高考對數(shù)學(xué)文化的考查教師用書-理

-【三維設(shè)計】〔通用版〕2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第二局部考前30天策略三重視高考對數(shù)學(xué)文化的考察教師用書理2021年"考試大綱"修訂內(nèi)容中增加了數(shù)學(xué)文化的要求，其主要目的是注重傳統(tǒng)文化在現(xiàn)實中的創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化和創(chuàng)新性開展，從而實現(xiàn)考試的社會意義和現(xiàn)實目的．其實，近幾年高考數(shù)學(xué)試卷早已出現(xiàn)以數(shù)學(xué)文化為背景的新穎命題，將數(shù)學(xué)知識、方法、文化融為一體，有效考察學(xué)生在新情境下對知識的理解及遷移運用能力．只不過前幾年考綱未做明確要求，未引起廣闊師生的重視.2021年考綱作出明確要求后，相信以后的高考關(guān)于數(shù)學(xué)文化的命題會加大，應(yīng)引起師生們的重點關(guān)注．高考將會從以下幾個角度實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)文化的有效“嫁接〞．[典例1](2021·**高考)如下圖，“嫦娥一號〞探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點第三次變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，假設(shè)用2c和2c分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a和2a分別表示橢圓軌道Ⅰ和1 2 1 2Ⅱ的長軸的長，給出以下式子：①a＋c＝a＋c；②a－c＝a－c；1 1 2 2 1 1 2 2cc③c1a2＞a1c2；④a1＜a2.1 2其中正確式子的序號是( )A．①③B．②③C．①④D．②④[解析]①由題圖知2a＞2a，2c＞2c；即a＞a，c＞c，1 2 1 2 1 2 1 2∴a＋c＞a＋c，∴①不正確．1 1 2 2②∵a－c＝|PF|，a－c＝|PF|，1 1 2 2∴a－c＝a－c，∴②正確．1 1 2 2③∵a＞a＞0，c＞c＞0.∴a2＞a2，c2＞c2，12121212又∵a－c＝a－c.即a＋c＝a＋c，11221221即a2＋c2＋2ac＝a2＋c2＋2ac.12122121∴a2－c2＋c2－a2＋2ac＝2ac，11221221即(a－c)(a＋c)－(a－c)(a＋c)＋2ac＝2ac，1 1 1 1 2 2 2 2 12 21整理得(a－c)(a－a＋c－c)＋2ac＝2ac.1 1 1 2 1 2 12 21∵a＞c，a＞a，c＞c，∴2ac＜2ac.1 1 1 2 1 2 12 21即ca＞ac，∴③正確．12 12. z.-④∵cacaac＞ac，a＞0，a＞0，∴12＞12.121212aaaa1212cc即1＞2，∴④不正確．a(chǎn)a12[答案]B[精彩賞析]本例以“嫦娥一號〞衛(wèi)星為背景，抽象出一條對稱軸、一個焦點和一個頂點的兩個橢圓間的幾何性質(zhì)，并采用數(shù)形結(jié)合的方式構(gòu)筑成題，題中所給的有關(guān)橢圓根本量的四個式子，形式上采用加、減、乘、除四則運算，并結(jié)合相等與不等關(guān)系組合而成，搭配對稱和諧，富有數(shù)學(xué)美感，該題對于引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教育，理論聯(lián)系實際，關(guān)注科普知識、重視數(shù)學(xué)文化有著非常重要的導(dǎo)向作用．[類題嘗試]1.(2007·高考)2002年在召開的國際數(shù)學(xué)家大會，會標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為根底設(shè)計的，弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖)，如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ.則cos2θ的值等于________．解析：∵小正方形的面積為1，大正方形的面積為25.∴每一個直角三角形的面積是6，設(shè)a2＋b2＝25，直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，則12ab＝6，∴兩條直角邊的長分別為3，4，又∵直角三角形中較小的銳角為θ，4 7∴cosθ＝5，cos2θ＝2cos2θ－1＝25.7答案：25[典例2](1)(2021·**高考)秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學(xué)家，普州(現(xiàn)**省安岳縣)人，他在所著的"數(shù)書九章"中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比擬先進的算法．如下圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求*多項式值的一個實例．假設(shè)輸入n，*的值分別為3，2，則輸出v的值為()A．9B．18C．20D．35(2)(2021·全國卷Ⅰ)"九章算術(shù)"是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何.〞其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆. z.-放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少.〞1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有( )A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛(3)(2021·**高考)"算數(shù)書"竹簡于上世紀八十年代在**省江陵縣*家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋〞的術(shù)：置如其周，令相乘也．又以高乘之，1三十六成一．該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h，計算其體積V的近似公式V≈36L2h.2它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.則，近似公式V≈75L2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取為( )2225A.7B.8355C.50D.113(4)(2021·**高考)我國古代數(shù)學(xué)名著"數(shù)書九章"中有“天池盆測雨〞題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．假設(shè)盆中積水深九寸，則平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸)[解析](1)由程序框圖知，初始值：n＝3，*＝2，v＝1，i＝2，第一次循環(huán)：v＝4，i＝1；第二次循環(huán)：v＝9，i＝0；第三次循環(huán)：v＝18，i＝－1.完畢循環(huán)，輸出當(dāng)前v的值18.應(yīng)選B.(2)設(shè)米堆的底面半徑為r尺，則πr＝8，所以r＝16，所以米堆的體積為V＝1×1π×r2×52π43π162320320＝××5≈9(立方尺)．故堆放的米約有9÷1.62≈22(斛)．應(yīng)選B.12π212125(3)由題意知75L2h≈3πr2h?75L2≈3πr2，而L≈2πr，代入得π≈8.(4)以我國數(shù)學(xué)名著"數(shù)書九章"為題材，考察臺體的體積．圓臺中截面圓的半徑為十寸，圓臺內(nèi)水的體積為. z.-V＝1πh(r2＋r2＋rr)＝π×9×(102＋62＋10×6)＝588π(立方寸)，降雨量為V＝588π＝3中下中下3142π196π3(寸)．[答案](1)B(2)B(3)B(4)3[精彩賞析]本例(1)～(4)是以"九章算術(shù)"、"數(shù)書九章"和"算數(shù)書"為背景，相應(yīng)考察算法、圓錐的體積公式和圓臺的體積公式等數(shù)學(xué)知識．"九章算術(shù)"大約成書于公元1世紀，是中國古代最著名的傳世數(shù)學(xué)著作，它的出現(xiàn)標(biāo)志中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系；"數(shù)書九章"成書于1247年9月，是對"九章算術(shù)"的繼承和開展，它概括了宋元時期中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的主要成就，標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)的頂峰；"算數(shù)書"成書于公元前186年以前，是目前最早的中國數(shù)學(xué)著作，它不僅系統(tǒng)地總結(jié)了秦和先秦的數(shù)學(xué)成就，為中國古代數(shù)學(xué)的開展奠定了根底，同時對后世的"九章算術(shù)"的產(chǎn)生也有一定的影響，而且開創(chuàng)了我國古代數(shù)學(xué)重應(yīng)用的特色，標(biāo)志著我國古代數(shù)學(xué)理論體系開場初步形成．以上高考試題，介紹了三部數(shù)學(xué)名著，讓學(xué)生更加了解"九章算術(shù)"數(shù)書九章"和"算數(shù)書"等數(shù)學(xué)名著，從這個意義上講，這些試題的價值實際上已遠遠超出了試題本身．[類題嘗試]2．(2021·全國丙卷)中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，如圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖．執(zhí)行該程序框圖，假設(shè)輸入的*＝2，n＝2，依次輸入的a為2，2，5，則輸出的s＝()A．7B．12C．17D．34解析：選Csksk第一次運算：＝0×2＋2＝2，＝1；第二次運算：＝2×2＋2＝6，＝2；第sks三次運算：＝6×2＋5＝17，＝3>2，完畢循環(huán)，＝17.3．(2021·全國卷Ⅱ)下邊程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著"九章算術(shù)"中的“更相減損術(shù)〞．執(zhí)行該程序框圖，假設(shè)輸入的a，b分別為14，18，則輸出的a＝()A．0B．2C．4D．14解析：選Ba＝14，b＝18.第一次循環(huán)：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；第二次循環(huán)：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；第三次循環(huán)：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；第四次循環(huán)：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；第五次循環(huán)：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；第六次循環(huán)：a＝b＝2，跳出循環(huán)，輸出a＝2，應(yīng)選B.. z.-[典例3](2021·**高考)傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù)．他們研究過如下圖的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{bn}．可以推測：(1)b是數(shù)列{a}中的第________項；2012n(2)b＝________．(用k表示)2k－1[解析]由題意可得ann〔n＋1〕n*ba，ba，ba2n142539b＝a，b＝a，b＝a，由上述規(guī)律可知：b＝a＝5k〔5k＋1〕(k為正整數(shù))，4105146152k5k2b〔5k－1〕〔5k－1＋1〕5k〔5k－1〕＝a＝2＝2，2k－15k－1故b＝b＝a＝a，即b是數(shù)列{a}中的第5030項．20122×10065×100650302012n[答案](1)5030(2)5k〔5k－1〕2[精彩賞析]此題是以形為載體，考察數(shù)列的通項公式等根底知識，考察特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法，考察歸納與猜測、推理與計算的能力，試題既合理引用了經(jīng)典史料，又不刻意增加難度，同時對學(xué)生的數(shù)感進展了有效地考察，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)史的背景中，體驗數(shù)學(xué)的理性精神．在數(shù)學(xué)史上，古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯最早把正整數(shù)和幾何圖形聯(lián)系在一起，把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，又按小石子所能排列的形狀，把正整數(shù)與正三角形、正方形等圖形聯(lián)系起來，得數(shù)分為三角形數(shù)、正方形數(shù)，這樣一來，抽象的正整數(shù)就有了生動的形象，尋找它們之間的規(guī)律也就容易多了．畢達哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)家尼可麥丘在"算術(shù)引論"中將多邊形數(shù)推廣到多面體數(shù)，公元前6世紀，還沒有紙，用小石子研究數(shù)的性質(zhì)，既方便又直觀，這真是古希臘人的一種創(chuàng)造，也是認識數(shù)的一種有趣方法，英語中的“calculation〞一詞來源于拉丁文“calculus〞，就是小石子的意思．[類題嘗試]4．古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù)1，3，6，10，…，n〔n＋1〕1 1第n個三角形數(shù)為 2 ＝2n2＋2n.記第n個k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以以下出了局部k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：1 1三角形數(shù)N(n，3)＝2n2＋2n，正方形數(shù)N(n，4)＝n2，. z.-1五邊形數(shù)N(n，5)＝2n2－2n，六邊形數(shù)N(n，6)＝2n2－n，……可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(10，24)＝__________．解析：由N(n，4)＝n2，N(n，6)＝2n2－n，…，可以推測：當(dāng)kNnkk－1n2k－2nNnn2nN2211×10－10×10＝1000.2答案：1000[即時體會領(lǐng)悟][致同學(xué)]數(shù)學(xué)文化只是一種命題載體，沒必要引起廣闊師生的緊*和恐慌．只要平時多積累和了解一些這方面的常識，解題中注意審題，實現(xiàn)載體與考點的有效轉(zhuǎn)化，透過表象看本質(zhì)，問題便可迎刃而解．一、選擇題1．"九章算術(shù)"是人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的最早巔峰，在研究比率方面的應(yīng)用十分豐富，其中有“米谷粒分〞問題：糧倉開倉收糧，糧農(nóng)送來1534石，驗其米內(nèi)雜谷，隨機取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約()A．134石B．169石C．268石D．338石解析：選B設(shè)這批米內(nèi)夾谷約為*石，28根據(jù)隨機抽樣事件的概率得1534＝254，得*≈169.應(yīng)選B.2．我國古代數(shù)學(xué)名著"九章算術(shù)"中“開立圓術(shù)〞曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九面一，所得開立方除之，即立圓徑．“開立圓術(shù)〞相當(dāng)于給出了球的體積V，求其直徑d的一個近似公316式d≈9V.人們還用過一些類似的近似公式，根據(jù)π＝3.14159…判斷，以下近似公式中最準(zhǔn)確的一個是()3163A．d≈9VB．d≈2V3300321C．d≈157VD．d≈11V.z.-解析：選D36V≈31.90986093V.由球體積公式得d＝π因為169≈1.77777778，300157≈1.91082803，2111≈1.90909091.21 6而11最接近于π，所以選D.3．我國古代數(shù)學(xué)名著"九章算術(shù)"中，有長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：1111第一步：構(gòu)造數(shù)列1，2，3，4，…，n.naaaa.123naaaaaa等于()則12＋23＋…＋n－1nA．n2B．(n－1)2C．n(n－1)D．n(n＋1)aa＋aaaan－1n1223＝n·n＋n·n＋…＋n·n1223n－1n1＋1＋…＋1＝n22·31·2〔n－1〕n11111＝n21－＋－＋…＋－223n－1nn－1＝n2·n＝n(n－1)．4．"九章算術(shù)"是我國古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典，其中對勾股定理的論術(shù)比西方早一千多年，其中有這樣一個問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小；以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何.〞其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深1寸，鋸道長1尺．問這塊圓柱形木料的直徑是多少.長為1丈的圓柱形木材局部鑲嵌在墻體中，截面圖如下圖(陰影局部為鑲嵌在墻體內(nèi)的局部)．弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算該木材鑲嵌在墻中的體積約為( )5注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin22.5°≈13A．600立方寸B．610立方寸C．620立方寸D．633立方寸解析：選D連接OA，OB，OD，設(shè)⊙O的半徑為R，. z.-則(R－1)2＋52＝R2，∴R＝13.AD5sin∠AOD＝AO＝13.∴∠AOD≈22.5°，即∠AOB≈45°.π故∠AOB≈4.∴S

＝S弓形ACB

－S扇形OACB △OAB1π 1＝2×4×132－2×10×12≈6.33平方寸．∴該木材鑲嵌在墻中的體積為V＝S弓形ACB×100≈633立方寸．選D.二、填空題5．"九章算術(shù)"“竹九節(jié)〞問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列．上面4節(jié)的容積共為3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為________升．解析：設(shè)該數(shù)列{a}的首項為a，公差為d，依題意n 1a＋a＋a＋a＝3，1234a＋a＋a＝4，7 8 944a＋6d＝3，a1＋7d＝，解得3即13a1＋21d＝4，7d＝66，則a＝a＋4d＝a＋7d－3d＝4－21＝67.5113666667答案：666．中國古代數(shù)學(xué)名著"九章算術(shù)"中記載了公元前344年商鞅督造一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，其三視圖如下圖(單位：寸)假設(shè)π取3，其體積為12.6(立方寸)，則圖中的*的值為________．解析：由三視圖知，商鞅銅方升由一圓柱和一長方體組合而成，由題意得：(5.4－*)×3×112＋π·2*＝12.6.解得*＝1.6.答案：1.67．我國古代數(shù)學(xué)名著"九章算術(shù)"中割圓術(shù)有：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．〞其表達的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比方在. z.-2＋2＋2＋…中“…〞即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個定值*，這可以通過方程2＋*＝*確定*＝2，則1＋11＝________．1＋1＋…111＋5解析：由題意，可令1＋1＋1＝*，即1＋*＝*，即*2－*－1＝0，解得*＝21＋…*＝1－5舍，故1＋1＝1＋5.2121＋1＋…1＋5答案：2三、解答題8.中國古代數(shù)學(xué)名著"九章算術(shù)"中的“引葭赴岸〞是一道名題，其內(nèi)容為：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與齊，問水深葭長各幾何〞意為：今有邊長為1丈的正方形水池的中央生長著蘆葦，長出水面的局部為1尺，將蘆葦牽引向池岸，恰巧與水岸齊接，問水深蘆葦?shù)拈L度各是多少.將該問題拓展如圖，記正方形水池的剖面圖為ABCD，蘆葦根部O為AB的中點，頂端為P(注蘆葦與水面垂直)，在牽引頂端P向水岸邊點D的過程中，當(dāng)蘆葦經(jīng)過DF的中點E時，問蘆葦?shù)捻敹穗x水面的距離為多少.(注：1丈＝10尺，601≈24.5)解：設(shè)水深為*尺，則*2＋52＝(*＋1)2，解得，*＝12.∴水深為12尺，蘆葦長為13尺，以AB所在的直線為*軸，蘆葦所在的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，在牽引過程中，P的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為13的圓，其方程為*2＋y2＝169(－5≤*≤5，12≤y≤13)，①E5點的坐標(biāo)為－，12224∴OE所在的直線方程為y＝－5*，②由①②聯(lián)立解得y＝169×57613×24624601≈24.5