考點02整式與因式分解-備戰(zhàn)2022年中考數學必考點與題型全歸納（全國通用）（解析版）

考點02整式與因式分解

1cH

命題趨勢

以考查整式的加減、乘除、乘法公式、幕的運算、因式分解、探究規(guī)律為主，也是考查重點，年年考查,

是廣大考生的得分點，分值為12分左右。預計2022年各地中考還將繼續(xù)考查基的運算性質、因式分解、

整式的化簡、代入求值、探究規(guī)律，為避免丟分，學生應扎實掌握.

，知識梳理

1)代數式

代數式的書寫要注意規(guī)范，如乘號"x”用表示或省略不寫；分數不要用帶分數；除號用分數線表示等.

2)整式

1.單項式：由數與字母或字母與字母相乘組成的代數式叫做單項式，所有字母指數的和叫做單項式的次數，

數字因數叫做單項式的系數.

注：①單項式是由系數、字母、字母的指數構成的，其中系數不能用帶分數表示，如這種表示

3

1Q

就是錯誤的，應寫成-②一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數。如一5a3)2。

3

是6次單項式。

2.多項式：由幾個單項式相加組成的代數式叫做多項式，多項式里次數最高的項的次數叫做這個多項式的

次數，其中不含字母的項叫做常數項.

3.整式：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式.

4.同類項：多項式中所含字母相同并且相同字母的指數也相同的項，叫做同類項.

5.整式的加減：一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項.

+nn

6.幕的運算:a"'-a"=a"'i(d")"="""；Cab)"=〃%"；a"'^a"=a"''.

7.整式的乘法：(1)單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里

含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式.

(2)單項式與多項式相乘：(a+Hc)=ma+mb+mc.

(3)多項式與多項式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nh.

8.乘法公式：（1）平方差公式：①+份①一份=（2）完全平方公式：（a±?2=/±2"+/.

9.整式的除法：（1）單項式除以單項式，把系數、同底數的基分別相除，作為商的因式：對于只在被除

式含有的字母，則連同它的指數作為商的因式.（2）多項式除以單項式：先把這個多項式的每一項除以單項

式，再把所得的商相加.

3）因式分解

1.把一個多項式化成幾個因式積的形式，叫做因式分解，因式分解與整式乘法是互逆運算.

2.因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：ma+mh+mc^m（a+b+c）.

（2）公式法：運用平方差公式：/—爐=（a+h）（a一份.運用完全平方公式：a2+2ab+h2=（a+h）2.

3.分解因式的一般步驟：

（1）如果多項式各項有公因式，應先提取公因式；

（2）如果各項沒有公因式，可以嘗試使用公式法：為兩項時，考慮平方差公式；為三項時，考慮完全平方

公式；為四項時，考慮利用分組的方法進行分解；

（3）檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個多項式都不能再分解為止。

以上步驟可以概括為“一提二套三檢查"。

重點考向

考向1代數式及相關問題

1.用運算符號（加、減、乘、除、乘方、開方）把數或表示數的字母連接而成的式子叫做代數式.

2.用數值代替代數式里的字母，按照代數式里的運算關系，計算后所得的結果叫做代數式的值.

典例引領

1.（2021?青海中考真題）一個兩位數，它的十位數字是X,個位數字是V,那么這個兩位數是（）.

A.x+yB.10xyC.10（x+y）D.lOx+y

【答案】D

【分析】根據兩位數的表示方法：十位數字X10+個位數字，即可解答.

【詳解】解：；一個兩位數，它的十位數是x,個位數字是y,

.??根據兩位數的表示方法，這個兩位數表示為：10x+y.故選：D

【點睛】本題考查了用字母表示數的方法，會用含有字母的式子表示數量是解題的關鍵.

2.（2021?浙江臺州市?中考真題）將x克含糖10%的糖水與y克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含糖

（）

A.20%B.^-xlOO%C.^^-xlOO%D.""xlOO%

22010x+10y

【答案】D

【分析】先求出兩份糖水中糖的重量，再除以混合之后的糖水總重，即可求解.

【詳解】解：混合之后糖的含量：------------=——方xlOO%,故選：D.

x+y10x+10y

【點睛】本題考查列代數式，理解題意是解題的關鍵.

變式拓展

1.（2021?浙江金華市?中考真題）某超市出售一商品，有如下四種在原標價基礎上調價的方案，其中調價后

售價最低的是（）

A.先打九五折，再打九五折B.先提價50%,再打六折

C.先提價30%,再降價30%D.先提價25%,再降價25%

【答案】B

【分析】設原件為x元，根據調價方案逐一計算后，比較大小判斷即可.

【詳解】設原件為x元，：先打九五折，再打九五折，.?.調價后的價格為0.95xx0.95=0.9025x元，

:先提價50%,再打六折，調價后的價格為1.5xx0.6=0.90x元，

???先提價30%,再降價30%，.?.調價后的價格為1.3xx0.7=0.91x元，

???先提價25%,再降價25%，二調價后的價格為1.25XX0.75=0.9375X元，

V0.90x<0.9025.r<0.91x<0.9375x故選B

【點睛】本題考查了代數式，打折，有理數大小比較，準確列出符合題意的代數式，并能進行有理數大小

的比較是解題的關鍵.

2.（2021?重慶中考真題）某銷售商五月份銷售4、B、C三種飲料的數量之比為3：2：4,A、B、C三種飲

料的單價之比為1:2：1.六月份該銷售商加大了宣傳力度，并根據季節(jié)對三種飲料的價格作了適當的調整，

預計六月份三種飲料的銷售總額將比五月份有所增加，A飲料增加的銷售占六月份銷售總額的2，B、C飲

料增加的銷售額之比為2：1.六月份A飲料單價上調20%且4飲料的銷售額與B飲料的銷售額之比為2：3,

則A飲料五月份的銷售數量與六月份預計的銷售數量之比為.

9

【答案】歷

(分析】設銷售A飲料的數量為3x,銷售B種飲料的數量2x,銷售C種飲料的數量4x,4種飲料的單價y.B、

C兩種飲料的單價分別為2y、y.六月份A飲料單價上調20%,總銷售額為m,可求A飲料銷售額為3xy+^m,

91171

8飲料的銷售額為5孫+正加，C飲料銷售額：—+—m,可求加=15孫，六月份A種預計的銷售額

4孫，六月份預計的銷售數量與無，A飲料五月份的銷售數量與六月份預計的銷售數量之比3x:與X計算

即可

【詳解】解：某銷售商五月份銷售A、B、C三種飲料的數量之比為3：2：4,

設銷售A飲料的數量為3x,銷售8種飲料的數量2x,銷售C種飲料的數量4x,

A、B、C三種飲料的單價之比為1：2：1.,

設4種飲料的單價y.B、C兩種飲料的單價分別為2y、y.

六月份A飲料單價上調20%后單價為(1+20%)y,總銷售額為m,

A飲料增加的銷售占六月份銷售總額的A，A飲料銷售額為3xy+\〃z,

3(1、91

A飲料的銷售額與8飲料的銷售額之比為2：3,,8飲料的銷售額為53盯+正初二不孫+而機

33

B飲料的銷售額增加部分為二-4孫飲料增加的銷售額為耳2—4xy

2

13一4孫+4肛=?肛+

...C飲料銷售額：--

22■4-20

,191171

/.3xyn——m+—xy+—m+-xy+-一m=mm=\15Cxy

152-104-20

六月份A種預計的銷售額3盯+/-x15肛=4盯，六月份預計的銷售數量4肛+(l+20%)y=Wx

1099

飲料五月份的銷售數量與六月份預計的銷售數量之比3x:—x=9:10=二故答案為二

31010

【點睛】本題考查銷售問題應用題，用字母表示數，列代數式，整式的加減法，單項式除以單項式，掌握

銷售額=銷售單價x銷售數量是解題關鍵

考向2整式及其相關概念

單項式與多項式統(tǒng)稱整式.

觀察判斷法:要準確理解和辨認單項式的次數、系數；判斷是否為同類項時，關鍵要看所含的字母是否相同，

相同字母的指數是否相同.

多項式的次數是指次數最高的項的次數.同類項一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指數

是否相同.

考慮特殊性:單獨一個數或字母也是單項式;單項式的次數是指單項式中所有字母指數的和，單獨的一個常數

的次數是0.

典例引領

1.（2021?上海中考真題）下列單項式中，/匕3的同類項是（）

3212

A.abB.2a護C.abD./

【答案】B

【分析】比較時應字母的指數，分別相等就是同類項

【詳解】???”的指數是3,6的指數是2,與中“的指數是2,〃的指數是3不一致，

不是的同類項，不符合題意；

?.Z的指數是2,人的指數是3,與中〃的指數是2,6的指數是3一致，

/.2a2b3是a2b3的同類項,符合題意；

???”的指數是2,〃的指數是1,與/83中。的指數是2,。的指數是3不一致，

不是//的同類項，不符合題意；

???”的指數是1,人的指數是3,與二/中。的指數是2,匕的指數是3不一致，

.??a/不是的同類項，不符合題意；故選B

【點睛】本題考查了同類項，正確理解同類項的定義是解題的關鍵.

2.（2021?海南中考真題）下列整式中，是二次單項式的是（）

2

A.x+lB.盯C.巧D.-3尤

【答案】B

【分析】根據單項式的定義、單項式次數的定義逐項判斷即可得.

【詳解】A、無2+1是多項式，此項不符題意：B、孫是二次單項式，此項符合題意；

C、fy是三次單項式，此項不符題意；D、-3%是一次單項式，此項不符題意；故選：B.

【點睛】本題考查了單項式，熟記定義是解題關鍵.

3.（2021山東?中考模擬）如果整式》"-2一5/+2c是關于x的三次三項式，那么〃等于

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】根據多項式次數的定義得到〃一2=3,解得：片5.故選C.

變式拓展

1.（2021?青海中考真題）已知單項式2。%2"+7與3a2,為"+2是同類項，則機+〃=.

【答案】3

【分析】根據同類項的定義（所含字母相同，相同字母的指數相同），求出〃?，”的值，再代入代數式計算

即可.

【詳解】解：；單項式2不/尸，"+7與3a2?"+2是同類項，.?.2,片4,〃+2=-2加+7,

解得：m=2,n=l,則，"+“=2+1=3.故答案是：3.

【點睛】本題考查同類項的定義，同類項定義中的兩個“相同”：相同字母的指數相同，是易混點.

2.（2020?四川綿陽市?中考真題）若多項式與…+（〃-2）一2+1是關于的三次多項式,則〃?〃=.

【答案】0或8

【分析】直接利用多項式的次數確定方法得出答案.

【詳解】解：..?多項式2比歹+1是關于X,y的三次多項式，

：.n-2=0,1+|”?-〃卜3,〃=2,I機-〃卜2,

.,./”一〃=2或加=2,，%=4或/%=0,\〃加=0或8.故答案為：0或8.

【點睛】本題主要考查了多項式，正確掌握多項式的次數確定方法是解題關鍵.

考向3規(guī)律探索題

解決規(guī)律探索型問題的策略是：通過對所給的一組（或一串）式子及結論，進行全面細致地觀察、分析、

比較，從中發(fā)現其變化規(guī)律，并由此猜想出一般性的結論，然后再給出合理的證明或加以應用.

典例引領

1.（2021?山東濟寧市?中考真題）按規(guī)律排列的一組數據：：1，3一，口，7—,9—,1一1，…，其中□內應

25172637

填的數是（）

2551

A.-B.—C.-D.一

31192

【答案】D

【分析】分子為連續(xù)奇數，分母為序號的平方+1，根據規(guī)律即可得到答案.

2n-l

【詳解】觀察這排數據發(fā)現，分子為連續(xù)奇數，分母為序號的平方+1，..?第〃個數據為：一—

H+1

當〃=3時W的分子為5,分母為32+1=10,這個數為之=,故選：D.

102

【點睛】本題考查了數字的探索規(guī)律，分子和分母分別尋找規(guī)律是解題關鍵.

2.（2021?湖北隨州市?中考真題）根據圖中數字的規(guī)律，若第〃個圖中的4=143,則P的值為（）

【答案】B

【分析】分別分析〃的規(guī)律、。的規(guī)律、的規(guī)律，再找〃、p、q之間的聯系即可.

【詳解】解：根據圖中數據可知：〃=1,2,3,4,p=l2,22,32,42,……

^^22-1,32-1,42-1,52-1,....則p=〃2,q=（〃+l）2-l,

?第1個圖中的4=143,夕=（〃+1）2—1=143.

解得：〃=11或〃=—13（不符合題意，舍去）="=121,故選：B.

【點睛】本題主要考查數字之間規(guī)律問題，將題中數據分組討論是解決本題的關鍵.

3.（2021?江蘇揚州市?中考真題）將黑色圓點按如圖所示的規(guī)律進行排列，圖中黑色圓點的個數依次為：1,

3,6,10,……，將其中所有能被3整除的數按從小到大的順序重新排列成一組新數據，則新數據中的第

33個數為.

①?

【答案】1275

【分析】首先得到前〃個圖形中每個圖形中的黑色圓點的個數，得到第〃個圖形中的黑色圓點的個數為

“5+D,再判斷其中能被3整除的數，得到每3個數中，都有2個能被3整除，再計算出第33個能被3

2

整除的數所在組，為原數列中第50個數，代入計算即可.

【詳解】解：第①個圖形中的黑色圓點的個數為：1,

第②個圖形中的黑色圓點的個數為：°+2）X2=3,

2

第③個圖形中的黑色圓點的個數為：（"J、,

2

第④個圖形中的黑色圓點的個數為：。+4）睨=］（）,...

2

第"個圖形中的黑色圓點的個數為川””，

2

則這列數為1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91.......

其中每3個數中,都有2個能被3整除,33+2=16...1,16x3+2=50,

則第33個被3整除的數為原數列中第50個數，即竺|衛(wèi)=1275,故答案為：1275.

【點睛】此題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，關鍵是通過歸納與總結，得到其中的規(guī)律.

變式拓展

1.（2021?湖北十堰市?中考真題）將從1開始的連續(xù)奇數按如圖所示的規(guī)律排列，例如，位于第4行第3列

的數為27,則位于第32行第13列的數是（）

A.2025B.2023C.2021D.2019

【答案】B

【分析】根據數字的變化關系發(fā)現規(guī)律第"行，第〃列的數據為：2〃（〃-1）+1,即可得第32行，第32列的

數據為:2x32x（32-1）+1=1985,再依次加2,到第32行，第13列的數據，即可.

【詳解】解：觀察數字的變化，發(fā)現規(guī)律：第〃行，第，1列的數據為：

.,.第32行,第32列的數據為:2x32x(32-1)+1=1985,

根據數據的排列規(guī)律，第偶數行從右往左的數據一次增加2,

.?.第32行,第13列的數據為：1985+2x(32-13)=2023,故選:B.

【點睛】本題考查數字的變化類，解決本題的關鍵是觀察數字的變化尋找探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題.

2.（2021?內蒙古中考真題）將一些相同的按如圖所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個“龜圖”的“O”的個數,

則第30個“龜圖”中有,個“O”.

OOO

OOOOOOOO

OOO

OOOOOOOO

OOo°oooooo

⑴⑵⑶(4)

【答案】875

【分析】設第〃個“龜圖”中有小個“O”（〃為正整數），觀察“龜圖”，根據給定圖形中“O”個數的變化可找

出變化規(guī)律2f+5（〃為正整數）“，再代入"=30即可得出結論.

【詳解】解：設第〃個“龜圖”中有如個“O”（〃為正整數）.

觀察圖形，可知：0=1+2+2=5,6=1+3+12+2=7,“3=1+4+22+2=11,44=1+5+3?+2=17,…，

二斯=1+（〃+1）+（n-1）2+2=n2-?+5（"為正整數）,；.凝=302-30+5=875.故答案是：875.

【點睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，根據各圖形中“O”個數的變化找出變化規(guī)律“小="-〃+5（〃

為正整數）”是解題的關鍵.

3.（2021?山東臨沂市?中考真題）實驗證實，放射性物質在放出射線后，質量將減少，減少的速度開始較快，

后來較慢，實際上，物質所剩的質量與時間成某種函數關系.下圖為表示鐳的放射規(guī)律的函數圖象，據此

可計算32mg鐳縮減為Img所用的時間大約是（）

8100年D.9720年

【答案】C

【分析】根據物質所剩的質量與時間的規(guī)律，可得答案.

【詳解】解：由圖可知：1620年時，鐳質量縮減為原來的;，

再經過1620年，即當3240年時，鐳質量縮減為原來的;=5,

再經過1620x2=3240年，即當4860年時，鐳質量縮減為原來的［=5,

,再經過1620x4=6480年，即當8100年時，鐳質量縮減為原來的*=',此時32x*=1mg,故選C.

【點睛】本題考查了函數圖象，規(guī)律型問題，利用函數圖象的意義是解題關鍵.

4.（2021?安徽中考真題）某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而

成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列.

［觀察思

當正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊（如圖2）；當正方形地磚有2塊時，等腰直角三角

形地磚有8塊（如圖3）；以此類推，

圖1圖2圖3

［規(guī)律總結］（1）若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加塊;

（2）若一條這樣的人行道一共有〃（〃為正整數）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數為_（用含

〃的代數式表示）.

［問題解決］（3）現有2021塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地磚

剩余最少，則需要正方形地磚多少塊？

【答案】（I）2；（2）2〃+4；（3）1008塊

【分析】（1）由圖觀察即可；（2）由每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚，再結合題

干中的條件正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊，遞推即可；

（3）利用上一小題得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地磚剩余最少時需要正方形地磚的數量.

【詳解】解：（1）由圖可知，每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚；故答案為：2；

（2）由（1）可知，每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚；

當正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊，即2+4：

所以當地磚有〃塊時，等腰直角三角形地磚有（2〃+4）塊；故答案為：2〃+4；

（3）令2〃+4=2021則n=1008.5

當"=1008時，2〃+4=2020此時，剩下一塊等腰直角三角形地磚...需要正方形地磚1008塊.

【點睛】本題為圖形規(guī)律題，涉及到了一元??次方程、列代數式以及代數式的應用等，考查了學生的觀察、

發(fā)現、歸納以及應用的能力，解題的關鍵是發(fā)現規(guī)律，并能列代數式表示其中的規(guī)律等.

考向4暴的運算

塞的運算法則是進行整式乘除法的基礎，要熟練掌握，解題時要明確運算的類型，正確運用法則；在運算

的過程中，一定要注意指數、系數和符號的處理.

典例引領

1.（2021?湖北襄陽市?中考真題）下列計算正確的是（）

A.a3-i-a3=aB.a3-a3=ahC.?=/D.（加）=abh

【答案】B

【分析】根據同底數'累的乘除法法則，累的乘方法則，積的乘方法則，逐一判斷選項，即可求解.

【詳解】解：A./+a3=i，故該選項錯誤，B.標./=。6,故該選項正確，

C.,3）3="9,故該選項錯誤，D.,方3）2=。2分6,故該選項錯誤，故選B.

【點睛】本題主要考查整式的運算，掌握同底數塞的乘除法法則，寫的乘方法則，積的乘方法則，是解題

的關鍵.

2.(2021?廣東中考真題)已知9"'=3,27"=4,則32'"3"=()

A.1B.6C.7D.12

【答案】D

【分析】利用同底數基乘法逆用轉換求解即可.

【詳解】解：???9"'=3,27"=4，/-32m+3n=32"'x33"=(32)mx(33)"=9"'x27"=3x4=12,二故選：D.

【點睛】本題主要考查同底數事乘法的逆用，熟練掌握其運算法則即表現形式是解題關鍵.

3.(2021?湖南永州市?中考真題)若X,y均為實數，43*=2021，47'=2021，則43孫Z7”="；

11

一+—=_______.

xy

【答案】20211

【分析】根據同底數塞乘法、積的乘方、器的乘方等計算法則進行等量代換即可.

【詳解】解：：43'=2021.47,'=2021；?(43)=202V,(47?=2021\

43取.47孫=(43)x(47)=2021'x202。=2021f,故答案為:2021；

43'九47*=(43x47)個=2021°,即202產=2021?，

11x+y,

二孫=x+>,，一+—=-^=1,故答案為：1.

xy孫

【點睛】本題主要考查同底數幕乘法、積的乘方、募的乘方等知識點，熟練掌握以上知識點的運算法則是

解決本題的關鍵.

變式拓展

1.(2021?陜西中考真題)計算：=()

1?,1

A.俞B.ab-C.前D.-2a3/?

【答案】A

【分析】根據積的乘方，慕的乘方以及負整數指數幕運算法則計算即可.

=',故選：4

【詳解】解:（明-2

【點睛】本題考查積的乘方，幕的乘方以及負整數指數累等知識點，熟記相關定義與運算法則是解答本題

的關鍵.

13

2.（2021?四川瀘州市?中考真題）己知10"=20，100"=5（），則-4+"一的值是（）

22

59

A.2B.—C.3D.一

22

【答案】C

【分析】根據同底數鼎的乘法10"?100〃=1。3,可求。+?=3再整體代入即可.

【詳解】解：'TO"=20,100"=5（），；?10"?100"=10"2〃=20x50=1000=103，

1311

ci+2Z>—3?-4+〃+萬=—（a+2/?+3）=—（3+3）=3.故選：C.

【點睛】本題考查幕的乘方，同底數累的乘法逆運算，代數式求值，掌握'累的乘方，同底數基的乘法法則，

與代數式值求法是解題關鍵.

3.（2020?河南中考真題）電子文件的大小常用B,KB,MB,GB等作為單位，其中

1GB=2"，=T。KB,1KB=2">B,某視頻文件的大小約為1GB,1G8等于（）

A.2XBB.83OBC.8X10'°BD.2X1030B

【答案】A

【分析】根據題意及塞的運算法則即可求解.

【詳解】依題意得1GB=2'°MB=2l0x2l0A：5=210x2隨x2"’8=23°8故選A.

【點睛】此題主要考查累的運算，解題的關鍵是熟知同底數累的運算法則.

考向5整式的混合運算

整式的加減，實質上就是合并同類項，有括號的，先去括號，只要算式中沒有同類項，就是最后的結果；

多項式乘多項式的運算中要做到不重不漏，應用乘法公式進行簡便計算，另外去括號時，要注意符號的變

化，最后把所得式子化簡，即合并同類項.

典例引領

1.（2021?江蘇常州市?中考真題）計算：2a2—（/+2）=

【答案】a2-2

【分析】先去括號，再合并同類項，即可求解.

【詳解】解：原式=2。2一“2一2="一2，故答案是：“2一2.

【點睛】本題主要考查整式的運算，掌握去括號法則以及合并同類項法則，是解題的關鍵.

01

2.(2021?湖南長沙市?中考真題)先化簡，再求值：(x—3)-+(x+3)(x—3)+2x(2—x),其中戶-儲

【答案】—2x,1.

【分析】先計算完全平方公式、平方差公式、單項式乘以多項式，再計算整式的加減，然后將無的值代入即

可得.

【詳解】解：原式=%2_6X+9+X2_9+4X_2X2,=—2X,

將x=-g代入得：原式=-2彳=-2*[-￡]=1.

【點睛】本題考查了整式的化簡求值，熟練掌握整式的運算法則是解題關鍵.

變式拓展

1.(2021?湖北荊州市?中考真題)若等式2a2.。+()=3/成立，則括號中填寫單項式可以是()

23

A.aB.aC.aD.1

【答案】C

【分析】根據同底數幕的乘法法則以及合并同類項法則，即可求解.

【詳解】解：?.?3/22”=3。3-2/=。3,等式2a2“+(/)=3/成立,故選C.

【點睛】本題主要考查整式的加減運算，掌握同底數幕的乘法法則以及合并同類項法則，是解題的關鍵.

2.(2021?貴州中考真題)(1)有三個不等式2%+3(一1,一5?15,3(%-1)>6,請在其中任選兩個不等式，

組成一個不等式組，并求出它的解集：

(2)小紅在計算a(l+a)—(a—I1時，解答過程如下：

a(l+?)-(a-l)2

=a+a2-(a2-\)第一步

=。+Y一。2一1第二步

=a-\第三步

小紅的解答從第步開始出錯，請寫出正確的解答過程.

【答案】（1）x<-3：（2）第一步，正確過程見詳解

【分析】

（1）先挑選兩個不等式組成不等式組，然后分別求出各個不等式的解，再取公共部分，即可；

（2）根據完全平方公式、去括號法則以及合并同類項法則，進行化簡，即可.

⑵+3<-1①

【詳解】解：（1）挑選第一和第二個不等式，得廣…，

-5x〉15②

由①得：x<-2,由②得：x<-3,.?.不等式組的解為：x<-3：

（2）小紅的解答從第一步開始出錯，正確的解答過程如卜：

a（l+a）-（a-1）2=。+/-（〃-2。+1）=a+a2-a2+2a-\^3a-[.故答案是：第一步

【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組以及整式的混合運算，掌握解不等式組的基本步驟以及完全平

方公式，是解題的關鍵.

考向6因式分解

因式分解的概念與方法步驟

①看清形式：因式分解與整式乘法是互逆運算.符合因式分解的等式左邊是多項式，右邊是整式乘積的形

式.

②方法：（1）提取公因式法；（2）運用公式法.

③因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式.公式包括平方差公式與完全平方公式，要能用公式法分解

必須有平方項，如果是平方差就用平方差公式來分解，如果是平方和需要看還有沒有兩數乘積的2倍，如

果沒有兩數乘積的2倍還不能分解.

一“提”（取公因式），二“用''（公式）.要熟記公式的特點，兩項式時考慮平方差公式，三項式時考慮完全

平方公式.

典例引領

1.（2021?山東荷澤市?中考真題）因式分解：—a3+2/—a=.

【答案】—a（a—I）2

【分析】先提取公因式，后采用公式法分解即可

【詳解】：+2/—a=-"(4——2a+1)=-a(a—1)-故答案為：—a(a—1)_.

【點睛】本題考查了因式分解，熟記先提取公因式，后套用公式法分解因式是解題的關鍵.

2.(2021?四川廣安市?中考真題)若X、>滿足｛:.，則代數式4y2的值為______.

x+2y=3

【答案】-6

【分析】根據方程組中x+2y和x-2y的值，將代數式利用平方差公式分解，再代入計算即可.

【詳解】解：".'x-2y=-2,x+2j=3,；./的2=(x+2y)(x-2y)=3x(-2)=-6,故答案為：-6.

【點睛】本題主要考查方程組的解及代數式的求值，觀察待求代數式的特點與方程組中兩方程的聯系是解

題關鍵.

3.(2020?四川內江市?中考真題)我們知道，任意一個正整數x都可以進行這樣的分解：x=mxn(〃?，?

是正整數，且，〃<〃)，在X的所有這種分解中，如果"兩因數之差的絕對值最小，我們就稱"2X〃是X

的最佳分解.并規(guī)定：/,(%=-.

n

例如：18可以分解成1x18,2x9或3x6，因為18—1>9—2>6-3,所以3x6是18的最佳分解，所以

T.I

/(18)=|=-.⑴填空：/(6)=；/(9)=；

o2

(2)一個兩位正整數f(f=10a+。，l<a<h<9,a,6為正整數)，交換其個位上的數字與十位上的數

字得到的新數減去原數所得的差為54,求出所有的兩位正整數；并求的最大值；

(3)填空：①/(22X3X5X7)=；②/(23X3X5X7)=；

③了(24x3x5x7)=；?/(25X3X5X7)=.

2/、420142014

【答案】(1)—:1；(2)I為39,28,17；的最大值一；(3)—,—,—,一

37721152115

2

【分析】⑴6=1X6=2X3,由已知可求〃6)=葭9=lx9=3x3,由已知可求/(9)=1；

(2)由題意可得：交換后的數減去交換前的數的差為：10b+aT0a-b=9(b-a)=54,得到b-a=6,可求

t的值，故可得到的最大值；

(3)根據〃x)=—的定義即可依次求解.

n

2

【詳解】(l)6=lx6=2x3,；6-1>3-2,.../(6)=§；

2

9=lx9=3x3,V9-1>3-3,A/(9)=1,故答案為：y：1；

(2)由題意可得：交換后的數減去交換前的數的差為：10b+aT0a-b=9(b-a)=54,b-a=6,

Vl<a<b<9,，b=9,a=3或b=8,a=2或b=7,a=l,為39,28,17；

V39=1x39=3x13,/(39)=卷；28=1x28=2x14=4x7,/(28)=；

17=1x17,417)=，；的最大值，

nn

⑶①：22x3x5x7=20x21；./(22x3x5x7)=—；

②23x3x5x7=28x30；./Q3x3x5x7)=||=

4020

③：24x3x5x7=40x42/./(24x3x5x7)=—=—；

④：25x3x5x7=56x60.\x3x5x7)=而=*,故答案為：-,

【點睛】本題考查因式分解的應用；理解題意，從題目中獲取信息，列出正確的代數式，再由數的特點求

解是解題的關鍵.

變式拓展

1.(2021?黑龍江綏化市?中考真題)在實數范圍內分解因式：ab2-2a=

【答案】及)仍-0).

【分析】利用平方差公式。2-〃=3+與(。一份分解因式得出即可.

【詳解】解：a/-2a=a(2-2)=a(b+e)(b-6)故答案為:a(b+6)(b-五).

【點睛】此題主要考查了利用平方差公式〃-匕2=3+6)3-切分解因式,熟練應用平方差公式是解題關鍵.

2.(2020?柳州市柳林中學中考真題)下列多項式中，能用平方差公式進行因式分解的是()

A.a2-b2B.-a2-b2C.c^+b2D.a2+2ab+b2

【答案】A

【分析】根據平方差公式的結構特點，兩個平方項，并且符號相反，對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【詳解】解：A、分符合平方差公式的特點，能用平方差公式進行因式分解；

8、-層-從兩平方項符號相同，不能用平方差公式進行因式分解；

C、4+加兩平方項符號相同，不能用平方差公式進行因式分解；

。、/+246+62是三項，不能用平方差公式進行因式分解.故選：A.

【點睛】本題考查了用平方差公式進行因式分解.熟記平方差公式的結構特點是解題的關鍵.平方差公式:

a2—b1=(a+/?)(?-/?).

3.(2021?湖北十堰市?中考真題)已知肛=2,x-3y=3,則2dy—12x2y2+i8孫3=

【答案】36

【分析】先把多項式因式分解，再代入求值，即可.

【詳解】???町=2/—3丁=3,.?.原式=2肛(x—3yp=2x2x32=36,故答案是：36.

【點睛】本題主要考查代數式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解題的關鍵.

考向7乘法公式的幾何背景與運用

完全平方公式的運用主要考查是“知二求二”、參數問題與最值問題，乘法公式的幾何背景為素材的題型

近年來考查也比較多。

典例引領

1.(2021?浙江臺州市?中考真題)已知(a+b)三49,a2+b2=25,則ab—()

A.24B.48C.12D.276

【答案】C

【分析】利用完全平方公式計算即可.

,49-25

【詳解】解：+。2+2ah=49,a2+b2=25<=---=12,故選：C.

【點睛】本題考查整體法求代數式的值，掌握完全平方公式是解題的關鍵.

2.(2021.安順?中考模擬)若f+2(/”一3)x+16是關于x的完全平方式，則加=.

【答案】7或-1

【分析】直接利用完全平方公式的定義得出2(m-3)=±8,進而求出答案.

【解析】'."x2+2(m-3)x+16是關于x的完全平方式，，2(m-3)=±8,

解得：m=-l或7,故答案為-1或7.

點睛：此題主要考查了完全平方公式，正確掌握完全平方公式的基本形式是解題關鍵.

3.（2020?寧夏中考真題）2002年8月，在北京召開的國際數學家大會會標取材于我國古代數學家趙爽的《勾

股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖1）,且大正方形的

面積是15,小正方形的面積是3,直角三角形的較短直角邊為m較長直角邊為江如果將四個全等的直角

三角形按如圖2的形式擺放，那么圖2中最大的正方形的面積為一.

【答案】27

【分析】根據題意得出a2+b2=15,（b-a）2=3,圖2中大正方形的面積為：（a+b）2,然后利用完全平方公式

的變形求出（a+b）2即可.

【詳解】解：由題意可得在圖1中：a2+b2=15,（b-a）2=3,

圖2中大正方形的面積為：（a+b）2,

（b-a）2=3a2-2ab+b2=3,15-2ab=32ab=12,

（a+b）2=a2+2ab+b2=15+12=27,故答案為:27.

【點睛】本題考查了完全平方公式在幾何圖形中的應用，熟知完全平方式的形式是解題關鍵.

變式拓展

1131

1.(2021?廣東中考真題)若％+—=，且0<x<l,則—--?=.

X6JT

【答案】一線

36

11Q1751

【分析】根據X+±=今，利用完全平方公式可得(％—上)2=W，根據X的取值范圍可得X-上的值，利

x6x36x

用平方差公式即可得答案.

.、人”.一113.11、2,125

［訃解］.xH———,..z(x—)2=(zxH—)—4x———,

x6xxx36

..八,.1.15.21,I1、13,5、65—65

?0<X<1,..X<?—,..X--=---,..X----=(XH—)(x—)=—X(--)=----.故答案為：-----

xx6x2xx663636

【點睛】本題考查了完全平方公式及平方差公式，準確運用公式是解題的關鍵.

2.（2020?湖南郴州市?中考真題）如圖1，將邊長為X的大正方形剪去一個邊長為1的小正方形（陰影部分），

并將剩余部分沿虛線剪開，得到兩個長方形，再將這兩個長方形拼成圖2所示長方形.這兩個圖能解釋下列

哪個等式（）

1

（圖1）（圖2）

A.x~—2x+l=（x—1）"B.x?—l=（x+l）（x—1）C.r+2x+1=（x+1）-D.—x——x（x—1）

【答案】B

【分析】利用大正方形的面積減去小正方形的面積得到空白部分的面積，然后根據面積相等列出等式即可.

【詳解】第一個圖形空白部分的面積是X2-1,第二個圖形的面積是（X+1）（X-1）.

則x2-l=（x+l）（X-1）.故選：B.

【點睛】本題考查了平方差公式的幾何背景，正確用兩種方法表示空白部分的面積是解決問題的關鍵.

3.（2021?河北中考真題）現有甲、乙、丙三種不同的矩形紙片（邊長如圖）.

（1）取甲、乙紙片各1塊，其面積和為；（2）嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個大正方形，

先取甲紙片1塊，再取乙紙片4塊，還需取丙紙片塊.

【答案】a2+b24

【分析】（1）直接利用正方形面積公式進行計算即可；

（2）根據已知圖形的面積公式的特征，利用完全平方公式即可判定應增加的項，再對應到圖形上即可.

【詳解】解：（1）???甲、乙都是正方形紙片，其邊長分別為。,匕

???取甲、乙紙片各1塊，其面積和為"+〃；故答案為：a2+h2

（2）要用這三種紙片緊密拼接成一個大正方形，先取甲紙片1塊，再取乙紙片4塊，則它們的面積和為

/+4/,若再加上4曲（剛好是4個丙），貝+則剛好能組成邊長為a+2）的

正方形，圖形如卜所示，所以應取丙紙片4塊.故答案為：4.