考點(diǎn)02整式與因式分解-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)必考點(diǎn)與題型全歸納（全國通用）（解析版）

考點(diǎn)02整式與因式分解

1cH

命題趨勢

以考查整式的加減、乘除、乘法公式、幕的運(yùn)算、因式分解、探究規(guī)律為主，也是考查重點(diǎn)，年年考查,

是廣大考生的得分點(diǎn)，分值為12分左右。預(yù)計(jì)2022年各地中考還將繼續(xù)考查基的運(yùn)算性質(zhì)、因式分解、

整式的化簡、代入求值、探究規(guī)律，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握.

，知識梳理

1)代數(shù)式

代數(shù)式的書寫要注意規(guī)范，如乘號"x”用表示或省略不寫；分?jǐn)?shù)不要用帶分?jǐn)?shù)；除號用分?jǐn)?shù)線表示等.

2)整式

1.單項(xiàng)式：由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，所有字母指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)，

數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù).

注：①單項(xiàng)式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分?jǐn)?shù)表示，如這種表示

3

1Q

就是錯誤的，應(yīng)寫成-②一個單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項(xiàng)式的次數(shù)。如一5a3)2。

3

是6次單項(xiàng)式。

2.多項(xiàng)式：由幾個單項(xiàng)式相加組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式，多項(xiàng)式里次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做這個多項(xiàng)式的

次數(shù)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).

3.整式：單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.

4.同類項(xiàng)：多項(xiàng)式中所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng).

5.整式的加減：一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項(xiàng).

+nn

6.幕的運(yùn)算:a"'-a"=a"'i(d")"="""；Cab)"=〃%"；a"'^a"=a"''.

7.整式的乘法：(1)單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項(xiàng)式里

含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.

(2)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：(a+Hc)=ma+mb+mc.

(3)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nh.

8.乘法公式：（1）平方差公式：①+份①一份=（2）完全平方公式：（a±?2=/±2"+/.

9.整式的除法：（1）單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，把系數(shù)、同底數(shù)的基分別相除，作為商的因式：對于只在被除

式含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的因式.（2）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：先把這個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)

式，再把所得的商相加.

3）因式分解

1.把一個多項(xiàng)式化成幾個因式積的形式，叫做因式分解，因式分解與整式乘法是互逆運(yùn)算.

2.因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：ma+mh+mc^m（a+b+c）.

（2）公式法：運(yùn)用平方差公式：/—爐=（a+h）（a一份.運(yùn)用完全平方公式：a2+2ab+h2=（a+h）2.

3.分解因式的一般步驟：

（1）如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，應(yīng)先提取公因式；

（2）如果各項(xiàng)沒有公因式，可以嘗試使用公式法：為兩項(xiàng)時，考慮平方差公式；為三項(xiàng)時，考慮完全平方

公式；為四項(xiàng)時，考慮利用分組的方法進(jìn)行分解；

（3）檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個多項(xiàng)式都不能再分解為止。

以上步驟可以概括為“一提二套三檢查"。

重點(diǎn)考向

考向1代數(shù)式及相關(guān)問題

1.用運(yùn)算符號（加、減、乘、除、乘方、開方）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式.

2.用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式里的運(yùn)算關(guān)系，計(jì)算后所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值.

典例引領(lǐng)

1.（2021?青海中考真題）一個兩位數(shù)，它的十位數(shù)字是X,個位數(shù)字是V,那么這個兩位數(shù)是（）.

A.x+yB.10xyC.10（x+y）D.lOx+y

【答案】D

【分析】根據(jù)兩位數(shù)的表示方法：十位數(shù)字X10+個位數(shù)字，即可解答.

【詳解】解：；一個兩位數(shù)，它的十位數(shù)是x,個位數(shù)字是y,

.??根據(jù)兩位數(shù)的表示方法，這個兩位數(shù)表示為：10x+y.故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了用字母表示數(shù)的方法，會用含有字母的式子表示數(shù)量是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?浙江臺州市?中考真題）將x克含糖10%的糖水與y克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含糖

（）

A.20%B.^-xlOO%C.^^-xlOO%D.""xlOO%

22010x+10y

【答案】D

【分析】先求出兩份糖水中糖的重量，再除以混合之后的糖水總重，即可求解.

【詳解】解：混合之后糖的含量：------------=——方xlOO%,故選：D.

x+y10x+10y

【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式，理解題意是解題的關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2021?浙江金華市?中考真題）某超市出售一商品，有如下四種在原標(biāo)價(jià)基礎(chǔ)上調(diào)價(jià)的方案，其中調(diào)價(jià)后

售價(jià)最低的是（）

A.先打九五折，再打九五折B.先提價(jià)50%,再打六折

C.先提價(jià)30%,再降價(jià)30%D.先提價(jià)25%,再降價(jià)25%

【答案】B

【分析】設(shè)原件為x元，根據(jù)調(diào)價(jià)方案逐一計(jì)算后，比較大小判斷即可.

【詳解】設(shè)原件為x元，：先打九五折，再打九五折，.?.調(diào)價(jià)后的價(jià)格為0.95xx0.95=0.9025x元，

:先提價(jià)50%,再打六折，調(diào)價(jià)后的價(jià)格為1.5xx0.6=0.90x元，

???先提價(jià)30%,再降價(jià)30%，.?.調(diào)價(jià)后的價(jià)格為1.3xx0.7=0.91x元，

???先提價(jià)25%,再降價(jià)25%，二調(diào)價(jià)后的價(jià)格為1.25XX0.75=0.9375X元，

V0.90x<0.9025.r<0.91x<0.9375x故選B

【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式，打折，有理數(shù)大小比較，準(zhǔn)確列出符合題意的代數(shù)式，并能進(jìn)行有理數(shù)大小

的比較是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?重慶中考真題）某銷售商五月份銷售4、B、C三種飲料的數(shù)量之比為3：2：4,A、B、C三種飲

料的單價(jià)之比為1:2：1.六月份該銷售商加大了宣傳力度，并根據(jù)季節(jié)對三種飲料的價(jià)格作了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，

預(yù)計(jì)六月份三種飲料的銷售總額將比五月份有所增加，A飲料增加的銷售占六月份銷售總額的2，B、C飲

料增加的銷售額之比為2：1.六月份A飲料單價(jià)上調(diào)20%且4飲料的銷售額與B飲料的銷售額之比為2：3,

則A飲料五月份的銷售數(shù)量與六月份預(yù)計(jì)的銷售數(shù)量之比為.

9

【答案】歷

(分析】設(shè)銷售A飲料的數(shù)量為3x,銷售B種飲料的數(shù)量2x,銷售C種飲料的數(shù)量4x,4種飲料的單價(jià)y.B、

C兩種飲料的單價(jià)分別為2y、y.六月份A飲料單價(jià)上調(diào)20%,總銷售額為m,可求A飲料銷售額為3xy+^m,

91171

8飲料的銷售額為5孫+正加，C飲料銷售額：—+—m,可求加=15孫，六月份A種預(yù)計(jì)的銷售額

4孫，六月份預(yù)計(jì)的銷售數(shù)量與無，A飲料五月份的銷售數(shù)量與六月份預(yù)計(jì)的銷售數(shù)量之比3x:與X計(jì)算

即可

【詳解】解：某銷售商五月份銷售A、B、C三種飲料的數(shù)量之比為3：2：4,

設(shè)銷售A飲料的數(shù)量為3x,銷售8種飲料的數(shù)量2x,銷售C種飲料的數(shù)量4x,

A、B、C三種飲料的單價(jià)之比為1：2：1.,

設(shè)4種飲料的單價(jià)y.B、C兩種飲料的單價(jià)分別為2y、y.

六月份A飲料單價(jià)上調(diào)20%后單價(jià)為(1+20%)y,總銷售額為m,

A飲料增加的銷售占六月份銷售總額的A，A飲料銷售額為3xy+\〃z,

3(1、91

A飲料的銷售額與8飲料的銷售額之比為2：3,,8飲料的銷售額為53盯+正初二不孫+而機(jī)

33

B飲料的銷售額增加部分為二-4孫飲料增加的銷售額為耳2—4xy

2

13一4孫+4肛=?肛+

...C飲料銷售額：--

22■4-20

,191171

/.3xyn——m+—xy+—m+-xy+-一m=mm=\15Cxy

152-104-20

六月份A種預(yù)計(jì)的銷售額3盯+/-x15肛=4盯，六月份預(yù)計(jì)的銷售數(shù)量4肛+(l+20%)y=Wx

1099

飲料五月份的銷售數(shù)量與六月份預(yù)計(jì)的銷售數(shù)量之比3x:—x=9:10=二故答案為二

31010

【點(diǎn)睛】本題考查銷售問題應(yīng)用題，用字母表示數(shù)，列代數(shù)式，整式的加減法，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，掌握

銷售額=銷售單價(jià)x銷售數(shù)量是解題關(guān)鍵

考向2整式及其相關(guān)概念

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式.

觀察判斷法:要準(zhǔn)確理解和辨認(rèn)單項(xiàng)式的次數(shù)、系數(shù)；判斷是否為同類項(xiàng)時，關(guān)鍵要看所含的字母是否相同，

相同字母的指數(shù)是否相同.

多項(xiàng)式的次數(shù)是指次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù).同類項(xiàng)一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指數(shù)

是否相同.

考慮特殊性:單獨(dú)一個數(shù)或字母也是單項(xiàng)式;單項(xiàng)式的次數(shù)是指單項(xiàng)式中所有字母指數(shù)的和，單獨(dú)的一個常數(shù)

的次數(shù)是0.

典例引領(lǐng)

1.（2021?上海中考真題）下列單項(xiàng)式中，/匕3的同類項(xiàng)是（）

3212

A.abB.2a護(hù)C.abD./

【答案】B

【分析】比較時應(yīng)字母的指數(shù)，分別相等就是同類項(xiàng)

【詳解】???”的指數(shù)是3,6的指數(shù)是2,與中“的指數(shù)是2,〃的指數(shù)是3不一致，

不是的同類項(xiàng)，不符合題意；

?.Z的指數(shù)是2,人的指數(shù)是3,與中〃的指數(shù)是2,6的指數(shù)是3一致，

/.2a2b3是a2b3的同類項(xiàng),符合題意；

???”的指數(shù)是2,〃的指數(shù)是1,與/83中。的指數(shù)是2,。的指數(shù)是3不一致，

不是//的同類項(xiàng)，不符合題意；

???”的指數(shù)是1,人的指數(shù)是3,與二/中。的指數(shù)是2,匕的指數(shù)是3不一致，

.??a/不是的同類項(xiàng)，不符合題意；故選B

【點(diǎn)睛】本題考查了同類項(xiàng)，正確理解同類項(xiàng)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?海南中考真題）下列整式中，是二次單項(xiàng)式的是（）

2

A.x+lB.盯C.巧D.-3尤

【答案】B

【分析】根據(jù)單項(xiàng)式的定義、單項(xiàng)式次數(shù)的定義逐項(xiàng)判斷即可得.

【詳解】A、無2+1是多項(xiàng)式，此項(xiàng)不符題意：B、孫是二次單項(xiàng)式，此項(xiàng)符合題意；

C、fy是三次單項(xiàng)式，此項(xiàng)不符題意；D、-3%是一次單項(xiàng)式，此項(xiàng)不符題意；故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式，熟記定義是解題關(guān)鍵.

3.（2021山東?中考模擬）如果整式》"-2一5/+2c是關(guān)于x的三次三項(xiàng)式，那么〃等于

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】根據(jù)多項(xiàng)式次數(shù)的定義得到〃一2=3,解得：片5.故選C.

變式拓展

1.（2021?青海中考真題）已知單項(xiàng)式2。%2"+7與3a2,為"+2是同類項(xiàng)，則機(jī)+〃=.

【答案】3

【分析】根據(jù)同類項(xiàng)的定義（所含字母相同，相同字母的指數(shù)相同），求出〃?，”的值，再代入代數(shù)式計(jì)算

即可.

【詳解】解：；單項(xiàng)式2不/尸，"+7與3a2?"+2是同類項(xiàng)，.?.2,片4,〃+2=-2加+7,

解得：m=2,n=l,則，"+“=2+1=3.故答案是：3.

【點(diǎn)睛】本題考查同類項(xiàng)的定義，同類項(xiàng)定義中的兩個“相同”：相同字母的指數(shù)相同，是易混點(diǎn).

2.（2020?四川綿陽市?中考真題）若多項(xiàng)式與…+（〃-2）一2+1是關(guān)于的三次多項(xiàng)式,則〃?〃=.

【答案】0或8

【分析】直接利用多項(xiàng)式的次數(shù)確定方法得出答案.

【詳解】解：..?多項(xiàng)式2比歹+1是關(guān)于X,y的三次多項(xiàng)式，

：.n-2=0,1+|”?-〃卜3,〃=2,I機(jī)-〃卜2,

.,./”一〃=2或加=2,，%=4或/%=0,\〃加=0或8.故答案為：0或8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式，正確掌握多項(xiàng)式的次數(shù)確定方法是解題關(guān)鍵.

考向3規(guī)律探索題

解決規(guī)律探索型問題的策略是：通過對所給的一組（或一串）式子及結(jié)論，進(jìn)行全面細(xì)致地觀察、分析、

比較，從中發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律，并由此猜想出一般性的結(jié)論，然后再給出合理的證明或加以應(yīng)用.

典例引領(lǐng)

1.（2021?山東濟(jì)寧市?中考真題）按規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：：1，3一，口，7—,9—,1一1，…，其中□內(nèi)應(yīng)

25172637

填的數(shù)是（）

2551

A.-B.—C.-D.一

31192

【答案】D

【分析】分子為連續(xù)奇數(shù)，分母為序號的平方+1，根據(jù)規(guī)律即可得到答案.

2n-l

【詳解】觀察這排數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，分子為連續(xù)奇數(shù)，分母為序號的平方+1，..?第〃個數(shù)據(jù)為：一—

H+1

當(dāng)〃=3時W的分子為5,分母為32+1=10,這個數(shù)為之=,故選：D.

102

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的探索規(guī)律，分子和分母分別尋找規(guī)律是解題關(guān)鍵.

2.（2021?湖北隨州市?中考真題）根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第〃個圖中的4=143,則P的值為（）

【答案】B

【分析】分別分析〃的規(guī)律、。的規(guī)律、的規(guī)律，再找〃、p、q之間的聯(lián)系即可.

【詳解】解：根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知：〃=1,2,3,4,p=l2,22,32,42,……

^^22-1,32-1,42-1,52-1,....則p=〃2,q=（〃+l）2-l,

?第1個圖中的4=143,夕=（〃+1）2—1=143.

解得：〃=11或〃=—13（不符合題意，舍去）="=121,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字之間規(guī)律問題，將題中數(shù)據(jù)分組討論是解決本題的關(guān)鍵.

3.（2021?江蘇揚(yáng)州市?中考真題）將黑色圓點(diǎn)按如圖所示的規(guī)律進(jìn)行排列，圖中黑色圓點(diǎn)的個數(shù)依次為：1,

3,6,10,……，將其中所有能被3整除的數(shù)按從小到大的順序重新排列成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)中的第

33個數(shù)為.

①?

【答案】1275

【分析】首先得到前〃個圖形中每個圖形中的黑色圓點(diǎn)的個數(shù)，得到第〃個圖形中的黑色圓點(diǎn)的個數(shù)為

“5+D,再判斷其中能被3整除的數(shù)，得到每3個數(shù)中，都有2個能被3整除，再計(jì)算出第33個能被3

2

整除的數(shù)所在組，為原數(shù)列中第50個數(shù)，代入計(jì)算即可.

【詳解】解：第①個圖形中的黑色圓點(diǎn)的個數(shù)為：1,

第②個圖形中的黑色圓點(diǎn)的個數(shù)為：°+2）X2=3,

2

第③個圖形中的黑色圓點(diǎn)的個數(shù)為：（"J、,

2

第④個圖形中的黑色圓點(diǎn)的個數(shù)為：。+4）睨=］（）,...

2

第"個圖形中的黑色圓點(diǎn)的個數(shù)為川””，

2

則這列數(shù)為1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91.......

其中每3個數(shù)中,都有2個能被3整除,33+2=16...1,16x3+2=50,

則第33個被3整除的數(shù)為原數(shù)列中第50個數(shù)，即竺|衛(wèi)=1275,故答案為：1275.

【點(diǎn)睛】此題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律.

變式拓展

1.（2021?湖北十堰市?中考真題）將從1開始的連續(xù)奇數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，例如，位于第4行第3列

的數(shù)為27,則位于第32行第13列的數(shù)是（）

A.2025B.2023C.2021D.2019

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)字的變化關(guān)系發(fā)現(xiàn)規(guī)律第"行，第〃列的數(shù)據(jù)為：2〃（〃-1）+1,即可得第32行，第32列的

數(shù)據(jù)為:2x32x（32-1）+1=1985,再依次加2,到第32行，第13列的數(shù)據(jù)，即可.

【詳解】解：觀察數(shù)字的變化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第〃行，第，1列的數(shù)據(jù)為：

.,.第32行,第32列的數(shù)據(jù)為:2x32x(32-1)+1=1985,

根據(jù)數(shù)據(jù)的排列規(guī)律，第偶數(shù)行從右往左的數(shù)據(jù)一次增加2,

.?.第32行,第13列的數(shù)據(jù)為：1985+2x(32-13)=2023,故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，解決本題的關(guān)鍵是觀察數(shù)字的變化尋找探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題.

2.（2021?內(nèi)蒙古中考真題）將一些相同的按如圖所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個“龜圖”的“O”的個數(shù),

則第30個“龜圖”中有,個“O”.

OOO

OOOOOOOO

OOO

OOOOOOOO

OOo°oooooo

⑴⑵⑶(4)

【答案】875

【分析】設(shè)第〃個“龜圖”中有小個“O”（〃為正整數(shù)），觀察“龜圖”，根據(jù)給定圖形中“O”個數(shù)的變化可找

出變化規(guī)律2f+5（〃為正整數(shù)）“，再代入"=30即可得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)第〃個“龜圖”中有如個“O”（〃為正整數(shù)）.

觀察圖形，可知：0=1+2+2=5,6=1+3+12+2=7,“3=1+4+22+2=11,44=1+5+3?+2=17,…，

二斯=1+（〃+1）+（n-1）2+2=n2-?+5（"為正整數(shù)）,；.凝=302-30+5=875.故答案是：875.

【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，根據(jù)各圖形中“O”個數(shù)的變化找出變化規(guī)律“小="-〃+5（〃

為正整數(shù)）”是解題的關(guān)鍵.

3.（2021?山東臨沂市?中考真題）實(shí)驗(yàn)證實(shí)，放射性物質(zhì)在放出射線后，質(zhì)量將減少，減少的速度開始較快，

后來較慢，實(shí)際上，物質(zhì)所剩的質(zhì)量與時間成某種函數(shù)關(guān)系.下圖為表示鐳的放射規(guī)律的函數(shù)圖象，據(jù)此

可計(jì)算32mg鐳縮減為Img所用的時間大約是（）

8100年D.9720年

【答案】C

【分析】根據(jù)物質(zhì)所剩的質(zhì)量與時間的規(guī)律，可得答案.

【詳解】解：由圖可知：1620年時，鐳質(zhì)量縮減為原來的;，

再經(jīng)過1620年，即當(dāng)3240年時，鐳質(zhì)量縮減為原來的;=5,

再經(jīng)過1620x2=3240年，即當(dāng)4860年時，鐳質(zhì)量縮減為原來的［=5,

,再經(jīng)過1620x4=6480年，即當(dāng)8100年時，鐳質(zhì)量縮減為原來的*=',此時32x*=1mg,故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象，規(guī)律型問題，利用函數(shù)圖象的意義是解題關(guān)鍵.

4.（2021?安徽中考真題）某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而

成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列.

［觀察思

當(dāng)正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊（如圖2）；當(dāng)正方形地磚有2塊時，等腰直角三角

形地磚有8塊（如圖3）；以此類推，

圖1圖2圖3

［規(guī)律總結(jié)］（1）若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加塊;

（2）若一條這樣的人行道一共有〃（〃為正整數(shù)）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為_（用含

〃的代數(shù)式表示）.

［問題解決］（3）現(xiàn)有2021塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地磚

剩余最少，則需要正方形地磚多少塊？

【答案】（I）2；（2）2〃+4；（3）1008塊

【分析】（1）由圖觀察即可；（2）由每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚，再結(jié)合題

干中的條件正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊，遞推即可；

（3）利用上一小題得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地磚剩余最少時需要正方形地磚的數(shù)量.

【詳解】解：（1）由圖可知，每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚；故答案為：2；

（2）由（1）可知，每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚；

當(dāng)正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊，即2+4：

所以當(dāng)?shù)卮u有〃塊時，等腰直角三角形地磚有（2〃+4）塊；故答案為：2〃+4；

（3）令2〃+4=2021則n=1008.5

當(dāng)"=1008時，2〃+4=2020此時，剩下一塊等腰直角三角形地磚...需要正方形地磚1008塊.

【點(diǎn)睛】本題為圖形規(guī)律題，涉及到了一元??次方程、列代數(shù)式以及代數(shù)式的應(yīng)用等，考查了學(xué)生的觀察、

發(fā)現(xiàn)、歸納以及應(yīng)用的能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能列代數(shù)式表示其中的規(guī)律等.

考向4暴的運(yùn)算

塞的運(yùn)算法則是進(jìn)行整式乘除法的基礎(chǔ)，要熟練掌握，解題時要明確運(yùn)算的類型，正確運(yùn)用法則；在運(yùn)算

的過程中，一定要注意指數(shù)、系數(shù)和符號的處理.

典例引領(lǐng)

1.（2021?湖北襄陽市?中考真題）下列計(jì)算正確的是（）

A.a3-i-a3=aB.a3-a3=ahC.?=/D.（加）=abh

【答案】B

【分析】根據(jù)同底數(shù)'累的乘除法法則，累的乘方法則，積的乘方法則，逐一判斷選項(xiàng)，即可求解.

【詳解】解：A./+a3=i，故該選項(xiàng)錯誤，B.標(biāo)./=。6,故該選項(xiàng)正確，

C.,3）3="9,故該選項(xiàng)錯誤，D.,方3）2=。2分6,故該選項(xiàng)錯誤，故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的運(yùn)算，掌握同底數(shù)塞的乘除法法則，寫的乘方法則，積的乘方法則，是解題

的關(guān)鍵.

2.(2021?廣東中考真題)已知9"'=3,27"=4,則32'"3"=()

A.1B.6C.7D.12

【答案】D

【分析】利用同底數(shù)基乘法逆用轉(zhuǎn)換求解即可.

【詳解】解：???9"'=3,27"=4，/-32m+3n=32"'x33"=(32)mx(33)"=9"'x27"=3x4=12,二故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)事乘法的逆用，熟練掌握其運(yùn)算法則即表現(xiàn)形式是解題關(guān)鍵.

3.(2021?湖南永州市?中考真題)若X,y均為實(shí)數(shù)，43*=2021，47'=2021，則43孫Z7”="；

11

一+—=_______.

xy

【答案】20211

【分析】根據(jù)同底數(shù)塞乘法、積的乘方、器的乘方等計(jì)算法則進(jìn)行等量代換即可.

【詳解】解：：43'=2021.47,'=2021；?(43)=202V,(47?=2021\

43取.47孫=(43)x(47)=2021'x202。=2021f,故答案為:2021；

43'九47*=(43x47)個=2021°,即202產(chǎn)=2021?，

11x+y,

二孫=x+>,，一+—=-^=1,故答案為：1.

xy孫

【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)幕乘法、積的乘方、募的乘方等知識點(diǎn)，熟練掌握以上知識點(diǎn)的運(yùn)算法則是

解決本題的關(guān)鍵.

變式拓展

1.(2021?陜西中考真題)計(jì)算：=()

1?,1

A.俞B.ab-C.前D.-2a3/?

【答案】A

【分析】根據(jù)積的乘方，慕的乘方以及負(fù)整數(shù)指數(shù)幕運(yùn)算法則計(jì)算即可.

=',故選：4

【詳解】解:（明-2

【點(diǎn)睛】本題考查積的乘方，幕的乘方以及負(fù)整數(shù)指數(shù)累等知識點(diǎn)，熟記相關(guān)定義與運(yùn)算法則是解答本題

的關(guān)鍵.

13

2.（2021?四川瀘州市?中考真題）己知10"=20，100"=5（），則-4+"一的值是（）

22

59

A.2B.—C.3D.一

22

【答案】C

【分析】根據(jù)同底數(shù)鼎的乘法10"?100〃=1。3,可求。+?=3再整體代入即可.

【詳解】解：'TO"=20,100"=5（），；?10"?100"=10"2〃=20x50=1000=103，

1311

ci+2Z>—3?-4+〃+萬=—（a+2/?+3）=—（3+3）=3.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查幕的乘方，同底數(shù)累的乘法逆運(yùn)算，代數(shù)式求值，掌握'累的乘方，同底數(shù)基的乘法法則，

與代數(shù)式值求法是解題關(guān)鍵.

3.（2020?河南中考真題）電子文件的大小常用B,KB,MB,GB等作為單位，其中

1GB=2"，=T。KB,1KB=2">B,某視頻文件的大小約為1GB,1G8等于（）

A.2XBB.83OBC.8X10'°BD.2X1030B

【答案】A

【分析】根據(jù)題意及塞的運(yùn)算法則即可求解.

【詳解】依題意得1GB=2'°MB=2l0x2l0A：5=210x2隨x2"’8=23°8故選A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查累的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知同底數(shù)累的運(yùn)算法則.

考向5整式的混合運(yùn)算

整式的加減，實(shí)質(zhì)上就是合并同類項(xiàng)，有括號的，先去括號，只要算式中沒有同類項(xiàng)，就是最后的結(jié)果；

多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算中要做到不重不漏，應(yīng)用乘法公式進(jìn)行簡便計(jì)算，另外去括號時，要注意符號的變

化，最后把所得式子化簡，即合并同類項(xiàng).

典例引領(lǐng)

1.（2021?江蘇常州市?中考真題）計(jì)算：2a2—（/+2）=

【答案】a2-2

【分析】先去括號，再合并同類項(xiàng)，即可求解.

【詳解】解：原式=2。2一“2一2="一2，故答案是：“2一2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的運(yùn)算，掌握去括號法則以及合并同類項(xiàng)法則，是解題的關(guān)鍵.

01

2.(2021?湖南長沙市?中考真題)先化簡，再求值：(x—3)-+(x+3)(x—3)+2x(2—x),其中戶-儲

【答案】—2x,1.

【分析】先計(jì)算完全平方公式、平方差公式、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再計(jì)算整式的加減，然后將無的值代入即

可得.

【詳解】解：原式=%2_6X+9+X2_9+4X_2X2,=—2X,

將x=-g代入得：原式=-2彳=-2*[-￡]=1.

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的化簡求值，熟練掌握整式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

變式拓展

1.(2021?湖北荊州市?中考真題)若等式2a2.。+()=3/成立，則括號中填寫單項(xiàng)式可以是()

23

A.aB.aC.aD.1

【答案】C

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕的乘法法則以及合并同類項(xiàng)法則，即可求解.

【詳解】解：?.?3/22”=3。3-2/=。3,等式2a2“+(/)=3/成立,故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的加減運(yùn)算，掌握同底數(shù)幕的乘法法則以及合并同類項(xiàng)法則，是解題的關(guān)鍵.

2.(2021?貴州中考真題)(1)有三個不等式2%+3(一1,一5?15,3(%-1)>6,請?jiān)谄渲腥芜x兩個不等式，

組成一個不等式組，并求出它的解集：

(2)小紅在計(jì)算a(l+a)—(a—I1時，解答過程如下：

a(l+?)-(a-l)2

=a+a2-(a2-\)第一步

=。+Y一。2一1第二步

=a-\第三步

小紅的解答從第步開始出錯，請寫出正確的解答過程.

【答案】（1）x<-3：（2）第一步，正確過程見詳解

【分析】

（1）先挑選兩個不等式組成不等式組，然后分別求出各個不等式的解，再取公共部分，即可；

（2）根據(jù)完全平方公式、去括號法則以及合并同類項(xiàng)法則，進(jìn)行化簡，即可.

⑵+3<-1①

【詳解】解：（1）挑選第一和第二個不等式，得廣…，

-5x〉15②

由①得：x<-2,由②得：x<-3,.?.不等式組的解為：x<-3：

（2）小紅的解答從第一步開始出錯，正確的解答過程如卜：

a（l+a）-（a-1）2=。+/-（〃-2。+1）=a+a2-a2+2a-\^3a-[.故答案是：第一步

【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式組以及整式的混合運(yùn)算，掌握解不等式組的基本步驟以及完全平

方公式，是解題的關(guān)鍵.

考向6因式分解

因式分解的概念與方法步驟

①看清形式：因式分解與整式乘法是互逆運(yùn)算.符合因式分解的等式左邊是多項(xiàng)式，右邊是整式乘積的形

式.

②方法：（1）提取公因式法；（2）運(yùn)用公式法.

③因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式.公式包括平方差公式與完全平方公式，要能用公式法分解

必須有平方項(xiàng)，如果是平方差就用平方差公式來分解，如果是平方和需要看還有沒有兩數(shù)乘積的2倍，如

果沒有兩數(shù)乘積的2倍還不能分解.

一“提”（取公因式），二“用''（公式）.要熟記公式的特點(diǎn)，兩項(xiàng)式時考慮平方差公式，三項(xiàng)式時考慮完全

平方公式.

典例引領(lǐng)

1.（2021?山東荷澤市?中考真題）因式分解：—a3+2/—a=.

【答案】—a（a—I）2

【分析】先提取公因式，后采用公式法分解即可

【詳解】：+2/—a=-"(4——2a+1)=-a(a—1)-故答案為：—a(a—1)_.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟記先提取公因式，后套用公式法分解因式是解題的關(guān)鍵.

2.(2021?四川廣安市?中考真題)若X、>滿足｛:.，則代數(shù)式4y2的值為______.

x+2y=3

【答案】-6

【分析】根據(jù)方程組中x+2y和x-2y的值，將代數(shù)式利用平方差公式分解，再代入計(jì)算即可.

【詳解】解：".'x-2y=-2,x+2j=3,；./的2=(x+2y)(x-2y)=3x(-2)=-6,故答案為：-6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查方程組的解及代數(shù)式的求值，觀察待求代數(shù)式的特點(diǎn)與方程組中兩方程的聯(lián)系是解

題關(guān)鍵.

3.(2020?四川內(nèi)江市?中考真題)我們知道，任意一個正整數(shù)x都可以進(jìn)行這樣的分解：x=mxn(〃?，?

是正整數(shù)，且，〃<〃)，在X的所有這種分解中，如果"兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱"2X〃是X

的最佳分解.并規(guī)定：/,(%=-.

n

例如：18可以分解成1x18,2x9或3x6，因?yàn)?8—1>9—2>6-3,所以3x6是18的最佳分解，所以

T.I

/(18)=|=-.⑴填空：/(6)=；/(9)=；

o2

(2)一個兩位正整數(shù)f(f=10a+。，l<a<h<9,a,6為正整數(shù))，交換其個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)

字得到的新數(shù)減去原數(shù)所得的差為54,求出所有的兩位正整數(shù)；并求的最大值；

(3)填空：①/(22X3X5X7)=；②/(23X3X5X7)=；

③了(24x3x5x7)=；?/(25X3X5X7)=.

2/、420142014

【答案】(1)—:1；(2)I為39,28,17；的最大值一；(3)—,—,—,一

37721152115

2

【分析】⑴6=1X6=2X3,由已知可求〃6)=葭9=lx9=3x3,由已知可求/(9)=1；

(2)由題意可得：交換后的數(shù)減去交換前的數(shù)的差為：10b+aT0a-b=9(b-a)=54,得到b-a=6,可求

t的值，故可得到的最大值；

(3)根據(jù)〃x)=—的定義即可依次求解.

n

2

【詳解】(l)6=lx6=2x3,；6-1>3-2,.../(6)=§；

2

9=lx9=3x3,V9-1>3-3,A/(9)=1,故答案為：y：1；

(2)由題意可得：交換后的數(shù)減去交換前的數(shù)的差為：10b+aT0a-b=9(b-a)=54,b-a=6,

Vl<a<b<9,，b=9,a=3或b=8,a=2或b=7,a=l,為39,28,17；

V39=1x39=3x13,/(39)=卷；28=1x28=2x14=4x7,/(28)=；

17=1x17,417)=，；的最大值，

nn

⑶①：22x3x5x7=20x21；./(22x3x5x7)=—；

②23x3x5x7=28x30；./Q3x3x5x7)=||=

4020

③：24x3x5x7=40x42/./(24x3x5x7)=—=—；

④：25x3x5x7=56x60.\x3x5x7)=而=*,故答案為：-,

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用；理解題意，從題目中獲取信息，列出正確的代數(shù)式，再由數(shù)的特點(diǎn)求

解是解題的關(guān)鍵.

變式拓展

1.(2021?黑龍江綏化市?中考真題)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：ab2-2a=

【答案】及)仍-0).

【分析】利用平方差公式。2-〃=3+與(。一份分解因式得出即可.

【詳解】解：a/-2a=a(2-2)=a(b+e)(b-6)故答案為:a(b+6)(b-五).

【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用平方差公式〃-匕2=3+6)3-切分解因式,熟練應(yīng)用平方差公式是解題關(guān)鍵.

2.(2020?柳州市柳林中學(xué)中考真題)下列多項(xiàng)式中，能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是()

A.a2-b2B.-a2-b2C.c^+b2D.a2+2ab+b2

【答案】A

【分析】根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，兩個平方項(xiàng)，并且符號相反，對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.

【詳解】解：A、分符合平方差公式的特點(diǎn)，能用平方差公式進(jìn)行因式分解；

8、-層-從兩平方項(xiàng)符號相同，不能用平方差公式進(jìn)行因式分解；

C、4+加兩平方項(xiàng)符號相同，不能用平方差公式進(jìn)行因式分解；

。、/+246+62是三項(xiàng)，不能用平方差公式進(jìn)行因式分解.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了用平方差公式進(jìn)行因式分解.熟記平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.平方差公式:

a2—b1=(a+/?)(?-/?).

3.(2021?湖北十堰市?中考真題)已知肛=2,x-3y=3,則2dy—12x2y2+i8孫3=

【答案】36

【分析】先把多項(xiàng)式因式分解，再代入求值，即可.

【詳解】???町=2/—3丁=3,.?.原式=2肛(x—3yp=2x2x32=36,故答案是：36.

【點(diǎn)睛】本題主要考查代數(shù)式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解題的關(guān)鍵.

考向7乘法公式的幾何背景與運(yùn)用

完全平方公式的運(yùn)用主要考查是“知二求二”、參數(shù)問題與最值問題，乘法公式的幾何背景為素材的題型

近年來考查也比較多。

典例引領(lǐng)

1.(2021?浙江臺州市?中考真題)已知(a+b)三49,a2+b2=25,則ab—()

A.24B.48C.12D.276

【答案】C

【分析】利用完全平方公式計(jì)算即可.

,49-25

【詳解】解：+。2+2ah=49,a2+b2=25<=---=12,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查整體法求代數(shù)式的值，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

2.(2021.安順?中考模擬)若f+2(/”一3)x+16是關(guān)于x的完全平方式，則加=.

【答案】7或-1

【分析】直接利用完全平方公式的定義得出2(m-3)=±8,進(jìn)而求出答案.

【解析】'."x2+2(m-3)x+16是關(guān)于x的完全平方式，，2(m-3)=±8,

解得：m=-l或7,故答案為-1或7.

點(diǎn)睛：此題主要考查了完全平方公式，正確掌握完全平方公式的基本形式是解題關(guān)鍵.

3.（2020?寧夏中考真題）2002年8月，在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾

股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖1）,且大正方形的

面積是15,小正方形的面積是3,直角三角形的較短直角邊為m較長直角邊為江如果將四個全等的直角

三角形按如圖2的形式擺放，那么圖2中最大的正方形的面積為一.

【答案】27

【分析】根據(jù)題意得出a2+b2=15,（b-a）2=3,圖2中大正方形的面積為：（a+b）2,然后利用完全平方公式

的變形求出（a+b）2即可.

【詳解】解：由題意可得在圖1中：a2+b2=15,（b-a）2=3,

圖2中大正方形的面積為：（a+b）2,

（b-a）2=3a2-2ab+b2=3,15-2ab=32ab=12,

（a+b）2=a2+2ab+b2=15+12=27,故答案為:27.

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，熟知完全平方式的形式是解題關(guān)鍵.

變式拓展

1131

1.(2021?廣東中考真題)若％+—=，且0<x<l,則—--?=.

X6JT

【答案】一線

36

11Q1751

【分析】根據(jù)X+±=今，利用完全平方公式可得(％—上)2=W，根據(jù)X的取值范圍可得X-上的值，利

x6x36x

用平方差公式即可得答案.

.、人”.一113.11、2,125

［訃解］.xH———,..z(x—)2=(zxH—)—4x———,

x6xxx36

..八,.1.15.21,I1、13,5、65—65

?0<X<1,..X<?—,..X--=---,..X----=(XH—)(x—)=—X(--)=----.故答案為：-----

xx6x2xx663636

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式及平方差公式，準(zhǔn)確運(yùn)用公式是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?湖南郴州市?中考真題）如圖1，將邊長為X的大正方形剪去一個邊長為1的小正方形（陰影部分），

并將剩余部分沿虛線剪開，得到兩個長方形，再將這兩個長方形拼成圖2所示長方形.這兩個圖能解釋下列

哪個等式（）

1

（圖1）（圖2）

A.x~—2x+l=（x—1）"B.x?—l=（x+l）（x—1）C.r+2x+1=（x+1）-D.—x——x（x—1）

【答案】B

【分析】利用大正方形的面積減去小正方形的面積得到空白部分的面積，然后根據(jù)面積相等列出等式即可.

【詳解】第一個圖形空白部分的面積是X2-1,第二個圖形的面積是（X+1）（X-1）.

則x2-l=（x+l）（X-1）.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的幾何背景，正確用兩種方法表示空白部分的面積是解決問題的關(guān)鍵.

3.（2021?河北中考真題）現(xiàn)有甲、乙、丙三種不同的矩形紙片（邊長如圖）.

（1）取甲、乙紙片各1塊，其面積和為；（2）嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個大正方形，

先取甲紙片1塊，再取乙紙片4塊，還需取丙紙片塊.

【答案】a2+b24

【分析】（1）直接利用正方形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）根據(jù)已知圖形的面積公式的特征，利用完全平方公式即可判定應(yīng)增加的項(xiàng)，再對應(yīng)到圖形上即可.

【詳解】解：（1）???甲、乙都是正方形紙片，其邊長分別為。,匕

???取甲、乙紙片各1塊，其面積和為"+〃；故答案為：a2+h2

（2）要用這三種紙片緊密拼接成一個大正方形，先取甲紙片1塊，再取乙紙片4塊，則它們的面積和為

/+4/,若再加上4曲（剛好是4個丙），貝+則剛好能組成邊長為a+2）的

正方形，圖形如卜所示，所以應(yīng)取丙紙片4塊.故答案為：4.