高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)專題：立體幾何：直線、平面平行的判定與性質(zhì)

直線、平面平行的判定與性質(zhì)【考點(diǎn)梳理】1．直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定定義

定理

性質(zhì)圖形條件結(jié)論

a∩＝?a∥

?，bα，a∥b∥α

a∥a∩＝?

a∥，aβ，α∩＝ba∥b2.面面平行的判定與性質(zhì)判定定義定理圖形a?，?β

∥β，

性質(zhì)條件

α∩＝?

a∩b＝，

∩γ＝a，

α∥，aβ結(jié)論【教材改編】

a∥，∥αα∥∥β

β∩γ＝a∥b∥α1．必修2練習(xí)改編)下列命題為真的是()．若直線l與平面α有兩個公共點(diǎn)，則l?α．若∥β，a?，?，則a與b是異面直線．若∥β，a?，則∥β．若∩β＝b，a?則aβ一定相交[案][析]A錯誤．直線l和平面有兩個公共點(diǎn)，則l?.6161633561616335錯誤．若∥β，?α，b?，則a與b面或平行．正確．因?yàn)閍β無公共點(diǎn)，則∥β.錯誤．a(chǎn)β有可能平行．故選22A組T改編)如果直線a∥平α直線a與平α內(nèi)的()A．一條直線不相交．無數(shù)條直線不相交[案]D

．兩條直線不相交D．任意一條直線都不相交[析]

因?yàn)閍∥平面α直線a平面α無公共點(diǎn)因此和平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交，故選D.3(必修2AT改編)設(shè)m表示直線，、β表示平面，則下列命題為真的是()

∥α∥α

∥nB.

m∥α∥

∥βC.

α∩＝n∥nD.n∥

∥β∥α∥β

n[案][析]A錯誤．因?yàn)閙可能與相交或異面．B誤．因?yàn)榭赡茉趦?nèi)．D錯誤．mn能異面，故選C.4．必修B組改編)如圖，AB∥平面∥平面β，過，的直線，n分別交α，β于，和D，F(xiàn)，若2，CE＝3，＝4則BD的長為()6

B.

755DFBF225DFBF22C.

85

9D.[案][析]由∥α∥β，易證＝.ACBF2×48即＝，∴＝＝＝5必修PA組T改編)在三棱錐S-ABC中eq\o\ac(△,，)是邊長為的正三角形，623＝SB＝＝，平面DEFH分別與、BC、交于、、F、，且它們分別是AB的中點(diǎn)，如果直SB∥平面DEFH那么四邊DEFH的面積為()A．．[案]A

．18D．363[析]

∵D、EF、H分別是AB、BC、、的中點(diǎn)，∴∥AC，F(xiàn)H∥1，DHSB，∥，則四邊形DEFH是平行四邊形，且HD＝，DE＝3.如圖，取AC的中點(diǎn)，連接、，∵SA＝12＝＝6，∴⊥SO⊥，又SO∩OB＝，22∴AO⊥平SOB，∴SB，則HD⊥DE即四邊形DEFH矩形，∴四邊形DEFH的面積S＝6×3＝，故選6．必修2B組T改編)如圖，透明塑料制成的長方體容器-AD631內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個命題：沒有水的部分始終呈棱柱形；水面EFGH在四邊形的面積為定值；③棱D始終與水面所在平面平行；11④當(dāng)容器傾斜如圖所示時，BEBF是定值．其中正確的個數(shù)是()A．1．3[案]

．2D．4[析]

由題圖，顯然①是正確的，②是錯的；對于③∵D∥BC，BCFG11∴D∥且AD平面EFGH，1111∴D∥平面(水面)．11所以③是正確的；因?yàn)樗嵌康?定體積．1∴SBEF＝，即＝V2V∴BF＝(定值)，即④是正確的，故選C.22222244222×2aa22222244222×2aa7.(必修2PA組T改編如圖分別是棱長為的正方體-ABCD7811的棱C與D的中點(diǎn)，則四邊形DBEF的面積為_______．1[案]

98

a

2[析]2EF＝a.

1依題意，EFD，∴四邊形DBEF為梯形，且BD＝a，11連結(jié)AC交于O連結(jié)A交EF于M圖略，1可證BD⊥平面ACCA，從而BD，1作⊥于N證MN⊥平面ABCDN為中點(diǎn)∴OM＝MN＋＝∴S

2a＋，DBEF＝OM梯＝

22＋3928(必修2例3改)在棱長為2正方體ABCDCD中，是的591111中點(diǎn)，過點(diǎn)作與截面平行的截面，所得截面的面積是_1[案]2[析]

如圖，取AB，D的中點(diǎn)，F(xiàn)，連接A，F(xiàn)，EF，則平面111∥平面122122212在eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)中，1F＝AE＝，＝2，11S△A＝×22

－2

＝，從而所得截面面積為2△EF＝26.19．必修2A組T、練習(xí)T改編)如圖，在三棱柱ABC-A′′C′中，6258點(diǎn)D是的中點(diǎn)，欲過點(diǎn)A′作一截面與平面AC′平行．問應(yīng)當(dāng)怎樣畫線，并說明理由；求所作截面與平面AC′將三棱柱分成的三部分的體積之比．[析](1)在三棱柱ABC-′B′′中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，取′C′的中點(diǎn)，連接A′，′B，則平面′EB∥平面AC′，′E′B，即為應(yīng)畫的線．32663132663111理由如下：因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，E為′C′的中點(diǎn)，所以BD＝C.又因?yàn)锽C∥′C′，所以四邊形BDC′為平行四邊形，所以′∥連接DE，則DEBB′，所以DE′，所以四邊形AA′ED是平行四邊形，所以AD∥′E.又因?yàn)椤銭∩＝A′?平面A′BE?面′BE∩′＝D，AD?平面′D，DC′平面′D，所以平面′EB∥平面AC′.設(shè)棱柱的底面積為S，高為則

三棱錐

′

＝-ACD

三棱錐

B-

′

B

′

E

11＝×＝所以三棱柱夾在平面AC′與平面′間的體積為1′＝－2×＝，∴所作截面與平面AC′將三棱柱分成的三部分的體積之比為12∶∶Sh＝1∶4∶1.10(必修2P練習(xí)T改編如圖，是正方體ABCD-CD的棱DD的中5611點(diǎn)，過、C、三點(diǎn)作平面α與正方體的面相交．畫出平面α與正方體-CD各面的交線；求證：BD∥平面.[析](1)如圖，交線即為、AC、AE，平面α即平面AEC111625111625證明：連接BD與交于，連接，BD∵ABCD為正方形，∴OBD的中點(diǎn)，又E為DD的中點(diǎn)．1∴OE∥BD，又?平面αBD?平面α∴BD∥平面α.11(必修2PA組T改編)如圖，AB∥平面.、Dα內(nèi)任意兩點(diǎn)，M分別是AC與BD中點(diǎn)，求證：∥.[析]

法一：①與BD面時，AB∥知∥CD∥CD又∵CD?，MN?α，∴∥.②當(dāng)AC與不共面時，取AD的中點(diǎn)E，連接ME、∵、分別是AC與的中點(diǎn)，∴∥AB，ME∥CD，又CD?，MEα，則∥α.由∥AB，AB∥且