(新高考)高考數(shù)學一輪基礎復習講義1.1集合及其運算(教師版)

第1課時第1課時進門測進門測判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)任何一個集合都至少有兩個子集．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)若{x2,1}＝{0,1}，則x＝0,1.(×)(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(√)(5)對于任意兩個集合A，B，關系(A∩B)?(A∪B)恒成立．(√)(6)若A∩B＝A∩C，則B＝C.(×)作業(yè)檢查作業(yè)檢查無第第2課時階段訓練階段訓練題型一集合的含義例1(1)設P，Q為兩個非空實數(shù)集合，定義集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，則P＋Q中元素的個數(shù)是()A．9B．8C．7D．6(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a＝________.答案(1)B(2)0或eq\f(9,8)解析(1)當a＝0時，a＋b＝1,2,6；當a＝2時，a＋b＝3,4,8；當a＝5時，a＋b＝6,7,11.由集合中元素的互異性知P＋Q中有1,2,3,4,6,7,8,11共8個元素．(2)若a＝0，則A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，符合題意；若a≠0，則由題意得Δ＝9－8a＝0，解得a＝eq\f(9,8).綜上，a的值為0或eq\f(9,8).思維升華(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型是數(shù)集、點集還是其他類型的集合．(2)集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．(1)已知A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，則下列表示正確的是()A．－1?A B．－11∈AC．3k2－1∈A(k∈Z) D．－34?A(2)設a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，則b－a＝________.答案(1)C(2)2解析(1)∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A.(2)因為{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，a≠0，所以a＋b＝0，得eq\f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.題型二集合的基本關系例2(1)設A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，則滿足A?B的B的個數(shù)是()A．5B．4C．3D．2(2)已知集合A＝{x|x2－2017x＋2016<0}，B＝{x|x<a}，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是__________________．答案(1)B(2)[2016，＋∞)解析(1)∵{1,2}?B，I＝{1,2,3,4}，∴滿足條件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4個．(2)由x2－2017x＋2016<0，解得1<x<2016，故A＝{x|1<x<2016}，又B＝{x|x<a}，A?B，如圖所示，可得a≥2016.引申探究本例(2)中，若將集合B改為{x|x≥a}，其他條件不變，則實數(shù)a的取值范圍是____________．答案(－∞，1]解析A＝{x|1<x<2016}，B＝{x|x≥a}，A?B，如圖所示，可得a≤1.思維升華(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關系時，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會造成漏解．(2)已知兩個集合間的關系求參數(shù)時，關鍵是將條件轉化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而轉化為參數(shù)所滿足的關系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．(1)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{1，x，x2－x}，且B?A，則x等于()A．1B．0C．2D．－1(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B?A，則實數(shù)m的取值范圍是____________．答案(1)D(2)(－∞，4]解析(1)當x＝0時，x2－x＝0，不滿足條件；當x＝2時，x2－x＝2，不滿足條件；當x＝－1時，x2－x＝2，滿足條件，所以x＝－1，故選D.(2)當B＝?時，有m＋1≥2m－1，則m≤2；當B≠?時，若B?A，如圖，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1<2m－1，))解得2<m≤4.綜上，m的取值范圍為(－∞，4]．題型三集合的基本運算命題點1集合的運算例3(1)設集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，則A∩B等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))(2)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，則P∪(?RQ)等于()A．[2,3] B．(－2,3]C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案(1)D(2)B解析(1)由A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1<x<3}，B＝{x|2x－3>0}＝{x|x>eq\f(3,2)}，得A∩B＝{x|eq\f(3,2)<x<3}＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))，故選D.(2)由已知得Q＝{x|x≥2或x≤－2}．∴?RQ＝(－2,2)．又P＝[1,3]，∴P∪(?RQ)＝[1,3]∪(－2,2)＝(－2,3]．命題點2利用集合的運算求參數(shù)例4(1)已知集合P＝[1,3]，集合Q＝(－∞，a)∪(b，＋∞)，其中a<b，若P∩(?RQ)＝[2,3]，則()A．a＝2，b＝3 B．a＝2，b≤3C．a＝2，b≥3 D．a≤2，b≥3(2)設集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠?，則a的取值范圍是()A．－1<a≤2 B．a>2C．a≥－1 D．a>－1答案(1)C(2)D解析(1)因為?RQ＝[a，b]，P∩(?RQ)＝[a，b]∩[1,3]＝[2,3]，所以a＝2，b≥3，故選C.(2)因為A∩B≠?，所以集合A，B有公共元素，作出數(shù)軸，如圖所示，易知a>－1.思維升華(1)一般來講，集合中的元素若是離散的，則用Venn圖表示；集合中的元素若是連續(xù)的實數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況．(2)運算過程中要注意集合間的特殊關系的使用，靈活使用這些關系，會使運算簡化．(1)設集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，則A∪B等于()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)(2)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且A∩B＝B，則實數(shù)m的取值范圍為()A．[－1,2) B．[－1,3]C．[2，＋∞) D．[－1，＋∞)答案(1)C(2)D解析(1)∵A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，∴A∪B＝(－1，＋∞)，故選C.(2)由x2－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．又A∩B＝B，所以B?A.①當B＝?時，有m＋1≤2m－1，解得m≥2.②當B≠?時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤2m－1，,m＋1≤4，,2m－1<m＋1，))解得－1≤m<2.綜上，m的取值范圍為[－1，＋∞)．題型四集合的新定義問題例5若對任意的x∈A，eq\f(1,x)∈A，則稱A是“伙伴關系集合”，則集合M＝{－1,0，eq\f(1,2)，1,2}的所有非空子集中，具有伙伴關系集合的個數(shù)為________．答案7解析具有伙伴關系的元素組有－1；1；2和eq\f(1,2)共三組，它們中任一組、兩組、三組均可組成非空伙伴關系集合，所以非空伙伴關系集合分別為{1}，{－1}，{eq\f(1,2)，2}，{－1,1}，{－1，eq\f(1,2)，2}，{1，eq\f(1,2)，2}，{－1,1，eq\f(1,2)，2}，共7個．思維升華解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點(1)緊扣新定義．首先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質弄清楚，并能夠應用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點的關鍵所在；(2)用好集合的性質．解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質的一些因素，在關鍵之處用好集合的運算與性質．定義一種新的集合運算△：A△B＝{x|x∈A且x?B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，則按運算△，B△A等于()A．{x|3<x≤4} B．{x|3≤x≤4}C．{x|3<x<4} D．{x|2≤x≤4}答案B解析A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2≤x≤4}，由題意知B△A＝{x|x∈B且x?A}＝{x|3≤x≤4}．第第3課時階段重難點梳理階段重難點梳理1．集合與元素(1)集合中元素的三個特征：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于兩種，用符號∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*(或N＋)ZQR2.集合間的基本關系關系自然語言符號語言Venn圖子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，則x∈B)A?B(或B?A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互為子集A＝B3.集合的基本運算運算自然語言符號語言Venn圖交集由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}補集由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合?UA＝{x|x∈U且x?A}重點題型訓練重點題型訓練典例(1)已知集合A＝{1,3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m等于()A．0或eq\r(3) B．0或3C．1或eq\r(3) D．1或3或0(2)設集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若B?A，則實數(shù)a的取值范圍是________．錯解展示解析(1)由A∪B＝A得B?A，∴m＝3或m＝eq\r(m)，故m＝3或m＝0或m＝1.(2)∵B?A，討論如下：①當B＝A＝{0，－4}時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4a＋12－4a2－1>0，,－2a＋1＝－4，,a2－1＝0，))解得a＝1.②當BA時，由Δ＝0得a＝－1，此時B＝{0}滿足題意，綜上，實數(shù)a的取值范圍是{1，－1}．答案(1)D(2){1，－1}現(xiàn)場糾錯解析(1)A＝{1,3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，故B?A，所以m＝3或m＝eq\r(m)，即m＝3或m＝0或m＝1，其中m＝1不符合題意，所以m＝0或m＝3，故選B.(2)因為A＝{0，－4}，所以B?A分以下三種情況：①當B＝A時，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的兩個根，由根與系數(shù)的關系，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4a＋12－4a2－1>0，,－2a＋1＝－4，,a2－1＝0，))解得a＝1；②當B≠?且BA時，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此時B＝{0}滿足題意；③當B＝?時，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.綜上所述，所求實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1]∪{1}．答案(1)B(2)(－∞，－1]∪{1}糾錯心得(1)集合的元素具有互異性，參數(shù)的取值要代入檢驗．(2)當兩個集合之間具有包含關系時，不要忽略空集的情況.1．若集合A＝{x∈N|x≤eq\r(10)}，a＝2eq\r(2)，則下列結論正確的是()A．{a}?A B．a?AC．{a}∈A D．a?A答案D解析由題意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2eq\r(2)，知a?A.2．設集合A＝{x|x2－2x≥0}，B＝{x|－1<x≤2}，則(?RA)∩B等于()A．{x|－1≤x≤0} B．{x|0<x<2}C．{x|－1<x<0} D．{x|－1<x≤0}答案B解析因為A＝{x|x≥2或x≤0}，所以?RA＝{x|0<x<2}，(?RA)∩B＝{x|0<x<2}，故選B.3．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，則A∩B等于()A．{1} B．{4}C．{1,3} D．{1,4}答案D解析因為集合B中，x∈A，所以當x＝1時，y＝3－2＝1；當x＝2時，y＝3×2－2＝4；當x＝3時，y＝3×3－2＝7；當x＝4時，y＝3×4－2＝10；即B＝{1,4,7,10}．又因為A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故選D.4．集合A＝{x|x－2<0}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，則實數(shù)a的取值范圍是__________．答案[2，＋∞)解析由A∩B＝A，知A?B，從數(shù)軸觀察得a≥2.思導總結思導總結【知識拓展】1．若有限集A中有n個元素，則集合A的子集個數(shù)為2n，真子集的個數(shù)為2n－1.2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.3．A∩(?UA)＝?；A∪(?UA)＝U；?U(?UA)＝A.作業(yè)布置作業(yè)布置1．若A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，則()A．A?B B．B?AC．A＝B D．A∩B＝?答案A解析∵k∈Z，∴4k＋1∈B，∴A?B.2．設集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z為整數(shù)集，則集合A∩Z中元素的個數(shù)是()A．3B．4C．5D．6答案C解析由題意可知，A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}，則A∩Z中元素的個數(shù)為5.故選C.3．已知集合M＝{1,2,3,4}，則集合P＝{x|x∈M且2x?M}的子集的個數(shù)為()A．8B．4C．3D．2答案B解析由題意得P＝{3,4}，∴集合P有4個子集．4．設集合S＝{x|x>2}，T＝{x|x2－x－12≤0}，則S∩T等于()A．[3，＋∞) B．[4，＋∞)C．(2,3] D．(2,4]答案D解析由x2－x－12≤0，得－3≤x≤4，所以T＝{x|－3≤x≤4}，所以S∩T＝(2,4]，故選D.5．已知全集為U，集合M＝{x|－2≤x<2}，N＝{x|y＝log2(x－1)}，則圖中陰影部分表示的集合是()A．{x|－2≤x≤1} B．{x|1<x<2}C．{x|1≤x<2} D．{x|－2≤x<0}答案A解析由x－1>0，解得x>1，所以N＝{x|x>1}．圖中陰影部分表示的集合為M∩(?UN)，又?UN＝{x|x≤1}，所以M∩(?UN)＝{x|－2≤x≤1}，故選A.6．已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A?B，則a的取值范圍為()A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)答案B解析用數(shù)軸表示集合A，B(如圖)，由A?B，得a≥0.7．已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q ＝{x|1＜x≤2}，則(?RP)∩Q等于()A．[0,1)B．(0,2]C．(1,2)D．[1,2]答案C解析∵P＝{x|x≥2或x≤0}，?RP＝{x|0＜x＜2}，∴(?RP)∩Q＝{x|1＜x＜2}，故選C.8．已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A?B，則實數(shù)c的取值范圍是()A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(1，＋∞)答案B解析由題意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)．由A?B，畫出數(shù)軸，如圖所示，得c≥1.9．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，則滿足條件A?C?B的集合C的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4答案D解析由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由題意知B＝{1,2,3,4}．∴滿足條件的C可為{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4個．*10.設集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|m≤x≤m＋\f(3,4)))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|n－\f(1,3)≤x≤n))，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫作集合{x|a≤x≤b}的“長度”，那么集合M∩N的“長度”的最小值是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,12)D.eq\f(5,12)答案C解析由已知，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0，,m＋\f(3,4)≤1，))即0≤m≤eq\f(1,4)；eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,3)≥0，,n≤1，))即eq\f(1,3)≤n≤1，取m的最小值0，n的最大值1，可得M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))，N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))，所以M∩N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))∩eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,4)))，此時集合M∩N的“長度”的最小值為eq\f(3,4)－eq\f(2,3)＝eq\f(1,12)，故選C.11．定義集合A＝{x|2x≥1}，B＝{x|logSK