中國科學(xué)大學(xué)隨機(jī)過程(孫應(yīng)飛)復(fù)習(xí)試題和答案

/設(shè)是一個(gè)實(shí)的零均值二階矩過程,其相關(guān)函數(shù)為,且是一個(gè)周期為的函數(shù),即,求方差函數(shù)。解：由定義,有：試證明：如果是一獨(dú)立增量過程,且,那么它必是一個(gè)馬爾可夫過程。證明：我們要證明：,有形式上我們有： 因此,我們只要能證明在已知條件下,與相互獨(dú)立即可。由獨(dú)立增量過程的定義可知,當(dāng)時(shí),增量與相互獨(dú)立,由于在條件和下,即有與相互獨(dú)立。由此可知,在條件下,與相互獨(dú)立,結(jié)果成立。設(shè)隨機(jī)過程為零初值〔的、有平穩(wěn)增量和獨(dú)立增量的過程,且對每個(gè),,問過程是否為正態(tài)過程,為什么？解：任取,則有：由平穩(wěn)增量和獨(dú)立增量性,可知并且獨(dú)立因此是聯(lián)合正態(tài)分布的,由可知是正態(tài)過程。設(shè)為為零初值的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)過程,問次過程的均方導(dǎo)數(shù)過程是否存在？并說明理由。解：標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的相關(guān)函數(shù)為：如果標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)是均方可微的,則存在,但是：故不存在,因此標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)不是均方可微的。設(shè),是零初值、強(qiáng)度的泊松過程。寫出過程的轉(zhuǎn)移函數(shù),并問在均方意義下,是否存在,為什么？解：泊松過程的轉(zhuǎn)移率矩陣為：其相關(guān)函數(shù)為：,由于在,連續(xù),故均方積分存在。在一計(jì)算系統(tǒng)中,每一循環(huán)具有誤差的概率與先前一個(gè)循環(huán)是否有誤差有關(guān),以0表示誤差狀態(tài),1表示無誤差狀態(tài),設(shè)狀態(tài)的一步轉(zhuǎn)移矩陣為：試說明相應(yīng)齊次馬氏鏈?zhǔn)潜闅v的,并求其極限分布〔平穩(wěn)分布。解：由遍歷性定理可知此鏈?zhǔn)潜闅v的,極限分布為。設(shè)齊次馬氏鏈一步轉(zhuǎn)移概率矩陣如下：〔a寫出切普曼－柯爾莫哥洛夫方程〔C－K方程；〔b求步轉(zhuǎn)移概率矩陣； 〔c試問此馬氏鏈?zhǔn)瞧椒€(wěn)序列嗎？為什么？解：〔a略〔b〔c此鏈不具遍歷性設(shè),其中為強(qiáng)度為的Poission過程,隨機(jī)變量與此Poission過程獨(dú)立,且有如下分布：問：隨機(jī)過程是否為平穩(wěn)過程？請說明理由。由于：故是平穩(wěn)過程。設(shè),其中與獨(dú)立,都服從〔a此過程是否是正態(tài)過程？說明理由?！瞓求此過程的相關(guān)函數(shù),并說明過程是否平穩(wěn)。證明：〔a任取,則有：由于與獨(dú)立,且都服從,因此可得服從正態(tài)分布,由上式可知隨機(jī)向量服從正態(tài)〔高斯分布,所以過程是正態(tài)〔高斯過程?！瞓由：由于相關(guān)函數(shù)不是時(shí)間差的函數(shù),因此此過程不是平穩(wěn)過程。設(shè),是零初值、強(qiáng)度的泊松過程?！瞐求它的概率轉(zhuǎn)移函數(shù)；〔b令,說明存在,并求它的二階矩。解：〔a〔b先求相關(guān)函數(shù)：對任意的,在處連續(xù),故均方連續(xù),因此均方可積,存在。將代入計(jì)算積分即可。由,得：設(shè)一口袋中裝有三種顏色〔紅、黃、白的小球,其數(shù)量分別為3、4、3?，F(xiàn)在不斷地隨機(jī)逐一摸球,有放回,且視摸出球地顏色計(jì)分：紅、黃、白分別計(jì)1、0、-1分。第一次摸球之前沒有積分。以表示第次取出球后的累計(jì)積分,〔a,是否齊次馬氏鏈？說明理由?！瞓如果不是馬氏鏈,寫出它的有窮維分布函數(shù)族；如果是,寫出它的一步轉(zhuǎn)移概率和兩步轉(zhuǎn)移概率?！瞔令,求。解：〔a是齊次馬氏鏈。由于目前的積分只與最近一次取球后的積分有關(guān),因此此鏈具有馬氏性且是齊次的。狀態(tài)空間為：?！瞓〔c即求首達(dá)概率,注意畫狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖。考察兩個(gè)諧波隨機(jī)信號和,其中：式中和為正的常數(shù)；是內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量,是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量?！瞐求的均值、方差和相關(guān)函數(shù)；〔b若與獨(dú)立,求與的互相關(guān)函數(shù)。解：〔a,〔b令諧波隨機(jī)信號：式中為固定的實(shí)數(shù)；是內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量,考察兩種情況：〔a幅值為一固定的正實(shí)數(shù)；〔b幅值為一與獨(dú)立,分布密度函數(shù)為的隨機(jī)變量；試問諧波隨機(jī)信號在兩種情況下是平穩(wěn)的嗎？〔a如12題〔b略設(shè)是一強(qiáng)度為的Poission過程,記,試求隨機(jī)過程的均值和相關(guān)函數(shù)。解：利用導(dǎo)數(shù)過程相關(guān)函數(shù)與原過程相關(guān)函數(shù)的關(guān)系即可得：研究下列隨機(jī)過程的均方連續(xù)性,均方可導(dǎo)性和均方可積性。當(dāng)均方可導(dǎo)時(shí),試求均方導(dǎo)數(shù)過程的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)?！瞐,其中是相互獨(dú)立的二階矩隨機(jī)變量,均值為,方差為；〔b,其中是相互獨(dú)立的二階矩隨機(jī)變量,均值為,方差為。略求下列隨機(jī)過程的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù),從而判定其均方連續(xù)性和均方可微性。〔a,其中是參數(shù)為1的Wienner過程。〔b,其中是參數(shù)為的Wienner過程。解：〔a連續(xù),故均方連續(xù),均方可積?！瞓均方連續(xù),均方可積。討論Wienner過程和Poission過程的均方連續(xù)性、均方可導(dǎo)性和均方可積性。解：略。設(shè)有平穩(wěn)隨機(jī)過程,它的相關(guān)函數(shù)為,其中為常數(shù),求〔為常數(shù)的自協(xié)方差函數(shù)和方差函數(shù)。解：略。設(shè)有實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程,它的均值為零,相關(guān)函數(shù)為,若,求的自協(xié)方差函數(shù)和方差函數(shù)。解：設(shè)和是參數(shù)分別為和的時(shí)齊Poission過程,證明在的任一到達(dá)時(shí)間間隔內(nèi),恰有個(gè)事件發(fā)生的概率為：證明：令為的任一到達(dá)時(shí)間間隔并且,即的分布密度為：由此可知：設(shè)隨機(jī)振幅、隨機(jī)相位正弦波過程,其中隨機(jī)變量和相互獨(dú)立,且有分布：令：試求過程的均值函數(shù)。解：由定義,隨機(jī)過程的均值函數(shù)為：而由于當(dāng)時(shí),隨機(jī)變量的分布密度為：因此有：即：設(shè)有一泊松過程,固定兩時(shí)刻,且,試證明證明：由于,有其中所以設(shè)為零均值的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),和為兩個(gè)待定的正常數(shù)〔,問在什么情況下仍為標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)？說明理由。解：由為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)可知為正態(tài)過程,由正態(tài)分布的性質(zhì)可知為正態(tài)過程,令,則有因此,要使仍為標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng),必須,即：設(shè)有無窮多只袋子,各裝有紅球只,黑球只及白球只。今從第1個(gè)袋子隨機(jī)取一球,放入第2個(gè)袋子,再從第2個(gè)袋子隨機(jī)取一球,放入第3個(gè)袋子,如此繼續(xù)。令〔a試求的分布；〔b試證為馬氏鏈,并求一步轉(zhuǎn)移概率。解：〔a的分布為：〔b的一步轉(zhuǎn)移概率為：設(shè)有隨機(jī)過程,與是相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量,期望均為0,方差分別為和。證明過程均方可導(dǎo),并求導(dǎo)過程的相關(guān)函數(shù)。證明：計(jì)算得：由于相關(guān)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：它是一連續(xù)函數(shù),因此過程均方可導(dǎo),導(dǎo)過程的相關(guān)函數(shù)由上式給出。設(shè)是初值為零標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)過程,試求它的概率轉(zhuǎn)移密度函數(shù)。解：由標(biāo)準(zhǔn)維納過程的定理：設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)維納過程,則對任意,的聯(lián)合分布密度為：其中：可知：當(dāng)時(shí),的聯(lián)合分布密度為：的分布密度為：因此設(shè)有微分方程,初值為常數(shù),是標(biāo)準(zhǔn)維納過程,求隨機(jī)過程在時(shí)刻的一維概率密度。解：方程的解：由于為維納過程,故為正態(tài)過程,因此有：故的一維概率密度為：設(shè)給定隨機(jī)過程及實(shí)數(shù),定義隨機(jī)過程試將的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)用過程的一維和二維分布函數(shù)來表示。解：由均值函數(shù)的定義,有：由自