專練18（30題）（二次函數(shù)壓軸題）2022中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)500題（吉林）解析版

2022中考考點(diǎn)必殺500題

專練18（二次函數(shù)壓軸題）（30道）

1.（2022,吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)丫=7：2+2,內(nèi)-6機(jī)（了42,”，

機(jī)為常數(shù)）的圖象記作G,圖象G上點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為2m.平面內(nèi)有點(diǎn)C（-2,-2）.當(dāng)ZC不

與坐標(biāo)軸平行時(shí).，以NC為對角線構(gòu)造矩形/8C，與x軸平行，8c與夕軸平行.

⑴當(dāng)機(jī)=-2,求圖象G的最高點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵若圖象G過點(diǎn)（3,-9）,求出機(jī)的取值范圍；

⑶若矩形Z8CC為正方形時(shí)，求點(diǎn)力坐標(biāo)；

⑷圖象G與矩形的邊有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出〃?的取值范圍.

【答案】（1）0（-4,12）

3

（3）（0,0）或（2,-6）

（4）-1<^,0

【解析】

【分析】

（1）把加=-2代入y=-/+2加-6"，得出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)x的取值范圍求其最大值即

可；

（2）根據(jù)圖象G經(jīng)過點(diǎn)（3,-9）,結(jié)合xCm,列出關(guān)于加的不等式，解不等式即可；

（3）用〃?表示出/、B、。的坐標(biāo)，分情況討論即可；

（4）分類討論，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解題，根據(jù)點(diǎn)/在圖象G上，再在圖象G上找一個(gè)點(diǎn)可以滿

足條件，然后根據(jù)m的取值范圍進(jìn)行分類討論，畫出草圖進(jìn)行解答即可.

⑴

解：當(dāng)機(jī)=-2時(shí)，

y=-x2-4x+12

=-（X2+4X）+12

=-（X+2）2+16

vx<-4,

，當(dāng)x=Y時(shí)，y=-（Y+2）?+16=12最大，

回圖象G的最高點(diǎn)坐標(biāo)為（T12）；

(2)

團(tuán)y=-/+2〃a一6"的圖象過點(diǎn)(3,-9),JzLx<2/n,

2m>3,

3

解得：加之］;

（3）

?「A在y=-x2+2mx-6m_t,

???當(dāng)x=2m時(shí)，y--4w2+4〃/-6m=—6m,

/.A（2m,—6m）,

團(tuán)在正方形45CQ中，Z8與x軸平行，8。與y軸平行，

「.A、8的縱坐標(biāo)相同，B、C的橫坐標(biāo)相同，

B（—2,—6/??）,

同理可得：0（2帆-2）,

當(dāng)機(jī)。0時(shí)，

團(tuán)294-6〃?的符號相反，

??.A點(diǎn)在第二象限或在第四象限內(nèi)，

當(dāng)點(diǎn)A在第：象限內(nèi)時(shí):即〃?<0,4在8的右側(cè)，

-AD=CD,

團(tuán)2機(jī)+2=-6m+2,

解得〃7=0,（不合題意舍去）；

當(dāng)點(diǎn)A在第二象限內(nèi)時(shí)，即加<0,力在3的左側(cè)，

-AD=CD,

0—2—2/??=—6m+2,

解得：〃7=1>0,（不合題意舍去）；

當(dāng)點(diǎn)A在第四象限內(nèi)時(shí)，即加K）,/在。點(diǎn)的下方，

?：AD=CD,

02m+2=6m—2,

解得m=l,

團(tuán)此時(shí)點(diǎn)4的坐標(biāo)為（2,-6）；

當(dāng)點(diǎn)A在第四象限內(nèi)時(shí)，即加X）,4在。點(diǎn)的上方，

-AD=CD,

02//7+2=—6m+2,

解得〃7=。（不合題意舍去）

當(dāng)〃7=0時(shí)，點(diǎn)/（0,0）,B（-2,0）,D（0,-2）,四邊形A8CQ正好為正方形;

綜上分析可知，點(diǎn)力坐標(biāo)為(0,0)或(2,-6).

(4)

團(tuán)點(diǎn)4在圖象G上，

團(tuán)圖象G與矩形ABCD一定有一個(gè)公共點(diǎn)，

回圖象G與矩形ABCD的邊有兩個(gè)公共點(diǎn)，

團(tuán)只需圖象G與矩形ABCD的邊再有一個(gè)公共點(diǎn)即可;

團(tuán)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2m,

(2m,-6m),

當(dāng)X=-2時(shí)，y=-4-10/77,

當(dāng)?4-10/〃=-6〃7時(shí)，7?2=-1,

當(dāng)ni<-l時(shí),如圖所示:

v

此時(shí)圖象G在x<2m時(shí)，、隨x的增大而增大，

回矩形與圖象G只有一個(gè)交點(diǎn)A-,

當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，/點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,6),此時(shí)點(diǎn)/C平行于y軸，不符合題意;

當(dāng)-1<加40時(shí)，如圖所示：

此時(shí)圖象G與邊ZB只有一個(gè)交點(diǎn)a與另外兩邊只有一個(gè)交點(diǎn),

團(tuán)此時(shí)圖象G與矩形ABCD有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)?6/及=-2時(shí)，m=-,

3

當(dāng)OV/wV：時(shí)，2〃?>加，如圖所示:

-X2+2nvc-6m=-6m，

整理得：一/+2/nx=0，

△=4/n2>0,

又囹W0,

團(tuán)此時(shí)△>(),方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，

國此時(shí)圖象G與AB一定還有除A點(diǎn)外的另外一個(gè)點(diǎn),

團(tuán)此時(shí)圖象G與矩形ABCD有三個(gè)交點(diǎn)；

1o

當(dāng)m時(shí)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（；，々），此時(shí)/C平行于x軸，不符合題意;

當(dāng)膽＞；時(shí)，方程—x2+2,nr—6“=—6〃?一定也有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，

回圖象G與,48一定有除/點(diǎn)外的另外一個(gè)點(diǎn)，如圖所示：

回此時(shí)圖象G與矩形ABCD的交點(diǎn)個(gè)數(shù)一定大于2個(gè)，不符合題意；

綜上所述：當(dāng)-IV”長0時(shí)，圖象G與矩形45CD有兩個(gè)交點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，分類討論是

解題的關(guān)鍵.

2.（2022?吉林長春■一模）已知二次函數(shù)丫=以2-2了+'+4（。=0）

（1）當(dāng)〃=-4時(shí)，若點(diǎn)/在此二次函數(shù)的圖象上，求6的值.

⑵若。＜0,求此二次函數(shù)的最大值

⑶若點(diǎn)A（〃?,Y）、8（機(jī)+4,T）恰好同時(shí)落在此二次函數(shù)的圖象上，求。的值，并直接寫出

當(dāng)函數(shù)值y隨x的增大而增大時(shí)x的取值范圍.

⑷的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C（0,：+4］、+E（：,4,設(shè)△（?￡＞￡：的最長

邊與此二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸作y軸的垂線，與此函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為G,

過點(diǎn)F作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)”，若FG=FH,直接寫出。的值.

【答案】⑴4

（2）4

（3）a=-2,當(dāng)函數(shù)值卜隨”的增大而增大x的取值范圍是

(4)tz=—或a=一二

1616

【解析】

【分析】

(1)當(dāng)a=T時(shí)，y=-4x?-2x+與，把P(-」的代入即可求解；

44

(2)配方得y=a?-2x+,+4=a(x-3+4,由a<(),得V最大值為4；

aa

(3)點(diǎn)A(〃7,-4)、8(m+4,Y)恰好同時(shí)落在此二次函數(shù)的圖象上，可知A、5到對稱軸(直

線x=3的距離相等，可得加=工-2,把A(八一4)代入y=or?-2x+4+4有-4=am1-2w+—+4,

aaaa

可得：。=-2,此時(shí)拋物線對稱軸是x=L=-4，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求解；

a2

y=——x+—+4

(4)由已知先求出直線CE解析式為y=-gx+J+4,再由2“I得網(wǎng);,

2c142。

y=ax~-2x+—+4

j+4）,FH=7-+4,在丁=以2-2%+工+4中，令y=；+4得G（1,；+4）,FG=1--二=-

4a4。a4a2a4。2a2aa

根據(jù)EG=F"，即可求解.

（1）

解：當(dāng)。=-4時(shí)，y=Tf-2x+：,

把P（-：b）代入，得。=TX4-2X（-3+F=4；

41644

⑵

解：由題意得：y=ax2-2x+L+4=a（x-」）2+4,

aa

???av0,

???當(dāng)x’時(shí)，y有最大值4；

a

⑶

解：?.?點(diǎn)A（九-4）、8（〃,+4T）恰好同時(shí)落在此二次函數(shù)的圖象上，

.?.A、8到對稱軸（直線"3的距離相等，即〃,+4」,_加，

aaa

.1°

..m=2,

a

把—4）代入y=ar?_2x+」+4,得-4=-2/n+—+4,

aa

將加=_1_2代入得：-4=af--2|-2（--2\+-+4,

a\a）\a）a

解得：a=—29

此時(shí)拋物線對稱軸是

a2

而拋物線開口向下,

當(dāng)函數(shù)值）'隨X的增大而增大X的取值范圍是x-4

(4)

.?.△CDE的最長邊為CE,

設(shè)直線CE解析式為y=依+〃,

-+4=bk=——

則＜a，解得■2

4=-k+bb=-+4

aa

???直線CE解析式為y

2a

3

11

=萬

y=——R+—+44x=0

la

由，得1，(此時(shí)為C,舍去）或，l

2clz1y=一+4=4

y-ax-2x+—+4a

a4d

31

AF(—,—+4),

2a4a

:.FH1+4,

4。

在y=加-2x+'+4中,令尸*4得x,=-/1

a2a

7,沙4),FG

2a2a

?：FG=FH,

=-T-+4,

1±1—

-+4或+4

=-心

a4

4a

解得：3或。=-弓5.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸、增減性及圖象上的點(diǎn)坐標(biāo)特征，

解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo).

3.(2022?吉林?東北師大附中明珠學(xué)校一模)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=犬-2,加+4機(jī)

Cx<2m,m為常數(shù))的圖象記為G.

⑴當(dāng)機(jī)=-2時(shí)，求圖象G最低點(diǎn)的坐標(biāo).

⑵當(dāng)圖象G與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求〃？的取值范圍.

⑶當(dāng)圖象G的最低點(diǎn)到直線y=2的距離為3時(shí)，求"？的值.

⑷圖象G上點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為2相，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,3),當(dāng)NC不與坐標(biāo)軸平行時(shí)，以/C

為對角線作矩形N8CD,使矩形的邊與坐標(biāo)軸平行，當(dāng)圖象G與矩形N8CD的邊有兩個(gè)公

共點(diǎn)時(shí)，直接寫出，”的取值范圍

【答案】⑴(T,-8)

(2)機(jī)40或加=4

⑶一!或2+石

4

⑷-加W0或1OH<3

【解析】

【分析】

(1)當(dāng)m=一2時(shí)，，y=/+4%-8=(x+2)2-12,再結(jié)合x的取值范圍即可求解；

(2)分類討論：當(dāng)〃咨。時(shí)，2m</n,圖象G與工軸始終有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)陽=4時(shí)，圖象G

與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)機(jī)>4時(shí)，2m>m9圖象G與工軸始終有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)0<加<4

時(shí)，0<0,此時(shí)圖象G與x軸無公共點(diǎn)；

(3)分類討論：當(dāng)mvO時(shí)，m>2m,此時(shí)最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4m,則4m二一1,解得機(jī)=-!；

當(dāng)機(jī)>0時(shí)，2m>mf此時(shí)最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4加-療，則4加-//=-1或4〃LM=5,解得

m=2+百或"？=2-石(舍)；

(4)分類討論，數(shù)形結(jié)合解題，由圖象G與矩形48co一定有一個(gè)公共點(diǎn)，則只需圖象G

與矩形4BCO的邊再有一個(gè)公共點(diǎn)即可：當(dāng)—1時(shí)，圖象G在建2加時(shí)，矩形與圖象G

3

只有一個(gè)交點(diǎn)4當(dāng)一1<加40時(shí)，圖G與矩形48C。有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)OVmV：時(shí)，2m>m,

圖象G與矩形Z5CO有三個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)產(chǎn)3時(shí)，9_2如:+4帆=3,團(tuán)=0時(shí)解得〃?=1或團(tuán)=3,

此時(shí)圖象G與8c邊有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)。V/nWl時(shí)，圖象G與矩形有三個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)km<3時(shí)，

4

圖象G與矩形有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)〃?=3時(shí)，圖象G與矩形有三個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)m>3時(shí)，圖象G與矩

形有四個(gè)交點(diǎn).

(1)

解：當(dāng)〃?=-2時(shí)，y=x2+4x-8,

22

0y=x+4x-8=(x+2)-12,

121x44

回當(dāng)x=7?時(shí)，y=-8,

回圖象G最低點(diǎn)的坐標(biāo)(7,-8)：

⑵

解：y=x2-2iwc+4m=(x-m)--nV+4〃？，

回拋物線的對稱軸為直線x="?,

令y=0,則_?-2，取+4機(jī)=0，

13△=4m2—16m-0，

回〃1=0或〃？=4,

當(dāng)“740時(shí)，2/?</?,

回圖象G與x軸始終有一個(gè)公共點(diǎn)，

當(dāng)〃?=4時(shí)，圖象G與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，

當(dāng)"?>4時(shí)，2m>m,圖象G與x軸始終有兩個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)0<加<4時(shí)，回<0,此時(shí)圖象G與x軸無公共點(diǎn)：

綜上所述，加40或加=4時(shí)，圖象G與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn);

⑶

解：團(tuán)圖象G的最低點(diǎn)到直線y=2的距離為3,

回圖象G的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1或5,

當(dāng)m<0時(shí)，m>2m,此時(shí)當(dāng)x=2zn時(shí)，y=4m,

回最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4加，

04/?=—1,

解得旭=-1：

4

當(dāng)力>0時(shí),2m>m,此時(shí)最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4m-nr，

04m—=-1或4m—zn2=5?

解得7%=2+右或〃2=2—y/5(舍)，

綜上所述，機(jī)的值為或2+6；

4

(4)

解：團(tuán)點(diǎn)/在圖象G上，

團(tuán)圖象G與矩形ABCD一定有一個(gè)公共點(diǎn)，

團(tuán)圖象G與矩形/8CD有兩個(gè)公共點(diǎn)，

團(tuán)只需圖象G與矩形N8CQ的邊再有一個(gè)公共點(diǎn)即可；

團(tuán)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2m,

EL4（2次4機(jī)）：

當(dāng)x=-2時(shí)，y=4+8/n,

當(dāng)4+8〃z=4w時(shí)，w=-l,

如圖1,當(dāng)〃?<一1時(shí)，圖象G在時(shí)，y隨x的增大而減小,

團(tuán)矩形與圖象G只有一個(gè)交點(diǎn)小

如圖2,當(dāng)一1<"匹0時(shí)，

圖G與矩形48co有兩個(gè)交點(diǎn);

1

當(dāng).=3時(shí)，時(shí)"

3

如圖3,當(dāng)。＜嶗時(shí)，22〃7,

回圖象G與矩形ABCD有三個(gè)交點(diǎn);

當(dāng)產(chǎn)3時(shí)，x2—Imx+4m-31

整理得：x2—2mx+4m—3=0^

0A=W-16w+12,

解得：或加=3,

此時(shí)圖象G與8c邊有一個(gè)交點(diǎn)，

如圖4,當(dāng)J時(shí),

圖象G與矩形有三個(gè)交點(diǎn);

如圖5,當(dāng)1＜切＜3時(shí)，

圖象G與矩形有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)機(jī)=3時(shí)，圖象G與矩形有三個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)機(jī)>3時(shí)，圖象G與矩形有四個(gè)交點(diǎn).

綜上所述，或時(shí)，圖象G與矩形/8CD有兩個(gè)交點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，分類討論是

解題的關(guān)鍵.

4.（2022?吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校一模）已知二次函數(shù)>=/-2,群-帆與y軸交于點(diǎn)直線

y=機(jī)+5與y軸交于點(diǎn)與直線x=4交于點(diǎn)8,直線丫=-2加與y軸交于點(diǎn)。（4與￡）不

重合），與直線x=4交于點(diǎn)C,構(gòu)建矩形A8CD.

⑴當(dāng)點(diǎn)M在線段A。上時(shí)，求機(jī)的取值范圍.

⑵求證：拋物線y=xZ-2mx與直線y=，〃+5恒有兩個(gè)交點(diǎn).

⑶當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)部的函數(shù)值y隨著x的增大而增大或y隨x的增大而減小時(shí)，求機(jī)的取

值范圍.

⑷當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)部（包括邊界）最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于點(diǎn)8到x軸距離的g時(shí).，直接寫

出m的取值范圍.

【答案】⑴〃？"或"區(qū)三

⑵見解析

（3）機(jī)40或加24

（4）-13</n<3

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)題意先表示出A,8,C,。各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)當(dāng)點(diǎn)M在線段上時(shí)，列出一元一

次不等式組，解不等式組求解即可；

（2）聯(lián)立拋物線與直線解析式，根據(jù)A>0,即可得證；

（3）根據(jù)拋物線開口向上，在對稱軸的左側(cè)，y隨著x的增大而增大，在對稱軸的右側(cè)y

隨x的增大而減小時(shí)，即對稱軸在AO的左側(cè)或者BC的右側(cè)即可求解；

（4）根據(jù)題意y=在矩形內(nèi)部最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于〃?+5,橫坐標(biāo)為0<〃z<4,

根據(jù)題意列出不等式組求解即可.

⑴

解：y=x?-2"1”用與y軸交于點(diǎn)A/,令x=0,則丁=一加，則M（O,-m）

直線y="?+5與y軸交于點(diǎn)Z,與直線x=4交于點(diǎn)直線y=-2m與y軸交于點(diǎn)。（/與。

不重合），與直線x=4交于點(diǎn)C,

:.A（0,/a+5）,8（4,AH+5）,C（4,-2租）,￡）（0,-2/77）,M（0,-m）

當(dāng)點(diǎn)M在線段上時(shí)

—2m<—m<m+5

解得：機(jī)20或，"4-1"

（2）

??-y=x2-2mx-m

聯(lián)立《「

y-m+5

即x2—2mx—m=m+5

x2-2mx-2m-5=0

△=b2-4ac=4機(jī)2+4（2m+5）=4〃，+8/n+20=4（/n+l）'+16>0

拋物線y=V-2機(jī)x-加與直線》=〃?+5恒有兩個(gè)交點(diǎn)

⑶

根據(jù)題意可得，在對稱軸的左側(cè)，y隨著x的增大而增大，在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而

減小時(shí)，

,乂八rj.j、，b—2m

y=x*-Inix-m的對■稱釉為R=---=------=m

2a2

當(dāng)對稱軸在AO的左側(cè)時(shí)，m＜0

當(dāng)對稱軸在BC的右側(cè)時(shí)，，"、4

，，〃40或“？》4

(4)

根據(jù)題意y=x2-Imx-m在矩形內(nèi)部最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于m+5,橫坐標(biāo)為0＜相＜4

B到x軸距離的為帆+5|

???當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)部(包括邊界)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于點(diǎn)8到x軸距離的與時(shí)，

0＜J-------[＜4

2

解得-13KY3

【點(diǎn)睛】

本題考查了坐標(biāo)與圖形，矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖像與性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.(2022?吉林長春?一模)已知拋物線方f_2加x+2〃?+l.

(1)寫出拋物線片/?2"a+2m+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)(用含機(jī)的式子表示).

(2)當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，則加的取值范圍是.

⑶當(dāng)-時(shí),函數(shù)片/?2旭%+2加+1的圖象記為G,設(shè)圖象G的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為yo,當(dāng)

”=-1時(shí)，求加的值.

(4)當(dāng)加＞0時(shí)，分別過點(diǎn)Z(2,1)、B(2,4)作〉軸垂線，垂足分別為點(diǎn)。、點(diǎn)C,拋物

線在矩形45co內(nèi)部的圖象(包括邊界)的最低點(diǎn)到直線方-2的距離等于最高點(diǎn)到x軸的

距離，直接寫出〃？的值.

【答案】⑴(〃?，?〃/+2/77+1)

(2)m￡1

(3)m=3或〃？=]_百

(4)m=2—V2或加=&

【解析】

【分析】

(1)由片(X-/M)2-/W2+2/?+1,即可求解;

(2)由拋物線的圖象可得加41時(shí),，歹隨x的增大而增大；

3

(3)分三種情況討論：當(dāng)MV-1時(shí)，yo=2+^rn=-lf解得加=?](舍)；當(dāng)加＞2時(shí)，x=2,函

數(shù)有最小值，yo=5-2m=-lt解得加=3；當(dāng)?1V屋2時(shí)，yo=-nr+2ni+l=-lf解得加=6+1(舍)

或〃?=-G+l;

（4）分五種情況討論：當(dāng)OVmV1時(shí)，■加，2m+l+2=4,解得加=1（舍）；當(dāng)!4"zVl時(shí)，

22

3

-zw-+2w+l+2=4-2w+l,解得，〃二四+2（舍）或〃?二-四+2；當(dāng)14加<彳時(shí)，-〃/+2〃?+1+2=2〃?+1,

3

解得加二0或〃片-Q（舍）；當(dāng)54屋2時(shí)，-M+2掰+1+2=4,解得〃?二1（舍）；當(dāng)">2時(shí),

最高點(diǎn)縱坐標(biāo)是4,最低點(diǎn)縱坐標(biāo)是1,此時(shí)不符合題意.

（1）

解：^ly=x2-2inx+2m+l=（x-w）2-/n2+2rn+l,

團(tuán)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（w,-m2+2/n+l）；

（2）

解：色拋物線開口向上，

勖於1時(shí)，y隨x的增大而增大，

故答案為：加工1；

⑶

解：當(dāng)mV-1時(shí)，x=-l,函數(shù)有最小值，

眇〃=2+46,

0>7>=-1?

02+4/n=-l,

3

解得杵（舍）；

4

當(dāng)機(jī)>2時(shí)，x=2,函數(shù)有最小值，

^yo=5-2m,

助“尸-1,

05-2???=-1,

解得〃?二3；

當(dāng)-1$加42時(shí)，x=/n,函數(shù)有最小值，

團(tuán)修尸-/+2/〃+1,

眇〃=?1,

0-W2+2W+1=-1,

解得加=6+1（舍）或*-石+1;

綜上所述：，"的值為3或-6+1；

(4)

13

解：當(dāng)函數(shù)過8(2,4)時(shí)，機(jī)=不；當(dāng)函數(shù)過C(0,4)時(shí)，m=--當(dāng)機(jī)=1時(shí)，拋物線

22

當(dāng)0<用<；時(shí)，-〃/+2〃?+1+2=4,

解得昭=1（舍）;

當(dāng)—<mV1時(shí)，-/??2+2/n+l+2=4-2///+l,

2

解得加=血+2（舍）或〃?=-正+2；

3

當(dāng)<5時(shí)，-/??2+2/W+1+2=2/W+1,

解得〃?二五或加二-五（舍）；

3

當(dāng)—<m<2時(shí)，--+2加+1+2=4,

2

解得〃=?1(舍)；

當(dāng)〃?>2時(shí)，最圖點(diǎn)縱坐標(biāo)是4,最低點(diǎn)縱坐標(biāo)是1,

123H4,

回此時(shí)不符合題意；

綜上所述：拉的值為-正+2或拉.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，分類討論，數(shù)形結(jié)合解題

是關(guān)鍵.

6.（2022?吉林?長春市凈月實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）已知二次函數(shù)機(jī)（〃?為常數(shù)）.

⑴當(dāng)加=4時(shí)

①求函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，并寫出函數(shù)值y隨x增大而減小時(shí)x的取值范圍；

②若點(diǎn)P（3川和。（5,"）在其圖象上，且”時(shí).則實(shí)數(shù)f的取值范圍是.

⑵記函數(shù)-機(jī)Cx<m）的圖象為G.

①當(dāng)圖象G與直線y=-1-加只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求加的取值范圍.

②矩形的對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，且邊均垂直于坐標(biāo)軸，其中點(diǎn)/的坐標(biāo)為（2,2-機(jī)），

當(dāng)圖象G在矩形Z8CC內(nèi)部（包括邊界）對應(yīng)的函數(shù)值y隨元的增大而逐漸減小，并且圖象

G在矩形N8C。內(nèi)部（包括邊界）的最高點(diǎn)縱坐標(biāo)和最低點(diǎn)縱坐標(biāo)的差為2時(shí)，直接寫出/?

的值.

【答案】⑴①當(dāng)x<2時(shí)，y隨x的增大而減小；②或f>5；

（2）①"日《或"7=4+2行；②加的值為0或-1或4.

【解析】

【分析】

（1）①把"?=4代入二次函數(shù)解析式中，并化為頂點(diǎn)式，再結(jié)合函數(shù)開口方向可得結(jié)論;

②由二次函數(shù)開口可知，點(diǎn)離對稱軸水平距離越大，y值越大，由此可解答；

（2）①需要分兩種情況，完整拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)和兩個(gè)交點(diǎn)的情況求解.

②利用數(shù)形結(jié)合方法，分類討論拋物線頂點(diǎn)在矩形內(nèi)部與外部兩種情況.

（1）

①當(dāng)m=4時(shí),y=x?-4x+4=（x-2）2,

回函數(shù)的頂點(diǎn)為（2,0）,

01>0,

回當(dāng)x<2時(shí)，y隨x的增大而減??；

②即（t,以）和。（5,戶）在其圖象上，yi>y:,

0PCt,以）到對稱軸的距離小于。（5,y2）到對稱軸x=2的距離，

I3p-2|>|5-2|,

酬<-1或>5,

故答案為：/<-1或，>5：

（2）

①當(dāng)二次函數(shù)與y=-l-m有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

即方程/-加工+2/〃+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得/=加?-4（2/w+l）>0>

解得w<4-2后或,">4+275,

當(dāng)二次函數(shù)產(chǎn)/加方+"?與y=-l-in有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

即方程x?-mx+2,〃+l=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可得A=〃/-4（2m+l）=0,

解得,〃=4-2V5或"?=4+2后,

當(dāng)"?=4-2右時(shí)，5=2-石，y>w,

此時(shí)與圖象G無交點(diǎn)；

當(dāng)"?=4+2~J5時(shí)，y=2+>/5>y<m,

此時(shí)產(chǎn)-1切與圖象G有一個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)二次函數(shù)與直線X="?的交點(diǎn)恰為（m，-1-/M）時(shí)，

自苗得，w=-g.

綜上可知，m<-g或m=4+2行.

②拋物線產(chǎn)3-mx+o經(jīng)過定點(diǎn)（1,1）,點(diǎn)/坐標(biāo)為（2,2-m）,點(diǎn)8坐標(biāo)為（2,m-2）,

當(dāng)w>0時(shí)，宜線x=m在頂點(diǎn)右側(cè)，當(dāng)圖象G在矩形內(nèi)部對應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而逐漸

減小時(shí)，

回圖象與矩形最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m-2,最低點(diǎn)為產(chǎn)4加，

0m-2-(4-m)=2,解得加=4.

當(dāng)-2V”長5時(shí)，-2V〃W0滿足題意，此時(shí)圖象最低點(diǎn)為(〃，，，“),

拋物線與直線x=-2交點(diǎn)為(-2,3/n+4),

當(dāng)3加+422切時(shí)，m>-0.5,此時(shí)拋物線與矩形交點(diǎn)縱坐標(biāo)為2-加，

團(tuán)2-〃人加=2,解得/H=0.

當(dāng)3m+4V2加時(shí)，iZ<-0.5,拋物線與矩形交點(diǎn)最高點(diǎn)縱坐標(biāo)為3加+4,

綜上所述，"?的值為?；?1或4.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，主要考查了函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)關(guān)系式的確定，解題的關(guān)鍵是

對關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行分析，理解分類討論思想，并利用圖象解答.

7.(2022?吉林吉林?一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)了=/+以+0的圖象經(jīng)過點(diǎn)

”(0,-4),點(diǎn)8(4,0).

備用圖

⑴求此二次函數(shù)的解析式.

⑵若點(diǎn)尸是直線18下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)配18的面積最大時(shí)，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)和陰48

的最大面積.

(3)當(dāng)&&+3時(shí)，此二次函數(shù)的最大值為孫最小值為"，若機(jī)-〃=3,直接寫出，的值.

【答案】(1)/=7-3x-4

(2)尸(2,-6),0/加？的面積最大值為8

⑶26-3或3-26

22

【解析】

【分析】

(1)用待定系數(shù)法，將點(diǎn)40,-4),點(diǎn)8(4,0)代入解析式，即可求解；

(2)過點(diǎn)尸作PQ取軸交于點(diǎn)。，求出直線48的解析式為y=x-4,設(shè)P(f,23/-4),則

Q(t,r-4),則5,8=-2(尸2>+8,[=2時(shí),配45的面積最大值為8,此時(shí)尸(2,-6)；

(3)分四種情況討論：①當(dāng)/>|■時(shí)，當(dāng)丫=/時(shí)，了=--3/-4=”，當(dāng)x=r+3時(shí)，

13

y=(r+3)2-3(r+3)-4=/2+3z-4=w,由m-〃=6/=3,解得/=5<一,應(yīng)舍去；②當(dāng)

22

，啟3r+3,即3一士3時(shí)，當(dāng)產(chǎn)3巳時(shí)，尸―2三5寸，33BP：0<區(qū)3」寸，

22224222

m-n=t2+3t-4一(一§)=3,解得，或『=二^^<一？，應(yīng)舍去；若/+3-=?]t,

422222

即：一■|■W區(qū)O時(shí)，m-n=t2-3t-4-(——^)=3?解得：t=3+2">。應(yīng)舍去,或，=2__；

2422

3313

③當(dāng)什3</,即1<一2時(shí)，m-n=t2-3/-4-(/2+3z-4)=-6/=3,解得￡=-§>-5,

應(yīng)舍去，即可求解。

⑴

解：將點(diǎn)/(0,-4),點(diǎn)、B(4,0)代入yuf+fcr+c,

[c=-4

回L，，

[16+4b+c=0

fc=-4

[b=-3

團(tuán)-3x-4；

(2)

解：過點(diǎn)。作尸四軸交力8于點(diǎn)0,

設(shè)宜線AB的解析式為y=kx^b,

fb=-4

\4k+h=0

0y=x-4,

設(shè)P(r,?-3f-4),則0(/,r-4),

2

^PQ=t-4-(尸-3…4)=-t+4tf

222

0Sckpr衿Ao=-2x4x(-r+4r)=-2r+8r=-2(r-2)+8,

0O</<4,

M=2時(shí)，的8的面積最大值為8,

此時(shí)P(2,-6)；

(3)

解：^y=x2-3x-4=(x--|)2一日，

3

團(tuán)拋物線的對稱軸為直線x=

①當(dāng)時(shí),

當(dāng)工=，時(shí)，y=P-3t-4=77,

當(dāng)x=H3時(shí)，y=(1+3)2—3(，+3)—4=產(chǎn)+3，一4二所,

回-〃=6f=3,

13

解得■，應(yīng)舍去；

②當(dāng)t+3,即-2443時(shí)，

222

325

當(dāng)x=5時(shí)，y=--=nt

333

若f+3?3>Jf,即：。<於士時(shí)，

222

x=/+3時(shí),y=(￡+3)2-3(r+3)-4=r2+3r-4=w,

,，25、

回〃？-n=r+3t-4-(-----)=3,

4

解得』第二2,或應(yīng)舍去；

222

333

若f+3—?—t,即：—</<0時(shí)，

222

x-t時(shí)，y=t2-3t-4=加，

，/25、_

回加-n=r-3t-4-(-----)=3,

4

解得：/=±超叵〉0應(yīng)舍去，或仁士2叵；

22

③當(dāng)人3<5,即/時(shí)，

當(dāng)x=f時(shí)，y=P-3f-4="7,

當(dāng)x=r+3時(shí),y=（z+3）2-3（/+3）-4=r+3r-4=n,

0w-n=t2-3/-4-（F+3/-4）=-6f=3,

解得/=-：1>-］3，應(yīng)舍去；

綜上所述：/的值為邁口或±2叵.

22

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，分類討論是求解的關(guān)鍵.

8.（2022?吉林大學(xué)附屬中學(xué)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，把函數(shù)丫=以2+2法+2（a、b為

常數(shù)）的圖象記為G.

（1）求G與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）當(dāng)匕=2時(shí)，G與x只有一個(gè)交點(diǎn)，求。的值.

（3）①設(shè)若點(diǎn)4（2—%,f）在G上，則點(diǎn)B（2+k1）必在G上，且G過點(diǎn)C（3,—1）,求

G的函數(shù)表達(dá)式.

②點(diǎn)0（1,X）、E（4,%）是①中函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，比較M與力的大小.

③點(diǎn)「（"+%）、。（加+3,%）是①中函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，比較與”的大小.

（4）矩形加W四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為尸（1,一2）、”（4,-2）、M（4,4）、N（l,4）,當(dāng)a=—1

時(shí)，函數(shù)丫=62+2"+2（x>0）的圖象在矩形FMWN內(nèi)部的部分均為自左向右下降時(shí)，

直接寫出b的取值范圍.

【答案】（1）（0,2）；（2）。=0或。=2；（3）①y=/-4x+2,②%>Y，③當(dāng)，時(shí)，

11339

丫3>丫4；當(dāng)〃?=5時(shí)，y3=>4;當(dāng)初>5時(shí)，丫3>為；（4）--<b<l--<b<-

【解析】

【分析】

（I）令x=0,即可求得G與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）分。=0和awo兩種情況討論，若。*0,利用A=0解。的方程即可求解；

（3）①根據(jù)題意可求得拋物線的對稱軸為x=2,推出〃=-2a,再將點(diǎn)C（3,-l）代入即可

求解；

②將點(diǎn)。（1,乂）、E（4,%）分別代入y=/-4x+2,求得力的值，比較即可求解；

③將點(diǎn)「（〃?+%）、QW+3,%）分別代入y=/-4x+2求得力,以的關(guān)于〃7的等式，利用

求差法，再分類求解即可；

(4)求得拋物線的對稱軸為％=力，分人＞1和兩種情況討論，根據(jù)圖形分別列出不等式

組求解即可.

【詳解】

(1)令x=0,則y=ax?+2bx+2=2,

I3G與＞軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2).

(2)當(dāng)匕=2時(shí)，y=ax2+4x+2,

①若a=0,一次函數(shù)y=4x+2的圖象G與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

若awO,因?yàn)槎魏瘮?shù)y=af+4x+2的圖象G與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

所以，A=16—8a=0.

解得：a=2.

回。=0或a=2時(shí)，G與x只有一個(gè)交點(diǎn)：

(3)①田點(diǎn)A(2-k,f)、點(diǎn)3(2+幺［都在G匕

回拋物線的對稱軸為x=2,即x=-"=2

2a

團(tuán)Z?=—2a,

將點(diǎn)C(3,-1)代入y=ax2-4ar+2,得：-1=9a-12a+2,

解得：a=lfb=?2,

所以G的函數(shù)表達(dá)式為：y=f_?+2；

②回點(diǎn)0(1,X)、E(4,%)是函數(shù)y=Y-4x+2圖象上的兩點(diǎn)，

田X=1-4+2=-1,y2=16-4x4+2=2,

倒%＞凹；

③團(tuán)點(diǎn)1(加+))、。(加+3,”)是函數(shù)丁=/-4工+2圖象上的兩點(diǎn)，

回％=-4"?+2,%=("2+3)-4?！?3)+2,

回為一%=("?+3y—4(根+3)+2—(m2-4m+2)

=6/??-3,

當(dāng)6加一3＜0,即帆＜；時(shí)，%＞以；

當(dāng)6相一3=0,即初=；時(shí)，%=%;

當(dāng)66一3＞0,即〃時(shí)，y3＞＞4:

(4)當(dāng)。=一1時(shí)，函數(shù)y=a^+2bx+2(x>0),

拋物線的對稱軸為i五=6,開口向下,

國當(dāng)時(shí)，拋物線自左向右下降，

①當(dāng)八1時(shí),

3

當(dāng)了=］時(shí)，y=-\+2b+2>yF=-21即

3

團(tuán)當(dāng)一5<人工1時(shí)?，矩形位于對稱軸右邊部分，滿足矩形尸〃內(nèi)部的部分均為自左向右下

降；

②當(dāng)6>1時(shí)，

頂點(diǎn)縱坐標(biāo)+2〃+2>4,即〃>2,即/,>上，

3

x=l時(shí)，y=-1+2b+2>yN=4,Bp,

39

x=4時(shí)，%=-2<-16+8力+2<%=4,Bp-</?<-；

39

團(tuán)當(dāng)時(shí)，矩形位于對稱軸右邊部分，滿足矩形MMV內(nèi)部的部分均為自左向右下降;

339

綜上，b的取值范圍t為一;〈人<1或;<匕

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二

次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，確定圖象上點(diǎn)的位置關(guān)系和分類求解是本題解題的關(guān)鍵.

9.(2022?吉林長春?一模)已知拋物線y=ax2+bx+a+2(aw0)與x軸交于點(diǎn)A(xi,0),點(diǎn)B(xz,0),

(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，拋物線的對稱軸為直線x=-l.

⑴若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,0),求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)C是第三象限的點(diǎn)，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-2,若拋物線恰好經(jīng)過點(diǎn)C,直接寫出X2的取值范

圍；

⑶拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)P在拋物線上，且I3DOP=45。，若拋物線上滿足條件

的點(diǎn)P恰有4個(gè)，結(jié)合圖象，求a的取值范圍.

?3

【答案】(1)y=—X2—X4—,(1,0)；(2)-lVxz<0;(3)a<-2.

22

【解析】

【分析】

(1)由題意可知拋物線的對稱軸為1=-1=-與，求出b=2a,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的

2a

表達(dá)式，即可求解；

(2)根據(jù)題意可得點(diǎn)C在第三象限，即點(diǎn)A在點(diǎn)C和函數(shù)對稱軸之間，故繼而

進(jìn)行分析即可求解；

(3)根據(jù)題意可得滿足條件的P在x軸的上方有2個(gè)，在x軸的下方也有2個(gè)，則拋物線

與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方，即可求解.

【詳解】

解：(1)拋物線的對稱軸為x=-l=-2,解得：b=2a,

2a

y=ax2+bx+a+2=a(x+1)2+2,

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：a=~,

iia

故拋物線的表達(dá)式為：y=——(x+iy+2=——X2-x+—；

令y=0,即一耳/一%+萬=。，解得：x=-3或1,

故點(diǎn)B的坐標(biāo)為：(1,0).

(2)由(1)知：丁=。(尤+1)2+2,

點(diǎn)C在第三象限，即點(diǎn)C在點(diǎn)A的下方，

即點(diǎn)A在點(diǎn)C和函數(shù)對稱軸之間，故?2VxiV?l,

I

而g(X[+X2)=-1,即X2=-2-X，

故-lVxzVO.

(3)回拋物線的頂點(diǎn)為(-1,2),

[3點(diǎn)D(-1,0),

H2DOP=45。，若拋物線上滿足條件的點(diǎn)P恰有4個(gè),

則拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方，

肖x=0時(shí)，y=ax2+bx+a+2=a+2<0,

解得：a<-2,

故a的取值范圍為：a<-2.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到解不等式、函數(shù)作圖，解題的關(guān)鍵是通過畫出拋物

線的位置，確定點(diǎn)的位置關(guān)系，進(jìn)而分析求解即可.

10.(2019?吉林長春?中考模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線片7-2"ix-3〃？

(1)當(dāng)m=l時(shí)，

①拋物線的對稱軸為直線,

②拋物線上一點(diǎn)P到x軸的距離為4,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)

③當(dāng)〃侖4；時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍是-春942-〃，求〃的值

(2)設(shè)拋物線2mx?3)?在2m-l<x<2m+l上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為刃，直接寫出yo與m之間

的函數(shù)關(guān)系式及加的取值范圍.

【答案】⑴①x=l；②點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1+2夜,4)或(1-2?4)或(IT)；③n的值為匕g；

2

(2)當(dāng)m4-l時(shí)，y0=-m+1；當(dāng)時(shí)，y0=-m-3m；當(dāng)機(jī)21時(shí)，y0=-5m+1.

【解析】

【分析】

(1)①根據(jù)對稱軸公式求出即可；②當(dāng)/-2x—3=4和V-2x-3=T時(shí)，分別求出點(diǎn)P

坐標(biāo)即可；③拋物線開口向上，對稱軸為直線x=l,所以當(dāng)x=〃時(shí)，y=2-n,然后可求

得n值.

(2)分情況討論，當(dāng)〃?4-1時(shí)，當(dāng)-1(加＜1時(shí)，當(dāng)加21時(shí)，結(jié)合拋物線開口方向和對稱

軸，分別求出對應(yīng)的為與m之間的函數(shù)關(guān)系式即可.

【詳解】

解：⑴①x=-3=l.

2a

②當(dāng)m=l時(shí)，y=x2-2x-3.

山題意得：點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為土4,

當(dāng)x?-2x-3=4時(shí)，

x,=1+2\/2,x,=1-2夜.

當(dāng)代-2*-3=-1時(shí)，

X|=x?=1.

二點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1+2忘,4)或(1-2忘,4)或(1,T).

③國拋物線開口向上，對稱軸為直線x=l,

.,.當(dāng)n4x?g時(shí)，y隨x的增大而減小.

.?.當(dāng)x=n時(shí)，y=2-n.

將(n,2—n)代入y=x?-2x-3得：

n2—2n—3=2—n,

1+?全、I-A/21

ni=-2—()'%=一「?

0n的值為上史I.

2

(2)山于拋物線開口向上，對稱軸為直線x=l,

當(dāng)mW-l時(shí)，y0=-m+l；

2

當(dāng)時(shí)，y0=-m-3m；

當(dāng)mNl時(shí)，y()=-5m+1.

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

11.(2021?吉林長春?一模)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(l,2^6)在拋物線y=*2-bx+c上,

將拋物線在點(diǎn)P的右側(cè)的部分沿直線y=2—6翻折，翻折后的圖象與原拋物線剩余部分合稱

為圖象G

⑴。：?

⑵當(dāng)6=—2時(shí)，

①求圖象G與x軸交點(diǎn)坐標(biāo).

②當(dāng)〃眾4〃+1時(shí)-，圖象G對應(yīng)函數(shù)的最小值為4,求〃的值.

⑶①點(diǎn)”(2b,2),點(diǎn)B2),若線段與圖象G有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出b的取

值范圍.

②當(dāng)時(shí)，若EW8P為等腰三角形，請直接寫出/)的值.

【答案】(1)1

(2)①(-1+26,0)(-1,0)；②-4

(3)①匕4-一立■<8<()；②g，］