第09講 勾股定理逆定理及簡(jiǎn)單應(yīng)用-2022年八年級(jí)數(shù)學(xué)暑假課（蘇科版）

第09講勾股定理逆定理及簡(jiǎn)單應(yīng)用

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握勾股定理的逆定理及其應(yīng)用.理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系.

2.能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長(zhǎng)判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形.

3.能夠理解勾股定理及逆定理的區(qū)別與聯(lián)系，掌握它們的應(yīng)用范圍.

【基礎(chǔ)知識(shí)】

一.勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)4,b,C滿足/+必=02,那么這個(gè)三角形就是直角三角形.

說(shuō)明：

①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形.必須滿足較小兩邊平方的

和等于最大邊的平方才能做出判斷.

（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角.然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來(lái)

解決問題.

注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和

與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是.

二.勾股數(shù)

勾股數(shù)：滿足/+屈=^的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

說(shuō)明：

①三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足/+必=02,但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù).

②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù).

③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度.如：3,4,5；6,8,10；5,12,13；…

三.勾股定理的應(yīng)用

（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形.

（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽

象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖.領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用.

（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長(zhǎng)度.

②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正多邊形，以斜邊為邊長(zhǎng)的多邊形

的面積等于以宜角邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積和.

③勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問題.

④勾股定理在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無(wú)理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三

角形的斜邊.

【考點(diǎn)剖析】

--勾股定理的逆定理（共7小題）

1.（2021秋葉|5江區(qū)期末）在△ABC中，AC2-BC2=AB2,貝IJ（）

A.ZA=90°B./B=90°C.ZC=90°D.不能確定

2.（2021秋?鎮(zhèn)江期末）下列四組數(shù)，可作為直角三角形三邊長(zhǎng)的是（）

A.4cm>5cm、6cmB.\cm>2cm、3cm

C.2cm、3cm、D.1c/%、cm、cm

3.（2021秋?沛縣期末）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,ZXABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn).判斷△ABC

的形狀，并說(shuō)明理由.

4.（2021秋?惠山區(qū)校級(jí)期末）以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)的三角形中，不能構(gòu)成直角三角形的一組是（）

A.6、8、10B.5、12、13C.8、15、17D.4、5、6

5.（2022春?姜堰區(qū)期中）如圖，方格中的點(diǎn)A、B、C、。、E稱為“格點(diǎn)”（格線的交點(diǎn)），以這5個(gè)

格點(diǎn)中的3點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，共可以畫個(gè)直角三角形.

6.（2022春?泗陽(yáng)縣期中）如圖，AABC中，AB=Scm,AC=6cm,BC=l0cm,AO是△A8C的中線，則

△48。的周長(zhǎng)比△4C￡>的周長(zhǎng)大cm.

7.（2022春?高港區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABC。中，ABLBC,AB=BC=5,CD=1,AD=\.

（1）求證：ZADC=90°；

（2）求△AB。的面積.

二.勾股數(shù)（共3小題）

8.（2021秋?裸陽(yáng)市期末）在下列各數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）

A.5,12,13B.8,12,15C.8,15,17D.9,40,41

9.（2021秋?靖江市期中）我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”.觀察：3、4、5；5、

12、13；7、24、25：9、40、41；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過.請(qǐng)你根

據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：；

10.（2022春?清江浦區(qū)校級(jí)期中）勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，早在我國(guó)西漢時(shí)期算書《周髀算經(jīng)》

就有“勾三股四弦五”的記載.如果一個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫做“整數(shù)

直角三角形”；這三個(gè)整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”.在一次“構(gòu)造勾股數(shù)”的探究性學(xué)習(xí)中，老師給出了

下表：

m2334???

n1123???

a22+l232+l232+2242+32???

h461224???

c22-F32-1232-2242-32???

其中〃?、〃為正整數(shù)，且

（1）觀察表格，當(dāng)機(jī)=2,”=1時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的〃、氏c的值能否為直角三角形三邊的長(zhǎng)？說(shuō)明你的理

由.

（2）探究a,b,c與，"、〃之間的關(guān)系并用含加、n的代數(shù)式表示：a=,b=,c—.

（3）以“，b,c為邊長(zhǎng)的三角形是否一定為直角三角形？如果是，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不是，請(qǐng)舉出反例.

三.勾股定理的應(yīng)用（共6小題）

11.（2021秋?沛縣期末）如圖，將長(zhǎng)為10”?的梯子AB斜靠在墻上，使其頂端A距離地面6〃?.若將梯子

頂端A向上滑動(dòng)2m,則梯子底端8向左滑動(dòng)m.

12.（2021秋?句容市期末）有5cm13cm兩根木條，現(xiàn)想找一根木條組成直角三角形，則下列木條長(zhǎng)度

適合的是（）

A.8cmB.\2cinC.1ScmD.20cm

13.（2022春?啟東市期中）如圖是一塊四邊形綠地的示意圖，其中AB=24,BC=\5,C￡>=20,DA=7,

ZC=90°.求此綠地A8C￡>的面積.

14.（2021秋?蘇州期末）滑梯的示意圖如圖所示，左邊是樓梯，右邊是滑道，立柱BC,DE垂直于地面

AF,滑道4c的長(zhǎng)度與點(diǎn)A到點(diǎn)E的距離相等，滑梯高BC=1.5〃?，且8E=0.5〃?，求滑道AC的長(zhǎng)度.

15.（2022春?東湖區(qū)期中）如圖，貨船和快艇分別從碼頭A同時(shí)出發(fā).其中，貨船沿著北偏西54°方向

以15海里/小時(shí)的速度勻速航行，快艇沿著北偏東36°方向以36海里/小時(shí)的速度航行.1小時(shí)后，兩船

分別到達(dá)B、C點(diǎn),求B、C兩點(diǎn)之間的距離.

16.（2021秋?新吳區(qū)期末）如圖，長(zhǎng)為16a”的橡皮筋放置在數(shù)軸上，固定兩端A和B,然后把中點(diǎn)C向

上拉升6C7M至。點(diǎn)，則橡皮筋被拉長(zhǎng)了（）

A.4cwB.5cmC.6cmD.1cm

【過關(guān)檢測(cè)】

選擇題（共6小題）

1.（2021秋?梁溪區(qū)校級(jí)期末）下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫呴L(zhǎng)的線段能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.1,3,4B.,,2C.,,D.5,12,13

2.（2022春?啟東市校級(jí)月考）下列各組數(shù)不是勾股數(shù)的是（）

A.3,4,5B.5,12,13C.7,24,25D.0.6,0.8,1

3.（2021秋?錫山區(qū)期末）如圖，已知釣魚竿AC的長(zhǎng)為10機(jī)，露在水面上的魚線8C長(zhǎng)為6m，某釣魚者

想看看魚鉤上的情況，把魚竿AC轉(zhuǎn)動(dòng)到AC的位置，此時(shí)露在水面上的魚線8c為8m，則89的長(zhǎng)為

（）

A.\mB.2mC.3mD.

4.（2021秋?漂陽(yáng)市期中）一座建筑物發(fā)生了火災(zāi)，消防車到達(dá)現(xiàn)場(chǎng)后，發(fā)現(xiàn)最多只能靠近建筑物底端7

米，消防車的云梯最大升長(zhǎng)為25米，則云梯可以達(dá)該建筑物的最大高度是（）

A.16米B.20米C.24米D.25米

5.（2021秋?贛榆區(qū)期中）在《九章算術(shù)》中有一個(gè)問題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，

問折者高幾何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，

試問折斷處離地面（）尺.

A.4B.3.6C.4.5D.4.55

6.（2021秋?六合區(qū)期中）如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為14尺的正方形，在水池正中央有一根蘆

葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面.則水的深

度是（）

A.15尺B.24尺C.25尺D.28尺

二.填空題（共9小題）

7.（2021秋?儀征市期末）如圖，△ABC中，ZC=90°,4。平分/8AC,AB=6,CD=2,則△ABO的

面積是.

8.（2021秋?無(wú)錫期末）若三角形的邊長(zhǎng)分別為6、8、10,則它的最長(zhǎng)邊上的中線為.

9.（2021秋?惠山區(qū)校級(jí)期末）如圖，《九章算術(shù)》中記載：今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，

去本八尺而索盡.問索長(zhǎng)幾何.譯文：今有一豎直著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱的上

端順木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（繩索比木柱長(zhǎng)3尺），牽著繩索退行，在距木柱底部8尺（BC

=8）處時(shí)而繩索用盡.則木柱長(zhǎng)為尺.

10.（2021秋?海門市期末）一根竹子高一丈，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處，則折斷處離地面的

高度是尺.（這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題其中的丈、尺是長(zhǎng)度單位，1

丈=10尺.）

11.（2021秋?泗縣期末）在一棵樹的5米高B處有兩個(gè)猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹跑到A

處（離樹10米）的池塘邊.另一只爬到樹頂。后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)

過的距離相等，則這棵樹高米.

12.（2021秋?漂陽(yáng)市期末）已知△A8C中，AB=5,BC=8,8c邊上的中線A￡>=3,則AC=.

13.（2021秋?靖江市期末）一個(gè)三角形兩條邊長(zhǎng)為3和4,當(dāng)?shù)谌龡l邊長(zhǎng)為時(shí)，此三角形為直角

三角形.

14.（2021秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則°（點(diǎn)A,B,

尸是網(wǎng)格線交點(diǎn)）.

15.（2021秋?姜堰區(qū)期末）如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門的正上方A處裝著一個(gè)感應(yīng)器，離地面的高度AB為2.5

米，一名學(xué)生站在C處時(shí)，感應(yīng)門自動(dòng)打開了，此時(shí)這名學(xué)生離感應(yīng)門的距離BC為1.2米，頭頂離感

應(yīng)器的距離AQ為1.5米，則這名學(xué)生身高CD為米.

三.解答題（共9小題）

16.（2021秋?大豐區(qū)期末）如圖，一個(gè)直徑為的杯子，在它的正中間豎直放一根小木棍，木棍露出

杯子外2的，當(dāng)木棍倒向杯壁時(shí)（木棍底端不動(dòng)），木棍頂端正好觸到杯口，求木棍長(zhǎng)度.

17.（2021秋?朝陽(yáng)區(qū)期末）如圖，有一張四邊形紙片A8C￡>,AB1BC.經(jīng)測(cè)得A8=9c，w,BC^Ucm,CD

=8cvn,AD=\7cnt.

（1）求A、C兩點(diǎn)之間的距離.

（2）求這張紙片的面積.

18.（2021秋?淮安區(qū)期末）如圖，某人從點(diǎn)A劃船橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)C離欲

到達(dá)點(diǎn)8有45m,已知他在水中實(shí)際劃了75處求該河流的寬度

19.（2021秋?姜堰區(qū)期末）如圖，已知等腰△ABC的底邊BC=10cm,。是腰AC上一點(diǎn)，且CD=6cm,

BD=8cm.

（1）判斷△BCD的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）求△ABC的周長(zhǎng).

20.（2021秋?蘇州期末）如圖，A￡>是△48C的中線，OEJ_AC于點(diǎn)E,DF是△48。的中線，且CE=2,

DE=4,AE=8.

（1）求證：NAOC=90°；

（2）求DF■的長(zhǎng).

21.（2022春?長(zhǎng)沙期中