高考數(shù)學備考優(yōu)生百日闖關(guān)系列專題3.4以解析幾何中與圓相關(guān)的綜合問題解析版Word版含解

2222專三

壓解題第關(guān)

以析何與相的合題【名師綜述】縱觀近三年的高考題析幾何題目是每年必考題型，主要體現(xiàn)在解析幾何知識內(nèi)綜合及與其它知識之間的綜合，圓不會單獨出大題，一般是結(jié)合橢圓、拋物線一起考查，預計年考中解答題仍會重點考查圓與橢圓、拋物線相結(jié)合的綜合問題，同時可能與平面向量、導數(shù)相交匯，每個題一般設(shè)置了兩個問，第（）問一般考查曲線方程的求法，主要利用定義法與待定系數(shù)法求解，而第（）問主要涉及最值問題、定值問題、對稱問題、軌跡問題、探索性問題、參數(shù)范圍問題等類問題綜合性大，解題時需根據(jù)具體問題，靈活運用解析幾何、平面幾何、函數(shù)、不等式、三角知識，正確構(gòu)造不等式，體現(xiàn)了解析幾何與其他數(shù)學知識的密切聯(lián)系.這體現(xiàn)了考試中心提出的應(yīng)更多地從知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點上設(shè)計題目，從學科的整體意義、思想含義上考問題的思想類型一以圓的切線為背景的相關(guān)問題典例已知圓：＋2＝

．（）圓

的切線在

軸和

軸上的截距相等，求此切線的方程．（）圓

外一點

，1

向該圓引一條切線，切點為

為坐標原點，且有

PMPO

，求使得PM取最小值的點坐標．【答案）6)x或y或xy

）(

)5

．【解析】（）

PMPO

得，

xy2y－2--y=11111

，1

即點P在線l：xy上，PM取小值時，即取最小值，直線OP，∴直線

的方程為2xy0

，解方程組

yy

，得

點坐標為(,)5

．【名師指點】圓的切線的應(yīng)用，往往從兩個方面進行考查，一是設(shè)切線方程，利用圓心到切線距離等于半徑列方程求解；二是結(jié)合切線長定理與勾股定理求解．【舉一反三】在平面直角坐標系中已知點，B，C(3,（）經(jīng)過A，B，三的圓P的方程；

．（）直線x并求出定點坐標．

上一點Q，作圓P的條切線，切點分別為A，，求證：直線AB恒定點，【答案）圓P的程為

x

2

2

）證明過程詳見試題解析，定點坐標為

(1,

．【解析】（）接

，∵過直線

x

上一點Q，作圓P的條切線，切點分別為A，∴

QA,PB

，∴，在

PQ

直徑的圓上；設(shè)00，，

的中點坐標為

(

x00)2

，∴以

直徑的圓的方程為

x()2y0)0))

2

，化簡得

x0

；因為為圓的公共弦，所以兩圓方程相減即得2

l:xAB0

，

整理得

y

，所以

xy

，解得，y∴直線AB恒過點，且定點坐標為類型二與圓有關(guān)的面積問題

(1,

．典例已知圓(1,

，D(1,1)

兩點，且圓心M在y0

上．（）圓M的程；（）點P是直線3xy面的最小值．

上的動點，，是圓M的條切線A，為切點，求四邊形【答案）圓M的程為

(y2

）邊形面的最小為

5

．【解析】【名師指點于面圖形的面問題以接表示或者可以利用割補的辦法及長公式等，將面積科學有效表示，其中通過設(shè)直線和曲線的交點，利用韋達定理是解決該種問題的關(guān)鍵．【舉一反三x

軸M在

的延長線上

點P

在圓

x

2

上運動時．3

（Ⅰ）求點M的跡

C

的方程；（Ⅱ）過點

T

x

2y2

的線l交曲線于A

，B兩，求面的大值和相應(yīng)的點的標．【答案）

2

24

）0,或0,．【解析】4

44所以

AB

1

422

4t242

43t

．因為

4t2

43tt

，且當

t3

時，

，所以

得最大值為2．依題意，圓心到直線AB的離為圓x

2

y

2

的半徑，所以面積AB的坐標為3或3

當僅當

t3

時AOB

面積

的最大值為1相應(yīng)的類型三圓與其他圓錐曲線的結(jié)合問題典例已圓

:x

y2

切線l與圓

:x

y

4相于B兩．（）橢圓C的心率；（）證：

；（）

OAB

面積的最大值．【答案）【解析】

63

23）見解析）．35

S2MNS2MN【名師指點】圓與圓錐曲線的交匯問題以公共點為基點生出弦長問題、中點問題、垂直問題、切線問題、恒過定點問題、定長問題等,對不同的題,采用不同的方式方,總體上仍以設(shè)而不求的處理策略為常規(guī)的策略是數(shù)形結(jié),數(shù)反映的形畫出來,結(jié)合圖形解決問題．【舉一反三】已知圓C：(x++y21

=點，，在圓上運動，QC的直平21分線交

QC1

于點

．（）動點

的軌跡

W

的方程；（2）

M、N

分別是曲線

W

上的兩個不同點，且點M在一象限，點

在第三象限，若，為坐標原點，求直線MN的率k

MN

；（3）點

1

且斜率為k的直線l曲線于，B兩，在y

軸上是否存在定點D

，使以

為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出

的坐標，若不存在，說明理由．【答案）y）2

b314k2a

）y軸存在滿足條件的定點D，點D

的坐標為(0,1)

．【解析】6

211212211212（）線

l

方程為ykx

，聯(lián)立直線和橢圓的方程:1kx32

得

9(1k)x

2

kx由題意知：點S)

在橢圓內(nèi)部，所以直線

l

與橢圓必交與兩點，設(shè)

(,),B(,y).1122

則

x2

k3(1

x)k

)假設(shè)在y軸存在定點

，滿足題設(shè)，則

DAxy),DBx)122因為以

為直徑的圓恒過點

,則

DAx,y)y)12

，即:

xxy)(y12

（）因為y,kx

則（*）左邊變?yōu)?/p>

xyy)xy(yy12212

2111x)kxkx)333

2kx()(x)2m3916(214()29(233(2239

m

29(2k7

224224

2

由假設(shè)得對于任意的

kR

,

恒成立，即

解得因在y

軸上存在滿足條件的定點D

點

的坐標為

．【精選名校模擬】．如圖，在直角坐標xOy中圓O:x

2y2

與x軸半軸交于點，點A的直線AM，AN

分別與圓

O

交于M

，

N

兩點．（1若

k

AM

2，

1，求△AMN的積；2（2過點P3,

作圓的條線，切點分別為E，，求；（3若

k

AM

，求證：直線過點．【答案）【解析】

16528））見解析513k,

2，由此能證明直線MN過定,03試題解析）由題知，得直線AM

的方程為y

，直線

AN

的方程為

y

12

x8

所以，圓心到直線的離

，所以，

AM2

455

，由中位線定理知，

85

，由知

k

AM

AN

所⊥，

4585=.55．在平面直角坐標系xOy

中，點A(0,3)

，直線l:y2

,設(shè)圓

的半徑為1，圓心在

l

上．（）圓心

也在直線yx

上，過點A

作圓

的切線，求切線的方程；（）圓

上存在點M，

MAMO

，求圓心

的橫坐標

的取值范圍．【答案）y3

或者3y0

）

．【解析】9

（2）解：∵圓C的圓在直l:y2x4

上，所以，設(shè)圓心為（a,2a-4則圓C的為：a)2

4)

2

（2）又∵

MA2MO

∴設(shè)M為（x,y）x

2

2x

2

y

2

整理得：

x

224

設(shè)為圓（3分）∴點M應(yīng)在圓C上又上

即圓和圓有交∴

21

a

2

4)(

2

21

分12解得，的值范圍為：5

（1）3

xa2b

ab的分別

1

2

D

在橢圓上

1

F12

，F(xiàn)|222|

，

F12

的面積為

.（1）求該橢圓的標準方程；（2）是否存在圓心在y軸的圓，使圓在軸上方與橢圓兩交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的點？若存在，求圓的方程，若不存在，請說明理10

222212222212【答案）

2

2

）在滿足條件的圓，其方程為x

y

【解析】從而

1

，由

F12

得

32DFDFFF，此.所以

aDF22

，故

a

2,ba因此，所求橢圓的標準方程為：

2

11

．在平面直角坐標系xOy，已知動圓過點2，被y軸截得的弦長為4．（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡C的方；（Ⅱ）過點（，2）分別作斜為

k1

2

的兩條直線

ll1

2

，交C于AB兩點（點AB異于P若

k12

，且直線AB與:(x222

相切，eq\o\ac(△,求)的面積．【答案）

y2x

）

4

.【解析】12

∴P到線AB的距

d

2

，△PAB的積為

2

.．在平面直角坐標系xOy中原點為物線C的方程為動弦．13

4線AB是物線的一條

2(1)求拋物線C的線方程和焦點坐標F;2(2)若

OA

求證：直線

恒過定點；(3)當

AB

時

:x2rr

若在且僅存在兩條動弦

滿足直線

與圓D相切，求半徑r的取值范圍？【答案）線方程：【解析】

，焦點坐標F(0,1)）明見解）r.（1準線方程：y

+2分

焦點坐標：F

+4分（2設(shè)直線方為kx,(),(x,y1

ykxxy

得xb

x4kx2

+6分x12

2

xx1

+8分b

直線

過定點（，）

+10分（3

AB1

2

16

2

b

2

k

2

+12分14

11

r

+14分

r

2

22

令

t

k2r

t

當

1

2

時，r

t3

單調(diào)遞減，

r

+15分當

t

2時r

t

單調(diào)遞增，

r

+16分

存在兩解即

t

一解

r

+18分設(shè)

:(x2y與圓:(x5)221

，動圓與圓

C

外切，與圓

C

內(nèi)切．（）動圓C的心軌跡L的程；（）知點(2

，為L上點，求

MPC

最小值．【答案）圓C的心軌跡L的程為

x

22)

）

MP|C

最小值為

．【解析】知FF分為橢圓

2xC：a2

22

的上焦F是物線:xy

的焦點點是C與5在二象限的交點且MF.（1求橢圓的方程;（2）圓

相切的直線l:x交C于B若圓C上點P滿

,求實數(shù)

的取值范圍15

FMOF【答案）

y）{且且4

233

}【解析】（1由題知F(0,1)所以a又由拋物線定義可知y

5得y3于是易知M(

262,),而MF(3

22)33

由橢圓定義知2aMF,得,從而橢圓的方程為

y

分16

2222已知F,F分別是圓E:12

x25

+y=1的右焦F關(guān)直線的稱點是圓的條12直徑的兩個端點.(1)求圓的程;(2)設(shè)過點的線l被圓E和C所得的弦長分為a,b.ab最時求直線l的2【答案）+(y-2)=4

（2）x-y-2=0x+y-2=0【解析】解由題設(shè)知,F的標分別(-2,0),(2,0),圓C的徑為2,心為原點O于直線x+y-2=0對12稱點設(shè)圓心的坐標為(x),0017

22由xy02

解得

x2,0y0所以圓的程(x-2)=4.．已知為A:

2

上的動點，點

B的直平分線與半徑交于點M，點M的軌跡為

的方程；（）曲線

的方程；18

（）點

在第一象限，且

2

時，求點的標．【答案）

2

2

）

．【解析】．已知圓C(xy（1求橢圓的方程；

經(jīng)橢圓

2a的焦點F和上頂點B．b2（2過原點的射線l求OM的大

與橢圓在第一象限的交點為，圓交點為，為OP的中點，【答案）【解析】

y2

）2319

（2法一：依題意射的斜率存在，:(k，P(()

分kx

得：k)x，

ykx(

得：

)

k)，

，

∴

xkxOM,

),)xx)2

(k0)分

k

．設(shè)k)

k2k1k2

，

()

k

，令(

k)

1，．2又，k)在(0,)

1單調(diào)遞增，在(,2

單調(diào)遞分∴當k

1時，)，OM最大值為分22法二：依題意射線l

的斜率存在，設(shè)l:ykxk0)，(,kxQ()

分kx

得：k

)x

，.6分OCCM)20

)3(])3(]MCO=(1,1),kx))x22)21

(k

設(shè)

t(，

)t113ktt1222ttt3

1當且僅當,t3

即[]23．如圖，在平面直角坐標系

xOy

中，圓

2

2

交軸點

A,

（點在x軸負半軸上M為上一動點，

MAMB

分別交直線于

兩點。（）

,Q

兩點縱坐標的乘積；（）點的標為

(1,0)

，連接交于一點．21

線的率不存在時，，MNMNx2線的率不存在時，，MNMNx2121，，12①試判斷點與

PQ

為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由；②記

MANA

的斜率分別為

k,1

2

，試探究

kk12是為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．【答案）

;（2）①點C在外②k12

．【解析】（）

C

，由（）

2(3,0(3,x0，

)

，

y00xx0

，即

PCQ

，點在內(nèi)。②設(shè)

x,)N,)11，2

MN3)N3)

12

，當直線的率存在時，設(shè)直的方程為

yk(

，代入圓方程，整理

(1x

2

k2x

2

0

，

2k22x121

yy(kk122(2)(xx)12112

，22

22

k

22211224211

13

。已圓

C

的圓心在坐標原點

且好與直線l0

相切設(shè)A為上一動點，

AMx

軸于點M

，且動點

滿足3

，設(shè)動點

的軌跡為曲線（1求曲線的方程，（2直線l與直線l垂直且與曲線交B、兩，求△OBD面的最大值．【答案）

x2293

（2

【解析】（）由題意可設(shè)直線l:2m，設(shè)直線l與圓23

x2交于(x,y(,y)93

，

,聯(lián)立方程得x2y

0

，144m

2

m

2

9)

，

解

得

m

39

，

m117m26

，又因為點O到直線l的距離

m

，

51

2

,S

1117m(117)35251313

)

3

當僅當m

2

即m2

時取到最大值）

OBD

面積的最大值為

3

．已知過原點的動直線

l

與圓

Cx2y2x1

相交于不同的兩點

，

．（）圓C的心坐標；1（）線段

的中點

的軌跡

的方程；（3）否存在實數(shù)

，使得直線

L:y

與曲線

只有一個交點？若存在，求出

的取值范圍；若不存在，說明理由．3【答案2

2

94

53

5k或k774

．【解析】（）線段

AB

的中點

(xy)00

，由圓的性質(zhì)可得

C1

垂直于直線

l

.設(shè)直線l的程為mx易知直線l的斜率存在），以

k

C

mx0

0

，所以24

222000000222000000y0x0

00

所以

0

2

x00

2

，即y

94

.因為動直線

l

與圓

C

相交，所以

m2

，所以

2

45

.所以

y

0

2220

4x，所以x，得x或，因035

，所以

53

x0

.所以

(x,)0

滿足

32

y

94

53

即

的軌跡

C

3的方程為y2