實際問題與二次函數(shù)拱橋問題

關于實際問題與二次函數(shù)拱橋問題第1頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三活動1：美麗的拱橋第2頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三第3頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三第4頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三XY0BCA探究1:公園要建造圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子OA，O點恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線路線落下。為使水流較為漂亮，要求設計成水流在離OA距離為1米處達到距水面最大高度2.25米。如果不計其他因素，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流落不到池外？本題是涉及公園美化的應用性問題。第5頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三0BCA解：如圖建立坐標系，設拋物線頂點為B，水流落水與x軸交于C點。由題意可知A（０，1.25）、頂點B（1，２.25）XY設拋物線為y=a(x－1)2+2.25將點A坐標代入，得a=－

1y=－

(x－1)2+2.25當y=0，即－(x－

1)2+2.25=0時，x１=－

0.5（舍去），x２=2.5∴水池的半徑至少要2.5米。x１=－

0.5（舍去）第6頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三C(3,0)B(1，3)

變式.要修建一個圓形噴水池,在池中心豎直安裝一根水管.在水管的頂端安裝一個噴水頭,使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高,高度為3m,水柱落地處離池中心3m,水管應多長?AxOy123123解:如圖建立直角坐標系,

點(1,3)是圖中這段拋物線的頂點.

因此可設這段拋物線對應的函數(shù)是∵這段拋物線經(jīng)過點(3,0)∴0=a(3－1)2＋3解得:因此拋物線的解析式為:y=a(x－1)2＋3(0≤x≤3)當x=0時,y=2.25答:水管長應為2.25m.34a=－y=(x－1)2＋3(0≤x≤3)34－第7頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三

如圖的拋物線形拱橋,當水面在時,拱橋頂離水面2m,水面寬4m,水面下降1m,水面寬度增加多少?探究3：第8頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三探究3

圖中是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2m，水面寬4m，水面下降1m，水面寬度增加多少？

分析：我們知道，二次函數(shù)的圖象是拋物線，建立適當?shù)淖鴺讼?，就可以求出這條拋物線表示的二次函數(shù)，為解題簡便，以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為y軸建立直角坐標系．42l第9頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三

拋物線形拱橋，當水面在時，拱頂離水面2m，水面寬度4m，水面下降1m，水面寬度增加多少？xy0(2,-2)●(-2,-2)●當時，所以，水面下降1m，水面的寬度為m.∴水面的寬度增加了m探究3：解：如圖建立如下直角坐標系,設這條拋物線解析式為由拋物線經(jīng)過點（2，-2），可得所以，這條拋物線的二次函數(shù)為：當水面下降1m時，水面的縱坐標為第10頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三

拋物線形拱橋，當水面在時，拱頂離水面2m，水面寬度4m，水面下降1m，水面寬度增加多少？xy0(4,0)●(0,0)●∴水面的寬度增加了m(2,2)解：如圖建立如下直角坐標系，設這條拋物線解析式為由拋物線經(jīng)過點（0，0），可得所以，這條拋物線的二次函數(shù)為：當時，所以，水面下降1m，水面的寬度為m.當水面下降1m時，水面的縱坐標為第11頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三Xyxy00

注意:在解決實際問題時,我們應建立簡單方便的平面直角坐標系.第12頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三

用拋物線的知識解決生活中的一些實際問題的一般步驟：建立直角坐標系二次函數(shù)問題求解

找出實際問題的答案及時總結注意變量的取值范圍第13頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三x0yh

AB練習：第14頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構成，長方形的長是8m，寬是2m，拋物線可以用表示.（1）一輛貨運卡車高4m，寬2m，它能通過該隧道嗎？（2）如果該隧道內(nèi)設雙行道，那么這輛貨運卡車是否可以通過？（1）卡車可以通過.提示：當x=±1時，y=3.75,3.75＋2>4.（2）卡車可以通過.提示：當x=±2時，y=3,3＋2>4.xy－1－3－1－31313O練習：第15頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三：某工廠大門是一拋物線形的水泥建筑物,大門底部寬AB=4m,頂部C離地面的高度為4.4m,現(xiàn)有載滿貨物的汽車欲通過大門,貨物頂部距地面2.7m,裝貨寬度為2.4m.這輛汽車能否順利通過大門?若能,請你通過計算加以說明;若不能,請簡要說明理由.練習第16頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三解：如圖，以AB所在的直線為x軸，以AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系.∵AB=4∴A(-2,0)B(2,0)∵OC=4.4∴C(0,4.4)設拋物線所表示的二次函數(shù)為∵拋物線過A(-2,0)∴拋物線所表示的二次函數(shù)為∴汽車能順利經(jīng)過大門.第17頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三投籃問題第18頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三一場籃球賽中，小明跳起投籃，已知球出手時離地面高米，與籃圈中心的水平距離為8米，當球出手后水平距離為4米時到達最大高度4米，設籃球運行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面3米。

問此球能否投中？3米8米4米4米0第19頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三8（4，4）(0≤x≤8)(0≤x≤8)∵籃圈中心距離地面3米∴此球不能投中如圖，建立平面直角坐標系，點（4，4）是圖中這段拋物線的頂點，因此可設這段拋物線對應的函數(shù)為：3第20頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三活動四：試一試如圖所示，有一座拋物線型拱橋，在正常水位AB時，水面寬20米，水位上升3米，就達到警戒線CD,這時水面寬為10米。（1）求拋物線型拱橋的解析式。（2）若洪水到來時，水位以每小時0.2米的速度上升，從警戒線開始，在持續(xù)多少小時才能達到拱橋頂？（3）若正常水位時，有一艘寬8米，高2.5米的小船能否安全通過這座橋？AB20mCD第21頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三解：（1）設所求拋物線的解析式為：

y=ax2．

設D（5，b），則B（10，b﹣3），

把D、B的坐標分別代入y=ax2得：

，

解得，

∴y=﹣1/25x2；

（2）∵b=﹣1，

∴拱橋頂O到CD的距離為1，

=5小時．

所以再持續(xù)5小時到達拱橋頂．第22頁，共24頁，2023年，2月20日