式中的常數(shù)項。

18.(10分)在直角梯形CEPD中，PD//EC,PD=8,CE=6，A為線段PD的中點，四邊形4BC0

為正方形.將四邊形PABE沿AB折疊，使得P4_LAD,得到如圖(2)所示的幾何體.

(1)(2)

(1)(5分)求直線PD與平面PCE所成角的正弦值；

(2)(5分)當F為線段的中點時，求二面角P-CE—F的余弦值.

【答案】(1)解：依題意可得PA1AB、PA1AD,AB1.AD,如圖建立空間直角坐標系,

則4(0,0,0)、B(4,0,0)、C(4,4,0)、D(0,4,0)、P(0,0,4)、E(4,0,2),

所以請=(0,-4,2),CP=(-4,-4,4),DP=(0,-4,4),

設(shè)平面PCE的法向量為元=(x,y,z)，所以令'=1，貝收2fx=

1,所以訶=(1,1,2),

設(shè)直線PD與平面PCE所成角為。，貝ijsin。=也需=7屋「:

\n\-\DP\4V2XV66

(2)解：依題意可得F(2,0,0)，則方=(一2,-4,0)，

設(shè)平面CEF的法向量為訪=(a,b,c)，所以儼,售=一雅二￥=2令b=l，則記=

、)CE=-4b+2c=0

（-2,1,2）,

則cos伍，m）==-^==顯然二面角P-CE-尸的銳二面角,

''|n|-|m|3766

所以二面角P-CE-尸的余弦值為電；

6

【解析】【分析】（1）依題意可得PAIAB、PALAD,AB1AD,建立空間直角坐標系，從而得

出點的坐標，再結(jié)合向量的坐標表示求出向量的坐標，再利用數(shù)量積求向量夾角公式，進而結(jié)合誘

導(dǎo)公式得出直線PD與平面PCE所成角的正弦值。

（2）利用已知條件結(jié)合中點的性質(zhì)，再利用向量的坐標表示和數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)

系，進而得出平面CEF的法向量，再利用數(shù)量積求向量夾角公式結(jié)合二面角P-CE-F的銳二面角,

進而求出二面角P-CE-F的余弦值。

19.（10分）設(shè)甲袋中有3個白球和4個紅球，乙袋中有1個白球和2個紅球.

（1）（5分）從甲袋中取4個球，求這4個球中恰好有2個紅球的概率；

（2）（5分）先從乙袋中取2個球放入甲袋，再從甲袋中取2個球，求從甲袋中取出的是2個紅

球的概率.

【答案】（1）解：依題意從7個球中取4個球有弓中取法，

其中4個球中恰好有2個紅球，即恰好有2個紅球、2個白球，有所以種取法，

「2「21a

所以4個球中恰好有2個紅球的概率P=*

C7

（2）解：記必為從乙袋中取出1個紅球、1個白球，&為從乙袋中取出2個紅球，B為從甲袋中取

出2個紅球，

fl

所以P(Ai)=^|，P(4)￡1

所以P(B|&)=§=/,P(B|A2)=fj=會，

CgCg

所以P(B)=P(B|&)?P(&)+P(B|&)-P(&)=1xn+lXA=W

【解析】【分析】(1)利用已知條件結(jié)合組合數(shù)公式和古典概型求概率公式，進而得出這4個球中恰

好有2個紅球的概率。

(2)利用已知條件結(jié)合組合數(shù)公式和古典概型求概率公式，再利用條件概型求概率公式，進而結(jié)合

獨立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，從而得出從甲袋中取出的是2個紅球的概

率。

20.(10分)受疫情影響，某校實行線上教學，為了監(jiān)控學生的學習情況，每周進行一次線上測評,

連續(xù)測評5周，得到均分數(shù)據(jù)見圖.

恪

82----------1?-----?

優(yōu)秀數(shù)非優(yōu)秀數(shù)合計

某校4654100

聯(lián)誼校5644100

合計10298200

2=1(勺一切3「力

附：相關(guān)系數(shù)：r="兀,

〉(xi-xy〉(%—,)

、—i=l乙H=1

L__.二i即「九元y_W(-一%)(y「，)2

22

回歸系數(shù)：J/=1%?—n(x)型=1(%j—x)2_____n(ad—be)______

X—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

Ia=y-bx.

臨界值表:

P(/2>吟0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

（1）（5分）請你根據(jù)數(shù)據(jù)利用相關(guān)系數(shù)判定均分y與線上教學周數(shù)x是否具有顯著相關(guān)關(guān)系，

若有，求出線性回歸方程，若沒有，請說明理由；

（2）（5分）為了對比研究，該校和其水平相當?shù)木€下教學的聯(lián)誼校進行同步測評，從兩校分別

隨機抽取100名同學成績進行優(yōu)秀學生數(shù)統(tǒng)計見表1,請問是否有把握斷定優(yōu)秀數(shù)與線上學習有關(guān)？

若有關(guān)，請問有多大把握？

【答案】(1)解：y=1(86+84+85+82+83)=84,x=1(l+2+3+4+5)=3

乏：=1（陽—乃（匕一刃

____________(1-3)(86-84)+(2-3)(84-84)+(3-3)(85-84)+(4-3)(82—

J[(l-3)2+(2—+(3—3。+(4—+(5—3力[(86—84『+(84—84『+(8

=-0,8￡[-1,-0.75],則均分y與線上教學周數(shù)x負相關(guān)很強.

無)(/_?)

左=i(.Xi-x)2

二(1一3)(86-84)+(2-3)(84-84)+(3-3)(85-84)+(4-3)(82-84)+(5-3

"(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2

=-0.8

則a=y一B元=84—3X(-0.8)=86.4

則線性回歸方程為9=-0.8x+86.4

2100(46x44-56x54)2

（2）解:2_n(ad—bc)h1.000<2.706

x=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)102x98x100x100

則在犯錯誤的概率不超過0.100的前提下不能推斷“優(yōu)秀數(shù)與線上學習有關(guān)“

【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合平均數(shù)公式和相關(guān)系數(shù)求解公式，進而判斷出均分y與線上

教學周數(shù)X負相關(guān)很強，再結(jié)合最小二乘法得出線性回歸方程。

（2）利用已知條件結(jié)合獨立性檢驗的方法判斷出在犯錯誤的概率不超過0.100的前提下不能推斷“優(yōu)

秀數(shù)與線上學習有關(guān)”。

21.（10分）如圖，三棱柱中，所有棱長都為2,且4414c=60。，平面4遇。的1平面

ABC,點P,Q分別在AB,4Ci上，且4P=&Q.

（1）（5分）求證：PQ〃平面BiBCJ；

（2）（5分）當點P是邊4B的中點時，求點/到直線PQ的距離.

【答案】（1）證明：作PD〃AC,交BC于點D,由4Q=ZP,則BP=QG，

".,PD//AC,

.?第=器,即PD=BP=QQ,

:.PD"QC\&PD=QCi，連接DC】，

所以四邊形GQP。為平行四邊形，

:.PQI&D,

；PQC平面BCCiBi，且CWu平面BCQBi，

???P<2〃平面8(7681.

(2)解：取4C中點0,連接為。、B0,

1

'：AO=^AC=1.AAI=2,乙4遇0=60°,

2

根據(jù)余弦定理得：&。2=AAl+AO-2AAX-AO-cos60°=4+1-2x2x1x|=3,

二?Ai。=V3,

則占O1AC,又平面4遇?，平面ABC,平面4遇3in平面=AC,

：.AXO，平面ABC,

?.?△ABC是等邊三角形，

：.B01AC,

如圖建立空間直角坐標系,

則火0,-1,0）,B（V3,0,0）,41（0,0,6），P（孚，0）,（2（0,1,遮），（遮，1,

圾，

.?.麗=（堂，-|,-V3）,西=（遮，0,0），

__,____O

???cos（旗西）=色叫==4,

W

"1'\QP\-\QBX\V6.V34

...點/到直線PQ的距離為|西?.Ji—cos2畫，西）=V3xJ1一4）2=半?

【解析】【分析】⑴作PD〃AC,交BC于點、D,由4iQ=4P,貝（）BP=QCi，利用PD〃AC結(jié)合對應(yīng)

邊成比例，即PD=BP=QCi，所以PD〃QCi且PD=QCi，連接所以四邊形CiQPD為平行四

邊形，所以PQ〃CiD,再利用線線平行證出線面平行，從而證出直線PQ〃平面BCC/i。

（2）取4c中點0,連接為。、B0,再利用AO=：AC=1，44=2,乙4"。=60。結(jié)合余弦定理

得出公0的長，則401AC,再利用平面4ACC11平面ABC結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理證出線面垂

直，所以公。，平面ABC,再利用三角形△ABC是等邊三角形結(jié)合等邊三角形三線合一，得出80_L

AC,從而建立空間直角坐標系，進而得出點的坐標，再結(jié)合向量的坐標表示求出向量的坐標，再利

用數(shù)量積求向量夾角公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及幾何法，進而求出點％到直線PQ的距離。

22.（5分）在做數(shù)學卷多選題時考生通常有以下兩種策略：

策略A：為避免有選錯得0分，在四個選項中只選出一個自己最有把握的選項，將多選題當作“單

選題”來做，選對得2分;

策略B：爭取得5分，選出自己認為正確的全部選項，漏選得2分，全部選對得5分.

本次期末考試前，某同學通過模擬訓(xùn)練得出其在兩種策略下作完成下面小題的情況如下表:

概率每題耗時(分鐘)

策略

第11題第12題

A選對選項().80.53

部分選對0.60.2

B6

全部選對0.30.7

已知該同學作答兩題的狀態(tài)互不影響，但這兩題總耗時若超過10分鐘，其它題目會因為時間緊張

而少得1分.根據(jù)以上經(jīng)驗解答下列問題：

(1)(5分)若該同學此次考試決定用以下方案：第11題采用策略B,第12題采用策略A,設(shè)

他這兩題得分之和為X,求X的分布列、均值及方差；

(2)(1分)若該同學期望得到高分，請你替他設(shè)計答題方案.

【答案】⑴解:設(shè)事件1為“第11題得0分”，事件&為“第11題得2分”，事件當為“第11題得5

分”，

事件&為“第12題得0分”,事件上為“第12題得2分”,

所以P(Bi)=0.1,P(fi2)=0.6,P(B3)=0.3,P(A1)=O.5,P(7l2)=0.5,

由題意可知，X的可能取值為0,2,4,5,7,

則P(X=0)=P(BiAD=0.1x0.5=0.05,

P(X=2)=P(BXA2+B2A1)=0.1x0.5+0.6x0.5=0.35,

P(X=4)=P(F2/12)=0.6x0.5=0.3?

P(X=5)=P(B3&)=0.3x0.5=0.15,

P(X=7)=P(B3A2)=0.3x0.5=0.15,

所以小明第11題和第12題總得分X的分布列為：

X02457

P0.050.350.30.150.15

所以E(X)=0x0.05+2x0.35+4x0.34-5x0.15+7x0.15=3.7,

D(X)=(0-3.7)2x0.05+(2-3.7)2x0.35+(4-3.7)2x0.3+(5-3.7)2x0.154-(7-3.7)2

x0.15=3.61

(2)解：依題意該同學答題方案有:

方案1：11題采用策略B,12題采用策略4；

方案2：11題和12題均采用策略B；

方案3：11題和12題均采用策略4

方案4：11題采用策略412題采用策略B；

設(shè)隨機變量y為該同學采用方案2時，第11題和第12題總得分,

則y的可能取值為0,2,4,5,7,10,

故P(y=0)=0.1x0.1=0.01,

p(y=2)=0.1x0.2+0.6x0.1=0.08,

P(Y=4)=0.6x0.2=0.12,

P(y=5)=0.1x0.34-0.7x0.1=0.1,

P(Y=7)=0.6x0.7+0.3x0.2=0.48,

P(Y=10)=0.3x0.7=0.21,

故y的分布列為：

Y0245710

P0.010.080.120.10.480.21

所以E(y)=0X0.01+2X0.08+4x0.12+5x0.1+7x0.48+10X0.21=7.04,

但因為時間超過10分鐘，后面的題得分少1分，相當于得分均值為37.04-1=6.04分,

因為6.04>3.7,

方案3的期望值一定小于4,故不選方案3,

設(shè)隨機變量Z為該同學采用方案4時，第11題和第12題總得分，

則Z的可能取值為0,2,4,5,1,

故P(Z=0)=0.2X0,1=0.02,

P(Z=2)=0.2X0.2+0.8X0.1=0.12,

p(Z=4)=0.8x0.2=0.16,

P(Z=5)=0.2x0.7=0.14,

P(Z=7)=0.8x0.7=0.56,

故Z的分布列為：

Z02457

P0.020.120.160.140.56

所以E(Z)=0x0.02+2X0.12+4x0.16+5x0.14+7X0.56=5.5,

方案4的期望值也小于E(Y),故不選方案4；

所以我建議該同學按照方案2：11題和12題均采用策略B.

【解析】【分析】(1)利用已知條件得出事件為，事件%,事件%的概率，進而得出隨機變量X的

取值，再利用獨立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，進而得出隨機變量X的分布

列，再利用隨機變量X的分布列求均值和方差公式，進而得出隨機變量X的均值和方差。

(2)依題意得出該同學答題方案，設(shè)隨機變量丫為該同學采用方案2時，第11題和第12題總得

分，

進而得出隨機變量丫的可能取值，再利用獨立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，進而

得出隨機變量Y的分布列，再利用隨機變量的分布列求數(shù)學期望公式，進而得出隨機變量Y的數(shù)學

期望，但因為時間超過1()分鐘，后面的題得分少1分，相當于得分均值為37.04-1=6.04分，再

利用6.04>3.7,方案3的期望值一定小于4,故不選方案3,設(shè)隨機變量Z為該同學采用方案4時，

第11題和第12題總得分，進而得出隨機變量Z的可能取值，再利用獨立事件乘法求概率公式和互斥

事件加法求概率公式，進得出隨機變量Z的分布列，再利用隨機變量的分布列求數(shù)學期望公式，進

而得出隨機變量Z的數(shù)學期望，方案4的期望值也小于E(Y),故不選方案4,所以我建議該同學按照

方案2：11題和12題均采用策略

試題分析部分

1、試卷總體分布分析

總分：84分

客觀題（占比）26.0(31.0%)

分值分布

主觀題（占比）58.0(69.0%)

客觀題（占比）14(63.6%)

題量分布

主觀題（占比）8(36.4%)

2、試卷題量分布分析

大題題型題目量（占比）分值（占比）

填空題4(18.2%)5.0(6.0%)

解答題6(27.3%)55.0(65.5%)

多選題4(18.2%)8.0(9.5%)

單選題8(36.4%)16.0(19.0%)

3、試卷難度結(jié)構(gòu)分析

序號難易度