2023屆高考數(shù)學二輪復習導數(shù)經(jīng)典技巧與方法第01講直接討論法

/08/8/第1講知識與方法1.直接討論法處理恒成立問題,是指對題中給出的函數(shù)(含有參數(shù))直接求導,通過對參數(shù)的分類討論,確定函數(shù)的單調(diào)性,得出函數(shù)的最值(或值域),進而求得參數(shù)的取值范圍.核心思想是:若函數(shù)fx存在最大(小)值,則(1)fx≥0(2)fx≤02.直接討論法研究恒成立問題,求解的關鍵在于確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.一般地,可根據(jù)導數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.常用的手段是對導數(shù)進行因式分解或利用求根公式求根;當極值點不可求時,常利用零點存在性定理,確定導數(shù)零點的范圍之后再進行討論.3.用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性,一般要進行分類討論,其一般步驟為:(1)先求函數(shù)的定義域;(2)求導函數(shù)(通分、因式分解,便于討論導函數(shù)的正負);(3)先討論只有一種單調(diào)區(qū)間的(導函數(shù)同號的)情況;(4)再討論有增有減的情況(導函數(shù)有正有負,以其零點分界);(5)點睛意函數(shù)的斷點,不連續(xù)的同類單調(diào)區(qū)間不要合并.典型例題可求最值型【例1】已知函數(shù)fx(1)討論fx的單調(diào)性(2)若fx≥0,求【解析】(1)函數(shù)fx的定義域為-∞,+∞f①若a=0,則fx=②若a>0,則由f'當x∈-∞,lna時,f'x<0故fx在-∞,lna單調(diào)遞減,在ln③若a<0,則由f'當x∈-∞,ln-a當x∈ln-a故fx在-∞,ln-a2單調(diào)遞減,(2)①若a=0,則fx②若a>0,則由(1)得,當x=lna時,fx從而當且僅當-a2lna≥0,解得0<③若a<0,則由(1)得,當x=ln-a最小值為fln從而,當且僅當a234-ln-a2綜上,a的取值范圍為-2【點睛】求導之后,要有因式分解的意識.f'x=2e2x-aex-a2=2ex+aex-a對數(shù)靠邊走【例2】已知函數(shù)fx(1)當a=4時,求曲線y=f(2)若當x∈1,+∞時,fx>【解析】(1)fx的定義域為0當a=4時,曲線y=fx在1(2)當x∈1,+∞時,f今gx=lnx-①當a≤2,x故g'x>0,gx②當a>2時,令g'由x2>1和x故當x∈1,x2時,因此gx<g1=綜上,a的取值范圍是(-∞,2【點睛】第二問將不等式進行變形,讓對數(shù)變成單獨一項,再對新函數(shù)求導,對數(shù)便消失了.利用“對數(shù)靠邊走”,只需一次求導就可以往下做,可以避免多次求導的麻煩.對于第二問,分類討論的標準其實不止受判別式影響,還需要根據(jù)定義域及二次結構的正負,進行進一步的整合.本題亦可考慮分離參數(shù)來處理,由fx=x+1lnx-ax-1>0,分離參數(shù)a,可得a<x+1lnxx-1,令hx=x+1lnxx-1,則h'x=x-2lnx-1xx-指數(shù)找朋友【例3】已知函數(shù)fx=ex-sinx-cosx,【解析】(1)fx令hx(1)當x∈-5π4當x∈-π,0時,h'x>0;結合圖像可知:當x∈-5π4,π時,(2)當x∈[π,+∞)時而sinx+cosx≤2,e綜上,得證.【點睛】對于含指數(shù)型函數(shù)的不等式,通常要讓一個多項式函數(shù)乘以或除以指數(shù)型函數(shù).“指數(shù)找朋友”,往往很容易求出極值點,從而避免多次求導的麻煩.三角帶參型【例4】已知點Pexx,1(1)當m=-2時,判斷函數(shù)fx在(2)若x≥0時,不等式fx≥1恒成立【解析】由已知,fx(1)當m=-2時,當x<0時,ex<1,又所以函數(shù)fx在-∞,0(2)解法1:①當x=0時,fx=1②當x>0時,f'x則g'x=ex-sinx所以g'x=ex-sinx所以gx>m+2,即f'x(i)當m≥-2時,f'x>0,所以fx≥(ii)當m<-2時,f'0=m+又當x=ln2-m則存在x0∈0,+∞,對任意x∈故fx在0,x0上單調(diào)遞減,所以,當x∈0綜上,所求實數(shù)m的取值范圍是[-2解法2:端點效應令Fx=ex+mx+sinxF'x=ex+m+cosx下證:當m≥-2時,f因為x≥0,m令gx=ex所以g'x單調(diào)遞增,所以所以gx單調(diào)遞增,所以g所以ex+mx+sinx綜上,m的取值范圍是[-2強化訓練1.已知函數(shù)fx(1)討論fx的單調(diào)性(2)若fx有兩個零點,求a的取值范圍【解析】(1)f'(i)若a≤0,則f'x<0,(ii)若a>0,則由f'當x∈-∞,-lna時當x∈-lna,+∞所以fx在-∞,-lna單調(diào)遞減,在-ln(2)(i)若a≤0,由(1)知,(ii)若a>0,由(1)知,當x=-lna時,(1)當a=1時,由于f-lna=(2)當a∈1,+∞時,由于1-1a+lna(3)當a∈0,1時,1又f-2=ae-4設正整數(shù)n0滿足n則fn由于ln3a-1>-lna,綜上,若fx有兩個零點,則a的取值范圍為02.已知函數(shù)fx(1)若a=-1,求函數(shù)fx的圖象在點(2)若fx≥0,求【解析】(1)當a=-1時,fx=e2x又因為切點為0,1,(2)f(1)若a+1=0,即a=-1,則fx=(2)若a+1>0,即a>-1當x∈-∞,lna+12時,f'所以fx在x∈-∞,lna+1所以fx最小值為f即-1<a≤(3)若a+1<0,即a<-1當x∈-∞,ln-a-1時,f'故fx在-∞,lna-1單調(diào)遞減,所以當x=ln-a-1最小值為fln所以-a+12ln-a綜上所述:a的取值范圍為-2【點睛】第二問通過求導判斷其單調(diào)性,發(fā)現(xiàn)a+1的變化影響其單調(diào)性,分別討論其大于、等于、小于03.已知函數(shù)fx(1)討論fx的單調(diào)性(2)當a≤2時,若fx無最小值,求實數(shù)【解析】(1)因為fx所以f'令f'x=0,得x當a≤0時,由f'x>0,得x>則fx在0,1上單調(diào)遞減,在當0<a<1時,由f'x由f'x<0則fx在a,1上單調(diào)遞減,在0,當a=1時,f'x≥0恒成立,當a>1時,由f'x>0,由f'x<0則fx在1,a上單調(diào)遞減,在0,綜上,當a≤0時,fx在0,1上單調(diào)遞減當0<a<1時,fx在a,當a=1時,fx在當a>1時,fx在1,a上單調(diào)遞減(2)當a≤0時,由(1)可知fx在0,1上單調(diào)遞減則fx有最小值f1=-12當0<a<1時,fx在a,1上單調(diào)遞減,在0,因為fx無最小值,所以f0<f1,即當a=1時,由1可知,fx在0,+∞上單調(diào)遞增,所以f