最全的轉(zhuǎn)動慣量的計算

例題1求質(zhì)量為m，長為l的勻整細(xì)棒對下面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：(1)轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并和棒垂直；(2)轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并和棒垂直。有將代入上式，得：解：(1)在棒上離軸x處，取一長度元dx（如圖所示），假如棒的質(zhì)量線密度為，則長度元的質(zhì)量為dm=dx，依據(jù)轉(zhuǎn)動慣量計算公式：（2）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過棒的一端A并與棒垂直時OAldxx例題2）半徑為R的質(zhì)量勻整分布的細(xì)圓環(huán)，質(zhì)量均為m，試分別求出對通過質(zhì)心并與環(huán)面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。R例題3求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為h的均質(zhì)圓盤對通過盤心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。dm為薄圓環(huán)的質(zhì)量。以表示圓盤的質(zhì)量體密度解：如圖所示，將圓盤看成很多薄圓環(huán)組成。取任一半徑為r，寬度為dr的薄圓環(huán)，此薄圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量為代入得J與h無關(guān)一個質(zhì)量為m、半徑為R的實心圓柱體對其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量也與上述結(jié)果相同。例4）求一質(zhì)量為m的勻整實心球?qū)ζ湟粭l直徑為軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：一球繞Z軸旋轉(zhuǎn)，離球心Z高處切一厚為dz的薄圓盤。其半徑為其體積：其質(zhì)量：其轉(zhuǎn)動慣量：YXZORrdZZ（2）薄板的正交軸定理yxzo（1）平行軸定理dJCJDC常見剛體的轉(zhuǎn)動慣量解:受力分析取任一狀態(tài),由轉(zhuǎn)動定律例題1一長為l,質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置,其下端與一固定鉸鏈o相連,并可繞其轉(zhuǎn)動.當(dāng)其受到微小擾動時,細(xì)桿將在重力的作用下由靜止開始繞鉸鏈o轉(zhuǎn)動.試計算細(xì)桿轉(zhuǎn)到與鉛直線呈角時的角加速度和角速度.Po初始條件為：=0，=0例題2一個質(zhì)量為M，半徑為R的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩。繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為m的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體m由靜止下落h高度時的速度和此時滑輪的角速度。對物體m，由牛頓其次定律，滑輪和物體的運動學(xué)關(guān)系為解：對定滑輪M，由轉(zhuǎn)動定律，對于軸O，有物體下落高度h時的速度這時滑輪轉(zhuǎn)動的角速度以上三式聯(lián)立，可得物體下落的加速度為圓柱對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動定律：純滾動條件為：圓柱對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為：例題3一質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)圓柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作純滾動，力的作用線與圓柱中心軸線的垂直距離為l，如圖所示。求質(zhì)心的加速度和圓柱所受的靜摩擦力。lFacbf解：設(shè)靜摩擦力f的方向如圖所示，則由質(zhì)心運動方程聯(lián)立以上四式，解得：由此可見，靜摩擦力向前。時，當(dāng)02<>fRl，靜摩擦力向后；時，當(dāng)02><fRl例一靜止剛體受到一等于M0（N.m)的不變力矩的作用,同時又引起一阻力矩M1，M1與剛體轉(zhuǎn)動的角速度成正比,即|M1|=a(Nm),(a為常數(shù))。又已知剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J,試求剛體角速度變更的規(guī)律。M+M0M1已知：M0M1=–aJ|t=0=0求：（t）=？解：1）以剛體為探討對象；2）分析受力矩3）建立軸的正方向；4）列方程：JM+M0M1=–a解：4）列方程：分別變量：例）設(shè)一細(xì)桿的質(zhì)量為m，長為L，一端支以樞軸而能自由旋轉(zhuǎn)，設(shè)此桿自水安靜止釋放。求：1）當(dāng)桿與鉛直方向成角時的角加速度：2）當(dāng)桿過鉛直位置時的角速度：

3)當(dāng)桿過鉛直位置時，軸作用于桿上的力。已知：m，L求：，，N解：1）以桿為探討對象受力：mg，N（不產(chǎn)生對軸的力矩）建立OXYZ坐標(biāo)系ZNmgYXOL建立OXYZ坐標(biāo)系（并以Z軸為轉(zhuǎn)動量的正方向）ZmgYXON故取正值。沿Z軸正向，L2）=？兩邊積分：