大學(xué)物理第二冊(cè)習(xí)題答案詳解

習(xí)題八

8-1根據(jù)點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式E=—1干，當(dāng)被考察的場(chǎng)點(diǎn)距源點(diǎn)電荷很近(r

4-or

f。)時(shí)一，則場(chǎng)強(qiáng)E-8,這是沒(méi)有物理意義的，對(duì)此應(yīng)如何理解？

解：立="，―僅對(duì)點(diǎn)電荷成立,當(dāng)0時(shí)，帶電體不能再視為點(diǎn)電

4兀￡()廠~

荷，再用上式求場(chǎng)強(qiáng)是錯(cuò)誤的，實(shí)際帶電體有一定形狀大小，考慮電荷在帶

電體上的分布求出的場(chǎng)強(qiáng)不會(huì)是無(wú)限大.

8-2在真空中有A,B兩平行板，相對(duì)距離為d,板面積為S,其帶電量分

2

別為+q和則這兩板之間有相互作用力了,有人說(shuō)，又有人

4TE(/

說(shuō)，因?yàn)閒=qE,E='一,所以/=△—.試問(wèn)這兩種說(shuō)法對(duì)嗎?為什么？

￡oS￡()5

f到底應(yīng)等于多少？

解：題中的兩種說(shuō)法均不對(duì).第一種說(shuō)法中把兩帶電板視為點(diǎn)電荷是不對(duì)

的，第二種說(shuō)法把合場(chǎng)強(qiáng)E=」一看成是一個(gè)帶電板在另一帶電板處的場(chǎng)強(qiáng)

￡°S

也是不對(duì)的.正確解答應(yīng)為一個(gè)板的電場(chǎng)為￡=q,另一板受它的作用

2s0S

力f=4'一=-^一，這是兩板間相互作用的電場(chǎng)力.

280s2s0S

8-3一個(gè)點(diǎn)電荷q放在球形高斯面的中心，試問(wèn)在下列情況下，穿過(guò)這高斯

面的E通量是否改變？高斯面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E是否改變？

(1)另放一點(diǎn)電荷在高斯球面外附近.

(2)另放一點(diǎn)電荷在高斯球面內(nèi)某處.

(3)將原來(lái)的點(diǎn)電荷q移離高斯面的球心，但仍在高斯面內(nèi).

(4)將原來(lái)的點(diǎn)電荷q移到高斯面外.

答：根據(jù)高斯定理，穿過(guò)高斯面的電通量?jī)H取決于面內(nèi)電量的代數(shù)和，而與

面內(nèi)電荷的分布情況及面外電荷無(wú)關(guān)，但各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E與空間所有分布電荷

有關(guān)，故：

(1)電通量不變,①1=0/￡o，高斯面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E改變

⑵電通量改變,由①1變?yōu)棰?=(切+伙)/￡o，高斯面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E也

變

⑶電通量不變,仍為6.但高斯面上的場(chǎng)強(qiáng)E會(huì)變。

(4)電通量變?yōu)?,高斯面上的場(chǎng)強(qiáng)E會(huì)變.

8-4以下各種說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由.

(1)場(chǎng)強(qiáng)為零的地方，電勢(shì)一定為零；電勢(shì)為零的地方，場(chǎng)強(qiáng)也一定為

零.

(2)在電勢(shì)不變的空間內(nèi)，場(chǎng)強(qiáng)一定為零.

(3)電勢(shì)較高的地方，場(chǎng)強(qiáng)一定較大；場(chǎng)強(qiáng)較小的地方，電勢(shì)也一定較

低.

(4)場(chǎng)強(qiáng)大小相等的地方，電勢(shì)相同；電勢(shì)相同的地方，場(chǎng)強(qiáng)大小也一

定相等.

(5)帶正電的帶電體，電勢(shì)一定為正；帶負(fù)電的帶電體，電勢(shì)一定為負(fù).

(6)不帶電的物體，電勢(shì)一定為零；電勢(shì)為零的物體，一定不帶電.

答：場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的微分關(guān)系是，E=-VU.場(chǎng)強(qiáng)的大小為電勢(shì)沿等勢(shì)面法線

方向的變化率，方向?yàn)殡妱?shì)降落的方向。場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的積分關(guān)系，

參考零點(diǎn)-_

=JEdl

因此，

(1)說(shuō)法不正確.

(2)說(shuō)法正確.

(3)說(shuō)法不正確.

(4)說(shuō)法不正確

(5)說(shuō)法不正確

(6)說(shuō)法不正確.

8-5如圖所示，在直角三角形A5C的A點(diǎn)處，有點(diǎn)電荷卬=1.8x10"C,B

點(diǎn)處有點(diǎn)電荷儀=-4.8x10-9c,試求C點(diǎn)處的場(chǎng)

強(qiáng).

解：如圖建立坐標(biāo)

Z142：1(J\

E=------------------------------TJ

4TIE0r24TE0八

E=27000F-18000j

大?。篍=3.24X10'V.m',

E..2

方向：tan0=_^=-_,0=-33.7n

E*3

8-6均勻帶電細(xì)棒，棒長(zhǎng)L=20cm,電荷線密度2=3xl(f8Gm?求：(1)

棒的延長(zhǎng)線上與棒的近端相距4=8cm處的場(chǎng)強(qiáng);(2)棒的垂直平分線上與棒

的中點(diǎn)相距4=8cm處的場(chǎng)強(qiáng).

解：如圖所示

⑴在帶電直線上取線元dx,其上電

量d<7在尸點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)為

1Xdx

dEp=

4?！?)(a-x)9

°九，：dx

EP=fdEP=-fL~

J471go(Q一%)

4n￡oa-La+L?！辍?4L")

22

3x10-8x0.2

3.14x8.65x10，2(4X0.182*-0.22)

=0.24654XlO'N.C方向水平向右

(2)同理dEQ=———"二方向如圖所示

4"。x+d；

由于對(duì)稱性=0,即只有y分量,

1入dxd2

d%，22

4兀x+d\lx+d\

d2^pydxI2九工L/2

EQy=JdE°y1乙2.2.3/21.l-L/

4A兀%J-2(zx+*)4?！?d；9J(x+d；)

Xx.L/2九L

'-L/2

4兀"*J'?+玳2兀￡2d2yjl：+4df

3xI。-'x0.2

=0.526X104N.C'

2x3.14x8.85x1012x0.08x822+4x0.08?

方向沿y軸正向

8-7用均勻帶電4=3.12x10—9(2的絕緣細(xì)棒彎成半徑R=50cm的圓弧，兩

端間隙"=2.0cm,求圓心處場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向.

解：取一圓弧，對(duì)稱建一坐標(biāo)如圖示。

dl=Rd(p,dq=A,d/=7?Xd(p

在O點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)大小為

九Rd(p

dE=-----------方向沿半徑方向

4?！?)/?~

九

則dEx=-dEcos(p=---------cos<pd(p

4兀￡()R

X

dEv=-dEsin(p=-----------sin(pd(p

4?！?/

積分

_(P2_<P2XX

E=f-JEv=fsin(pd(p(cos(p2-COS(P1)

JM>I

4兀g()R2兀g()R

根據(jù)圓對(duì)稱性，圓心處場(chǎng)強(qiáng)只需計(jì)算密度相同的異號(hào)間隙弧長(zhǎng)電場(chǎng)。

-qI2Tt(p7C(p

A.=----------------,cp=—=—=0.04rad,(p1=---------,(p2=—n—,

2JIR-0.02R502222

-qit(p7C(pq(p

E丫=----------------------------[cos(—+—)-cos(---)]=--------------------------sin—

2兀￡()R(2兀R-0?02)22222兀e()R(兀R—0.01)2

E、=-----------------------------n-----------------------------x0.02=0.7720N.C

2x3.14x8.85x10"(3.14x0.50-0.01)

方向指向間隙中心。

8-8(1)點(diǎn)電荷g位于一邊長(zhǎng)為a的立方體中心，試求在該點(diǎn)電荷電場(chǎng)中穿

過(guò)立方體的一個(gè)面的電通量；(2)如果該場(chǎng)源點(diǎn)電荷移動(dòng)到該立方體的一個(gè)

頂點(diǎn)上，這時(shí)穿過(guò)立方體各面的電通量是多少？

解:(1)由高斯定理￡后出6q

80

立方體六個(gè)面，當(dāng)q在立方體中心時(shí).，每個(gè)面上電通量相等

???各面電通量①，=」一.

6s0

⑵電荷在頂點(diǎn)時(shí).，將立方體延伸為邊長(zhǎng)2〃的立方體，使“處于邊長(zhǎng)2〃的

立方體中心，則邊長(zhǎng)2a的正方形上電通量①，=-2_

6E()

對(duì)于邊長(zhǎng)。的正方形，如果它不包含q所在的頂點(diǎn)，則①，=，-

24￡0

如果它包含q所在頂點(diǎn)則①，=0.

如題8-8(a)圖所示.題8-8⑶圖

題8-8(a)圖題8-8(b)圖題8-8(c)圖

8-9如圖所示，電荷面密度為＜7的均勻無(wú)限大帶電平板，以平板上的一點(diǎn)。

為中心，R為半徑作一半球面，求通過(guò)此半球面的電通量.

解：均勻無(wú)限大帶電平面的電場(chǎng)

大?。篍=—,方向:垂直平面

電通量：①=EnR[=°nR2

2e0

習(xí)題8-9圖

8-10有證據(jù)表明，地球表面以上存在電場(chǎng)，其平均值約為130V-mT,且指

向地球表面，試由此推算整個(gè)地球表面所帶的負(fù)電荷.(地球平均半徑R=

6.4x106m)

解：若地球看成導(dǎo)體球，則

q=E［加oR?=134x4x3.14x8.85x10'12x(6.4x106)2=6.10095X

105C,

8-11均勻帶電球殼內(nèi)半徑6cm,外半徑10cm,電荷體密度為2X10一,C?m

求距球心5cm,8cm,12cm各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng).

解：高斯定理E4仃2=Ni

J?p

°0°0

當(dāng)r=5cm時(shí)、￡9=。，后=0

IL4兀33、

r=8cm時(shí)，工q=p——（尸-廠內(nèi)）

4兀（32x

P—（廠_-內(nèi)）

E=—-------3—*3-48x104N-C-',方向沿半徑向外.

4兀￡（）1

14兀33、

r=12cm時(shí)，￡q=p—0外-5）

4兀，33、

P.5外一場(chǎng)）

E=---------------——?4.10x104N-C-'沿半徑向外.

4?！辏ǎ?

8-12半徑為'和（（/?2>"）的兩無(wú)限長(zhǎng)同軸圓柱面，單位長(zhǎng)度上分別

帶有電量入和-無(wú)，試求：（1）rVR|；（2）/?,<r</?；⑶

2>R2處各點(diǎn)

的場(chǎng)強(qiáng).

解EdS

取同軸圓柱形高斯面,側(cè)面積S=2nd

則.dS=E2nrl

對(duì)（1）r</?,￡夕=（）,E=（）

（2）/?,<>-<R2z4=隊(duì)

E=-^―沿徑向向外

27t￡or

⑶r>R2Z4=0

￡=0

8-13設(shè)氣體放電形成的等離子體圓柱內(nèi)電荷體密度為p{r)=—^一:其

[1+(-)￥

a

中，r是到軸線的距離，po是軸線上的電荷體密度，。為常數(shù)，求圓柱體內(nèi)的

電場(chǎng)分布.

解：根據(jù)場(chǎng)源是軸對(duì)稱性的，取一圓柱形的高斯面

fi.ds=^q,

①=fE-ds+fE-ds+\E?ds

JAs上JAs下J制

=E-Inr-I

Lqi1/,1r'Po,,,

———=—p(r)dV=----------丁丁2?！╠r

ao￡，oJ。*oJ。(1+(ria))

2,22

2兀/p()。rTtlpar

J222Q

b(a+r)22

￡0e0a+r

2一

Po0『

E=

2e?a~+r~

8-14一電偶極子由q=L0X10吃的兩個(gè)異號(hào)點(diǎn)電荷組成，兩電荷距離

d=0.2cm,把這電偶極子放在LOX10%?L的外電場(chǎng)中,求外電場(chǎng)作用于

電偶極子上的最大力矩.

解：,/電偶極子p在外場(chǎng)E中受力矩

M=pxE

/.Mmax=pE=qlE代入數(shù)字

Mmax=1.0X10-6x2X10-3X1.0X105=2.0X10N.m

8-15兩點(diǎn)電荷s=L5X10t,42=3.0X10匕相距勺=42cm,要把它們之

間的距離變?yōu)镚=25cm,需作多少功？

%q“2dr。闖2J1、

解：A=jF-dr=2~1\/

々4兀80r4兀80勺r2

=-6.55xI。-'

外力需作的功

8-16如題8T6圖所示，在力，8兩點(diǎn)處放有電量分別為+q,-q的點(diǎn)電荷,

AB間距離為2R,現(xiàn)將另一正試驗(yàn)點(diǎn)電荷心從。點(diǎn)經(jīng)過(guò)半圓弧移到。點(diǎn),

求移動(dòng)過(guò)程中電場(chǎng)力作的功.

解：如題8T6圖示

1qA

U。

4兀8°R

1q

U0(---)=-

4%3/?R6兀

q°q

A=qQ(U0-Uc)

6?！辏ǎ??

8-17電荷q均勻分布在半徑為R的球體內(nèi)，試證明離球心,＜，＜/?）處的電勢(shì)

。（3鏟一/

8兀比區(qū)

證：場(chǎng)的分布具有球?qū)ΨQ性，取同心球面為高斯面

EdS=

Isc

匕0

2943瓦二-匕丁亍

r<R:￡"]?4?！?--------x----?一兀廠

￡。

4兀R/334TIEOR

r>R:-4nr2=—,E2—~~y*丁

￡047180廣

產(chǎn)一_JqpSq

U=[E-dr-f---------r-rdr+[-----------dr

JrJr4TE（）RJR4TIE01

2222

.〃qR~~r-qq（3R--r-）

??U=---------3--------------+----------=------------3—

4TIEoR24MoR8HE0/?

8-18電量q均勻分布在長(zhǎng)21的細(xì)直線上.試求：（1）帶電直線延長(zhǎng)線上離中

點(diǎn)為/■處的電勢(shì)；（2）帶電直線中垂線上離中點(diǎn)為r處的電勢(shì).

解：如圖所示

⑴在帶電直線上取線元dx,其上電量dq

在尸點(diǎn)產(chǎn)生電勢(shì)為

4TTS021r-x

r,qJdxq

UP=IdUP=f=In

J8?！辏ǎ?J-，r-x8?！辏ǎ?

（2）同理dUp=

4?！?2/+J

dxq

UQ=/d%In

4兀2（"

8-19如題8-19圖所示的絕緣細(xì)線上均勻分布著線密度為入的正電荷，兩直

導(dǎo)線的長(zhǎng)度和半圓環(huán)的半徑都等于R.試求環(huán)中心。點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì).

解：（D由于電荷均勻分布與對(duì)稱性，和C。段電荷在。點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)

互相抵消，取d/=RdO

則dq=；U?d。產(chǎn)生。點(diǎn)d￡如圖，由于對(duì)稱性，。點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)沿y軸負(fù)方向

dZ

、例/

、dE

題8-19圖

；入RdO

)=\n-------------

47C80T?

71

[rsin(—-)

4JI￡0/?

2兀8nA

(2)AB電荷在。點(diǎn)產(chǎn)生電勢(shì)，以｛7/二。

JXdxJRXd

Ui=f---------=f------

4?！阰%JR4?！?/p>

同理CO產(chǎn)生u2=——In2

半圓環(huán)產(chǎn)生U3

4兀￡()/?4e0

九X

U()=Ut+U2+U,=--------In2+——

8-20兩半徑分別為&和&(R2>R),帶等值導(dǎo)號(hào)電荷的無(wú)限長(zhǎng)同軸圓柱面,

電荷線密度為二，求兩圓柱面間的電勢(shì)差.|

解：在兩圓柱面間的電場(chǎng)強(qiáng)度，根據(jù)高斯定理_?_

蚌.dS=

①=fE-ds+\E-ds+\E-ds

JAs上JAs下J側(cè)

XI

=E-Inr-I=——

￡o

得：E=-——--j-r

2TEor"

兩導(dǎo)體的電勢(shì)差，由定義

汨產(chǎn)U「產(chǎn)大

倚：UTT=￡-dr=-------X-----d、r=-----------In?--R--2-

Jd2m0r2TE0R?

第九章

9-1若一帶電導(dǎo)體表面上某點(diǎn)電荷面密度為0,則該點(diǎn)外側(cè)附近場(chǎng)強(qiáng)為。/￡0,

如果將另一帶電體移近，該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)是否改變？公式￡=#￡0是否仍成立？

答：場(chǎng)強(qiáng)改變。公式E=O/￡0仍然成立。。是導(dǎo)體表面附近的電荷密度，受導(dǎo)

體電荷分布的影響，但仍然用高斯定理可得出E=O/￡0形式不變。

9-2將一個(gè)帶正電的導(dǎo)體A移近一個(gè)接地導(dǎo)體B時(shí)，導(dǎo)體8是否維持零電

勢(shì)？其上是否帶電？

答：接地導(dǎo)體B始終是零電勢(shì)。但當(dāng)帶正電的導(dǎo)體A移近時(shí)，其上會(huì)感應(yīng)出

異號(hào)電荷。

9-3用電源將平行板電容器充電后與電源斷開(kāi)，（1）若使電容器兩極板間距減

小，兩板上電荷、兩板間場(chǎng)強(qiáng)、電勢(shì)差、電容器的電容以及電容器儲(chǔ)能如何

變化？（2）若電容器充電后仍與電源連接，再回答上述問(wèn)題.

答：（1）電容器兩極板間距減小時(shí)：電荷不變，場(chǎng)強(qiáng)不變，電勢(shì)差變小，電

容變大，電容器儲(chǔ)能減少。

（2）電荷增加，場(chǎng)強(qiáng)變大，電勢(shì)差不變，電容變大，電容器儲(chǔ)能增加。

9-4電容分別為G，。2的兩個(gè)電容器，將它們并聯(lián)后用電壓U充電與將它

們串聯(lián)后用電壓2U充電的兩種情況下，哪一種電容器組合儲(chǔ)存的電量多？

哪一種儲(chǔ)存的電能大？

答：并聯(lián)：C=C1+C2W,=-cU,2=-CU2+-cu2

22X22

串聯(lián)：c="r上c

22G+g

2

G+C?(G+C2)4CJC2I

卬24GC24C,C2-4C,C2

C]+C2

W1^W2

9-5真空中均勻帶電的球體與球面，若它們的半徑和所帶的電量都相等，它

們的電場(chǎng)能量是否相等？若不等，哪一種情況電場(chǎng)能量大？

答：在兩球半徑相同、總電荷相等的條件下，帶電球體的電場(chǎng)能量大.

因?yàn)?，帶電球面和帶電球體兩者在球外的場(chǎng)強(qiáng)是相同的，而帶電球面內(nèi)

場(chǎng)強(qiáng)為零.帶電球體內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)不為零.故帶電球體的電場(chǎng)能量要比帶電球面多

出一部分.

9-6在一個(gè)平行板電容器的兩極板間，先后分別放入一塊電介質(zhì)板與一塊金

屬板，設(shè)兩板厚度均為兩極板間距離的一半，問(wèn)它們對(duì)電容的影響是否相

同？

解：平行插入々厚的金屬板，相當(dāng)于原來(lái)電容器極板間距由d減小為

22

則

,SS

C=￡()—=2E—=2C

d0d()

2

插入同樣厚度的介質(zhì)板，相當(dāng)于一個(gè)極板間距為L(zhǎng)”的空氣平行板電容

2

器與另一個(gè)極板間距為"，充滿介電常量為比疝勺的電介質(zhì)的電容器串聯(lián)，

2

則

111111+￡,

=+=+=-------

C"---C---￡rc----2C0-----2erC0---23co

9-7如題9-7圖所示，在平行板電容器的一半容積內(nèi)充入相對(duì)介電常數(shù)為3的

電介質(zhì).試分析充電后在有電介質(zhì)和無(wú)電介質(zhì)的兩部分極板上的自由電荷面

密度是否相同？如不相同它們的比值等于多少？

解：如題9-7圖所示，充滿電介質(zhì)部分場(chǎng)強(qiáng)為后2,真空部分場(chǎng)強(qiáng)為瓦，自

由電荷面密度分別為◎2與。1

SfD.dS=￡q。得

￡）]=oI,D2=a

而=￡（）￡「七

Z）1=8QEI,D22

U

Ei=E2=—

d

02。2

一一￡r

O|D]

9-8點(diǎn)電荷+q處于導(dǎo)體球殼的中心，殼的內(nèi)、外半徑分別為以和私，試

求電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)分布.

解：球殼內(nèi)表面將出現(xiàn)負(fù)的感生電荷-q,外表面為正的感生電荷+q.

由高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)

1…"內(nèi)

勺E?ds=-....

Jsp

匕0

2q

r<R]:E、?4nr~=——

￡o

Eq

E\=---------r

4TIEor

Ri<r<R2：E2=0

R?<r:E.=----rr

4虺or

按電勢(shì)定義（也可按電勢(shì)疊加原理）求也勢(shì)

r<Ri

RiR2CC

t/,=jEJFExdr+JE2dr+JEydr

aR?0a

—J■力?+1Odr+f—J?公

J/?2

4TIE()rJ&4TIEor

q11q

火二—^-(------)+---

4虺orR14TIE0/?2

8—R00R9a

Ri<r<R2：t/=fE-dr=f2Edr+fE^dr=[2Odr+f------clr

2JrJr2J-J%4加°/T

4TIE()7?2

R2Vr:t/3=fE-dr=\E3dr=f-------J/*

JrJrJr471g.廠

q

U、

4TIE()r

9-9半徑為Ri=L0cm的導(dǎo)體球帶電量為q=1.0xl0T°C,球外有一個(gè)內(nèi)、

外半徑分別為7?2=3.0cm和/?3=4.0cm的同心導(dǎo)體球殼，殼上帶有電量。=

llxl()7°C.試求：(1)兩球的電勢(shì);(2)若用導(dǎo)線把兩球連接起來(lái)時(shí)兩球的電勢(shì);

(3)若外球接地時(shí)，兩球的電勢(shì)各為多少？

解：球殼內(nèi)表面將出現(xiàn)負(fù)的感生電荷F，外表面為的感生電荷Q+q.

(1)按電勢(shì)疊加原理求電

導(dǎo)體球的電勢(shì)為

%=q一q+Q+q

471￡0/?(471￡0/?24?！?7?3

JJ1(qq工Q+q、

47C￡0/?!R2R3

10-，°1112

=------------------(---------

4X7tX8.85X10*120.010.030.04

=3.297XI02V

導(dǎo)體球殼的電勢(shì)為

〃一Q+q_1"'°

U2—_Z-iT-=2.698X102V

4TC807?34xKx8.85x10~

(2)兩球連接起來(lái)時(shí)，球殼外表面的電荷Q+q.

八一10

Q+q1012

=2.698X102V

U3=------------=_12,

4TT￡0/?34x7ix8.85x100.04

(3)外球接地時(shí)，球殼內(nèi)表面將出現(xiàn)負(fù)的感生電荷-q,外表面的電荷為0.

導(dǎo)體球的電勢(shì)為

qq10T°1

U,\=59.9V

4X7TX8.85xlO-1-0.010.03

47180/?14TT￡()/?2

球殼的電勢(shì)為o

9-10一無(wú)限長(zhǎng)圓柱形導(dǎo)體,半徑為a,單位長(zhǎng)度上帶有電量九，其外有一

共軸的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓筒，內(nèi)、外半徑分別為b和c,單位長(zhǎng)度帶有電量％2,

試求各區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)分布.

解：根據(jù)對(duì)稱性，取一高為/的圓柱形的高斯面,

.--yqi

由高斯定理pEdS=乙

sEo

r<a時(shí)：E,=0

a<r<b時(shí)：

O=fE-ds+E-ds+\E-ds

JAS上As下JAS則

X./

=E2?2nr-I=——

￡o

%

得：E2Tr

2虺or

b<r<c時(shí):%=0

c<r時(shí):①=fE-ds+E-ds+\E-ds

JAS上As下J側(cè)

九1+入/2

=&-2nr-l=———-

eo

X+九2

?r

E49

2TIE()r~

9-11如圖所示，三塊面積為200cm2的平行薄金屬板，其中A板帶電。=

3.0X10~7C,B,C板均接地，A,3板相距4mm,A,。兩板相距2mm.(l)

計(jì)算B,C板上感應(yīng)電荷及4板的電勢(shì)；(2)若在4,B兩板間充滿相對(duì)介電

常量生=5的均勻電介質(zhì)，求B,C板上的感應(yīng)電荷及A板的

電勢(shì).CAB

解：忽略邊緣效應(yīng)

(1)A板上電荷守恒，且為等勢(shì)體

p

習(xí)題9-11圖

EACdAC=EABdAB

000

ocdAC=o3dAB(1)

oCS+(5BS=-Q(2)

OcS+Gc*S=Qc(l+±)=_Q

dABdAB

47

Qc=-Q=-3.0x10-7=-2.0X10-C

dAB+d?4+2

7

QB=-I.OXIO-C

7

-QC2x10_3

UA=EACdAC=_dAC=-----------x2x10=2.26X

￡0200x10x8.85x10

103V

(2)當(dāng)A,8兩板間充滿相對(duì)介電常量1時(shí)D=s()srE

QC,_G§

----dAC------dAB

￡?！?)￡「

d

aC￡rJAC=aBAB(1)

0CS+aB5=-Q(2)

-7-7

Qc=-Q------------=-3.0x10----------=0.86X10C

"AB+￡/AC4+2x5

QB=-2.14X10-7C

0.86x10"

UA—EACdACx2x10-=9.7X

200xIO-4x8.85x10-12

dAD.74—7

Qc=一。--——=-3.0x10-----=-2.0X10C

dAB+dAC4+2

QB=-1.0X10C

NK一3

----------,-------------X2X10=2.26X

200x10-x8.85x10

103V

9-12證明：兩平行放置的無(wú)限大帶電的平行平面金屬板A和8相向的兩面

上電荷面密度大小相等，符號(hào)相反；相背的兩面上電荷面密度大小相等，符

號(hào)相同.如果兩金屬板的面積同為100cm2,帶電量分別為2=6x10*C和

08=4x10-8。略去邊緣效應(yīng)，求兩板的四個(gè)表面上的電荷面密度.

解：取圓柱形高斯面，如圖

2--GAS+a3As

6E-ds=?~

JSe

匕0

?\。2+03=0(1)

6=-5

電荷守恒：3S+SS=QA(2)

03S+c?4S=QB⑶

在A導(dǎo)體內(nèi)任取一點(diǎn)

E\—E2—E3—Ei=0

o1o2o3*=0

22o2￡Q2￡O

5—6-03-04=0(4)

由⑴和⑷可得5=04

由(2)+(3)可得6=04=(QA+QB)/2S=5xlO*C

由(2)-(3)可得6=-5=(QA-QB)/2S=-1X10-6C

注：在不知道電荷性質(zhì)時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度方向可任意設(shè)，但必須保證A,B導(dǎo)體內(nèi)

E=0

9-13半徑為R的金屬球離地面很遠(yuǎn)，并用導(dǎo)線與地相聯(lián)，在與球心相距為

d=3處有一點(diǎn)電荷+q,試求：金屬球上的感應(yīng)電荷的電量.

解：如題9T3圖所示，設(shè)金屬球感應(yīng)電荷為二,則球接地時(shí)電勢(shì)。。=0

由電勢(shì)疊加原理有:

q

U0-------------4-----------------0

4?！?)/?4兀go3R

得q

9-14在半徑為R的金屬球之外包有一層外半徑為R的均勻電介質(zhì)球殼，介

質(zhì)相對(duì)介電常數(shù)為工，金屬球帶電。.試求:

(1)電介質(zhì)內(nèi)、外的場(chǎng)強(qiáng)；

(2)電介質(zhì)層內(nèi)、外的電勢(shì);

(3)金屬球的電勢(shì).

解：利用有介質(zhì)時(shí)的高斯定理-d6=Z4

(1)介質(zhì)內(nèi)(R<r<R)場(chǎng)強(qiáng)

-Qr-Qr

。二J，E內(nèi)=--~~-

4兀r4兀￡()￡「/

介質(zhì)外(r<R)場(chǎng)強(qiáng)

-Qri

D—r，E外=-

4兀/4n￡0r

(2)介質(zhì)外(r>R)電勢(shì)

8-Q

U=jE外?diF=---------

人4兀

介質(zhì)內(nèi)(/?<〃</?')電勢(shì)

00_00_

U=J￡內(nèi).df+J后外-df

q11Q

----------(———r)dr

4KS08rrR4?！?)/?

Q12「一1

——(-+^-)

47ce08rrR

⑶金屬球的電勢(shì)

R

U=JR丘內(nèi).d亍+。瓦卜d?

「Qdr*Qdr

J47T￡Er2+

0rR~2

R4ne0r

Q1￡r-1

47t￡0￡fRR

9-15計(jì)算兩個(gè)半徑均為?的導(dǎo)體球組成的電容器的電容.已知兩導(dǎo)體球球心

相距L（L?a）,若導(dǎo)體球帶電，可認(rèn)為球面上電荷均勻分布）.

解：兩球相距很遠(yuǎn)，近似孤立，兩球電勢(shì)差為:

QQ

%U

4?！辏ǎ?。24712()。

系統(tǒng)電容C=--——=2n&oa

U「Uz

9-16一半徑為R,帶電量為。的金屬球，球外有一層均勻電介質(zhì)組成的同

心球殼，其內(nèi)、外半徑分別為a,h,相對(duì)介電常量為卻.求：（1）電介質(zhì)內(nèi)、

外空間的電位移和場(chǎng)強(qiáng)；（2）離球心。為r處的電勢(shì)分布；（3）如果在電介質(zhì)外

罩一半徑為b的導(dǎo)體薄球殼，該球殼與導(dǎo)體球構(gòu)成一電容器，這電容器的電

容多大.

解：⑴力,后分布

取同心球面為高斯面

由高斯定理‘力.而=z%

導(dǎo)體球內(nèi)：(r<R)5,=0,E,=0

介質(zhì)與導(dǎo)體球之間：(R<r<a)

f。-ds=D-4nr~=Q

R_。-￡_Q

D2-3r9E2=

4兀尸"4ns()r

介質(zhì)內(nèi)：(a<r<b)

X_Q-口_Q

￡>3-)3)，E3一-------------

TE

4nr4oerr

介質(zhì)外：(r>b)

O4----------r>----------f

TE

4nr4or

（2）電勢(shì)分布

(IQ/Q?Q

r<R：5=J,￡,五7T+一上一公+f-^-dr

4TIEr~JaJBTE

o4ns()￡,r4or

Q11、Q11、Q

u?=+------+-----

47EoRa)4加o3ab)4TE

⑸-1)(b-<3))

4虺0R￡rab

R<r<a

1Q」1、Q

工+------+

4m（）4TEO￡R、a心4加ob

Q1(3-1)(方一%

-----(-+

r

4TIE°￡rab

Q(\nQQ1￡-1

a<r<b：U3+——(-+-r-)

4虺b)4TEob4TIE0￡Rrb

Q

r>b：U4

4加or

（3）該球殼與導(dǎo)體球構(gòu)成電容器的電容:

Q1+(￡「-1)(-—〃))

△U=U1=(

4虺0R3ab

c=Q4TIE08abR

.........-r---------)

\uR(b一a)+2rb(a-R)

9-17如圖所示，極板面積S=40cm2的平行板電容器內(nèi)有兩層均勻電介質(zhì),

其相對(duì)介電常量分別為4|=4和￡匕=2,電介質(zhì)層厚度分別為4=2mm和

d2=3mm,兩極板間電勢(shì)差為200V試計(jì)算：（1）每層電介質(zhì)中各點(diǎn)的能量體

密度；（2）每層電介質(zhì)中電場(chǎng)的能量；（3）電容器的總能量.

解：（1）在電介質(zhì)中。1=。2=。

￡0￡ri

￡0￡r2

2

r-o(ad,、

Ua=1E-dl=E、d1+E2d2=——------1--

1￡eS

0Vrlr2?

習(xí)題9-17圖

￡()￡八￡“U

a=------------

d]￡「2+d22rl

2

121a21￡「2。212U~

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