平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩

10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩10.2平面彎曲時(shí)

梁的內(nèi)力——力和彎矩10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩一、梁的內(nèi)力——剪力和彎矩若所有的橫向外力和外力偶都作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，在求得支座反力之后，利用截面法，由隔離體的平衡條件，可求得梁任一橫截面上的內(nèi)力。現(xiàn)以圖示的簡(jiǎn)支梁為例來(lái)說(shuō)明求梁橫截面上內(nèi)力的方法。簡(jiǎn)支梁跨中受一集中力F的作用處于平衡狀態(tài)，梁在集中力F和A、B處支座反力作用下產(chǎn)生平面彎曲變形，現(xiàn)求距A端x處m-m橫截面上的內(nèi)力。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩1.計(jì)算支座反力：由于梁在荷載和支反力的共同作用下處于平衡，因而可根據(jù)梁整體的平衡條件，求得支反力。根據(jù)靜力平衡條件列方程求解10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩2.用截面法分析內(nèi)力：為研究任一橫截面m-m上的內(nèi)力，假想將梁沿m-m截面分為左、右兩半部分，由于整體平衡，所以左、右半部分也處于平衡。取左半部為研究對(duì)象，如圖。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩分析該研究對(duì)象，由平衡條件：∑Fy=0，∑MO(F)=0（O為m-m截面的形心）可判斷m-m截面上必存在兩種內(nèi)力素：1）作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，與橫截面相切的內(nèi)力稱為剪力（或稱切力），用FS表示，剪力實(shí)際上是該截面上切向分布內(nèi)力的合力，剪力的常用單位是N或kN。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩【由平衡條件∑Fy=0，∑MO(F)=0（O為m-m截面的形心）可判斷m-m截面上必存在兩種內(nèi)力素】2）作用面與橫截面垂直的內(nèi)力偶矩稱為彎矩，用M表示，橫截面上的彎矩實(shí)際上是該截面上法向分布內(nèi)力的合力偶矩，彎矩常用單位為N·m或kN·m。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩m-m截面上的剪力和彎矩，可利用左半部的平衡方程求得根據(jù)∑Fy=0，得：FA－Fs=0

所以：∑MO(F)=0，得：－FAx+M=0所以：10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩如果取梁得右半部為研究對(duì)象（如圖），用同樣方法亦可求得截面上的剪力和彎矩。但必須注意，分別以左半部和右半部為研究對(duì)象求出的剪力FS和彎矩M數(shù)值是相等的，而方向和轉(zhuǎn)向則是相反的，因?yàn)樗鼈兪亲饔昧头醋饔昧Φ年P(guān)系。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩二、剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)為使不論從梁的左半部、還是從梁的右半部，求得同一截面上的內(nèi)力FS和M不僅大小相等，而且具有相同的正負(fù)號(hào)，并由正負(fù)號(hào)反映出梁的變形情況，對(duì)梁的剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)，應(yīng)作統(tǒng)一規(guī)定。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩（1）剪力的正負(fù)號(hào)：當(dāng)截面上的剪力FS使所考慮的研究對(duì)象，可能發(fā)生左邊向上、右邊向下的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，即有順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)取正號(hào)；反之取負(fù)號(hào)（如圖）。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩（2）彎矩的正負(fù)號(hào)：截面上的彎矩使所考慮的研究對(duì)象產(chǎn)生上凹下凸的彎曲變形，亦即梁的上部受壓，下部受拉時(shí)，彎矩為正；反之為負(fù)（如圖）10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩如何理解梁在彎矩作用下，引起上部受壓、下部受拉這種變形？以彈簧受彎觀察現(xiàn)象：下面縫變寬，上面縫變窄。思考縫變寬與縫變窄原因？變寬受拉伸長(zhǎng)；變窄受壓縮短。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩三、用截面法計(jì)算指定截面內(nèi)力用截面法計(jì)算指定截面的剪力和彎矩的步驟和方法如下1）計(jì)算支座反力。2）用假想的截面在欲求內(nèi)力處將梁切成左、右兩部分，取其中一部分為研究對(duì)象。3）畫研究對(duì)象的受力圖。畫研究對(duì)象的受力圖時(shí)，應(yīng)注意，對(duì)于截面上未知的剪力和彎矩，均假設(shè)為正向。4）建立平衡方程，求解剪力和彎矩。計(jì)算出的內(nèi)力值可能為正值或負(fù)值，當(dāng)內(nèi)力值為正值時(shí)，說(shuō)明內(nèi)力的實(shí)際方向與假設(shè)方向一致，內(nèi)力為正剪力或正彎矩；當(dāng)內(nèi)力值為負(fù)值時(shí)，說(shuō)明內(nèi)力的實(shí)際方向與假設(shè)的方向相反，內(nèi)力為負(fù)剪力或負(fù)彎矩。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩例10－1.簡(jiǎn)支梁的荷載作用如圖所示，已求得其支座反力。試用截面法求圖示簡(jiǎn)支梁D、E兩處截面的內(nèi)力。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩解：（1）先求D處的內(nèi)力：由于梁上D處有一個(gè)集中力作用，所以應(yīng)分為左右截面分別求解。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩在D點(diǎn)以左作截面將梁截開，取左邊一半為研究對(duì)象進(jìn)行研究，其受力圖如圖10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩在D點(diǎn)以右作截面將梁截開，仍取左邊一半為研究對(duì)象進(jìn)行研究，如圖（多一12kN的力）10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩（2）求E處的內(nèi)力：由于梁上E處有一個(gè)集中力偶作用，所以同樣應(yīng)分為左右截面分別求解。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩在E點(diǎn)以左作截面將梁截開，取右邊一半為研究對(duì)象進(jìn)行研究，其受力圖如圖10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩在E點(diǎn)以右作截面將梁截開，仍取右邊一半為研究對(duì)象進(jìn)行研究，如圖（少了一個(gè)16kNm的力偶）計(jì)算結(jié)果：10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩四、梁上任一截面剪力和彎矩的計(jì)算規(guī)律從截面法計(jì)算內(nèi)力中，可歸納出計(jì)算剪力和彎矩的規(guī)律1．計(jì)算剪力的規(guī)律：梁上任一截面上的剪力,等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有豎向外力（包括支座反力）的代數(shù)和。外力的正負(fù)號(hào)：外力對(duì)所求截面產(chǎn)生順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，取正號(hào)；反之取負(fù)號(hào)?？捎洖椤绊樲D(zhuǎn)剪力正”,也即當(dāng)從截面的左側(cè)計(jì)算時(shí)，向上的外力外正；當(dāng)從截面的右側(cè)計(jì)算時(shí)，向下的外力為正10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩根據(jù)梁上剪力的計(jì)算規(guī)律，正確求剪力的過程（分解動(dòng)作）（1）先根據(jù)平衡條件正確求出支座反力；（2）確定（找到）需求剪力的截面位置；（3）確定從截面的哪一側(cè)進(jìn)行計(jì)算（簡(jiǎn)單一側(cè)）；（4）觀察該一側(cè)有幾個(gè)橫向外力（包括支反力）；（5）判定這些橫向外力（包括支反力）相對(duì)于截面的轉(zhuǎn)向（順時(shí)針為正）；（6）求出這些橫向外力（包括支反力）的代數(shù)和。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩2．計(jì)算彎矩的規(guī)律梁任一橫截面上的彎矩，在數(shù)值上等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有外力（包括支座反力）對(duì)該截面形心之矩的代數(shù)和外力對(duì)截面形心之矩的正負(fù)號(hào)：將所求截面固定,另一端自由,外力使所考慮的梁段產(chǎn)生向下凸的變形時(shí),取正號(hào)；反之取負(fù)號(hào),可記為“下凸彎矩正”。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩也即當(dāng)從截面的左側(cè)計(jì)算時(shí)，左邊梁上向上的外力及順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正彎矩；當(dāng)從截面的右側(cè)計(jì)算時(shí)，右邊梁上向上的外力及逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正彎矩。反之，引起負(fù)彎矩?；?qū)⑼饬?duì)截面形心之矩,用代箭頭弧線表示，則弧線箭尾在下著為正。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩根據(jù)梁上彎矩的計(jì)算規(guī)律，正確求彎矩的過程（分解動(dòng)作）（1）先根據(jù)平衡條件正確求出支座反力；（2）確定（找到）需求彎矩的截面位置；（3）確定從截面的哪一側(cè)進(jìn)行計(jì)算（簡(jiǎn)單一側(cè)）；（4）觀察該一側(cè)有幾個(gè)外力（包括外力偶、支反力）；（5）計(jì)算這些外力（包括外力偶、支反力）對(duì)截面形心之矩（的大小及轉(zhuǎn)向），將他們用帶箭頭的弧線畫到所求一側(cè)的外面，注意其箭尾所在一側(cè)為其受拉側(cè)；（6）求出這些矩的代數(shù)和。注意哪個(gè)轉(zhuǎn)向的矩?cái)?shù)值較大，該力矩箭尾所在一側(cè)，即為最后受拉側(cè)。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩例10－2簡(jiǎn)支梁的受荷載情況如圖所示，試求1－1、2－2、3－3、4－4截面的內(nèi)力。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩解：(1)求支座反力。取整體為研究對(duì)象，設(shè)支座反力FAy、FBy方向向上，由平衡方程。由∑MA(F)=0，得：FBy×8－10×4×6＋40－20×2=0解得：FBy=30kN由∑MB(F)=0，得：－FAy×8＋10×4×2＋40＋20×6=0解得：FAy=30kN10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩（2）根據(jù)內(nèi)力的計(jì)算規(guī)律，求各截面的內(nèi)力1－1截面：

FS1=FAy=30kNM1=FAy×2=30×2=60kN·m2－2截面：

FS2=FAy－F=30－20=10kN

M2=FAy×2=30×2=60kN·m10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩3－3截面：FS3=FAy－F=30－20=10kNM3=FAy×4－F×2

=30×4－20×2=80kN·m4－4截面：FS4=－FBy+q×4

=－30＋10×4=10kN

M4=FBy×4－q×4×2=30×4－10×4×2=40kN·m10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩分析上面示例可看出，從一個(gè)截面經(jīng)過集中力F作用處過渡到另一個(gè)截面時(shí)，截面上的剪力發(fā)生了變化（稱為突變），突變的絕對(duì)值等于該集中力的大小，而彎矩?zé)o變化；從一個(gè)截面經(jīng)過集中力偶作用處過渡到另一個(gè)截面時(shí)，彎矩發(fā)生突變，突變的絕對(duì)值等于該集中力偶矩的大小，而剪力無(wú)變化。所以在求集中力作用點(diǎn)處上的剪力時(shí)，必須要分偏左或偏右計(jì)算，而求集中力偶作用