2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：直線平面平行的判定及其性質(zhì)

2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

最新考綱1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面

平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)

空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題.

基礎(chǔ)診斷回歸教材，夯實基礎(chǔ)

知識梳理

1.直線與平面平行

(1)直線與平面平行的定義

直線/與平面a沒有公共點，則稱直線/與平面a平行.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

平面外一條直線與此平面內(nèi)

a_____

判定定a<ta,bua,a//

的一條直線平行,則該直線平

理b=>a//a

行于此平面

一條直線和一個平面平行，則

性質(zhì)定a〃a,au￡,a

過這條直線的任一平面與此江

理AB=b0a〃b

平面的交線與該直線平行

2.平面與平面平行

⑴平面與平面平行的定義

沒有公共點的兩個平面叫做平行平面.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

一個平面內(nèi)的兩條相交直線與aua,bua,a^b

判定

另一個平面平行，則這兩個平面=P,a//B,b//

定理_/

平行g(shù)a"3

性質(zhì)兩個平面平行，則其中一個平面a〃￡,aua=>a

定理內(nèi)的直線平行于另一個平面__///B

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如果兩個平行平面同時和第三a〃￡,any=

個平面相交，那么它們的交線平a,￡Gy=b=a

行\(zhòng)z//b

［常用結(jié)論與微點提醒］

1.平行關(guān)系中的兩個重要結(jié)論

(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若則a〃從

(2)平行于同一平面的兩個平面平行，即若a〃￡,￡〃7,則a〃八

2.線線、線面、面面平行間的轉(zhuǎn)化

性一定理

判定定理判定定理—

瞥t平I~行"儡京線面平行’缶面嚴行

判定定理

診斷自測

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.()

(2)若直線a〃平面a,PGa,則過點P且平行于直線。的直線有無數(shù)條.()

(3)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.()

(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.()

解析(1)若一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行

或在平面內(nèi)，故(1)錯誤.

(2)若?！╝,PRa,則過點尸且平行于4的直線只有一條，故(2)錯誤.

⑶如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，則這兩個平面平行或相交,

故(3)錯誤.

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

2.(必修2P61A組Tl(l)改編)下列命題中正確的是()

A.若a,8是兩條直線，且?！◤哪敲碼平行于經(jīng)過人的任何平面

B.若直線a和平面a滿足?！╝,那么。與a內(nèi)的任何直線平行

C.平行于同一條直線的兩個平面平行

D.若直線a,。和平面a滿足a//a,bQa,則。〃a

解析根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)定理知，選D.

答案D

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3.設(shè)a,6是兩個不同的平面，加是直線且〃zua.“m〃尸”是“a〃6”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解析當〃夕時，可能a〃夕，也可能a與4相交.

當a〃夕時，由〃zua可知，m//J3.

,“m〃￡”是“a〃夕’的必要不充分條件.

答案B

4.（2018?長沙模擬）已知機，"是兩條不同的直線，。，￡,/是三個不同的平面,

則下列命題中正確的是（）

A.mJ/a,n//a,則m//nB.m//n,m//a,則n//a

C.m±a,機，￡,則a〃4D.a±J3±y,則a〃4

解析A中，相與〃平行、相交或異面，A不正確；B中，n〃a或nua,B不

正確；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，C正確；D中，或a與4相交，D錯.

答案C

5.（必修2P56練習(xí)2改編）如圖，正方體ABC。-AiBiCQi中，

E為DD\的中點,則BD\與平面AEC的位置關(guān)系為.

解析連接8。，設(shè)BOCAC=。，連接EO,在△BOd中，0

為8。的中點，E為。。|的中點，所以EO為△3。。的中位線，

則BD\//EO,而3。何平面ACE,EOu平面ACE,所以〃平面ACE.

答案平行

I考點突破陪帶彩PPT名師講解分類講練，以例求法

考點一與線、面平行相關(guān)命題的判定

【例1】（1）（2018.成都診斷）已知機，〃是空間中兩條不同的直線，a,6是兩個

不同的平面，且加ua,〃u￡.有下列命題：

①若a〃夕，則機〃〃；

②若a〃夕，則加〃"

③若an/?=/,且nLl,則a,儀

④若aCl尸=/,且/”_!_〃，貝！］a_L￡.

其中真命題的個數(shù)是（）

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A.OB.lC.2D.3

(2)(2018?安慶模擬)在正方體ABCD-A\B\C\D\中，M,N,。分別是棱D,Ci,A\D\,

2

的中點，點P在BD\上且BP=^BD\,則下面說法正確的是(填序號).

①MN〃平面APC；②GQ〃平面APC；③A,P,M三點共線；④平面MNQ〃

平面APC.

解析(1)①若a〃尸，則或〃?，〃異面，不正確；

②若a〃夕，根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)，可得相〃￡,正確；

③若aC￡=/,且機_L/,〃_!_/,則a與夕不一定垂直，不正確；

④若且機_(_/,加_|_〃，/與〃不一定相交，不能推出aJLQ,不正確.

(2)如圖，對于①，連接MN,AC,貝連接AM,CN,

易得AM,CN交于點P,即MNu面APC,所以MN〃面APC是錯誤的.

對于②，由①知M,N在平面APC內(nèi)，由題易知AN〃C。，且ANu平面APC,

G8平面APC.

所以GQ〃面APC是正確的.

對于③，由①知，A,P,M三點共線是正確的.

對于④，由①知MNu面APC,又MNu面MNQ,所以面MNQ〃而APC是錯誤

的.

答案(1)B⑵②③

規(guī)律方法1.判斷與平行關(guān)系相關(guān)命題的真假，必須熟悉線、面平行關(guān)系的各個

定義、定理，無論是單項選擇還是含選擇項的填空題，都可以從中先選出最熟悉

最容易判斷的選項先確定或排除，再逐步判斷其余選項.

2.(1)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷.

(2)特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情況，通過舉反例否

定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確.

【訓(xùn)練1】(1)設(shè)〃?，〃是不同的直線，叫￡是不同的平面，且機，〃ua,則

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“a〃夕'是“相〃夕且〃〃夕'的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

（2）（2016?全國H卷）a,￡是兩個平面，加，〃是兩條直線，有下列四個命題:

①如果〃，機_1_a,〃〃￡，那么a_L￡.

②如果wt_La,n//a,那么mJ_n.

③如果a〃夕，mua,那么機〃夕.

④如果機〃小a〃￡,那么加與a所成的角和"與￡所成的角相等.

其中正確的命題有（填寫所有正確命題的編號）.

解析（1）若〃z,“ua,a〃￡，則加〃/?且〃〃夕；反之若〃ua,加〃￡且〃〃夕,

則a與4相交或平行，即"a〃夕'是"m/邛且n〃，'的充分不必要條件.

（2）當〃?，〃，mA.a,〃〃尸時，兩個平面的位置關(guān)系不確定，故①錯誤，經(jīng)判斷

知②③④均正確，故正確答案為②③④.

答案(1)A⑵②③④

考點二直線與平面平行的判定與性質(zhì)（多維探究）

命題角度1直線與平面平行的判定

【例2一1］（2016?全國HI卷）如圖，四棱錐P—ABCO中，

如，底面ABC。，AD//BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=Ar,

M為線段AO上一點，AM=2MD,N為PC的中點.

（1）證明：MN〃平面用8；

（2）求四面體N-BCM的體積.

2

⑴證明由已知得AM=1A￡>=2.

如圖，取的中點T,連接AT,TN,由N為PC中點知

TN//BC,TN=^BC=2.

又AD//BC,故77V名為AM,所以四邊形AMNT為平行四邊

形，于是MN〃AT.

因為ATu平面以8,MN6平面

所以MN〃平面PAB.

⑵解因為以，平面ABC。，N為PC的中點,

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所以N到平面ABC。的距離為

如圖，取3C的中點E,連接AE.由AB=AC=3得AE=y/AB2~B^=

小.

由AM//BC得M到BC的距離為小，故SMCM=T><4X小=2小.所以四面體N

1PA4、底

—8CM的體積V^-BCM=§XSABCMX5-=3-

命題角度2直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用

[1502-2](2018.青島質(zhì)檢)如圖，五面體A3CDE,四邊形ABDE

是矩形，△ABC是正三角形，AB=\,AE=2,尸是線段8c上一

點，直線與平面A3。所成角為30°,CE〃平面ADF.

(1)試確定產(chǎn)的位置；

(2)求三棱錐A-CDF的體積.

解(1)連接8E交AO于點O,連接。F,

?.?CE〃平面A。/7,CEu平面BEC,平面ADFA平面BEC=O/,

Z.CE//OF.

?.?。是BE的中點，二尸是3C的中點.

(2)?..BC與平面A3。所成角為30°,BC=AB=l,

...C到平面ABD的距離為】=BCsin30°=e.

'：AE=2,

??VA-CDF=VF-ACD=^VB-ACD=^yC-ABD

11111

=-X-XT-X1X2X-=—

乙J乙乙JL4

規(guī)律方法1.利用判定定理判定線面平行，關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直

線.常利用三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線.

2.在解決線面、面面平行的判定時，一般遵循從“低維”至“高維”的轉(zhuǎn)化，即

從“線線平行”到“線面平行"，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時，其

順序恰好相反.

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【訓(xùn)練2】（2017?江蘇卷）如圖，在三棱錐A-3C0中，

ABLAD,BC1BD,平面ABDJ_平面BCD,點E,F（E

與A,。不重合）分別在棱AD,BD上,KEF1AD.

求證：（1）EP〃平面ABC；

(2)AD±AC.

證明（1）在平面A3。內(nèi)，AB1AD,EF1AD,

則AB〃防.

?.?ABu平面A8C,由平面ABC,

.?衣〃平面ABC.

(2)'.'BC±BD,平面ABDA平面BCD=BD,平面A3。，平面BCD,8Cu平面

BCD,

：.BC_L平面ABD

?.FOu平面ABO,J.BCLAD.

又ABU。，BC,A8u平面ABC,BCQAB=B,

.?.AO_L平面ABC,

又因為ACu平面ABC,：.ADLAC.

考點三面面平行的判定與性質(zhì)（典例遷移）

【例3】（經(jīng)典母題）如圖所示，在三棱柱ABC—481。中，E,

F,G,H分別是AB,AC,A\B\,AiG的中點，求證：

⑴B,C,H,G四點共面；

⑵平面EFA\//平面BCHG.

證明（1）VG,H分別是AG,4G的中點，

.?.G”是△481G的中位線，則GH〃51cl.

又?；BiCi〃BC,

：.GH//BC,：.B,C,H,G四點共面.

（2）VE,尸分別為AB,AC的中點，J.EF//BC,

BCHG,BCHG,

〃平面BCHG.

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又G,E分別為ABi，AB的中點,AiBi^AB,

：.AiG^EB,

???四邊形4EBG是平行四邊形，，A歸〃GR

?.?AiEQ平面BCHG,GBu平面BCHG,

〃平面BCHG.又,：AiECEF=E,

二平面￡7溝〃平面BCHG.

【遷移探究1】在本例中,若將條件“E,F,G,H分別是AB,AC,A\B\,A1C1

的中點”變?yōu)椤?,￡＞分別為81?,5。的中點”，求證：平面4即|〃平面4。1。

證明如圖所示，連接AC交AG于點M，

???四邊形4ACG是平行四邊形，\^)T7

...M是4c的中點，連接MD,

?.?。為8C的中點，

：.A\B//DM.

lAiBu平面

QMQ平面Am,

0M〃平面43D”

又由三棱柱的性質(zhì)知，D\C\^BD,

二四邊形BDC\D\為平行四邊形，

：.DC\//BD\.

又DC。平面A1BG，8。仁平面485,

.?.OG〃平面4BD1,

又。CCOM=。，DC\,OMu平面AG。，

因此平面AiBDi〃平面AC\D.

【遷移探究2】在本例中,若將條件“E,F,G,H分別是AB,AC,AMAC

的中點”變?yōu)椤包c。，Di分別是AC,AC上的點，且平面BGO〃平面ABQ”,

試求器AH的值.

解連接交ABi于0,連接ODi.

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B

由平面8GD〃平面AB\D\,且平面A\BC\A平面BC\D=BC\,平面A\BC\Q平

面A3。尸。10,所以8G//。。，則給=整=1?

A\D\DC

又由題設(shè)DiC\=AD,

.DCAD

即

=1,DC~

規(guī)律方法1.判定面面平行的主要方法

(1)利用面面平行的判定定理.

(2)線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行).

2.面面平行條件的應(yīng)用

(1)兩平面平行，分析構(gòu)造與之相交的第三個平面，交線平行.

(2)兩平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面平行.

提醒利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說明是在一個平面內(nèi)的兩

條直線是相交直線.

【訓(xùn)練3](2018?東北三省四校聯(lián)考)如圖，在三棱柱ABC-

48ICI中，A4i_L底面ABC,AB±AC,AC=AA\,E,尸分別是

棱BC,CG的中點.

(1)若線段AC上存在點。滿足平面OE/〃平面ABC,試確定點

。的位置，并說明理由；

(2)證明:EF±AiC.

(1)解點。是AC的中點，理由如下：

?.?平面OEF〃平面ABC\,平面ABCCI平面DEF=DE,平面ABCC平面ABC\

=AB,

J.AB//DE,

?.?在△ABC中，E是的中點，

是AC的中點.

⑵證明?.?三棱柱ABC—48G中，AC=AAi，

二四邊形AiACG是菱形，...AiCaAG.

底面ABC,ABu平面ABC,：.AA\LAB,

又AB_LAC,A41cAe=A,，AB_L平面A4GC,

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?.?4。＜=平面"10。，：.AB±AiC.

^ABQACi=A,從而AG平面ABC”

又BGu平面ABG，

：.AiC±BC\.

又YE,F分別是BC,CG的中點，

：.EF//BC\,從而EF_L4c.

課時作業(yè)分層訓(xùn)練，提升能力

基礎(chǔ)鞏固題組

（建議用時：40分鐘）

一'選擇題

1.（2018?保定模擬）有下列命題：

①若直線/平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線，則直線/〃。；

②若直線a在平面a外，則。〃01；

③若直線?！╞//a,則?！╝；

④若直線?！?b//a,則。平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線.

其中真命題的個數(shù)是（）

A.lB.2C.3D.4

解析命題①/可以在平面a內(nèi)，不正確；命題②直線。與平面a可以是相交關(guān)

系，不正確；命題③a可以在平面a內(nèi)，不正確；命題④正確.

答案A

2.（2018?長郡中學(xué)質(zhì)檢）如圖所示的三棱柱ABC—481G中，過AiBi

的平面與平面ABC交于OE,則OE與AB的位置關(guān)系是（）

A.異面B.平行

C.相交D.以上均有可能

解析在三棱柱ABC—43G中，

平面ABC,AiBC平面ABC,

.,.AiBi〃平面ABC,:過48的平面與平面ABC交于。七〃AIBI,：.DE

//AB.

答案B

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3.（2018?廣東省際名校聯(lián)考）已知a,￡為平面，a,b,c為直線，下列命題正確

的是（）

A.tzca,若b"a,貝ij0〃a

B.aj,￡,an￡=c,blc,則

C.a^Lb,h.Lc,則a//c

D.aDb=A,aua,bua,a//,b//,則a〃4

解析選項A中，bua或b〃a,不正確.

B中人與夕可能斜交，B錯誤.

C中?！╟,a與c異面，或。與c相交，C錯誤.

利用面面平行的判定定理，易知D正確.

答案D

4.（2018?合肥模擬）若平面a截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面

a平行的棱有（）

A.0條B.1條

C.2條D.1條或2條

解析如圖所示，四邊形ERG”為平行四邊形，則Er〃G”.

,.?EM平面BCD,G”u平面BCD,

.?.EF〃平面BCD.

又「EFu平面AC。，平面BCOn平面ACO=C。，

J.EF//CD.

又EFu平面EFGH,CZX平面EFGH.

〃平面EFGH,

同理，AB〃平面ERG”,

所以與平面a（面EFG”）平行的棱有2條.

答案C

5.（2018?惠州模擬）設(shè)直線I,m,平面a,則下列條件能推出a//￡的是（）

A./ca,mua,且/〃尸，m//P

B./ua,"?u￡,月./〃〃？

C./±a,m_L￡，月」〃機

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D./〃a,m//B,且/〃

解析借助如圖所示的長方體模型，可以判定選項A,B,D不

一定推出?！ā?對于選項C,由/_La,/〃m,得又機_1_4,

從而a//夕.

答案C

二'填空題

6.設(shè)a,￡,7是三個不同的平面，加，〃是兩條不同的直線，在命題“aCQ=〃z,

〃uy,且________,則相〃〃”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命

題為真命題.

①a〃/，〃u￡；@m//y,〃〃尸；③〃〃尸，加u

可以填入的條件有.

解析由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當〃〃夕，muy時，〃和加在同一

平面內(nèi)，且沒有公共點，所以平行，③正確.

答案①或③

7.如圖所示，正方體ABC。一AIBICIDI中，A3=2,點￡為AO^DFT

的中點，點尸在CD上.若EV〃平面ABC,則線段EE的長度

等于一?兇4

解析在正方體ABC。-A18Goi中，AB=2,:.AC=2巾.A，B,

又￡為AO中點，EP〃平面ABiC,EFu平面AOC,平面AOCA平面A3C=AC,

S.EF//AC,

，產(chǎn)為。C中點，

:.EF=：AC=蟲.

答案也

8.（2018?鄭州調(diào)研）設(shè)〃?，〃是兩條不同的直線，a,￡,/是三個不同的平面，

給出下列四個命題：

①若mea,n//a,則m//〃；

②若a〃尸，￡〃7,加J_Q,則〃z_L＞；

③若〃2〃〃，m//o,則〃z〃4；

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④若,"〃a,〃〃￡,山〃“，則a〃夕.

其中是真命題的是(填上正確命題的序號).

解析①機〃〃或能，〃異面，故①錯誤；易知②正確；③"2〃4或"?u￡,故③

錯誤；④a〃4或a與夕相交，故④錯誤.

答案②

三'解答題

9.一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.

B

F

(1)請將字母F，G,”標記在正方體相應(yīng)的頂點處(不需說明理由);

(2)判斷平面8EG與平面AC"的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

解(1)點F,G,”的位置如圖所示.

(2)平面BEG〃平面ACH,證明如下：因為ABCD-EFGH為正方h

體，l

所以〃尸G,BC=FG,

又FG//EH,FG=EH,

所以BC=EH,

于是四邊形為平行四邊形，所以BE〃CH.

又C”u平面AC”，8次平面AC",所以BE〃平面AC".

同理8G〃平面ACH.

又BECBG=B,所以平面BEG〃平面ACH.

10.(2018?張家口檢測)如圖，四棱錐P—ABCO中，四邊形ABC。P

為正方形，平面ABCD,PD=DC=2,點、E,F分別為卜

AD,PC的中點.

⑴證明：。尸〃平面P8E；聲、

A

(2)求點F到平面P8E的距離.

⑴證明取PB的中點G,連接EG,FG,則fG〃BC,且FG=；BC.

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,CDE//BC^.DE=^BC,

〃尸G且￡>E=bG,

...四邊形DEGF為平行四邊形，

，DF//EG.

又DFQ平面PBE,EGu平面P3E,

故。尸〃平面PBE.

⑵解由（1）知〃平面PBE,

，點D到平面PBE的距離與F到平面PBE的距離是相等的，故轉(zhuǎn)化為求點D

到平面PBE的距離，設(shè)為4,連接8D

*：VD-PBE=VP-BDE,:.個&PBE*d=^S^BDE,PD,

由題意可求得P