（上海專用）2023版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題10立體幾何分項(xiàng)練習(xí)（含解析）

PAGEPAGE1第十章立體幾何一．根底題組1.【2022高考上海，4】球的體積為，那么該球主視圖的面積等于.【答案】【解析】設(shè)球的半徑為R，那么：，解得：，該球的主視圖是一個半徑為3的圓，其面積為：.2.【2022高考上海，7】如圖，以長方體的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系.假設(shè)的坐標(biāo)為，那么的坐標(biāo)是.【答案】【解析】將向量的起點(diǎn)平移至點(diǎn)，那么平移后的向量與向量關(guān)于平面對稱，據(jù)此可得：.3.【2022高考上海文數(shù)】如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F分別為BC、BB1中與直線EF相交的是〔〕.(A)直線AA1 (B)直線A1B1(C)直線A1D1 (D)直線B1C【答案】D【解析】試題分析：只有與在同一平面內(nèi)，是相交的，其他A，B，C中的直線與都是異面直線，應(yīng)選D．【考點(diǎn)】異面直線【名師點(diǎn)睛】此題以正方體為載體，研究直線與直線的位置關(guān)系，突出表達(dá)了高考試題的根底性，題目不難，能較好地考查考生分析問題與解決問題的能力、空間想象能力等.4.【2022高考上海理數(shù)】假設(shè)正三棱柱的所有棱長均為，且其體積為，那么．【答案】【解析】【考點(diǎn)定位】正三棱柱的體積【名師點(diǎn)睛】簡單幾何體的外表積和體積計(jì)算是高考的一個常見考點(diǎn)，解決這類問題，首先要熟練掌握各類簡單幾何體的外表積和體積計(jì)算公式，其次要掌握平幾面積計(jì)算方法.柱的體積為,區(qū)別錐的體積；熟記正三角形面積為，正六邊形的面積為.5.【2022高考上海理數(shù)】假設(shè)圓錐的側(cè)面積與過軸的截面面積之比為，那么其母線與軸的夾角的大小為．【答案】【解析】由題意得：母線與軸的夾角為【考點(diǎn)定位】圓錐軸截面【名師點(diǎn)睛】掌握對應(yīng)幾何體的側(cè)面積，軸截面面積計(jì)算方法.如圓柱的側(cè)面積，圓柱的外表積，圓錐的側(cè)面積，圓錐的外表積，球體的外表積，圓錐軸截面為等腰三角形.6.【2022上海,理6】假設(shè)圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，那么其母線與底面角的大小為〔結(jié)果用反三角函數(shù)值表示〕.【答案】.【考點(diǎn)】圓錐的性質(zhì)，圓錐的母線與底面所成的角，反三角函數(shù).7.【2022上海,文8】在長方體中割去兩個小長方體后的幾何體的三視圖如圖，那么切割掉的兩個小長方體的體積之和等于.【答案】24【解析】由題意割去的兩個小長方體的體積為.【考點(diǎn)】三視圖，幾何體的體積..8.【2022上海,理13】在xOy平面上，將兩個半圓弧(x－1)2＋y2＝1(x≥1)和(x－3)2＋y2＝1(x≥3)、兩條直線y＝1和y＝－1圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影局部．記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為Ω.過(0，y)(|y|≤1)作Ω的水平截面，所得截面面積為＋8π.試?yán)米鏁溤怼⒁粋€平放的圓柱和一個長方體，得出Ω的體積值為______．【答案】2π2＋16π9.【2022上海,文10】圓柱Ω的母線長為l，底面半徑為r，O是上底面圓心，A、B是下底面圓周上兩個不同的點(diǎn)，BC是母線，如圖．假設(shè)直線OA與BC所成角的大小為，那么＝______.【答案】【解析】由題知，.10.【2022上海,理8】假設(shè)一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2π的半圓面，那么該圓錐的體積為__________．【答案】【解析】如圖，由題意知，∴l(xiāng)=2.又展開圖為半圓，∴πl(wèi)=2πr，∴r=1，故圓錐的高為，體積11.【2022上海,理14】如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC＝2.假設(shè)AD＝2c，且AB＋BD＝AC＋CD＝2a，其中a，c為常數(shù)，那么四面體【答案】【解析】如圖：當(dāng)AB=BD=AC=CD=a時，該棱錐的體積最大．作AM⊥BC，連接DM，那么BC⊥平面ADM，，.又AD=2c，∴.∴VD－ABC=VB－ADM+VC－ADM=.12.【2022上海,文5】一個高為2的圓柱，底面周長為2π.該圓柱的外表積為__________．【答案】6π【解析】由底面周長為2π可得底面半徑為1.S底＝2πr2＝2π，S側(cè)＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S側(cè)＝6π.13.【2022上海,理7】假設(shè)圓錐的側(cè)面積為2π，底面面積為π，那么該圓錐的體積為______．【答案】【解析】14.【2022上海,文7】假設(shè)一個圓錐的主視圖(如下圖)是邊長為3,3,2的三角形，那么該圓錐的側(cè)面積是________．【答案】3π【解析】15.【2022上海,理12】如下圖，在邊長為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于O，剪去，將剩余局部沿OC、OD折疊，使OA、OB重合，那么以A〔B〕、C、D、O為頂點(diǎn)的四面體的體積為________；【答案】【解析】在折疊過程中，始終沒有改變，所以最后形成的四面體中，底面，故其體積，故答案為：.【點(diǎn)評】此題屬于典型的折疊問題，解題的關(guān)鍵是：抓住折疊前后哪些幾何元素的位置關(guān)系發(fā)生了改變，哪些位置關(guān)系沒有發(fā)生改變，此題中應(yīng)用正方形的性質(zhì)是解題的推手.16.【2022上海,文6】四棱椎P—ABCD的底面是邊長為6的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA＝8，那么該四棱椎的體積是________．【答案】96【解析】底面正方形的面積S＝62＝36，又∵PA⊥底面ABCD，PA＝8，∴VP—ABCD＝×S×PA＝×36×8＝96.17.(2022上海,理5)如圖,假設(shè)正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面邊長為2,高為4,那么異面直線BD1【答案】18.(2022上海,理8)三個球的半徑R1,R2,R3滿足R1+2R2=3R3,那么它們的外表積S1,S2,S3滿足的等量關(guān)系是_____________.【答案】【解析】由題意S1=4πR12,S2=4πR22,S3=4πR32,那么S1S2=16π2〔R1R2)2,∴.又∵,∴=====.∴.19.(此題總分值14分)(2022上海,理19)如圖,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=BC=AB=2,AB⊥BC,求二面角B1-A1C-C【答案】【解析】如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,那么A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C1(0,2,2),設(shè)AC的中點(diǎn)為M,∵BM⊥AC,BM⊥CC1,∴BM⊥平面A1C1C,即=(1,1,0)是平面A設(shè)平面A1B1C=(-2,2,-2),=(-2,0,0),∴n·=-2x=0,n·=-2x+2y-2z=0,令z=1,解得x=0,y=1.∴n=(0,1,1),設(shè)法向量n與的夾角為φ，二面角B1-A1C-C1的大小為θ，顯然θ為銳角.∵cosθ=|cosφ|=,解得,∴二面角B1-A1C-C1的大小為.20.(2022上海,文6)假設(shè)球O1、O2外表積之比,那么它們的半徑之比=__________.【答案】2【解析】由,得.21.(2022上海,文8)假設(shè)等腰直角三角形的直角邊長為2,那么以一直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體體積是__________.【答案】【解析】由題意可知,該幾何體是底面半徑r=2,高h(yuǎn)=2的圓錐,那么其體積.22.(2022上海,文16)如圖,三棱錐的底面是直角三角形,直角邊長分別為3和4,過直角頂點(diǎn)的側(cè)棱長為4,且垂直于底面,該三棱錐的主視圖是〔〕【答案】B【解析】由于主視圖是在幾何體的正前方,用垂直于投影面的光線照射幾何體而得到的投影,易知圖形B符合題意.23.【2022上海,理16】(12’)如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC124.【2022上海,理10】平面內(nèi)兩直線有三種位置關(guān)系：相交，平行與重合。兩個相交平面與兩直線，又知在內(nèi)的射影為，在內(nèi)的射影為.試寫出與滿足的條件，使之一定能成為是異面直線的充分條件25.【2022上海,文7】如圖，在直三棱柱中，，，，那么異面直線與所成角的大小是〔結(jié)果用反三角函數(shù)值表示〕.【答案】【解析】26.【2022上海,文16】〔此題總分值12分〕在正四棱錐中，，直線與平面所成的角為，求正四棱錐的體積.【答案】【解析】作平面，垂足為.連接，是正方形的中心，是直線與平面所成的角.＝，.，，，.27.【2022上海,文16】如果一條直線與一個平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對〞.在一個正方體中，由兩個頂點(diǎn)確定的直線與含有四個頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對〞的個數(shù)是〔A〕48〔B〕18〔C〕24〔D〕36【答案】D28.【2022上海,理11】有兩個相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長分別為。用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，外表積最小的是一個四棱柱，那么的取值范圍是__________.【答案】【解析】兩個相同的直三棱柱并排放拼成一個三棱柱或四棱柱，有三種情況四棱柱有一種，就是邊長為的邊重合在一起，外表積為24+28三棱柱有兩種，邊長為的邊重合在一起，外表積為24+32邊長為的邊重合在一起，外表積為24+36兩個相同的直三棱柱豎直放在一起，有一種情況外表積為12+48最小的是一個四棱柱，這說明29.【2022上海,理17】〔此題總分值12分〕直四棱柱中，，底面是直角梯形，為直角，，，，，求異面直線與所成角的大小．〔結(jié)果用反三角函數(shù)值表示〕【答案】【解析】由題意AB//CD，是異面直線BC1與DC所成的角.連結(jié)AC1與AC，在Rt△ADC中，可得，又在Rt△ACC1中，可得AC1=3.在梯形ABCD中，過C作CH//AD交AB于H，得又在中，可得，在∴異而直線BC1與DC所成角的大小為如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AD、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系.那么C1〔0，1，2〕，B〔2，4，0〕所成的角為，那么∴異面直線BC1與DC所成角的大小為二．能力題組30.【2022高考上海文數(shù)】〔此題總分值12分〕此題共有2個小題，第1個小題總分值6分，第2個小題總分值6分.將邊長為1的正方形AA1O1O〔及其內(nèi)部〕繞OO1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長為，長為，其中B1與C在平面AA1O1O的同側(cè).〔1〕求圓柱的體積與側(cè)面積；〔2〕求異面直線O1B1與OC所成的角的大小.【答案】〔1〕，；〔2〕．圓柱的體積，圓柱的側(cè)面積．〔2〕設(shè)過點(diǎn)B1的母線與下底面交于點(diǎn)B，那么，所以或其補(bǔ)角為與所成的角．由長為，可知，由長為，可知，，所以異面直線與所成的角的大小為．【考點(diǎn)】幾何體的體積、空間角【名師點(diǎn)睛】此類題目是立體幾何中的常見問題.解答此類試題時，關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題.此題能較好地考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化與化歸思想及根本運(yùn)算能力等.31.【2022高考上海理數(shù)】〔此題總分值12分〕此題共有2個小題，第一小題總分值6分，第二小題總分值6分.將邊長為1的正方形〔及其內(nèi)部〕繞的旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長為，長為，其中與在平面的同側(cè).〔1〕求三棱錐的體積；〔2〕求異面直線與所成的角的大小.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】試題分析：〔1〕由題意可知，圓柱的高，底面半徑，，再由三角形面積公式計(jì)算后即得.〔2〕設(shè)過點(diǎn)的母線與下底面交于點(diǎn)，根據(jù)，知或其補(bǔ)角為直線與所成的角，再結(jié)合題設(shè)條件確定，．得出即可．試題解析：〔1〕由題意可知，圓柱的高，底面半徑．由的長為，可知．，．在中，因?yàn)?，，，所以，從而直線與所成的角的大小為．【考點(diǎn)】幾何體的體積、空間角【名師點(diǎn)睛】此類題目是立體幾何中的常見問題.解答此題時，關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題.立體幾何中的角與距離的計(jì)算問題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，應(yīng)根據(jù)題目條件，靈活選擇方法.此題能較好地考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化與化歸思想及根本運(yùn)算能力等.32.【2022高考上海理數(shù)】〔此題總分值12分〕如圖，在長方體中，，，、分別是、的中點(diǎn)．證明、、、四點(diǎn)共面，并求直線與平面所成的角的大小.【答案】【解析】解：如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為、、、、、．因?yàn)?，，所以，因此直線與共面，即、、、共面．設(shè)平面的法向量為，那么，，又，，故，解得．取，得平面的一個法向量．又，故．因此直線與平面所成的角的大小為．【考點(diǎn)定位】空間向量求線面角【名師點(diǎn)睛】(1)設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為θ，那么cosφ＝|cosθ|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)(其中φ為異面直線a，b所成的角)．(2)設(shè)直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，兩向量e與n的夾角為θ，那么有sinφ＝|cosθ|＝eq\f(|n·e|,|n||e|).(3)n1，n2分別是二面角α-l-β的兩個半平面α，β的法向量，那么二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．33.【2022高考上海文數(shù)】〔此題總分值12分〕如圖，圓錐的頂點(diǎn)為，底面的一條直徑為，為半圓弧的中點(diǎn)，為劣弧的中點(diǎn).，，求三棱錐的體積，并求異面直線與所成角的大小.【答案】【解析】因?yàn)?，，所以三棱錐的體積．因?yàn)?，所以異面直線與所成的角就是與的夾角.在中，，，過作，那么，在中，，所以異面直線與所成角的大小.【考點(diǎn)定位】圓錐的性質(zhì)，異面直線的夾角.【名師點(diǎn)睛】求異面直線所成的角常采用“平移線段法〞，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移．計(jì)算異面直線所成的角通常放在三角形中進(jìn)行．34.【2022上海,理19】如圖，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝1，AA′＝1.證明直線BC′平行于平面D′AC，并求直線BC′到平面D′AC的距離．【答案】因?yàn)椋?－1,0，－1)，所以n·＝0，所以n⊥.又BC′不在平面D′AC內(nèi)，所以直線BC′與平面D′AC平行．由＝(1,0,0)，得點(diǎn)B到平面D′AC的距離d＝＝＝，所以直線BC′到平面D′AC的距離為.35.【2022上海,文19】如圖，正三棱錐O－ABC的底面邊長為2，高為1，求該三棱錐的體積及外表積．【答案】體積為，外表積為【解析】由條件可知，正三棱錐O－ABC的底面△ABC是邊長為2的正三角形，經(jīng)計(jì)算得底面△ABC的面積為.所以該三棱錐的體積為.設(shè)O′是正三角形ABC的中心．由正三棱錐的性質(zhì)可知，OO′垂直于平面ABC.延長AO′交BC于D，得AD＝，.又因?yàn)镺O′＝1，所以正三棱錐的斜高OD＝.故側(cè)面積為×6×＝.所以該三棱錐的外表積為＋＝，因此，所求三棱錐的體積為，外表積為.36.【2022上海,理19】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．AB＝2，，PA＝2.求：(1)三角形PCD的面積；(2)異面直線BC與AE所成的角的大小．【答案】(1);(2)【解析】(1)因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD．從而CD⊥PD．因?yàn)?，CD＝2，所以三角形PCD的面積為.(2)解法一：如下圖，建立空間直角坐標(biāo)系，那么B(2,0,0)，C(2,,0)，E(1,,1)．＝(1,,1)，＝(0,,0)．設(shè)與的夾角為θ，那么，.由此知，異面直線BC與AE所成的角的大小是.解法二：取PB中點(diǎn)F，連接EF，AF，那么EF∥BC，從而∠AEF(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AE所成的角．在△AEF中，由，，AE＝2，知△AEF是等腰直角三角形．所以∠AEF＝.因此，異面直線BC與AE所成的角的大小是.37.【2022上海,理21】ABCD－A1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱，O1為A1C1與B1D(1)設(shè)AB1與底面A1B1C1D1所成角的大小為α，二面角A－B1D1－A1的大小為β.求證：；(2)假設(shè)點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高．【答案】(1)參考解析;(2)2【解析】設(shè)正四棱柱的高為h.(1)證明：連AO1，∵AA1⊥底面A1B1C1D1，∴∠AB1A1是AB1與底面A1B1C1D1所成角，∴∠AB1A∵在等腰△AB1D1中，AO1⊥B1D1.又A1C1⊥B1D1∴∠AO1A1是二面角A－B1D1－A1的一個平面角，∴∠AO1A1＝在Rt△AB1A1中，；在Rt△AO1A1中，.∴.得u＝hw，v＝hw，∴n＝(hw，hw，w)．令w＝1，得n＝(h，h,1)．由點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為，解得高h(yuǎn)＝2.解法二：連AC，CB1，CD1.一方面，那么四面體AB1D1C的體積.另一方面，設(shè)正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積為V1，三棱錐C－B1C1D1的體積為V2，那么據(jù)此，得，解得高h(yuǎn)＝2.38.【2022上海,文20】ABCDA1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱，高AA1(1)異面直線BD與AB1所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)；(2)四面體AB1D1C【答案】(1);(2)【解析】(1)連結(jié)BD，AB1，B1D1，AD1.∵BD∥B1D1，AB1＝AD1，∴∠AB1D1為異面直線BD與AB1所成角，記為α.∵，∴異面直線BD與AB1所成角的大小為.(2)連結(jié)AC，CB1，CD1.設(shè)正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積為V1，三棱錐C-B1C1D1的體積為V2，那么四面體AB1D1C的體積V＝V1－4V1＝2，.∴所求體積.39.【2022上海,理21】(此題總分值13分)此題共有2個小題，第一個小題總分值5分，第2個小題總分值8分.如下圖，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4個全等的矩形骨架，總計(jì)耗用9.6米鐵絲，骨架把圓柱底面8等份，再用平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面〔不安裝上底面〕.(1)當(dāng)圓柱底面半徑取何值時，取得最大值？并求出該最大值〔結(jié)果精確到0.01平方米〕;(2)在燈籠內(nèi)，以矩形骨架的頂點(diǎn)為點(diǎn)，安裝一些霓虹燈，當(dāng)燈籠的底面半徑為0.3米時，求圖中兩根直線與所在異面直線所成角的大小〔結(jié)果用反三角函數(shù)表示〕.【答案】〔1〕〔2〕【解析】(1)設(shè)圓柱形燈籠的母線長為l，那么l1.22r(0<r<0.6)，，

所以當(dāng)r0.4時，S取得最大值約為1.51平方米；

(2)當(dāng)r0.3時，l0.6，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，

設(shè)向量與的夾角為，那么，

所以A1B3、A3B5所在異面直線所成角的大小為．【點(diǎn)評】此題以圓柱形燈籠為載體，考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、異面直線所成角的概念與求法，由此看出，立體幾何板塊難度比去年有所上升.40.【2022上海,文20】如下圖，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4個全等的矩形骨架，總計(jì)耗用9.6米鐵絲．骨架將圓柱底面8等分．再用S平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面(不安裝上底面)．(1)當(dāng)圓柱底面半徑r取何值時，S取得最大值？并求出該最大值(結(jié)果精確到0.01平方米)；(2)假設(shè)要制作一個如圖放置的，底面半徑為0.3米的燈籠，請作出用于制作燈籠的三視圖(作圖時，不需考慮骨架等因素)．【答案】(1)當(dāng)半徑r＝0.4(米)時，Smax＝0.48π≈1.51(平方米);(2)參考解析41.【2022上海,理16】體積為1的直三棱柱中，，，求直線與平面所成角.【答案】42.【2022上海,理19】〔此題總分值14分〕此題共有2個小題，第1小題總分值6分，第2小題總分值8分〕在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60．〔1〕求四棱錐P－ABCD的體積；〔2〕假設(shè)E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成角的大小〔結(jié)果用反三角函數(shù)值表示〕．【答案】〔1〕2;〔2〕arccos【解析】(1)在四棱錐P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB與平面ABCD所成的角,∠PBO=60°.在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1,由PO⊥BO,于是,PO=BOtg60°=,而底面菱形的面積為2.∴四棱錐P-ABCD的體積V=×2×=2.(2)解法一：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),射線OB、OC、OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.在Rt△AOB中OA=,于是,點(diǎn)A、B、D、P的坐標(biāo)分別是A(0,－,0),B(1,0,0),D(－1,0,0)P(