控制系統(tǒng)內(nèi)部描述與外部描述的聯(lián)系與區(qū)別

線性系統(tǒng)內(nèi)部描述與外部描述之間的關(guān)系分析陸大勇羅振華羅汶鋒摘要線性系統(tǒng)的內(nèi)部描述與外部描述是我們對系統(tǒng)進行分析的基礎(chǔ)，在得到系統(tǒng)的數(shù)學描述即數(shù)學模型后，我們才可以用各種各樣的工具來進行相關(guān)性能指標的分析。對于同一個系統(tǒng)，我們既有內(nèi)部描述，即狀態(tài)空間描述法，也有外部輸入輸出描述，常用的為傳遞函數(shù)矩陣描述，這兩種描述是完全等價的還是有條件等價的呢？這將是我們討論的重點。我們將從能控能觀測的角度分析系統(tǒng)響應(yīng)的角度、從不變子空間的角度及穩(wěn)定性分析的角度這三個角度來進行分析。最后，我們得到結(jié)論：系統(tǒng)的內(nèi)部描述與外部描述在系統(tǒng)完全能控完全能觀測的條件下是等價的。關(guān)鍵詞：內(nèi)部描述外部描述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特征響應(yīng)引言:在第一次的課程論文中，我們選取了一個實際的物理系統(tǒng)：車載倒立擺作為研究對象，利用機理法建立起系統(tǒng)的數(shù)學模型。有了數(shù)學模型以后，我們可以對系統(tǒng)進行分析，包括定性分析和定量分析，掌握系統(tǒng)一些基本結(jié)構(gòu)特性。而數(shù)學模型描述具有兩類基本形式：一種是系統(tǒng)的內(nèi)部描述，即狀態(tài)空間描述，另一種是系統(tǒng)的外部描述，即輸入輸出描述。這兩類描述方法對于我們分析系統(tǒng)都是非常重要的，兩者之間既有聯(lián)系，也有區(qū)別。在本文里，兩者的區(qū)別是我們的討論重點。另外，文中所提到的系統(tǒng)，如無特殊指明，均指線性定常系統(tǒng)。系統(tǒng)的內(nèi)部描述，通常也稱為“白箱描述”，是對系統(tǒng)的完全描述。對于線性定常系統(tǒng)，我們有如下描述：（1）（2）它的狀態(tài)方程表征了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變量組和輸入變量組之間的關(guān)系，輸出方程則表征了內(nèi)部狀態(tài)變量組和輸入變量組到輸出變量組的變換關(guān)系。系統(tǒng)的外部描述通常也稱為“黑箱描述”，是不完全的描述，一般具有線性常微分方程的形式：（3）取拉普拉斯變換，并假設(shè)初始條件為零，可得：（4）其中，、分別是輸出變量、輸入變量的拉普拉斯變換。即有：（5） 在本文里，我們主要想通過從系統(tǒng)的能控性與能觀性、系統(tǒng)矩陣A的不變子空間及系統(tǒng)的穩(wěn)定性三個方面來分析系統(tǒng)的響應(yīng)特征，在這個過程中，我們把主要精力放在系統(tǒng)的內(nèi)部描述和外部描述的區(qū)別上，看看這兩者在以上三個方面對分析系統(tǒng)響應(yīng)特征時各有什么樣的優(yōu)點和缺點，或者說哪種描述更能準確的反映系統(tǒng)的響應(yīng)特征，更完全的把系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)表達出來。一、從能控性與能觀性分析系統(tǒng)響應(yīng)的關(guān)系我們知道，根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出描述：，很直接的我們就可以得到系統(tǒng)的響應(yīng)，而且，從表達式上看，每一個輸入都會對整個系統(tǒng)的輸出產(chǎn)生影響，或者說輸入信號的每個分量都能影響系統(tǒng)的每個輸出分量。但是實際上這種說法是不準確的。對于不完全能控和不完全能觀的多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，我們可以通過卡爾曼分解，顯式地把系統(tǒng)分解成四個部分，如圖1：能控能觀部分、能控但不能觀部分、不能控但能觀部分、不能控也不能觀部分。能產(chǎn)生作用的兩個部分是能控能觀部分和能控但不能觀部分，但對于系統(tǒng)中不能控的兩個部分是無能為力的。產(chǎn)生的控制作用一定全都會反映到輸出上嗎？顯然，從圖中我們看到，只有作用于能控能觀部分圖1卡爾曼分解的控制作用才能反映到輸出上。也就是說，從能控性和能觀性的角度來看，系統(tǒng)的響應(yīng)只和系統(tǒng)的能控能觀部、不能控但能觀兩個部分聯(lián)系起來，而其他兩個部分對系統(tǒng)的輸出是沒影響的，控制作用只能通過作用于能控能觀部分來影響輸出。從這里，我們可以看出，系統(tǒng)的外部描述所反應(yīng)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)只是部分的，也就是系統(tǒng)的能控能觀部分，是不完全的描述。而內(nèi)部描述則是對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的完全描述，能夠同時反應(yīng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的各個部分。 更細致的，對于不完全能控和不完全能觀測的多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，通過引入特定的線性非奇異變換可使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)規(guī)范分解，即有：（6）（7） 并且，這種規(guī)范分解在形式上為惟一，而在結(jié)果上為不惟一。畫出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)規(guī)范分解方塊圖，如下圖2所示：圖2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)規(guī)范分解方塊圖從規(guī)范分解方塊圖可以直觀看出，能控但不能觀單元只有信號進入而無信號送出，不能控但能觀單元只有信號送出而無信號進入，不能控又不能觀單元雖有信號進入也有信號送出，但是進入信號來自不能控但能觀單元，送出信號只能到達能控但不能觀單元。只有能控能觀單元能夠?qū)崿F(xiàn)輸入到輸出的傳遞。作為外部描述的傳遞函數(shù)矩陣只能反映系統(tǒng)的能控能觀部分，即有：（8）上述分解表明，一般而言，系統(tǒng)可由傳遞函數(shù)矩陣完全表征，當且公當系統(tǒng)為完全能控和完全能觀測即系統(tǒng)為不可簡約。外部描述與內(nèi)部描述之間是有條件等價的。二、從不變子空間分析系統(tǒng)軌跡特征不變子空間是線性系統(tǒng)的幾何理論中的一個重要的概念。幾何理論的主要數(shù)學工具是以幾何形式表達的線性代數(shù)，基本思想是把能控性和能觀測性等系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性表述為不同的狀態(tài)子空間的幾何屬性。在幾何理論中，具有關(guān)鍵意義的兩個概念是基于線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的系統(tǒng)矩陣A和輸入矩陣B所組成的（A，B）不變子空間和（A，B）能控子空間。幾何方法的特點是簡潔明了，避免了狀態(tài)空間法中大量繁雜的矩陣推演運算。下面我們來看看如何從系統(tǒng)矩陣A的不變子空間來分析系統(tǒng)的響應(yīng)。我們知道，系統(tǒng)矩陣A的不變子空間是由A的特征向量生成的，為了方便討論，假定系統(tǒng)為三維系統(tǒng)，即A有3個特征向量，則A的不變子空間有6個，分別為：以特征向量的方向為方向且過原點的3條直線，過的平面，過的平面，過的平面。當系統(tǒng)的初始狀態(tài)是在A的某個不變子空間中，則該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)一定是這一不變子空間中的一條曲線。在學習能控性與能觀性判據(jù)的時候，我們有如下判定依據(jù)：“系統(tǒng)是完全能控能觀測的”等價于“當A沒有重根時，B的所有列不能在A的任意一個不變子空間中”，即B不可以由A的部分特征向量線性表示。該依據(jù)可以這樣理解，若B可以由A的部分特征向量如表示，那么控制分量只能在平面產(chǎn)生控制作用，對沿方向的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)部分是起不了作用的。此時，系統(tǒng)不是完全能控和完全能觀測的。由此，我們同樣可以得出，系統(tǒng)的外部描述是不完全描述，而系統(tǒng)內(nèi)部描述則是完全描述。三、從穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一個基本結(jié)構(gòu)特性。對大多數(shù)情形，穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠正常運行的前提。系統(tǒng)運動穩(wěn)定性可分類為基于輸入輸出的外部穩(wěn)定性和基于狀態(tài)空間描述的內(nèi)部穩(wěn)定性。我們來看看兩者之間的異同。 假定系統(tǒng)初始條件為零，以保證系統(tǒng)外部描述的惟一性。在此基礎(chǔ)上，稱一個系統(tǒng)為外部穩(wěn)定的，即BIBO（bounded-inputbounded-outputstable）穩(wěn)定,如果對任意一個有界輸入，即：，m為一常數(shù)，對應(yīng)的輸出均為有界，即：。對零初始條件p維輸入和q維輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，初始時刻為0，系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充要條件為，存在一個有限正常數(shù)，使脈沖響應(yīng)矩陣所有元：均滿足關(guān)系式：（9） 對于(1)、(2)式描述的線性定常系統(tǒng)，如果，初始狀態(tài)為任意的，且由引起的零輸入響應(yīng)滿足：，則稱系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的。其充要條件為：系統(tǒng)矩陣A所有特征值均具有負實部。 由以上外部穩(wěn)定與內(nèi)部穩(wěn)定的定義和判據(jù)，我們可得以下結(jié)論：結(jié)論1：若系統(tǒng)為內(nèi)部穩(wěn)定，則系統(tǒng)必為BIBO穩(wěn)定，即外部穩(wěn)定。下面給出證明。對系統(tǒng)進行分析可知，脈沖響應(yīng)矩陣為：（10）因為系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的，則A所有特征值均具有負實部，所以：（11）由（10）、（11）兩式可知，脈沖響應(yīng)矩陣所有元：均滿足關(guān)系式（9）,即BIBO穩(wěn)定。結(jié)論2：系統(tǒng)為外部穩(wěn)定即BIBO穩(wěn)定不能保證系統(tǒng)必為內(nèi)部穩(wěn)定。下面作簡單的證明。由第一部分的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)規(guī)范分解分析可知，外部描述只反映系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中能控能觀測部分。若系統(tǒng)為BIBO穩(wěn)定，則對于SISO系統(tǒng)來說，其傳遞函數(shù)G(s)具有負實部，這只能保證系統(tǒng)能控能觀測部分特征值具有負實部，既不能表明也不要求系統(tǒng)其他三個部分的特征值均具有負實部，因此，系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定不能保證系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定。由結(jié)論1、2我們可以得出以下結(jié)論：對于連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，若系統(tǒng)完全能控和完全能觀測，則內(nèi)部穩(wěn)定與外部穩(wěn)定是等價的。四、總結(jié) 以上我們對系統(tǒng)的內(nèi)部描述與外部進行了三個不同方面的分析，并都得出了相同的結(jié)論：只有當系統(tǒng)是完全能控和完全能觀測時，系統(tǒng)的內(nèi)部描述與外部描述才是等價的。系統(tǒng)的內(nèi)部描述是一種完全描述，反映了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中各部分的特征，而系統(tǒng)的外部描述只反映了系統(tǒng)中能控能觀測部分的特征。系統(tǒng)的外部描述在分析系統(tǒng)