2022屆九師聯(lián)盟高三（二）信息卷數(shù)學(xué)（文）試題

/18/18/2022屆九師聯(lián)盟高三押題（二）信息卷數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．若集合，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】先確定集合中的元素，然后由交集定義求解．【詳解】，.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求集合的交集運(yùn)算，掌握交集定義是解題關(guān)鍵．2．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用復(fù)數(shù)的除法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，即可得出復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù).【詳解】，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查共軛復(fù)數(shù)的計(jì)算，涉及復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3．函數(shù)（或）的圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】確定函數(shù)的奇偶性，排除兩個選項(xiàng)，再求時的函數(shù)值，再排除一個，得正確選項(xiàng)．【詳解】分析知，函數(shù)（或）為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于軸對稱，排除B，C，當(dāng)時，，排除D，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，解題時可通過研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等，研究特殊的函數(shù)的值、函數(shù)值的正負(fù)，以及函數(shù)值的變化趨勢，排除錯誤選項(xiàng)，得正確結(jié)論．4．已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】求得的值，然后利用雙曲線的離心率公式可求得雙曲線的離心率.【詳解】由題意可知，，所以雙曲線的離心率.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的計(jì)算，在涉及到雙曲線的漸近線時，利用公式計(jì)算較為方便，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5．已知張明在拼寫單詞“”時，對后三個字母的記憶有些模糊，他只記得由“”、“”、“”三個字母組成，且字母“”只能在最后兩個位置中的某一個位置上，則“張明拼寫該單詞錯誤”的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】列舉出所有的基本事件，并確定事件“張明拼寫該單詞錯誤”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可得出所求事件的概率.【詳解】據(jù)題意知，單詞“”后三個字母張明排序有、、、，共種情況，其中拼寫錯誤的有一三種、、，所以所求的概率.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的計(jì)算，一般利用列舉法列舉出基本事件，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6．已知變量的幾組取值如下表：12347若與線性相關(guān)，且，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．【答案】B【解析】求出，把坐標(biāo)代入方程可求得．【詳解】據(jù)題意，得，所以，所以．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸直線方程，由性質(zhì)線性回歸直線一定過中心點(diǎn)可計(jì)算參數(shù)值．7．若實(shí)數(shù)滿足不等式組，則的最大值為（）A． B． C．3 D．2【答案】C【解析】作出可行域，直線目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，平移該直線可得最優(yōu)解．【詳解】作出可行域，如圖由射線，線段，射線圍成的陰影部分（含邊界），作直線，平移直線，當(dāng)過點(diǎn)時，取得最大值3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，解題關(guān)鍵是作出可行域，本題要注意可行域不是一個封閉圖形．8．已知命題、，，則；命題，使得，則下列為真命題的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】判斷出簡單命題、的真假，利用復(fù)合命題的真假可得出結(jié)論.【詳解】令，，則，此時不成立，故是假命題；，，此時.又因?yàn)?，所以是真命題.因此，、、均為假命題，為真命題.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題真假的判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.9．若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值是（）A． B． C． D．4【答案】D【解析】模擬程序運(yùn)行，觀察變量值的變化，得出的變化以4為周期出現(xiàn)，由此可得結(jié)論．【詳解】；如此循環(huán)下去，當(dāng)時，，此時不滿足，循環(huán)結(jié)束，輸出的值是4.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結(jié)構(gòu)．解題時模擬程序運(yùn)行，觀察變量值的變化，確定程序功能，可得結(jié)論．10．已知在中，角的對邊分別為，若函數(shù)存在極值，則角的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，由有不等的兩實(shí)根，即可得不等關(guān)系，然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】，.若存在極值，則，又.又．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值，考查余弦定理．掌握極值存在的條件是解題關(guān)鍵．11．如圖，內(nèi)接于圓，是圓的直徑，，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)已知證明平面，只要設(shè)，則，從而可得體積，利用基本不等式可得最大值．【詳解】因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊?又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，所以平?在直角三角形中，，設(shè)，則，所以，所以.又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查求棱錐體積的最大值．解題方法是：首先證明線面垂直同，得棱錐的高，然后設(shè)出底面三角形一邊長為，用建立體積與邊長的函數(shù)關(guān)系，由基本不等式得最值，或由函數(shù)的性質(zhì)得最值．12．已知函數(shù)，若對任意成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】將所求不等式變形為，利用導(dǎo)數(shù)證明出，由此可得出函數(shù)在上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立，利用參變量分離法可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，所以“對任意成立”等價(jià)于“對任意成立”.又當(dāng)時，令，則對任意的恒成立，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，當(dāng)時，，所以只需要函數(shù)在上單調(diào)遞增，即當(dāng)時，恒成立，即，解得恒成立，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)不等式求解參數(shù)的取值范圍，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中等題.二、填空題13．已知向量，，，則實(shí)數(shù)的值為_________.【答案】【解析】求出向量的坐標(biāo)，利用共線向量的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】向量，，則，，，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用共線向量的坐標(biāo)表示求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14．在正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，則直線與直線所成角的正切值為_________.【答案】【解析】由中位線定理和正方體性質(zhì)得，從而作出異面直線所成的角，在三角形中計(jì)算可得．【詳解】如圖，連接，，，∵分別為棱的中點(diǎn)，∴，又正方體中，即是平行四邊形，∴，∴，（或其補(bǔ)角）就是直線與直線所成角，是等邊三角形，∴＝60°，其正切值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，解題關(guān)鍵是根據(jù)定義作出異面直線所成的角．15．若，則__________.【答案】【解析】由已知條件求得的值，進(jìn)而利用二倍角的正切公式求出，再利用二倍角公式結(jié)合弦化切的思想可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】，，則..故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角求值，涉及二倍角公式以及弦化切思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于兩點(diǎn)，，若線段的垂直平分線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的值為_________.【答案】1【解析】設(shè)，寫出直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理求得，由拋物線定義得焦點(diǎn)弦長，求得，再寫出的垂直平分線方程，得，從而可得結(jié)論．【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的方程為，據(jù)得.設(shè)，則.線段垂直平分線方程為，令，則，所以，所以.故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的焦點(diǎn)弦問題，根據(jù)拋物線的定義表示出焦點(diǎn)弦長是解題關(guān)鍵．三、解答題17．已知在等比數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列前項(xiàng)的和.【答案】（1）（2）【解析】（1）由基本量法，求出公比后可得通項(xiàng)公式；（2）求出，用裂項(xiàng)相消法求和．【詳解】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為又因?yàn)?，所以解得（舍）或所以，即?）據(jù)（1）求解知，，所以所以【點(diǎn)睛】本題考查求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法求和．解題方法是基本量法．基本量法是解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本方法，務(wù)必掌握．18．已知王明比較喜愛打籃球，近來，他為了提高自己的投籃水平，制定了一個夏季訓(xùn)練計(jì)劃.班主任為了了解其訓(xùn)練效果，開始訓(xùn)練前，統(tǒng)計(jì)了王明場比賽的得分，計(jì)算出得分?jǐn)?shù)據(jù)的中位數(shù)為分，平均得分為分，得分?jǐn)?shù)據(jù)的方差為，訓(xùn)練結(jié)束后統(tǒng)計(jì)了場比賽得分成績莖葉圖如下圖：（1）求王明訓(xùn)練結(jié)束后統(tǒng)計(jì)的場比賽得分的中位數(shù)，平均得分以及方差；（2）若只從訓(xùn)練前后統(tǒng)計(jì)的各場比賽得分?jǐn)?shù)據(jù)分析，訓(xùn)練計(jì)劃對王明投籃水平的提高是否有幫助？【答案】（1）中位數(shù)為分，平均得分為分，方差為；（2）訓(xùn)練計(jì)劃對王明投籃水平的提高有幫助.【解析】（1）由莖葉圖能計(jì)算該籃球運(yùn)動員執(zhí)行訓(xùn)練后統(tǒng)計(jì)的場比賽得分的中位數(shù)、平均得分與方差；（2）根據(jù)訓(xùn)練前后的平均數(shù)、方差的對比可得出結(jié)論.【詳解】（1）訓(xùn)練后得分?jǐn)?shù)據(jù)得中位數(shù)為分，平均得分為分，方差為；（2）據(jù)題設(shè)分析知，盡管訓(xùn)練后，中位數(shù)與訓(xùn)練前一樣，但平均得分提高了，訓(xùn)練方差小于訓(xùn)練前方差，這說明訓(xùn)練后得分穩(wěn)定性提高了，這是投籃水平提高的表現(xiàn)，故此訓(xùn)練計(jì)劃對王明投籃水平的提高有幫助.【點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)、平均數(shù)、方差的求法及應(yīng)用，考查莖葉圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，是基礎(chǔ)題．19．如圖，在四棱錐中，底面四邊形是菱形，.（1）證明：；（2）若，，求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由菱形的性質(zhì)得出，結(jié)合，利用線面垂直的判定定理得出平面，進(jìn)而可得出；（2）由（1）知平面，計(jì)算出的面積和點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)而可得出，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）四邊形是菱形，，又，，平面，平面，；（2）由（1）可知，得平面，在中，，，由余弦定理得，則，，又平面，點(diǎn)到平面的距離.【點(diǎn)睛】本題考查利用線面垂直證明線線垂直，同時也考查了四棱錐體積的計(jì)算，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.20．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為，點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線交橢圓于、兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，求出這兩個量的值，進(jìn)而可得出的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分兩種情況討論：①軸，求得；②直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，由直線與圓相切得出，再將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長公式可求得的最大值，進(jìn)而可求得面積的最大值.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，解得，，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)、.①當(dāng)軸時，；②當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，則，.將代入橢圓方程整理，得，，.，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.，因此，面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了橢圓中三角形面積最值的計(jì)算，涉及韋達(dá)定理設(shè)而不求法以及基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.21．已知函數(shù).（1）若關(guān)于的方程有且只有一個實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)的圖象總在函數(shù)圖象的下方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由得出，可得出，令，將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象只有一個交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和極值，利用數(shù)形結(jié)合思想可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）由題意可知不等式對任意的恒成立，令，對實(shí)數(shù)進(jìn)行分類討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）令，得，設(shè)，則直線與函數(shù)的圖象只有一個交點(diǎn)，函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，得，列表如下：極大值所以，函數(shù)在處取得極大值，即，如下圖所示：由上圖可知，當(dāng)或時，即當(dāng)或時，直線與函數(shù)的圖象只有一個交點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）令，根據(jù)題意知，當(dāng)時，恒成立.又.①若，對任意的恒成立，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，，得，此時；②若，當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時，，不合乎題意；③若，對任意的，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時，，不合乎題意.綜上，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)，同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問題，考查分類討論思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.22．已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線與直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線與直線交于兩點(diǎn)，求的值.【答案】（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為；直線的直角坐標(biāo)方程為（2）【解析】（1）由公式可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，消參法可化參數(shù)方程為普通方程；（2）聯(lián)立兩曲線方程，解方程組得兩交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得兩點(diǎn)間距離．【詳解】解：（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為直線的直角坐標(biāo)方程為（2）據(jù)