高考理科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算復(fù)習(xí)資料

第十二章極限與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算第講41考點(diǎn)搜索●導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義●幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式●導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則高考猜想1.導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2.導(dǎo)數(shù)條件的轉(zhuǎn)化與可導(dǎo)條件分析.3.導(dǎo)數(shù)與切線的綜合應(yīng)用.21.對(duì)于函數(shù)y=f(x)，記Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果當(dāng)Δx→0時(shí)，

有極限，就說函數(shù)y=f(x)在x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)(或變化率)，記作f′(x0)或y′|x=x0，即f′(x0)=———————

=——————————————.2.如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則對(duì)(a，b)內(nèi)每一個(gè)確定的值x0，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f′(x0)，3這樣就在開區(qū)間(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，稱這一新函數(shù)叫做f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的

，簡稱導(dǎo)數(shù)，記作f′(x)或y′，即f′(x)=

.3.曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率是

.相應(yīng)地，切線方程為————————————————.4.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)函數(shù)f′(x0)y-y0=f

′(x0)(x-x0)4(1)C′=

(C為常數(shù))；(2)(xn)′=

(n∈Q);(3)(sinx)′=

;(4)(cosx)′=

;(5)(lnx)′=

;(6)(logax)′=

(a＞0，a≠1);(7)(ex)′=

;(8)(ax)′=

(a＞0，a≠1).0nxn-1cosx

-sinx

ex

axlna

55.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則(1)(u±v)′=

;(2)(uv)′=

;(3)(uv)′=

(v≠0).u=φ(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)，函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處有導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)y=f［φ(x)］在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù)，且fx′［φ(x)］=

.f′(u)φ′(x)u′±v′

u′v+uv′

61.如果質(zhì)點(diǎn)A按規(guī)律s=2t3運(yùn)動(dòng)，則在t=3s時(shí)的瞬時(shí)速度為()A.6B.18C.54D.81解：因?yàn)閟′=6t2，所以s′|t=3=6×32=54.C7y=x2-x+c上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是-2，拋物線過點(diǎn)P的切線恰好過坐標(biāo)原點(diǎn)，則c的值為(

)A.1

B.2C.3

D.4解：因?yàn)閥′=2x-1，所以y′|x=-2=-5.又P(-2，6+c)，所以

,解得c=4.D83.若f′(x0)=2,則等于()A.-1B.-2C.1D.解：A9題型1

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解：1011點(diǎn)評(píng)：掌握常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵，注意函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)在解題中的應(yīng)用.涉及到復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)注意把復(fù)合函數(shù)分解為幾個(gè)基本函數(shù).12131415題型2在導(dǎo)數(shù)條件下求參數(shù)的值2.已知函數(shù)若存在x0∈R，使得f

′(x0)=0且f(x0)=0，求a的值.解：因?yàn)閒

′(x)=3x2+2ax，令f

′(x)=0，則3x2+2ax=0，所以x0=0或x0=-.16當(dāng)x0=0時(shí)，由f(x0)=0，可得所以a=0.當(dāng)x0=-時(shí)，由f(x0)=0，可得即a3-9a=0，所以a=0或a=±3.綜上分析，a=0或a=±3.17點(diǎn)評(píng)：求參數(shù)的值或取值范圍的問題，仍是轉(zhuǎn)化題中的條件，得到相應(yīng)參數(shù)的方程或不等式，然后通過解方程或不等式得到所求的問題的解.18已知函數(shù)f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e(其中a、b、c、d、e∈R)為偶函數(shù)，它的圖象過點(diǎn)A(0，-1)，B(1，0)，且f′(1)=-2，求函數(shù)f(x)的表達(dá)式.解：因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)恒成立.即a(-x)4+b(-x)3+c(-x)2+d(-x)+e=ax4+bx3+cx2+dx+恒成立，所以b=0，d=0，即f(x)=ax4+cx2+e.又由圖象過點(diǎn)A(0，-1)，可知f(0)=-1，即e=-1.因?yàn)閒′(1)=-2且f(1)=0，所以4a+2c=-2且a+c-1=0，解得a=-2，cf(x)=-2x4+3x2-1.193.已知曲線求：(1)曲線在x=2處的切線方程；(2)曲線過點(diǎn)P(2，4)的切線方程.解：(1)因?yàn)閥′=x2,所以在x=2處的切線的斜率k=y′|x=2=4.又x=2時(shí)，所以曲線在x=2處的切線方程為y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.題型3利用導(dǎo)數(shù)求切線方程20(2)設(shè)曲線

與過點(diǎn)P(2，4)的切線相切于點(diǎn)則切線的斜率k=y′|x=x0=x02.所以切線方程為即因?yàn)辄c(diǎn)P(2，4)在切線上，所以即21所以所以所以(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2.故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0.點(diǎn)評(píng)：求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的思路是：先求得函數(shù)在此點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，即為切線的斜率，然后根據(jù)切點(diǎn)的坐標(biāo)，再用點(diǎn)斜式可得切線方程.若是經(jīng)過某點(diǎn)的切線，注意先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，然后寫出切線方程，再把已知點(diǎn)代入切線方程求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo).22(2010·全國課程標(biāo)準(zhǔn)卷)曲線y=在點(diǎn)(-1，-1)處的切線方程為(

)A.y=2x+1

B.y=2x-1C.y=-2x-3

D.y=-2x-223解：易知點(diǎn)(-1，-1)在曲線上，即為切點(diǎn)，又由于f

′(x)=

=，故f

′(-1)=，即切線的斜率為2，從而切線方程為y+1=2(x+1)，化簡可得y=2x+1.24已知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=1處連續(xù)，且求f

′(1).解：因?yàn)閒(x)在點(diǎn)x=1處連續(xù)，所以又

參考題題型函數(shù)的連續(xù)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系分析25所以即f(1)=0.所以26求證：如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).證明：由已知，得27所以所以命題得證.281.f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)也可理解為：這相當(dāng)于Δx=x-x0，所以增量Δx可用其他形式替代，如-t，2t等.但在轉(zhuǎn)換時(shí)，必須與導(dǎo)數(shù)概念保持一致，如事實(shí)上，292.

求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)最基本的題型，利用求導(dǎo)法則將f(x)的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再套公式化簡整理，是解決這類問題的基本思路.有時(shí)可先對(duì)f(x)作適當(dāng)變形，再求導(dǎo).3.

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則表明：復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù).30求解時(shí)要正確分析函數(shù)的復(fù)合過程，選好中間變量，尤其是涉及多個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，求導(dǎo)時(shí)首先要弄清它是幾層復(fù)合關(guān)系，然后由外而內(nèi)，逐層求導(dǎo).必要時(shí)可通過換元，使復(fù)合關(guān)系更加明確、具體.同時(shí)注意在求導(dǎo)后，要把中間變量換成自變量的函數(shù).4.

求f′(x0)的值，一般先求f′(x)，然后再求當(dāng)x=x0時(shí)導(dǎo)函數(shù)的值.有時(shí)也可直接利用導(dǎo)數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)處的極限.315.判斷函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處是否可導(dǎo)，可轉(zhuǎn)化為判斷

是否存在.若存在，則這個(gè)極限值就是f(x)在x0y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，那么函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，那么f(x)在x0處不一定可導(dǎo)(例如函數(shù)y=|x|在點(diǎn)x=0處連續(xù)，但無導(dǎo)數(shù))，它可直觀地理解為連續(xù)函數(shù)對(duì)應(yīng)的曲線在點(diǎn)x0處不一定有“切線”.326.

求過某個(gè)點(diǎn)M的曲線的切線方程，關(guān)鍵是求切線的斜率，從而轉(zhuǎn)化為求曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).但必須注意的是，先要明確點(diǎn)M是否在曲線上.若點(diǎn)M在曲線上，則它就是切點(diǎn)，否則，要另設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，切不可把函數(shù)在點(diǎn)M處的導(dǎo)數(shù)誤認(rèn)為是切線的斜率.7.

由于函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)表示曲線在點(diǎn)P(x0，f(x0))處切線的斜率，因此，曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線方程可按如下步驟求得：33第一步，求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處切線的斜率.第二步，在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為y=y0+f′(x0)(x-x0).如果曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線平行于y軸(此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在)，由切線的定義可知，切線的方程為x=x0.34第十二章極限與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第講5（第一課時(shí)）35考點(diǎn)搜索●利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基本原理●函數(shù)極值的概念及其判定原理●函數(shù)的最大值與最小值高考猜想1.利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，并進(jìn)行分類討論.2.利用導(dǎo)數(shù)解決方程、不等式問題，以及實(shí)際應(yīng)用性問題，考查導(dǎo)數(shù)的工具性作用.361.設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f′(x)＞0，則f(x)為①

;如果f′(x)＜0，則f(x)為②

.如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有③

，則f(x)為常數(shù).2.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有④

，就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值，記作y極大值=f(x0);增函數(shù)減函數(shù)f′(x)=0f(x)＜f(x0)37如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有⑤

，就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，記作y極小值=f(x0)，極大值與極小值統(tǒng)稱為⑥

.3.當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是⑦

；如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，那么f(x0)是⑧

.f(x)＞f(x0)極值極大值極小值38f(x)在［a，b］上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在［a，b］上的最大值與最小值的步驟如下：(1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的⑨

；(2)將f(x)的各極值與⑩

比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.f(a)、f(b)極值391.函數(shù)f(x)=(x-3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)解：f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,令f′(x)>0,解得x>2,故選D.D40

在x=1處取極值，則a=

.解：由

解得a=3.3

41題型1利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及簡單證明1.求函數(shù)y=2x3-9x2+12x-3的單調(diào)區(qū)間.解：函數(shù)的定義域?yàn)镽.y′=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).令y′=0，得x1=1，x2=2.x1，x2將定義域分成三個(gè)區(qū)間(-∞，1)，(1，2)，(2，+∞)，可列表討論如下：42所以函數(shù)y=2x3-9x2+12x-3的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，1)，(2，+∞)；單調(diào)減區(qū)間為(1，2).x(-∞，1)1(1，2)2(2，+∞)y′+0-0+y極大值極小值43點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在區(qū)間(a，b)上的單調(diào)性，其步驟是：先求導(dǎo)函數(shù)f

′(x)，然后判斷導(dǎo)函數(shù)f

′(x)在區(qū)間(a，b)上的符號(hào)；而求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，則先求導(dǎo)，然后解方程f′(x)=0，得出不等式f′(x)>0的解的區(qū)間(即遞增區(qū)間)或f

′(x)<0的解的區(qū)間(即遞減區(qū)間).若沒有指定區(qū)間，應(yīng)先求出函數(shù)的定義域.444546題型2利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性2.設(shè)a為實(shí)常數(shù)，試討論函數(shù)f(x)=lg(10x+1)-ax的單調(diào)性.解：47(1)因?yàn)?0x+1＞10x＞0，所以故當(dāng)a≥1時(shí)，

(2)當(dāng)0＜a＜1時(shí)，1-a＞0，令f′(x)＞0，則即令f′(x)＜0，則即(3)當(dāng)a≤0時(shí)，綜上分析，48當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)是減函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x)在(-∞，)上是減函數(shù)，在(，+∞)上是增函數(shù).點(diǎn)評(píng)：含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題，在求導(dǎo)后判斷f

′(x)的符號(hào)時(shí)，需要根據(jù)參數(shù)的取值情況進(jìn)行分類討論.49已知函數(shù)f(x)=e2x-2t(ex+x)+x2+2t2+1，證明：(1)當(dāng)t＜時(shí)，g(x)在R上是增函數(shù)；(2)對(duì)于給定的閉區(qū)間［a，b］，總存在實(shí)數(shù)k，當(dāng)t＞k時(shí)，g(x)在閉區(qū)間［a，b］上是減函數(shù).證明：(1)由題設(shè)得g(x)=e2x-t(ex+1)+x，則g′(x)=2e2x-tex+1.又由2ex+e-x≥，且t＜

，得t＜2ex+e-x，即g′(x)=2e2x-tex+1＞0.由此可知，g(x)為R上的增函數(shù).50(2)證法1：因?yàn)間′(x)＜0是g(x)為減函數(shù)的充分條件，所以只要找到實(shí)數(shù)k，使得t＞k時(shí)，g′(x)=2e2x-tex+1＜0，即t＞2ex+e-x在閉區(qū)間［a，b

］上成立即可.因?yàn)閥=2ex+e-x在閉區(qū)間［a，b

］上連續(xù)，故在閉區(qū)間［a，b

］上有最大值，設(shè)其為k，于是在t＞k時(shí)，g′(x)＜0在閉區(qū)間［a，b

］上恒成立，即g(x)在閉區(qū)間［a，b

］上為減函數(shù).51證法2：因?yàn)間′(x)＜0是g(x)為減函數(shù)的充分條件，所以只要找到實(shí)數(shù)k，使得t＞k時(shí)，g′(x)=2e2x-tex+1＜0在閉區(qū)間［a，b

］上成立即可.令m=ex，則g′(x)＜0(x∈［a，b

］)當(dāng)且僅當(dāng)2m2-tm+1＜0(m∈［ea，eb］).而上式成立只需52取2ea+e-a與2eb+e-b中較大者記為k，易知當(dāng)t＞k時(shí)，g′(x)＜0在閉區(qū)間［a，b］上恒成立，即g(x)在閉區(qū)間［a，b］上為減函數(shù).2e2a-tea+1＜02e2b-teb+1＜0，即t＞2ea+e-at＞2eb+e-b成立.533.已知f(x)=ex-ax-1.(1)若f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)是否存在a,使f(x)在(-∞，0］上單調(diào)遞減，在［0，+∞)上單調(diào)遞增？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.題型3利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)函數(shù)中參數(shù)的取值范圍54解：f′(x)=ex-a.(1)因?yàn)閒(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增，所以f′(x)≥0在R上恒成立.所以ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立.所以a≤(ex)min.又因?yàn)閑x＞0，所以a≤0.故a的取值范圍為(-∞,0］.55(2)解法1：由題意知ex-a≤0在(-∞，0］上恒成立,所以a≥ex在(-∞，0］上恒成立.因?yàn)間(x)=ex在(-∞，0］上為增函數(shù),所以當(dāng)x=0時(shí)，ex取得最大值1.所以a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞)上恒成立，即a≤ex在［0，+∞)上恒成立，所以aa=1.56解法2：由題意知，x=0為f(x)的極小值點(diǎn)，所以f′(0)=0,即e0-a=0,所以a=1.點(diǎn)評(píng)：由可導(dǎo)函數(shù)在某指定區(qū)間上是單調(diào)的，可得此函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)