高中物理競賽教程《質點的圓周運動》

vvvv//§質點的圓周運．．1、點圓運(1)勻速圓周運動

如圖所示，質點在半徑為R的圓周上運動時，它的位置可用角θ表示（習慣上以逆時針轉角正，順時針轉角為負動的快慢用角速度表示：lim0

yO

vRθ

P

x質點P的速度方向在圓的切線方向，大小為Rvlimlim0

圖2-4-1ω（或v）為常量的圓周運動稱為勻速圓周運動。里的“勻速”是指勻角速度或勻速率，速度的方向時刻在變。因此，勻速圓周運動的質點具有加速度，其加速度沿半徑指向圓心，稱為向心加速度（法向加速度n

2

/

向心加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小。(2)變速圓運動

ω（或時間變化的圓周運動稱為變速圓周運動，描述角速度變化快慢的物理量為角加速度lim

質點作變速圓周運動時，速度的大小和方向都在變化。將速度增量解為與2平行的分量和垂直的分量1如圖2-4-2。相當于勻速圓周運動個的

,11的大小為R12211質點P的加速度為-1-

=

R

rrvvalimlimlimtt其中就是切向加速度和法向加速度。

//

vR

Pa/Rn圖2-4-2β為常量的圓周運動稱為勻變速圓周運動類似于變速直線運動的規(guī)律有0t

12

2v0vt0r(3)圓周運動也可以分解為二個互相垂直方上的分運動參看圖一個質點A在t=0時刻從x正方向開始沿圓周逆時針方向做勻速圓周運動，在方向上

t

vxacosx

O

vx

t

R

A

vx在y方向上：

yRsin

R

2

)

圖2-4-3vcosy

2

)asiny

2

)從x和y方向上的位移速度和加速度時間t表達的參數(shù)方程可以看出勻速圓周運動可以分為兩個互相垂直方向上的簡諧運動，它們的相位相差．．2、剛體的平面行動-2-

剛體平面平行運動的特征是上的任意質點都作平行于一個固定平面的運動。如圓柱沿斜面的滾動，即為平面平行運動?？扇傮w上任意平行于固定平面的截面作為研究對象。剛體的平面平行運動常有兩種研究方法一種是看成隨基（截面上任意一點都可作為基點）的平動和繞基點的轉動的合運動；另一種是選取截面上的瞬時轉動中心（簡稱瞬心）為基點。瞬心即指某瞬間截面上速度為零的點。這樣，剛體的平面平行運動看成僅作繞瞬心的轉動。確定瞬心的方法有兩種圖2-4-4(a)

S所示若已知截面上兩點的速度則與兩

A

v

A速度方向垂直的直線的交點即為瞬心如圖2-4-4(b)示，已知截面轉動的角速度及截面上某一點的速度，則在與

v

（A

B2-4-4

/A（）速度垂直的直線上，與A點距離為

/A

的點即為瞬心。注意，瞬心的速度為零，加速度不一定為零。．．3、剛體的定軸動剛體運動時剛體上或其延展部分有一根不動直線該直線稱為定軸剛體繞這一軸轉動。剛體作定軸轉動時，其上各點都在與軸垂直的平面內作圓周運動，各點作圓周運動的半徑不同，在某一時刻，剛體上所有各點的角位移、角速度和角加速度都是相同的。而各點的線位移、線速度和線加速度則隨各點離開轉軸的垂直距離不同而不同。．．4、一些求曲率徑特方-3-

先看橢圓曲線A2

求其兩頂點處的曲率半徑。介紹以下兩種方法：(1)將橢圓看成是半徑（設A＞B）

Φ的圓面上的投影圓平面平面的夾角滿足關系式（如圖2-4-5）

y

Q

p

xcos

A

如圖2-4-5設一個質點以速率v在圓上做勻速圓周運動則向心加速度

vA

從上圖中可以看出，當頂點的投影在橢圓的長軸x軸）上的P點時，其速率和加速度分別為：vco

，

ax

2當質點的投影在橢圓的短軸（y軸）上的點時，其速率和加速度分別為：v

acoy

v

。因此橢圓曲線在、Q的曲率半徑分別為：

v22A2A2B(2)將橢圓看成是二個簡諧運動的合成，可以把橢y圓的參數(shù)方程（設A＞圖2-4-6

Q

xyB

可改寫為

Aoo)2

BAP圖2-4-6

x-4-

x20和v32x20和v32即可進一步寫出，y二個方程的速度和加速度a：sinacoswtx

sin()2a2那么在長軸端點處（

t

）的曲率半徑：p

a

2pp

(2A在短軸端點Q處（

2

）的曲率半徑

a

(ABy再把拋物線y=Ax，要求其任意一點的曲率半徑（如圖2-4-7因為拋物線可以寫作參數(shù)方程

n

t

v

v

xtat

2

圖2-4-7

x其中

a2

o

，這樣就可以導出

0ataay對任意一個t值：v=

2

2

20

aN=acos=a

vxv

v

20

av0所以