2021-2022學(xué)年安徽省滁州市定遠縣高二年級下冊學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2021-2022學(xué)年安徽省滁州市定遠縣高二下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．5G基站建設(shè)是眾多“新基建”的工程之一，截至2021年7月底，A地區(qū)已經(jīng)累計開通5G基站300個，未來將進一步完善基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)體系，加快推進5G網(wǎng)絡(luò)建設(shè)．已知2021年8月該地區(qū)計劃新建50個5G基站，以后每個月比上一個月多建40個，預(yù)計A地區(qū)累計開通4640個5G基站要到（

）A．2022年10月底 B．2022年9月底C．2022年8月底 D．2022年7月底【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式進行求解【詳解】由題意得，2021年8月及之后該地區(qū)每個月建設(shè)的5G基站數(shù)量為等差數(shù)列，則公差為40，假設(shè)要經(jīng)過k個月，則，解得：，所以預(yù)計A地區(qū)累計開通4640個5G基站要到2022年9月底，故選：B．2．已知等差數(shù)列的前項和為若則的值為（

）A．18 B．17 C．16 D．15【答案】D【分析】先由得到，再利用解出即可.【詳解】因為，故，又，故，所以.故選：D.3．已知數(shù)列滿足，，給出下列三個結(jié)論：①不存在a，使得數(shù)列單調(diào)遞減；②對任意的a，不等式對所有的恒成立；③當(dāng)時，存在常數(shù)C，使得對所有的都成立．其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】A【分析】由即可判斷①；由即可判斷②；由結(jié)合累加法求得即可判斷③.【詳解】由，可得，則，，則，都有數(shù)列單調(diào)遞增，故①正確；由可得，又數(shù)列單調(diào)遞增，則，則，即，②正確；由可得，則，，，，將以上等式相加得，又，單調(diào)遞增，則，又由可得，又，則，即，則，設(shè)，，易得，當(dāng)時，，則，，故不存在常數(shù)C，使得對所有的都成立，故③錯誤.故選：A.4．已知等比數(shù)列滿足，，則（

）A．?dāng)?shù)列是等差等列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列【答案】B【分析】利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義求解判斷.【詳解】解：因為等比數(shù)列滿足，，則，故數(shù)列是以1為首項，以2為公比的等比等列，故A錯誤；則，故數(shù)列是以0為首項，以-1為公差的等差數(shù)列，故B正確；由A知：。故數(shù)列是遞增數(shù)列，故C錯誤；由B知：，故數(shù)列是遞減數(shù)列，故D錯誤；故選：B5．過函數(shù)圖像上一個動點作函數(shù)的切線，則切線領(lǐng)斜角范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得到，即切線的斜率，進而得到，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，因為，所以，即切線的斜率，設(shè)切線的傾斜角為，則又因為，所以或，即切線的傾斜角的范圍為.故選：B.6．已知的導(dǎo)數(shù)存在，的圖象如圖所示，設(shè)是由曲線與直線，及x軸圍成的平面圖形的面積，則在區(qū)間上（

）A．的最大值是，最小值是 B．的最大值是，最小值是C．的最大值是，最小值是 D．的最大值是，最小值是【答案】D【分析】根據(jù)圖像，利用導(dǎo)數(shù)的定義，化簡，然后，逐個選項進行判斷即可.【詳解】如圖所示，的最大值為，最小值為．由導(dǎo)函數(shù)的定義，得．則的最大值是，最小值是.故選：D7．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，，再判斷函數(shù)的奇偶性，根據(jù)奇偶性計算可得；【詳解】解：因為，所以，令，，則，，即為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以，即，，所以，所以；故選：B8．曲線在點P處的切線平行于直線，則點P的坐標(biāo)為（

）A．或 B．或C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值等于切線斜率，即可求解切點坐標(biāo)，檢驗不重合即可.【詳解】由得，設(shè)點，則，將代入中即可得故;當(dāng)時，切線方程為，不符合，舍去.所以點.故選：D9．已知函數(shù)，則的導(dǎo)函數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式計算可得；【詳解】解：因為，所以故選：C10．已知函數(shù)，則（

）A．2 B．4 C．3 D．1【答案】B【分析】先求得導(dǎo)函數(shù)，然后求得．【詳解】，所以．故選：B11．如圖是的導(dǎo)數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是（

）A．在內(nèi)是增函數(shù)B．在內(nèi)是減函數(shù)C．在時取得極小值D．當(dāng)時取得極大值【答案】B【分析】利用導(dǎo)函數(shù)值的正負判斷的單調(diào)區(qū)間，再確定函數(shù)的極值【詳解】時，，此時在單調(diào)遞減時，，此時在單調(diào)遞增時，，此時在單調(diào)遞減時，，此時在單調(diào)遞增在處左增右減，故在時取得極大值在處左減右增，故在時取得極小值綜上可知：B正確故選：B12．若函數(shù)（其中a，b，）的圖像關(guān)于點對稱，函數(shù)是的導(dǎo)數(shù)，則下列說法中，正確命題的個數(shù)有（

）①函數(shù)是奇函數(shù)；②，使得；③是函數(shù)圖像的對稱軸；④一定存在極值點.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用圖象平移變換判斷①，根據(jù)三次函數(shù)的性質(zhì)即三次函數(shù)圖象與軸交點結(jié)論判斷②；對求導(dǎo)后的結(jié)論判斷③；舉反例判斷④．【詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，把它向左平移1個單位，對稱點變?yōu)?，即函?shù)是奇函數(shù)，①正確；是三次函數(shù)，其圖象與軸一定有公共點，因此，使得，②正確；的圖象關(guān)于對稱，則，兩邊求導(dǎo)得，所以的圖象關(guān)于直線對稱，③正確；例如，滿足題意設(shè)條件，但，單調(diào)遞增，無極值．④錯誤．因此正確的個數(shù)是3，故選：C．二、填空題13．已知數(shù)列，滿足，，，的前n項和為，前n項積為．則______．【答案】【分析】利用累加和累乘可求，從而可求的值.【詳解】因為，，故，依次有根據(jù)可得，故.由可得，從而，故，故答案為：.14．函數(shù)在點處的切線方程是_________．【答案】【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到且，再結(jié)合直線的點斜式，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，則且，所以在點處切線方程是，即．故答案為：.15．已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且為偶函數(shù)，，則不等式的解集為______．【答案】【分析】構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，由題設(shè)知對稱軸為，即可得，進而求，而原不等式等價于，即可求解集.【詳解】設(shè)，則，又，所以，即在R上是減函數(shù)，因為為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于y軸對稱，而向右平移3個單位可得，所以對稱軸為，則，所以，不等式等價于，故，所以不等式的解集為.故答案為：16．已知前項和為的等差數(shù)列（公差不為0）滿足仍是等差數(shù)列，則通項公式___________.【答案】【分析】根據(jù)是等差數(shù)列列方程，求得數(shù)列的公差，由此求得.【詳解】設(shè)公差為，則，或，而不合題意，故.故答案為：三、解答題17．在數(shù)列中，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知數(shù)列，數(shù)列的前項和為，求．【答案】(1)(2)42【分析】（1）根據(jù)條件利用累加法可求得答案；（2）寫出，可得，繼而求得答案.【詳解】（1）由題意得;,即；（2），故,故.18．設(shè)數(shù)列的前n項和為，且滿足，數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意結(jié)合數(shù)列作差可得，再利用累加法求出；（2）由題意可得，再利用錯位相減法求和即可；【詳解】（1）解：∵，當(dāng)時，兩式作差得，即.當(dāng)時，∴，∴為首項為2，公比為的等比數(shù)列，∴，∴，即，又，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴；（2）解：由題意則，①則，②①②得，∴，19．已知．(1)當(dāng)時，求曲線上的斜率為的切線方程；(2)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)m的范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可利用斜率求得切點坐標(biāo)，由此可得切線方程；（2）令，將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，恒成立；討論當(dāng)時，由導(dǎo)數(shù)可證得單調(diào)遞增，由可求得m范圍；當(dāng)時，利用零點存在定理可說明存在，并得到單調(diào)性，知，由此可解得的范圍，根據(jù)可求得m范圍．【詳解】（1）當(dāng)時，，；令，解得：，∴切點坐標(biāo)為，∴所求切線方程為：，即；（2）令，則原問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時，恒成立，即恒成立；，，則當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，∴；①當(dāng)，即時，，∴在上單調(diào)遞增，∴，解得：，∴；②當(dāng)，即時，，當(dāng)時，；∴，使得，即，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，解得：，即，又，∴，令，則，∴當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，∴，即；綜上所述：實數(shù)m的取值范圍為．20．已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為．(1)求的值和函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】(1)，；(2)單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；極小值為，無極大值．【分析】（1）由切點在切線上求得值，由切線在函數(shù)圖象上求得值，由導(dǎo)數(shù)幾何意義求得值；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的正負確定單調(diào)區(qū)間，確定極值.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，把點代入切線方程為得：，所以切點坐標(biāo)為（1，1），由題意得：，①因為，且函數(shù)的圖象在點（1，1）處的切線斜率為，所以，②由①②解得：，，綜上，．（2）由（1）知，，所以，令，解得：；令，解得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，當(dāng)時，函數(shù)的極小值為，無極大值．21．已知兩曲線和都經(jīng)過點，且在點P處有公切線.(1)求的值；(2)求公切線所在的直線方程；(3)若拋物線上的點M到直線的距離最短，求點M的坐標(biāo)和最短距離.【答案】(1)，，(2)(3)，最短距離為【分析】（1）公共點的坐標(biāo)代入兩個函數(shù)式，兩個函數(shù)式求導(dǎo)，在時，導(dǎo)數(shù)值相等，聯(lián)立方程組解得；（2）由（1）求出原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)，即可求得在點處的切線方程，從而得公切線方程；（3）由拋物線的導(dǎo)數(shù)值等于3可得點坐標(biāo)，再由點到直線距離公式可得結(jié)論．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知，將分別代入兩曲線方程得到，．兩個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別是，又，，則，解得，，．（2）由（1）知，；當(dāng)時，，故切線方程為，即．由（1）知，，當(dāng)時，，故切線方程為，即．綜上所述，公切線所在的直線方程為．（3）要使拋物線上的點M到直線的距離最短，則拋物線在點M處的切線斜率應(yīng)該與直線相同，則，解得，又因為點M在拋物線上，解得．所以最短距離即d為點M到直線的距離，代入點到直線的距離公式得．即最短距離為．22．已知函數(shù)，