數(shù)值與計算方法第1章緒論

數(shù)值計算方法1數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!先修課程高等代數(shù)、線性代數(shù)、一門編程語言開課情況48學(xué)時，3學(xué)分。2數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!教學(xué)安排1.緒論2.非線性方程的數(shù)值解法3.線性方程組的數(shù)值解法4.函數(shù)逼近的插值法與曲線擬合法5.數(shù)值積分6.常微分方程數(shù)值解法7.矩陣特征值和特征向量的數(shù)值解法3數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!實際問題數(shù)學(xué)模型(數(shù)值)算法編程計算結(jié)果抽象：“去偽存真，去粗取精”(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)4數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!計算方法主要研究將數(shù)學(xué)模型變成數(shù)值問題, 并研究求解數(shù)值問題的數(shù)值方法，進(jìn)而設(shè)計數(shù)值算法。內(nèi)容包括: 基本概念介紹；誤差及分析；收斂性、穩(wěn)定性；算法復(fù)雜性等5數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!科學(xué)理論、科學(xué)試驗和科學(xué)計算(計算的方法)是現(xiàn)代科學(xué)的三個組成部分計算機(jī)下的科學(xué)計算大大地提高了計算速度和計算精度，是使原來不能實現(xiàn)的海量復(fù)雜計算成為現(xiàn)實科學(xué)計算是以計算機(jī)為基礎(chǔ)的科學(xué)計算，其計算理論是計算數(shù)學(xué)計算數(shù)學(xué)的應(yīng)用：天體物理、大氣研究、分子生物、集成電路、天氣預(yù)報、模式識別、網(wǎng)絡(luò)信息搜索等計算數(shù)學(xué)的發(fā)展：進(jìn)行高效率、高精度的并行計算計算數(shù)學(xué)的應(yīng)用與發(fā)展6數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!用計算機(jī)求解，需要首先將數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換為數(shù)值問題，然后研究求解數(shù)值問題的數(shù)值算法。7數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!求解微分方程是不是數(shù)值問題？將其變成數(shù)值問題，即將其“離散化”“離散化”是將非數(shù)值問題的數(shù)學(xué)模型化為數(shù)值問題的主要方法，這也是計算方法的任務(wù)之一8數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!1.如求根公式2.應(yīng)化為公式9數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!注：【零點定理】

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號（即f(a)×f(b)<0），那么在開區(qū)間（a,b）內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個零點，即至少有一點ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。10數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!簡單迭代法：取初值：x0=0.75迭代得：x1=0.731688868，x2=0.744047084……x42=0.739085133，x43=0.739085133牛頓迭代法：取初值：x0=0.75迭代得：x1=0.739111138，x2=0.739085133 x3=0.739085133比較：兩種方法同樣獲得9位數(shù)字的近似解，

簡單迭代法需要迭代43次，牛頓迭代法迭代3次。11數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!12數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!例1.2.3求

Ax=b，Det(A)≠0，A=(aij)20

20解：1.用Cramar法則求解，總計算量N=((n+1)(n-1)n!+n)flop當(dāng)n=20,N≈9.7

1020flop.以一臺10億/秒的計算機(jī)需約3萬年.結(jié)論：分析算法的效率，選擇算法非常重要解：2.使用Gauss消去法，n=20，N≈3060flop=O(n3/3)flop.13數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!其中14數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!15數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!現(xiàn)取h=0.05,其結(jié)果見下表:xnynY=xnynY=01.000001.000001.21.849311.849310.21.183221.183221.41.943961.943960.41.341641.341641.62.049392.049390.61.483241.483241.82.144762.144760.81.612451.612452.02.236072.236071.01.732051.73205………16數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!17數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!18數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!實際問題數(shù)學(xué)模型(數(shù)值)算法編程計算結(jié)果抽象模型誤差,觀測誤差截斷誤差舍入誤差19數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!截斷誤差：

在求解過程中，往往以近似替代，化繁為簡，這樣產(chǎn)生的誤差稱為截斷誤差。舍入誤差：

在計算機(jī)上運(yùn)算時受機(jī)器字長的限制，一般必須進(jìn)行舍入，此時產(chǎn)生的誤差稱為舍入誤差。20數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!絕對誤差是為了衡量x*的精度高低，比較直觀，但無法衡量精度的好壞。而相對誤差（也成百分比誤差），衡量好壞更合理。21數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!誤差估計22數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!有效數(shù)字在工程上，誤差的概念就轉(zhuǎn)化為有效數(shù)字。23數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!例：求1.3824具有幾位有效數(shù)字?24數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!25數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!26數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!1.2.3函數(shù)值的誤差估計27數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!28數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!29數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!30數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!31數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!1.3算法的優(yōu)化算法優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)從截斷誤差觀點看,算法必須是截斷誤差小,收斂斂速要快。即運(yùn)算量小,機(jī)器用時少.從舍入誤差觀點看,舍入誤差在計算過程中要能控制,即算法的數(shù)值要穩(wěn)定.從實現(xiàn)算法的觀點看,算法的邏輯結(jié)構(gòu)不宜太復(fù)雜，便于程序編制和上機(jī)實現(xiàn).32數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!例題33數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!34數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!35數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!36數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!nInnIn00.1823215590.01705662410.088392216100.01471687620.058039818110.01732471030.04313874212-0.00329021940.03430628713-0.09337417250.02846856014-0.39544229060.024323864152.04387810070.02123782016-10.1568900080.0188108971750.8432760037數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!38數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!第1章緒論利用計算機(jī)解決實際問題有三大步驟：建立模型計算問題的解(1.選擇數(shù)值方法；2.編寫程序)實驗驗證本課程的任務(wù)：

討論第Ⅱ步，即介紹計算機(jī)上的常用的數(shù)值方法39數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!總體設(shè)計(含模型的細(xì)化等)詳細(xì)設(shè)計(主要是算法設(shè)計)實驗驗證其中Ⅱ包括：連續(xù)系統(tǒng)的離散化離散型方程的數(shù)值求解以計算機(jī)為工具求解各種數(shù)學(xué)模型需經(jīng)歷三個過程40數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!計算數(shù)學(xué)的對象計算數(shù)學(xué)是一門古老的數(shù)學(xué)如計算圓周率、《九章計算》等；牛頓、萊布尼茲等提出的微分、積分計算；計算數(shù)學(xué)是一門年輕的數(shù)學(xué)

近代計算機(jī)的誕生，產(chǎn)生了數(shù)學(xué)的計算機(jī)計算.計算機(jī)與數(shù)學(xué)的關(guān)系非常密切計算數(shù)學(xué)：計算機(jī)上的數(shù)學(xué)方法。

或定義為：研究數(shù)值計算方法的設(shè)計、分析和有關(guān)理論基礎(chǔ)與軟件實現(xiàn)的一個數(shù)學(xué)分支。計算數(shù)學(xué)：《計算方法》或《數(shù)值分析》41數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁!為什么要學(xué)習(xí)計算方法這門課？利用計算機(jī)求解實際問題的核心過程，非常重要。雖然已有大量數(shù)值算法的軟件包，但需要我們了解算法設(shè)計的原理，以便更好地應(yīng)用。隨著計算機(jī)的應(yīng)用越來越廣泛，計算問題越來越復(fù)雜，規(guī)模越來越大，現(xiàn)成的數(shù)值方法軟件包不能滿足特定需要，如數(shù)字圖像處理、天氣預(yù)報、Web搜索。42數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁!（1）數(shù)值問題數(shù)值問題：輸入數(shù)據(jù)與輸出數(shù)據(jù)之間函數(shù)關(guān)系的一個確定而無歧義的描述。即：輸入與輸出的都是數(shù)值的數(shù)學(xué)問題如求解線性方程組求解二次方程都是數(shù)值問題43數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁!（2）數(shù)值方法數(shù)值方法：是指解數(shù)值問題的在計算機(jī)上可執(zhí)行的系列計算公式。在計算機(jī)上可執(zhí)行的公式是指只含有加減乘除的公式?，F(xiàn)在的計算機(jī)中幾乎都含有關(guān)于開方的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)sqrt()常見的在計算機(jī)上不能直接運(yùn)行的計算有:開方、極限、超越函數(shù)、微分、積分等等。 要在計算機(jī)上實行上述運(yùn)算需將其化為可執(zhí)行的等價或近似等價運(yùn)算。44數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁!1.1數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法例示例1.1.1試求函數(shù)方程x=cosx在區(qū)間內(nèi)的一個根。解45數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁!1.1數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法例示46數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁!47數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁!注釋1.牛頓-萊布尼茲公式2.數(shù)值解：在特定條件下通過近似計算,（如有限元的方法,

數(shù)值逼近,插值 的方法）得出來的一個數(shù)值。

解析解：解析解為該函數(shù)的解析式。48數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第48頁!注釋：Cramer法則設(shè)線性方程組簡記AX=b49數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第49頁!50數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第50頁!

51數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第51頁!1.2誤差概念和有效數(shù)在任何科學(xué)計算中其解的精確性總是相對的,而誤差則是絕對的.

我們從下面這個例子就可以了解誤差產(chǎn)生的原因.例1.2.1試求擺長為L的單擺運(yùn)動周期.52數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第52頁!53數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第53頁!54數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第54頁!誤差的分類模型誤差： 從實際問題建立的數(shù)學(xué)模型往往都忽略了許多次要的因素,因此產(chǎn)生的誤差稱為模型誤差.觀測誤差： 一般數(shù)學(xué)問題包含若干參數(shù),他們是通過觀測得到的,受觀測方式、儀器精度以及外部觀測條件等多種因素，不可能獲得精確值，由此而來產(chǎn)生的誤差稱為觀測誤差。55數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第55頁!誤差和有效數(shù)字56數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第56頁!誤差估計由于準(zhǔn)確值在一般情況下是未知的，因此絕對誤差和相對誤差常常是無法計算的，但有可能給出估計。誤差界就是用于誤差估計的。57數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第57頁!58數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第58頁!59數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第59頁!絕對誤差，相對誤差，有效數(shù)是度量近似數(shù)精度的常用三種。實際計算時最終結(jié)果均以有效數(shù)給出。同時也就隱含了絕對誤差和相對誤差界。60數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第60頁!函數(shù)值的誤差估計引入微分符號61數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第61頁!62數(shù)值與計算方法第1章緒論共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第62頁