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例題1求質(zhì)量為m,長為l的勻整細(xì)棒對下面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量:(1)轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并和棒垂直;(2)轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并和棒垂直。有將代入上式,得:解:(1)在棒上離軸x處,取一長度元dx(如圖所示),假如棒的質(zhì)量線密度為,則長度元的質(zhì)量為dm=dx,依據(jù)轉(zhuǎn)動慣量計算公式:(2)當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過棒的一端A并與棒垂直時OAldxx例題2)半徑為R的質(zhì)量勻整分布的細(xì)圓環(huán),質(zhì)量均為m,試分別求出對通過質(zhì)心并與環(huán)面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。R例題3求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為h的均質(zhì)圓盤對通過盤心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。dm為薄圓環(huán)的質(zhì)量。以表示圓盤的質(zhì)量體密度解:如圖所示,將圓盤看成很多薄圓環(huán)組成。取任一半徑為r,寬度為dr的薄圓環(huán),此薄圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量為代入得J與h無關(guān)一個質(zhì)量為m、半徑為R的實心圓柱體對其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量也與上述結(jié)果相同。例4)求一質(zhì)量為m的勻整實心球?qū)ζ湟粭l直徑為軸的轉(zhuǎn)動慣量。解:一球繞Z軸旋轉(zhuǎn),離球心Z高處切一厚為dz的薄圓盤。其半徑為其體積:其質(zhì)量:其轉(zhuǎn)動慣量:YXZORrdZZ(2)薄板的正交軸定理yxzo(1)平行軸定理dJCJDC常見剛體的轉(zhuǎn)動慣量解:受力分析取任一狀態(tài),由轉(zhuǎn)動定律例題1一長為l,質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置,其下端與一固定鉸鏈o相連,并可繞其轉(zhuǎn)動.當(dāng)其受到微小擾動時,細(xì)桿將在重力的作用下由靜止開始繞鉸鏈o轉(zhuǎn)動.試計算細(xì)桿轉(zhuǎn)到與鉛直線呈角時的角加速度和角速度.Po初始條件為:=0,=0例題2一個質(zhì)量為M,半徑為R的定滑輪(當(dāng)作均勻圓盤)上面繞有細(xì)繩。繩的一端固定在滑輪邊上,另一端掛一質(zhì)量為m的物體而下垂。忽略軸處摩擦,求物體m由靜止下落h高度時的速度和此時滑輪的角速度。對物體m,由牛頓其次定律,滑輪和物體的運動學(xué)關(guān)系為解:對定滑輪M,由轉(zhuǎn)動定律,對于軸O,有物體下落高度h時的速度這時滑輪轉(zhuǎn)動的角速度以上三式聯(lián)立,可得物體下落的加速度為圓柱對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動定律:純滾動條件為:圓柱對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為:例題3一質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)圓柱,在水平外力作用下,在粗糙的水平面上作純滾動,力的作用線與圓柱中心軸線的垂直距離為l,如圖所示。求質(zhì)心的加速度和圓柱所受的靜摩擦力。lFacbf解:設(shè)靜摩擦力f的方向如圖所示,則由質(zhì)心運動方程聯(lián)立以上四式,解得:由此可見,靜摩擦力向前。時,當(dāng)02<>fRl,靜摩擦力向后;時,當(dāng)02><fRl例一靜止剛體受到一等于M0(N.m)的不變力矩的作用,同時又引起一阻力矩M1,M1與剛體轉(zhuǎn)動的角速度成正比,即|M1|=a(Nm),(a為常數(shù))。又已知剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J,試求剛體角速度變更的規(guī)律。M+M0M1已知:M0M1=–aJ|t=0=0求:(t)=?解:1)以剛體為探討對象;2)分析受力矩3)建立軸的正方向;4)列方程:JM+M0M1=–a解:4)列方程:分別變量:例)設(shè)一細(xì)桿的質(zhì)量為m,長為L,一端支以樞軸而能自由旋轉(zhuǎn),設(shè)此桿自水安靜止釋放。求:1)當(dāng)桿與鉛直方向成角時的角加速度:2)當(dāng)桿過鉛直位置時的角速度:
3)當(dāng)桿過鉛直位置時,軸作用于桿上的力。已知:m,L求:,,N解:1)以桿為探討對象受力:mg,N(不產(chǎn)生對軸的力矩)建立OXYZ坐標(biāo)系ZNmgYXOL建立OXYZ坐標(biāo)系(并以Z軸為轉(zhuǎn)動量的正方向)ZmgYXON故取正值。沿Z軸正向,L2)=?兩邊積分:
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