2022屆重慶市南開中學高考沖刺四數(shù)學（文）試題

/19/19/2022屆重慶市南開中學高考沖刺四（文）數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，，則集合A． B． C． D．【答案】C【解析】已知集合，，令，解得，因為，所以.所以.故選C.2．已知，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵R∴∵R∴故選A.3．已知,則A． B． C． D．【答案】D【解析】∵∴∴故選D.4．已知非零向量，的夾角是60°，，()，則A． B． C． D．【答案】A【解析】∵()∴，即.∵非零向量，的夾角是60°，∴∴故選A.5．在“淘淘”微信群的某次搶紅包活動中，所發(fā)紅包被隨機的分配為元，元，元，元，元共五份，每人只能搶一次，若紅包搶完時，則其中小淘、小樂兩人搶到紅包金額之和不少于元的概率是A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得所發(fā)紅包的總金額為元，被隨機分配為元，元，元，元，元共五份，供小淘、小樂等五人搶，每人只能搶一次，基本事件總數(shù)，其中小淘、小樂二人搶到的金額之和不少于元的概率的情況有：，，，共有種.∴小淘、小樂二人搶到的金額之和不少于元的概率是故選B.6．在梯形中，，，.將梯形繞所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】畫出幾何體的直觀圖，利用已知條件，求解幾何體的體積即可.【詳解】由題意可知幾何體的直觀圖如圖：旋轉體是底面半徑為，高為的圓錐，挖去一個相同底面高為的倒圓錐，幾何體的體積為：.故選：.【點睛】本題主要考查的是空間幾何體，考查圓柱圓錐的體積公式，數(shù)形結合思想的應用，是基礎題.7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當輸入時，則輸出的的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】分析：模擬執(zhí)行程序框圖，只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可得到輸出的的值.詳解：模擬程序的運行，可得，執(zhí)行循環(huán)體，，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，；不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，；滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為，故選B.點睛：本題主要考查程序框圖的循環(huán)結構流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結構還是循環(huán)結構；(3)注意區(qū)分當型循環(huán)結構和直到型循環(huán)結構；(4)處理循環(huán)結構的問題時一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可.8．在中，，邊上的高為，為垂足，且，則A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意設，，則.∵∴∵邊上的高為∴，即.∴∴根據(jù)余弦定理得故選A.9．已知奇函數(shù)在上的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由是奇函數(shù)得函數(shù)圖象關于原點對稱，可畫出軸左側的圖象，利用兩因式異號相乘得負，得出的正負，由圖象可求出的范圍得結果.【詳解】由奇函數(shù)的對稱性可得的圖像，不等式，轉化為，則或，或或.等式的解集為：.故選：.【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的性質以及函數(shù)圖象的應用，奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于軸對稱，是基礎題.10．某參觀團根據(jù)下列約束條件從，，，，五個鎮(zhèn)選擇參觀地點：①若去鎮(zhèn)，也必須去鎮(zhèn)；②，兩鎮(zhèn)至少去一鎮(zhèn)；③，兩鎮(zhèn)只去一鎮(zhèn)；④，兩鎮(zhèn)都去或都不去；⑤若去鎮(zhèn)，則，兩鎮(zhèn)也必須去.則該參觀團至多去了（）A．，兩鎮(zhèn) B．，兩鎮(zhèn) C．，兩鎮(zhèn) D．，兩鎮(zhèn)【答案】C【解析】分析：根據(jù)題中告訴的條件，運用假設法進行推理，若得出矛盾則否定之，若得不出矛盾則推理正確.詳解：由②知，D、E兩鎮(zhèn)至少去一鎮(zhèn)，若去E鎮(zhèn)，則由⑤也必須去A、D鎮(zhèn)，由于①和④必須去B、C兩鎮(zhèn)，但與③矛盾，所以不能去E地，因此必須去D地.由④也必須去C鎮(zhèn)，再由③知，不能去B鎮(zhèn)，從而由①知也不能去A鎮(zhèn)，故參觀團只能去C、D兩鎮(zhèn).故選C.點睛：該題所考查的是有關推理的問題，在解題的過程中，需要對題中的條件認真分析，先假設去某個地方，根據(jù)題中所給的條件，進行推理，如果推出矛盾，則將其否定，如果沒有推出矛盾，則說明其為正確的，從而得到結果.11．已知點、是雙曲線的左、右焦點，為坐標原點，點在雙曲線的右支上，且滿足，，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由直角三角形的判定定理可得為直角三角形，根據(jù)雙曲線定義及已知條件，和勾股定理即可列出關于的方程，即可得到雙曲線的離心率.【詳解】由，可得，即有為直角三角形，且，由雙曲線定義可得，又，可得，在中，由勾股定理得，解得.故選：.【點睛】本題主要考查雙曲線的定義的應用，雙曲線的幾何性質的應用，判斷出為直角三角形是解決本題的關鍵，是中檔題.12．已知三棱錐中，，，若三棱錐的最大體積為，則三棱錐A-BCD外接球的表面積為A．π B．π C．π D．π【答案】C【解析】【詳解】取的中點，連接，，作于點，設.∵∴，即三棱錐外接球的球心.∵∴∵∴∴∵三棱錐的最大體積為∴當為三棱錐的高時，三棱錐的體積最大，即.∴，則三棱錐的外接球的半徑為.∴三棱錐的外接球的表面積為.故選C.點睛：本小題主要考查幾何體外接球的表面積的求法，考查三角形外心的求解方法.在解決有關幾何體外接球有關的問題時，主要的解題策略是找到球心，然后通過解三角形求得半徑.找球心的方法是先找到一個面的外心，再找另一個面的外心，球心就在兩個外心垂線的交點位置.二、填空題13．已知函數(shù)，則_________.【答案】.【解析】將函數(shù)由內到外依次代入，即可求解.【詳解】，且，，，.故答案為：.【點睛】本題主要考查的是函數(shù)解析式來求函數(shù)值，同時考查分段函數(shù)的應用，考查學生對指數(shù)和對數(shù)的運算能力，是基礎題.14．設，滿足約束條件，則的最小值為__________.【答案】-5【解析】【詳解】作出約束條件的可行域如圖所示：由得，平移直線，由圖像可知當直線經(jīng)過點時，直線的截距最小，此時最小，.故答案為.點睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數(shù)對應的最優(yōu)解對應點（在可行域內平移或旋轉變形后的目標函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標代入目標函數(shù)求出最值.15．定義在上的函數(shù)有零點，且值域，則的取值范圍是_______.【答案】.【解析】利用正弦函數(shù)的定義域，值域，單調性和題意以及周期可得的取值范圍.【詳解】，，定義在上的函數(shù)有零點，且值域，，即.故答案為：.【點睛】本題主要考查的是正弦函數(shù)的圖像性質，要求學生對正弦函數(shù)的圖像和性質掌握透徹并熟練應用，是中檔題.16．已知點，拋物線的焦點為，射線與拋物線相交于點，與其準線相交于點，若，則的值等于__________．【答案】【解析】作出M在準線上的射影，根據(jù)|KM|：|MN|確定|KN|：|KM|的值，進而列方程求得a．【詳解】依題意F點的坐標為（，0），設M在準線上的射影為K由拋物線的定義知|MF|＝|MK|，∴，則|KN|：|KM|＝2：1，kFN，∴2，求得p＝2，故答案為：2．【點睛】本題主要考查了拋物線的簡單性質．拋物線中涉及焦半徑的問題常利用拋物線的定義轉化為點到準線的距離來解決．三、解答題17．已知首項為的等差數(shù)列中，是的等比中項.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列是單調數(shù)列，且數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）或（2）【解析】試題分析：（1）由首項為，是的等比中項，即可求出公差，從而求出數(shù)列的通項公式；（2）由（1）及數(shù)列是單調數(shù)列得，再根據(jù)，利用錯位相減法即可求出試題解析：(1)是的等比中項，是等差數(shù)列或或(2)由(1)及是單調數(shù)列知得點睛：錯位相減法求和的注意事項：①要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形；②在寫出“”與“”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“”的表達式；③在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解．18．某生物興趣小組對冬季晝夜溫差與反季節(jié)新品種大豆發(fā)芽數(shù)之間的關系進行研究，他們分別記錄了月日至月日每天的晝夜溫差與實驗室每天顆種子的發(fā)芽數(shù)，得到以下表格該興趣小組確定的研究方案是：先從這組數(shù)據(jù)中選取組數(shù)據(jù)，然后用剩下的組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的組數(shù)據(jù)進行檢驗.(1)求統(tǒng)計數(shù)據(jù)中發(fā)芽數(shù)的平均數(shù)與方差；(2)若選取的是月日與月日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)月日至月日的數(shù)據(jù)，求出發(fā)芽數(shù)關于溫差的線性回歸方程，若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選取的檢驗數(shù)據(jù)的誤差不超過，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，問得到的線性回歸方程是否可靠？附：線性回歸方程中斜率和截距最小二乘估法計算公式：，【答案】（1）25,17.2（2）得到的線性回歸方程是可靠【解析】試題分析：（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，結合平均數(shù)與方差的計算公式即可求出發(fā)芽數(shù)的平均數(shù)與方差；（2）先求出溫差和發(fā)芽數(shù)的平均值，即得到樣本中心點，利用最小二乘法得到線性回歸方程的系數(shù)，根據(jù)樣本中心點在線性回歸直線上，得到的值，從而得到線性回歸方程，再分別將、代入，即可得證.試題解析：(1)(2)由月日至月日的數(shù)據(jù)得，，.當時，，滿足當時，，滿足得到的線性回歸方程是可靠19．四棱錐中,平面，，，為的中點，，過點作于.(1)求證：；(2)求三棱錐的體積.【答案】（1）見解析（2）【解析】試題分析：（1）取的中點，連接，由是的中點，可推出四邊形CDEM為平行四邊形，從而可證；（2）過過作交于點，由平面，推出，再根據(jù)，，，求得，由，從而可求出三棱錐的體積.試題解析：(1)證明:取的中點，連接.∵是的中點∴,∴,∴四邊形CDEM為平行四邊形，∴∵，∴(2)過作交AB于N點.∵平面∴，則.∴為點到面的距離，在直角中，，，.∴，，∴，∵∴三棱錐的體積20．已知橢圓的左右頂點分別為，左右焦點為分別為，焦距為2，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）若為橢圓上一動點，直線過點且與軸垂直，為直線與的交點，為直線與直線的交點，求證：點在一個定圓上.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.【解析】試題分析：（1）由焦距為，離心率為，即可求出焦距為，離心率為；（2）設點，，得出直線的方程，從而得出點的坐標，分別求出直線的方程和直線的方程，聯(lián)立兩直線方程，化簡即可求得點在定圓上.試題解析：（1）的方程為（2）設點，,即，直線的方程:又,直線的方程為直線的方程為由得：，即∴點在定圓上.點睛：定點、定值問題通常是通過設參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的.定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結果，因此求解時應設參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn).21．設函數(shù)．討論的單調性；設，當時，，求k的取值范圍．【答案】（1）見解析（2）【解析】（1）求出導函數(shù)，按的范圍分類討論的正負，可得單調性；（2）令，有，令，有，由得，即單調遞增，從而得，按和討論的單調性和最值，從而得出結論．【詳解】（1）由題意得，當時，當；當時，；在單調遞減，在單調遞增，當時，令得，當時，；當時，；當時，；所以在單調遞增，在單調遞減；②當時，，所以在單調遞增，③當時，；當時，；當時，；∴在單調遞增，在單調遞減；（2）令，有，令，有，當時，單調遞增．∴，即．當，即時，在單調遞增，，不等式恒成立，②當時，有一個解，設為根，∴有單調遞減；當時，單調遞增，有，∴當時，不恒成立；綜上所述，的取值范圍是．【點睛】本題考查用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，研究不等式恒成立問題，不等式恒成立常常轉化為求函數(shù)的最值，本題設，確定在上的最小值，如果此最小值則符合題意，若此最小值，則不合題意．當然在求的零點時，可能還要對求導，以確定零點．22．在極坐標系中，曲線的極坐標方程為，以極點為原點，極軸為軸的非負半軸建立平面直角坐標系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.（1）求曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；（2）若曲線上的動點到直線的最大距離為，求的值.【答案】（1），直線的普通方程為：（2）【解析】試題分析：（1）因為，，故可得曲線，直線的普通方程為：；（2）由點到直線的距離公式可得：，.試題解析：（1）由得，因為，，故可得曲線，由消去參數(shù)可得直線的普通方程為：；（2）由（1）可得曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），由點到直線的距離公式可得：據(jù)條件可知，由于，