《等差數(shù)列的概念》第1課時(shí)示范課教學(xué)PPT課件【高中數(shù)學(xué)】

等差數(shù)列的概念第1課時(shí)新課導(dǎo)入問題1

學(xué)完函數(shù)的概念后，我們學(xué)習(xí)了一些特殊的函數(shù)，那么學(xué)完數(shù)列的概念后，是不是也會探究一些特殊的數(shù)列呢？你能想出一些特殊數(shù)列嗎？我們知道數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在函數(shù)的研究中，我們在理解了函數(shù)的一般概念，了解了函數(shù)變化規(guī)律的研究內(nèi)容（如單調(diào)性，奇偶性等）后，通過研究基本初等函數(shù)不僅加深了對函數(shù)的理解，而且掌握了冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)等非常有用的函數(shù)模型．類似地，在了解了數(shù)列的一般概念后，我們要研究一些具有特殊變化規(guī)律的數(shù)列，建立它們的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，并應(yīng)用它們解決實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題，從中感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實(shí)意義與應(yīng)用，下面，我們從一類取值規(guī)律比較簡單的數(shù)列入手．新課導(dǎo)入（1）北京天壇圜丘壇的地面有十板布置，最中間是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板，從內(nèi)到外各圈的示板數(shù)依次為9，18，27，36，45，54，63，72，81①（2）S，M，L，XL，XXL，XXXL型號的女裝上對應(yīng)的尺碼分別是38，40，42，44，46，48②（3）測量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大氣溫度，得到從距離地面20米起每升高100米處的大氣溫度（單位℃）依次為25，24，23，22，21③新課導(dǎo)入

ar，ar－br，ar－2br，ar－3br，…④

思考1：你能通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律嗎？新知探究等差數(shù)列的概念文字語言：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示．符號語言：an＋1－an＝d（d為常數(shù)，n∈N*），或an－an－1＝d（d為常數(shù)，n∈N*且n≥2）．新知探究等差中項(xiàng)條件：如果a，A，b成等差數(shù)列．結(jié)論：那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)．滿足的關(guān)系式是a＋b＝2A．新知探究練判斷（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）．（1）如果一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．（）（2）數(shù)列0，0，0，0，…不是等差數(shù)列．（）（3）在等差數(shù)列中，除第1項(xiàng)和最后一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)都是它前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)．（）××√新知探究思考2：你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？設(shè)一個(gè)等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為a1，公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得an＋1－an＝d，所以a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，于是a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，歸納可得an＝a1＋（n－1）d（n≥2）當(dāng)n＝1時(shí)，上式為a1＝a1＋（1－1）d＝a1，這就是說，上式當(dāng)n＝1時(shí)也成立．因此，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an＝a1＋（n－1）d．新知探究思考3：上述推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式采用了不完全歸納法，還有其它方法嗎？如何操作？還可以用累加法，過程如下：∵a2－a1＝d，將上述（n－1）個(gè)式子相加得an－a1＝（n－1）d（n≥2），∴an＝a1＋（n－1）d（n≥2），當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝a1＋（1－1）d，符合上式，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…an－an－1＝d（n≥2），∴an＝a1＋（n－1）d（n∈N*）．新知探究思考4：觀察等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，你認(rèn)為它與我們熟悉的哪一類函數(shù)有關(guān)？從函數(shù)角度認(rèn)識等差數(shù)列｛an｝若數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公差為d，則an＝f（n）＝a1＋（n－1）d＝nd＋（a1－d）．（1）點(diǎn)（n，an）落在直線y＝dx＋（a1－d）上；（2）這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)每增加1，函數(shù)值增加d．新知探究練（1）在等差數(shù)列｛an｝中，a3＝2，d＝6.5，則a7＝（）A．22B．24C．26D．28（2）如果三個(gè)數(shù)2a，3，a－6成等差數(shù)列，則a的值為（）A．－1B．1C．3D．4解析：（1）a7＝a3＋4d＝2＋4×6.5＝28，（2）由條件知2a＋（a－6）＝3×2，解得a＝4．故選D．故選D．DD例1

（1）已知等差數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an＝5－2n，求｛an｝的公差和首項(xiàng)；初步應(yīng)用（1）當(dāng)n≥2時(shí)，由｛an｝的通項(xiàng)公式為an＝5－2n，可得an－1＝5－2（n－1），于是d＝an－an－1＝－2，把代入通項(xiàng)公式an＝5－2n，可得a1＝3．（2）由已知條件，得d＝5－8＝－3，n＝20得，（2）求等差數(shù)列8，5，2…的第20項(xiàng)．（3）已知｛an｝是等差數(shù)列，且a2＝－5，a6＝a4＋6，求a1和公差d．a(chǎn)20＝8＋（20－1）×（－3）＝－49．

解得a1＝－8，d＝3．初步應(yīng)用求通項(xiàng)公式的方法（1）通過解方程組求得a1，d的值，再利用an＝a1＋（n－1）d寫出通項(xiàng)公式，這是求解這類問題的基本方法．

（3）抓住等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過an是關(guān)于n的一次函數(shù)形式，列出方程組求解．例2

－401是不是等差數(shù)列－5，－9，－13，···的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？初步應(yīng)用a1＝－5，d＝－9－（－5）＝－4，得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝－5－4（n－1）＝－4n－1．令－4n－1＝－401，解這個(gè)關(guān)于n的方程，得n＝100．所以，－401是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，是第100項(xiàng)．例3

（1）已知m和2n的等差中項(xiàng)是8，2m和n的等差中項(xiàng)是10，試求m和n的等差中項(xiàng)．初步應(yīng)用∴3（m＋n）＝20＋16＝36，∴m＋n＝12，

（2）已知

是等差數(shù)列，求證：

也是等差數(shù)列．

（1）由題意得

即m和n的等差中項(xiàng)．（2）∵

成等差數(shù)列，

初步應(yīng)用等差中項(xiàng)應(yīng)用策略1．求兩個(gè)數(shù)x，y的等差中項(xiàng)，

2．證三項(xiàng)成等差數(shù)列，只需證中間一項(xiàng)為兩邊兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)即可，即若a，b，c成等差數(shù)列，則有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，則a，b，c成等差數(shù)列．課堂練習(xí)練習(xí)：教科書P15練習(xí)1、2、3．歸納小結(jié)等差數(shù)列的概念等差中項(xiàng)通項(xiàng)公式等差數(shù)列的概念作業(yè)布置作業(yè)：教科書P15練習(xí)4、5．作業(yè)布置作（1）在等差數(shù)列｛an｝中，已知a5＝10，a12＝31，求首項(xiàng)a1與公差d．（2）已知數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，求a75．解答：（1）a1＝－2，d＝3．（2）a75＝24．1目標(biāo)檢測求等差數(shù)列3，7，11，……的第4項(xiàng)與第10項(xiàng)．解答：根據(jù)題意可知：a1＝3，d＝7－3＝4．∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an＝3＋（n－1）×4，即an＝4n－1（n≥1，n∈N*），∴a4＝4×4－1＝15，a10＝4×10－1＝39．2目標(biāo)檢測－20是不是等差數(shù)列0，

，－7，……的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說明理由．

解析：由題意可知：a1＝0，d＝

，

∴此數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an＝

所以－20不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．3目標(biāo)檢測在等差數(shù)列｛an｝中，（1）若a59＝70，a80＝112，求a101；（2）若a12＝23，a42＝143，an＝263，求n．解答：（