河北省衡水市武邑2021-2022學年高三第五次模擬考試數學試卷含解析

2021-2022高考數學模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角〃條形碼粘貼處〃o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3,非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.等比數列｛q｝中，q="q=2,則如與仆的等比中項是（）

8

,11

A.±4B.4C.±-D.-

44

2.觀察下列各式：x③y=2,x20/=4,?0y3=9,x40/=17,x50/=31,x60y6=54,x70y7=92,

…，根據以上規(guī)律，則"°合丁°=（）

A.255B.419C.414D.253

3.如圖，在AA3C中，點用，N分別為C4,C3的中點，若AB=亞,CB=\,且滿足3而?碗=回？+函2,

則而等于()

C

A

/-28

A.2B.、/5C.-D.-

33

4.設全集U=R,集合A={x[0<x<2},3={x|x<l},則集合A|J8=()

A.(2,-K?)B.[2,-H?)C.D.(-℃,1]

5.若（l+ax）（l+x）’的展開式中的系數之和為TO,則實數"的值為（）

A.-3D.1

6.設。為坐標原點，P是以尸為焦點的拋物線V=2PMp>0）上任意一點，M是線段PF上的點，且=2\MF\,

則直線的斜率的最大值為（）

A.B2

C.D.1

332

7.已知函數/（為=孚上.下列命題：①函數/（x）的圖象關于原點對稱；②函數/*）是周期函數；③當x=￡時,

X'+12

函數取最大值；④函數/（x）的圖象與函數y=1的圖象沒有公共點，其中正確命題的序號是（）

X

A.①④B.②③C.①③④D.①②④

8.設左＞1,則關于x,y的方程（1一攵）￡+丁=42_］所表示的曲線是（）

A.長軸在y軸上的橢圓B.長軸在X軸上的橢圓

c.實軸在y軸上的雙曲線D.實軸在x軸上的雙曲線

2X-2-x

9.函數y=m------的圖像大致為（）?

|x|-cosx

10.趙爽是我國古代數學家、天文學家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”,

亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的）.類比“趙

爽弦圖”.可類似地構造如下圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成一個大等邊三角

形.設。尸=2A尸=2,若在大等邊三角形中隨機取一點，則此點取自小等邊三角形（陰影部分）的概率是（）

c

11.達芬奇的經典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖，畫中女子神秘的微笑，，數百年來讓無數觀賞者人迷.某業(yè)余愛好

者對《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進行了粗略測繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧，在嘴角4c處作圓弧的切

（其中立a0.866）.根據測量得到

線，兩條切線交于8點，測得如下數據：AB=6cm,BC=6cm,AC=10.392cw

2

的結果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應的圓心角大約等于（）

12.函數/（力=（/一以+1），的大致圖象是（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.曲線/（%）=4x-e*在點（0,/（0））處的切線方程為.

14.如圖所示，平面BCGB」平面ABC,ZABC=120°,四邊形BCGBi為正方形，且AB=BC=2,則異面直線BCi

與AC所成角的余弦值為.

15.某商場一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示，下列說法中正確的是.

注：收入----------支出

利『中收入支出

①2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同;

②支出最高值與支出最低值的比是6:1；

③第三季度平均收入為50萬元；

④利潤最高的月份是2月份.

16.曲線卜=/（/+2）在點（0,2）處的切線方程為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，四棱錐P—ABC。中，底面ABCO是矩形，面底面且兇4￡）是邊長為2的等

邊三角形，PC=&5,M在PC上,且PA||面"BO.

(1)求證:M是PC的中點：

(2)在Q4上是否存在點尸，使二面角尸―為直角？若存在，求出——的值；若不存在，說明理由.

AP

18.(12分)在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，NBAD=120°,PA=2,PB=PC=PD,E是PB

的中點.

(2)設廠是直線8。上的動點，當點E到平面E4F距離最大時，求面94尸與面E4c所成二面角的正弦值.

19.(12分)已知動圓/經過點N(2,0),且動圓/被)，軸截得的弦長為4,記圓心M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的標準方程；

(2)設點M的橫坐標為4,A,8為圓加與曲線C的公共點，若直線的斜率左=1,且?€[。,4],求七的值.

20.(12分)已知數列｛4｝滿足&+2=2(〃22),且64,4，生成等比數列.

an-\5

(1)求證：數列｛一｝是等差數列，并求數列｛4｝的通項公式；

an

(2)記數列｛—｝的前n項和為Sn,bn=44+R-；，求數列｛〃｝的前n項和T?.

an4

tri

21.(12分)已知命題。：VxeT?,x2-x+m>0;命題4：函數/(x)=無零點.

(1)若F為假，求實數小的取值范圍；

(2)若〃八4為假，pvq為真,求實數團的取值范圍.

22.(10分)已知。>0,函數/(x)=|x+a|+|2x-6|有最小值7.

(1)求。的值；

、119

(2)設團,〃>0,機+4〃=。，求證：一+---->—.

m〃+18

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

利用等比數列｛q｝的性質可得d=%6，即可得出.

【詳解】

設內與。8的等比中項是”.

由等比數列｛q｝的性質可得.

/.%與。8的等比中項X=±。6=±—X25=±4.

8

故選A.

【點睛】

本題考查了等比中項的求法，屬于基礎題.

2.B

【解析】

每個式子的值依次構成一個數列僅“｝,然后歸納出數列的遞推關系冊=??_1+a吁2+〃后再計算.

【詳解】

以及數列的應用根據題設條件，設數字2,4,9,17,31,54,92,…構成一個數列｛《,｝,可得數列｛《,｝滿足

a?=%+an_2+n(n>3,?eN*),

則4=%+4+8=54+92+8=154,

為=4+%+9=154+92+9=255,=4+/+1。=255+154+10=419.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查歸納推理，解題關鍵是通過數列的項歸納出遞推關系，從而可確定數列的一些項.

3.D

【解析】

選取麗，就為基底，其他向量都用基底表示后進行運算.

【詳解】

由題意6是八鉆。的重心，

--------2——...———1一一一1———一

3AGMB=3x-AN-(.-BM)=-2(BN-BA)--(BC+BA)=(BA--BC)-(BC+BA)

--212]1]

=BA-BC+-BABC=5--+-BAJ?C

2222

CA+CB=(BA-BC)2+\=BA-2BABC+BC+\==5-2BA-BC+l+1，

91——...——........_________

：.-+-BABC^l-2BABC,BABC=l>

22

2------21---—---—21---->3---——■*913S

：.AG.AC^-ANAC^-(-BC-BA)-(BC-BA)^-(-BC~--BCBA+BA)=-(---+5)=-,

?JJ乙J乙乙J乙乙J

故選：D.

【點睛】

本題考查向量的數量積，解題關鍵是選取兩個不共線向量作為基底，其他向量都用基底表示參與運算，這樣做目標明

確，易于操作.

4.C

【解析】

,集合A={x[0<x<2},5={x|x<l},

.??AD3=S，2]

點睛：本題是道易錯題，看清所問問題求并集而不是交集.

5.B

【解析】

由(1+6)(1+x)5=(1+x)5+ar(l+x)5,進而分別求出展開式中』的系數及展開式中X3的系數，令二者之和等于

-10,可求出實數”的值.

【詳解】

由(1+ax)(l+x)5=(1+X)5+ax(l+xf,

232

則展開式中x的系數為c；+?C5'=10+5?,展開式中X的系數為c；+?C5=10+10?,

二者的系數之和為(10+5。)+(10。+10)=15。+20=-10,得。=一2.

故選：B.

【點睛】

本題考查二項式定理的應用，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.

6.C

【解析】

試題分析：設火方-,為)，由題意F(5,0)，顯然為<0時不符合題意，故%>0,則

OM=OF+FM=OF+^FP=OF+^(OP-OF)=^OP+^OF=(^-+^,^-),可得：

A

,32-2逝r，，l

k°M=%2p=2F2V2=T,當且僅當為=2p，％=6P時取等號，故選c.

+

6P+3py0

考點：1.拋物線的簡單幾何性質；2.均值不等式.

【方法點晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應用及拋物線標準方程方程，均值不等式的靈活運用，屬于中檔

2

題.解題時一定要注意分析條件，根據條件|PM|=2|M可，利用向量的運算可知加(3+￡,之)，寫出直線的斜率,

6P33

注意均值不等式的使用，特別是要分析等號是否成立，否則易出問題.

7.A

【解析】

根據奇偶性的定義可判斷出①正確；由周期函數特點知②錯誤；函數定義域為R,最值點即為極值點，由/[')工。

知③錯誤；令g(x)=/(x)—：，在x〉0和x<0兩種情況下知g(x)均無零點，知④正確.

【詳解】

由題意得：/(X)定義域為R,

、sin(-x)sinx.

???〃x)=,,2=2、=〃xA)，.?./(x)為奇函數，圖象關于原點對稱，①正確;

(-X)+1x+1''

???y=sinx為周期函數，y=/+i不是周期函數，.?./(%)不是周期函數，②錯誤;

(x2+l)cosx-2xsinx(冗、(九、

.?.f(x)=,2\2,彳卜0,.??/7懷是最值，③錯誤；

(犬+1)

1

1.[sinx-x—

令Ag(x)=/(x)-L若」=一^，

XX4~IXX+1

當x>0時，sinx<x,—>0,;.g(x)<0,此時/(x)與y△無交點；

X%

當x<0時，sinx>x,—<0,，g(x)>0,此時/(x)與y=：無交點；

綜上所述：/(x)與y=g無交點，④正確.

故選：A.

【點睛】

本題考查函數與導數知識的綜合應用，涉及到函數奇偶性和周期性的判斷、函數最值的判斷、兩函數交點個數問題的

求解；本題綜合性較強，對于學生的分析和推理能力有較高要求.

8.C

【解析】

22

根據條件，方程(1-外爐+9二爐一1.即Y------J=],結合雙曲線的標準方程的特征判斷曲線的類型.

'k2-lk+l

【詳解】

解：'：k>l,：.l+k>0,*2-1>0,

2)

方程(1—后)/+丁=公一],即—表示實軸在y軸上的雙曲線，

故選C.

【點睛】

22

本題考查雙曲線的標準方程的特征，依據條件把已知的曲線方程化為一^......-=1是關鍵.

!c-\k+]

9.A

【解析】

本題采用排除法:

由/排除選項D；

22

571

根據特殊值/>0排除選項C;

由x〉0,且x無限接近于。時，/(%)<0排除選項隊

【詳解】

2'-2'x

對于選項D：由題意可得，令函數/(x)=y=

|x|-cosx

5“5”

對于選項C：因為/[m]2萬一2一萬

一龍—>°,故選項C排除;

T

對于選項B：當X〉0,且X無限接近于0時,W-COSX接近于-1<0,2'_2T>0,此時/（X）<0.故選項B排除;

故選項:A

【點睛】

本題考查函數解析式較復雜的圖象的判斷;利用函數奇偶性、特殊值符號的正負等有關性質進行逐一排除是解題的關鍵;

屬于中檔題.

10.A

【解析】

根據幾何概率計算公式，求出中間小三角形區(qū)域的面積與大三角形面積的比值即可.

【詳解】

在AABD中，AD=3,BD=1,NAO3=120°，由余弦定理，得AB=JAD?+Blf_2AD-BDcos120°=屈，

DF2

所以法=瓦.

4

所以所求概率為

13

故選A.

【點睛】

本題考查了幾何概型的概率計算問題，是基礎題.

11.A

【解析】

由已知AB=8C=6,設ZA8C=26.可得sin6=3^=0.866.于是可得。，進而得出結論.

【詳解】

解：依題意AB=BC=6,設Z4BC=2，.

貝（Jsin6=96=0.866?—?

72

：.0=-,20=—.

33

設《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應的圓心角為a.

則2+兇=乃，

7T

CC———.

3

故選：A.

【點睛】

本題考查了直角三角形的邊角關系、三角函數的單調性、切線的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

12.A

【解析】

用x<0排除3,C；用x=2排除可得正確答案.

【詳解】

解：當x<0時，X2-4A:+1>0>ex>0,

所以/（x）>0,故可排除8,C；

當x=2時，,f（2）=—3e2<0,故可排除O.

故選：A.

【點睛】

本題考查了函數圖象，屬基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.3x-y-l=0

【解析】

求導，得到了'（0）和/（0），利用點斜式即可求得結果.

【詳解】

由于“0）=—1,f'（x）=4-ex,所以/'（0）=4—1=3,

由點斜式可得切線方程為3x-y-l=0.

故答案為：3x-y-l=0.

【點睛】

本題考查利用導數的幾何意義求切線方程，屬基礎題.

14.國

4

【解析】

將AC平移到和BC,相交的位置，解三角形求得線線角的余弦值.

【詳解】

過3作8D//AC,過。作CD//AB,畫出圖像如下圖所示，由于四邊形ABC。是平行四邊形，故BD//AC,所

以/。石。是所求線線角或其補角.在三角形中，忸G|=|CQ=2J5,BO=2G，故

8+12—8_\/6

cosZC]jB￡)=

2x2正x2百一彳

【點睛】

本小題主要考查空間兩條直線所成角的余弦值的計算，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔題.

15.@@③

【解析】

通過圖片信息直接觀察，計算，找出答案即可.

【詳解】

對于①，2至月份的收入的變化率為竺￡=20,11至12月份的變化率為上過=20,故相同，正確.

3-221-11

對于②，支出最高值是2月份60萬元，支出最低值是5月份的10萬元，故支出最高值與支出最低值的比是6：1,正

確.

對于③，第三季度的7,8,9月每個月的收入分別為40萬元,50萬元,60萬元,故第三季度的平均收入為4。+：：。=50

萬元，正確.

對于④，利潤最高的月份是3月份和10月份都是30萬元，高于2月份的利潤是80-60=20萬元，錯誤.

故答案為①②③.

【點睛】

本題考查利用圖象信息，分析歸納得出正確結論，屬于基礎題目.

16.y=2x+2

【解析】

對函數求導，得出在(0,2)處的一階導數值，即得出所求切線的斜率，再運用直線的點斜式求出切線的方程.

【詳解】

4/(x)=ev(x2+2),?.?r(x)=e'，+2x+2),所以/'(0)=2,又?."(0)=2,.?.所求切線方程為y—2=2x,即

y=2x+2.

故答案為：y=2x+2.

【點睛】

本題考查運用函數的導函數求函數在切點處的切線方程，關鍵在于求出在切點處的導函數值就是切線的斜率，屬于基

礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)見解析;(2)大=：.

AP8

【解析】

試題分析：(1)連AC交BO于E可得E是AC中點，再根據必||面MB?？傻肞AIIME,進而根據中位線定理可得結

果；(2)取中點。，由(1)知。兩兩垂直.以。為原點，尸所在直線分別為x軸,y軸，二軸

建立空間直角坐標系，求出面的一個法向量〃，用2表示面尸8￡)的一個法向量而，由”?比=0可得結果.

試題解析：⑴證明：連AC交8。于E,連ME.A3CO是矩形，二E是AC中點.又PA||面MBD，且ME是面PAC

與面ME■的交線，是的中點.

(2)取AD中點。，由(D知。4,。2。/3兩兩垂直.以。為原點，所在直線分別為x軸,

》軸，z軸建立空間直角坐標系(如圖)，則各點坐標為

A（1,O,O）,B（1,3,O）,￡＞（-1,O,O）,C（-1,3,O）,P（O,O,V3）,M.

k222J

（2出、

設存在尸滿足要求，且A,F=幾，則由麗=X而得：*1—4o,&）,面MB。的一個法向量為萬=1，—1，手，

AP133J

2%—2、42-23

面EBO的一個法向量為玩=1-,-r-，由乃?比=o,得1+—+—r=0,解得a=3，故存在尸，使二面角

3V3A）93A8

Ap3

F—BD—M為直角,此時F=

AP8

18.（1）證明見解析（2）迫

7

【解析】

（1）取8C中點M,連接根據菱形的性質，結合線面垂直的判定定理和性質進行證明即可；

（2）根據面面垂直的判定定理和性質定理，可以確定點3到直線AE的距離即為點B到平面Q4尸的距離，結合垂線

段的性質可以確定點E到平面W的距離最大，最大值為1.

以A為坐標原點，直線人尸叢民人尸分別為乂丁鵬軸建立空間直角坐標系4一與人利用空間向量夾角公式，結合同角

的三角函數關系式進行求解即可.

【詳解】

（1）證明：取8c中點連接

因為四邊形ABCD為菱形且/BAD=120°.

所以AA/L3C,

因為尸3=PC,所以PMLBC,

又

所以3C_L平面Q4M,因為Q4u平面

所以PA_LBC.

同理可證A4_LDC,

因為。CIBC=C,

所以平面ABCD.

（2）解：由（1）得B4_L平面ABCD,

所以平面叩'，平面ABC。，平面24尸c平面ABCD=AF.

所以點8到直線AF的距離即為點B到平面PAF的距離.

過B作AE的垂線段，在所有的垂線段中長度最大的為A3=2,此時A廠必過。。的中點,

因為￡為PB中點，所以此時，點E到平面叩的距離最大，最大值為1.

以A為坐標原點，直線AEAB,AP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系A-^z.

則A(O,O,O),C(V3,1,O),￡(0,1,1),6(0,2,0)

所以衣=(6,1,0),通=(0,1,1),AB=(0,2,0)

平面PAF的一個法向量為AB=(0,2,0),

叵

cos<n,AB>=為竺^

\n\-\AB\

所以sin<n,AB>=>/l-cos2<n,AB>

7

所以面air與面EAC所成二面角的正弦值為空.

7

【點睛】

本題考查了線面垂直的判定定理和性質的應用，考查了二面角的向量求法，考查了推理論證能力和數學運算能力.

19.見解析

【解析】

(1)設M(x,y),則點M到)'軸的距離為1幻，

因為圓M被＞軸截得的弦長為4,所以|MN|9x『+4,

又|MN『=(x-2)2+/,所以|xF+4=(x-2)2+y2,

化簡可得V=4x,所以曲線C的標準方程為V=4x.

⑵設A丐,y),釁,為),

因為直線AB的斜率Z=1,所以可設直線AB的方程為y^x+m,

由y=x+加及y2=4x,消去x可得y?-4y+47M=o,所以y+%=4,yty2=4w,

所以|AB|=0?J(y+%)2-4乂％=4>/2.五瓦.

設線段AB的中點為T,點M的縱坐標為％,則T(2-m,2),MTLAB,

所以直線MT的斜率為一1,所以二紇二、=T，所以相=4-%一%=4-近-%,

玉)U"V4

所以IA8|=4>/2-Vl-w=472?將…

易得圓心加到直線AB的距離d=*x|4一%+川=應|%-2|,

由圓M經過點N(2,0),可得|AB|=2J|MN『-d?=2J生+4-2(%-2『,

V16

24

所以32(范+%—3)=4[2+4-2(%—2)2],整理可得y；—64)，：+320=0,

416

解得y；=32+8而或尤=32-8而，所以為=8+2E或x0=8-2而，

又飛€[0,4],所以%=8-2萬.

n

20.(1)見解析；(2)T.=——-

8〃+4

【解析】

aa112

(1)因為口+工=2(〃22),所以a“*0,所以——+——=一，

%%4+1an-\%

,1.

所以數列｛一｝是等差數列,

%

,1、

設數歹!)｛—｝的公差為。，由可得”工0,

因為4,。2,“5成等比數列，所以。|%=憶所以;，=3，所以2d)(：+2d)=(；-d)2,

a\a5a2a303〃3

因為巴=不，所以(5—2d)(5+2d)=(5—d)2,

解得d=o(舍去)或d=2,所以,=’+(〃-3)d=2〃-1,所以q=_!_.

4a)2n-l

..1cn(l+2n—1)-

(2)由(1)知a”=--------,S=------------------=n',

2/1-12

山”—1_n21_1_111、

c----

所以“-44+1n4(2n-1)(2H+1)44(2/2-l)(2n+1)-82/J-1-2n+1*

所以7；=4x(l-4+4」+?..+」-------)=-x(l-——)=—^―

"83352n-l2〃+l8