人教版八年級數(shù)學上冊課題學習《最短路徑問題》練習題

13.4

課題學習

最短路徑題．最短路徑問題求線異側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求．如圖所示，點A，B分別是直線l異的個點，在l找一個點，使CACB最，這時點是線l與的點．求線同側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，則與該直線的交點即為所求．如圖所示，點A，B分別是直線l同的個點，在l找一個點，使CACB最，這時先作點B于直線l的對稱點B′，則點是線l與AB的交點．為了證明點位置即為所求不妨在直線上另外任取一點C′AC′′，B′C′，證明＋CB′＋CB如：證明：由作圖可知，點和B′關于直線l對，所以直線l是段′的垂直平分線．因為點C與′直線l，所以BC′，′＝′C′在eq\o\ac(△,AB)eq\o\ac(△,)′C′中，′＜′＋′′所以AC′＜′＋′C′，所以AC＜AC＋′B【例】在圖直線l上到一點，它到，兩點的距離和最?。郑捍_定其中一個點關于直線l的稱，然后連接對稱點和另一個點，與直線l的交點M即為求的點．解如圖所示：作點關直線l的稱點′(2)連接′交直線l于M.(3)則點M即所求的點．點撥運用軸對稱變換及性質(zhì)將在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上后“點之間線段最短”解問.

運用軸稱解決距離最短問題運用軸對稱及兩點之間線段最短的性質(zhì)所線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段的長解距離之和最小問題的基本思路論題目如何變化運用時要抓住直線同旁有兩點這兩點到直線上某點的距離和最小這核心，所有作法都相同．警區(qū)利用軸對稱解決最值問題應注題目要求根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、利用三角形的三邊關系通過比較來說明最問題是常用的一種方法決這類最值問題時要認真審題，不要只注意圖形而忽略題意要求，審題清導致答非所問．．利用平移確定最路徑選址選址問題的關鍵是把各條線段轉(zhuǎn)化到一條線段上果點在一條直線的同側(cè)時兩點的直線與原直線的交點處構(gòu)成線段的差最大果兩點在一條直線的異側(cè)時兩的直線與原直線的交點處構(gòu)成的線段的和最小可以用三角形三邊關系來推理說明常據(jù)最大值或最小值的情況取其中一個點的對稱點來解決．解決連接河兩岸的兩點的最短路徑問題時，可以通過平移河岸的方法使河的寬度變?yōu)榱?，轉(zhuǎn)化為求直線異側(cè)的兩點到直線上一點所連線段的和最小的問題．在解決最短路徑問題時我們通常利用軸對稱移變換把不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，從而作出最短路徑的方法來解決問題．【例】如圖小河邊有兩個村莊，，在河邊建一來水廠向A村村水．(1)若要使廠部到A，B的距離相等，則應選擇在哪建廠？(2)若要使廠部到A，B村的水管最短，應建在什么地方？分：(1)到AB兩距離相等，可聯(lián)想“段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，又要在河邊，所以作的直平分線，與交點即為符合條件的點．(2)要使廠部到A村、的距離之和最短，可聯(lián)想“兩點之間線最”作(B點關于對稱點，連接對稱點與B點與EF的點即為所求．解(1)如圖，取線段的點G過中點畫AB垂線，交于，則PA，B的離相等．也可分別以、B為圓心，以大于為徑畫弧，兩弧交于兩點，過這兩點作直線，與EF的交點即為所求．(2)如圖，畫出點關于河岸EF的稱點′連接A′B交EF于，則P，B的距離和最短．【例3如，從A地B地過一條小(河岸平行)，今欲在河上建一座與兩垂直的橋，應如何選擇橋的位置才能使從A地到B地路程最？思路導引：從到要的線是A→→B，圖所示，而MN是值，于是要使路程最短，只要＋BN最即可．此時兩線段應在同一平行方向上，平移到AC

從C到B應是余下的路程，連接的段即為最短的，此時難說明點N即建橋位，MN即所的橋．解(1)如圖，過點A作垂于河岸，且使等河寬．(2)連接與岸的一邊交于點(3)過點N作岸垂線交另一條河岸于點M.則為所建的橋的位置．．生活中的距離最問題由兩點之間線段最短或三角形兩邊之和大于第三邊)可知，求距離之和最小問，就是運用等量代換的方式把幾條線的和想辦法轉(zhuǎn)化在一條線段上從而解決這個問題運用軸對稱性質(zhì)，能將兩條線段通過類似于鏡面反射的方式轉(zhuǎn)化成一條線段，如圖AO＋BO＝AC的．所以作已知點關于某直線的對稱點是解決這類問題的基本方法．【例】(實應用題茅坪民族中學(2)舉行文藝晚會子擺成如圖所兩直排(圖中的)AO桌上擺滿了橘子面上擺滿了糖果，站在C的學生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D處位上，請你幫助他設計一條行走路線，使其所走的總路程最短？圖a

圖b解如圖b.(1)作點于OA的對點C，D點于OB的對稱點D，(2)接D分別交11OA，OB于Q那么小明沿C→P→→D路線行走，所走的總路程最短．運用軸稱解決距離之差最大問題利用軸對稱和三角形的三邊關系是解決幾何中的最大值問題的關鍵其中一點關于對稱軸的對稱點然連接對點和另一個點所得直線與對稱軸的交點，即為所求．根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和三角形中兩邊之差小于第三邊易證明這就是最大值．破疑點解決距離的最值問題的鍵運用軸對稱變換及三角形三邊關系是解決一些距離的最值問題的有效方法．【例】如所示，A，兩點在直線l的側(cè)，在l上一點，使點C到AB的距離之差最大．分題的突破點是作點A或)關于直線l的對稱點′(或B′線A′BAB′)與直線l交點C把問題轉(zhuǎn)化為三角形任意兩邊之差小于第三邊解決．解如圖所示，以直線l為稱軸，作點A關直線l的對稱點′A′的線交l于點C為所求線l上找一點C′(異于點)′C′.因為點A，A′關于直線l對，所以l線段AA的垂直平分