2021屆全國(guó)Ⅰ卷高三高考臨考仿真沖刺卷數(shù)學(xué)（文）試題（五）

/19/19/2021屆全國(guó)Ⅰ卷高三高考臨考仿真沖刺卷數(shù)學(xué)（文）試題（五）一、單選題1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)求得集合，然后由集合的運(yùn)算法則計(jì)算．【詳解】由題可得，，所以，則．故選：C．2．若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】求出，即得解.【詳解】由題得，所以，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限.故選：A3．已知命題，或，則為A．，且 B．，或C．，或 D．，且【答案】D【分析】根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得到結(jié)論.【詳解】命題，或，為全稱命題，則為：，且，故選：．4．某個(gè)國(guó)家某種病毒傳播的中期，感染人數(shù)和時(shí)間（單位：天）在天里的散點(diǎn)圖如圖所示，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為感染人數(shù)和時(shí)間的回歸方程類型的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖據(jù)曲線形狀判斷．【詳解】，，A中是常數(shù)，B中是增函數(shù)，C中是減函數(shù)，D中是減函數(shù)，散點(diǎn)圖所有點(diǎn)所在曲線的切線的斜率隨的增大，而增大，而四個(gè)選項(xiàng)中，A斜率不變，CD的斜率隨的增大而減小，只有B滿足．故選：B．5．等差數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，若，則（）A．1010 B．2020 C．1011 D．2021【答案】B【分析】.根據(jù)已知條件求得，由此求得.【詳解】依題意，即，即，所以.故選：B6．已知直線l與曲線相切，則下列直線不可能與l平行的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用曲線在某點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值為曲線在該點(diǎn)的切線方程的斜率.對(duì)曲線求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的取值范圍即可得出切線斜率的取值范圍.即可選出答案.【詳解】，即直線l的斜率，故直線不可能與l平行，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查曲線的切線方程.屬于基礎(chǔ)題.熟練掌握函數(shù)的求導(dǎo)公式是解本題的基礎(chǔ).7．在中，，，，為的中點(diǎn)，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】用表示出，然后可得答案.【詳解】由題易知，，則故選：B8．已知，直線上存在點(diǎn)，滿足，則的傾斜角的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)上，得到點(diǎn)p在線段AB上，其方程為上，又點(diǎn)在直線l上，聯(lián)立其方程，求得，然后由求解.【詳解】將代入得，將代入得，所以A，B不在直線l上，又上，所以點(diǎn)p在線段AB上，直線AB的方程為：，由，解得，直線方程，即為，設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)?，所以，則，所以，即，因?yàn)?，所以，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是得到點(diǎn)P在線段AB上，再根據(jù)點(diǎn)P的直線l上，聯(lián)立求得，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系而得解.9．已知同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①時(shí)最小值為；②是奇函數(shù)；③.若在上沒(méi)有最大值，則實(shí)數(shù)t的范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件①得出函數(shù)的半周期，進(jìn)而求得ω的值，結(jié)合條件②③討論并確定ω和φ的值，得函數(shù)解析式，最后結(jié)合函數(shù)圖像可求得t的取值范圍.【詳解】因函數(shù)最大值為1，最小值為-1，而，則，為函數(shù)圖象的兩條對(duì)稱軸，最小值為，而相鄰兩條對(duì)稱軸間距離為半周期，即周期，，當(dāng)時(shí)，，是奇函數(shù)，則，，，而，，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)成立，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，是奇函數(shù)，則，，，，而，即，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)成立，，綜上得，時(shí)，，因在沒(méi)有最大值，則有函數(shù)在上沒(méi)有最大值，如圖是的部分圖象，，時(shí)，取最大值1，從而有，.故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：正余弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)中，最小正周期為，最大值為|A|，最小值為-|A|.10．若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】原問(wèn)題等價(jià)于在上有兩解，即直線與函數(shù)，的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)即可求解.【詳解】解：由題意，在上有兩解，即在上有兩解，令，故，令，故在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)或方程有幾個(gè)根求參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題，常常分離參數(shù)，將原問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)來(lái)解決.11．已知圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球O的球面上，圓錐的母線長(zhǎng)為3，側(cè)面展開(kāi)圖的面積為，則球O的表面積等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圓錐側(cè)面面積求得圓錐的底面半徑，作出圓錐的軸截面，其外接圓是球的大圓，由圖形求得球半徑，從而可得球表面積．【詳解】設(shè)底面半徑為，圓錐母線為，所以，所以，如圖，是圓錐軸截面，外接圓是球的大圓，是圓錐底面的圓心，設(shè)球半徑為，則，，所以，如圖1，，即，解得，不符合題意，當(dāng)為如圖2時(shí)，即，解得，所以球表面積為．故選：A．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求球的表面積，解題關(guān)鍵是求得球的半徑．在球圓錐或圓柱、圓臺(tái)問(wèn)題中可以作出圓柱（圓錐，圓臺(tái)）的軸截面，軸截面的外接圓為球的大圓，由此建立了球半徑與圓柱（圓錐圓臺(tái)）的量之間的關(guān)系．12．科赫曲線是一種外形像雪花的幾何曲線，一段科赫曲線可以通過(guò)下列操作步驟構(gòu)造得到．任畫一條線段，然后把它均分成三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并把“中間一段”去掉，這樣，原來(lái)的條線段就變成了4條小線段構(gòu)成的折線，稱為“一次構(gòu)造”；用同樣的方法把每一條小線段重復(fù)上述步驟，得到了16條更小的線段構(gòu)成的折線，稱為“二次構(gòu)造”，…，如此進(jìn)行“次構(gòu)造”，就可以得到一條科曲線．若要科赫曲線的長(zhǎng)度達(dá)到原來(lái)的100倍，至少需要通過(guò)構(gòu)造的次數(shù)是（）．（?。〢．15 B．16 C．17 D．18【答案】C【分析】由折線長(zhǎng)度變化規(guī)律得到n次構(gòu)造后，曲線的長(zhǎng)度為，建立不等式，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)原線段長(zhǎng)為a，經(jīng)過(guò)n次構(gòu)造后，曲線的長(zhǎng)度為，則經(jīng)過(guò)1次構(gòu)造后，曲線的長(zhǎng)度為，經(jīng)過(guò)2次構(gòu)造后，曲線的長(zhǎng)度為，經(jīng)過(guò)3次構(gòu)造后，曲線的長(zhǎng)度為，依次類推，經(jīng)過(guò)n次構(gòu)造后，曲線的長(zhǎng)度為，若要科赫曲線的長(zhǎng)度達(dá)到原來(lái)的100倍，則，所以，所以至少需要通過(guò)構(gòu)造的次數(shù)是17.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列新定義運(yùn)算問(wèn)題涉及到對(duì)數(shù)運(yùn)算，還考查了推理論證的能力，屬于中檔題.二、填空題13．某校共有高一、高二、高三學(xué)生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，為了解該校學(xué)生的身體健康情況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中有高一學(xué)生96人，則該樣本中的高三學(xué)生人數(shù)為_(kāi)_______．【答案】78【分析】由題意求出高三學(xué)生人數(shù)，再根據(jù)高一學(xué)生的抽樣比計(jì)算高三抽樣人數(shù)即可.【詳解】設(shè)學(xué)校有高三學(xué)生x人，則高二學(xué)生x＋30人，∴x＋(x＋30)＋480＝1290，解得x＝390人，該樣本中的高三人數(shù)為×390＝78人．【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，屬于中檔題．14．在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，已知，，．則的面積為_(kāi)__________．【答案】【分析】由正弦定理的邊角關(guān)系，結(jié)合兩角和正弦公式得，根據(jù)三角形內(nèi)角的性質(zhì)求角，再由余弦定理求，利用三角形面積公式求的面積.【詳解】由正弦定理，有：，即，∵，，∴，即，又，，即，∴，解得，，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由已知三角恒等關(guān)系，應(yīng)用正余弦定理解三角形，由三角形的面積公式求面積即可.15．已知函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)___________.【答案】【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上為增函數(shù)，且有，進(jìn)而可將所求不等式變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求得的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，該函?shù)為偶函數(shù)，由于函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，而在時(shí)單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，又函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，由得，即，所以，得，解得.因此，不等式的解集為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解函數(shù)不等式，推導(dǎo)出函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性是解答的關(guān)鍵，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.16．設(shè)?是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若上存在點(diǎn)，使得，且，則此雙曲線的離心率為_(kāi)__________.【答案】【分析】根據(jù)題意作出圖示，在中根據(jù)余弦定理以及根據(jù)求解出的長(zhǎng)度，由此可求解出的關(guān)系，從而離心率可求.【詳解】如下圖所示：不妨設(shè)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，因?yàn)樵谥校捎嘞叶ɡ砜芍?，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，故答案為?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解雙曲線離心率的值或范圍的常用方法：（1）根據(jù)雙曲線的方程直接求解出的值，從而求解出離心率；（2）構(gòu)造關(guān)于的齊次方程，求解出的值，從而離心率可知；（3）根據(jù)離心率的定義以及雙曲線的定義求解離心率；（4）利用雙曲線及圖形的幾何性質(zhì)構(gòu)建關(guān)于的不等式，從而的范圍可求.三、解答題17．已知數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由可求出；（2）利用裂項(xiàng)相消法求解即可.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)也滿足，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：；（2）由（1）可知.數(shù)列的前項(xiàng)和.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和；（3）對(duì)于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項(xiàng)相消法求和.18．為進(jìn)一步提倡餐飲節(jié)約、制止餐飲浪費(fèi)行為，商務(wù)部支持行業(yè)協(xié)會(huì)發(fā)揮自律作用，推動(dòng)建立制止餐飲浪費(fèi)的長(zhǎng)效機(jī)制，厲行勤儉節(jié)約、反對(duì)鋪張浪費(fèi)、倡導(dǎo)光盤行動(dòng)．某酒店推出半份菜、“”點(diǎn)菜法、光盤就贈(zèng)禮、免費(fèi)打包等措施，大大減少了餐飲浪費(fèi)，該酒店記錄了采取措施前天的日浪費(fèi)食品量和采取措施后天的日浪費(fèi)食品量的頻數(shù)分布表，如下表所示：采取措施前40天的日浪費(fèi)食品量的頻數(shù)分布表日浪費(fèi)食品量（單位：）天數(shù)采取措施后40天的日浪費(fèi)食品量的頻數(shù)分布表日浪費(fèi)食品量（單位：）天數(shù)（1）將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，浪費(fèi)小于的天數(shù)浪費(fèi)不小于的天數(shù)總計(jì)采取措施前40天采取措施后40天總計(jì)并回答：在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，能否判斷食品浪費(fèi)情況與是否采取措施有關(guān)？（2）估計(jì)該酒店倡導(dǎo)節(jié)約、采取措施后，日浪費(fèi)食品量小于的概率；（3）估計(jì)該酒店倡導(dǎo)節(jié)約、采取措施后，一年能節(jié)省多少食品？（一年按天計(jì)算，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．【答案】（1）填表見(jiàn)解析；在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，能判斷食品浪費(fèi)情況與是否采取措施有關(guān)；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)題中信息完善列聯(lián)表，并計(jì)算出的值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；（2）利用頻率估計(jì)概率即可；（3）計(jì)算采取措施前40天和后40天的日浪費(fèi)食品量的平均數(shù)的差，再乘以365即可.【詳解】解：（1）補(bǔ)充完整的列聯(lián)表如下：浪費(fèi)小于的天數(shù)浪費(fèi)不小于的天數(shù)總計(jì)采取措施前40天采取措施后40天總計(jì)因?yàn)榈挠^測(cè)值，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，能判斷食品浪費(fèi)情況與是否采取措施有關(guān)．（2）由題可知，采取措施后40天的日浪費(fèi)食品量小于的頻率為，所以估計(jì)該酒店倡導(dǎo)節(jié)約、采取措施后，日浪費(fèi)食品量小于的概率為．（3）該酒店采取措施前40天的日浪費(fèi)食品量的平均數(shù)為，該酒店采取措施后40天的日浪費(fèi)食品量的平均數(shù)為，因?yàn)椋怨烙?jì)該酒店倡導(dǎo)節(jié)約、采取措施后，一年能節(jié)省食品．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟為：（1）列出列聯(lián)表；（2）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式求出；（3）查表下結(jié)論.19．如圖，已知四棱錐中，分別是的中點(diǎn)，底面，且（1）證明：平面；（2）若，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）中位線性質(zhì)、線面平行的判定有平面，由平行四邊形的判定及性質(zhì)有，結(jié)合線面平行的判定有平面，根據(jù)面面平行的判定和性質(zhì)可證平面.（2）由幾何體的組合關(guān)系有，結(jié)合三棱錐體積的求法求三棱錐的體積.【詳解】（1）證明：在四棱錐中，是中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴是△的中位線，即，又平面，平面，∴平面，∵且，∴四邊形是平行四邊形，有，∵平面，平面，∴平面，而，∴平面平面，又平面，∴平面.（2）連結(jié)，由，∴△的面積，又，∴三棱錐的體積為故三棱錐的體積為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）應(yīng)用線面平行、平行四邊形的判定及性質(zhì)證線面平行，再由面面平行的判定和性質(zhì)證線面平行；（2）將三棱錐分割為兩個(gè)棱錐，再由棱錐的組合關(guān)系結(jié)合棱錐的體積公式求體積.20．已知拋物線，焦點(diǎn)為.（1）若圓心在拋物線上的動(dòng)圓，大小隨位置而變化，但總是與直線相切，求所有的圓都經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，若，求直線的斜率.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義可得出結(jié)果；（2）設(shè)、，設(shè)直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由可得出，代入韋達(dá)定理可求出的值，即可得出直線的斜率.【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)為，由拋物線的定義可知所有的圓都經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為焦點(diǎn)，坐標(biāo)為；（2）設(shè)、.由，可得，，若直線與軸重合，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，則，可得，，可得，解得，因此，直線的斜率為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21．已知函數(shù).（1）若在上有極值，求的取值范圍；（2）求證：當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)只有一條直線與的圖象相切.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由可求得兩根，由在上有極值可構(gòu)造不等式求得結(jié)果；（2）設(shè)切點(diǎn)為，由切線斜率和兩點(diǎn)連線斜率公式可化簡(jiǎn)得到，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有且僅有一個(gè)實(shí)根；令，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性和極值，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可確定在上有唯一的實(shí)數(shù)根，由此證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意得：，由得：，，在上有極值，，解得：，的取值范圍為.（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與的圖象切于點(diǎn)，則切線斜率，整理可得：，若過(guò)點(diǎn)只有一條直線與的圖象相切，則關(guān)于的方程有且僅有個(gè)實(shí)根，設(shè)，則，由得：，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，，，即，當(dāng)時(shí)，，，又在上單調(diào)遞增，在上有唯一的實(shí)數(shù)根，即當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)只有一條直線與的圖象相切.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，本題證明切線有且僅有一條的關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)的問(wèn)題，即函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).22．以坐