2021-2022學(xué)年上海市徐匯區(qū)高一年級(jí)上冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年上海市徐匯區(qū)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、填空題1．已知，化簡：_____．【答案】【分析】根據(jù)根式與指數(shù)冪的互化即可求出結(jié)果.【詳解】，．故答案為：．2．滿足的集合有_________個(gè)【答案】7【分析】由，可知集合中必有元素，由，可知中還有元素，，，中的個(gè)，個(gè)，或個(gè)，進(jìn)而分析集合的個(gè)數(shù).【詳解】由，知集合中必有元素，且中還有元素，，，中的個(gè)，個(gè)，或個(gè)，當(dāng)中有一個(gè)元素時(shí)，有個(gè)，當(dāng)中有兩個(gè)元素時(shí)，有，，個(gè)，當(dāng)中有三個(gè)元素時(shí)，有，，個(gè)，綜上，集合個(gè)數(shù)有.故答案為：3．設(shè)全集為，集合是的子集，用交、并、補(bǔ)運(yùn)算符號(hào)表示圖中陰影部分集合為_________．【答案】【分析】根據(jù)圖，得到集合關(guān)系即可.【詳解】由圖可知元素屬于但不屬于，即陰影部分對(duì)應(yīng)的集合為，故答案為：4．函數(shù)的圖像不經(jīng)過第_________象限【答案】二【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象變換，作圖判斷即可.【詳解】解：該函數(shù)圖像由向右平移1個(gè)單位，向下平移一個(gè)單位所得，如下圖：所以不經(jīng)過第二象限．故答案為：二.5．設(shè)①②③④⑤上述各式中“都不為零”的充分條件是_________．【答案】①④【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件的定義直接判斷作答.【詳解】，則都不為零，①是；，取，不等式成立，即不是都不為零的充分條件，②不是；，則，即不是都不為零的充分條件，③不是；，則，即是都不為零的充分條件，④是；，取，不等式成立，即不是都不為零的充分條件，⑤不是，所以都不為零的充分條件是①④.故答案為：①④6．已知，則的大小關(guān)系為_________．【答案】##【分析】利用絕對(duì)值三角不等式變形，再借助媒介數(shù)比較大小作答.【詳解】，則，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)或僅只一個(gè)為0時(shí)取等號(hào)，顯然當(dāng)或時(shí)，，所以的大小關(guān)系為．故答案為：7．若、是方程的兩個(gè)根，則__________.【答案】【分析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，再由

，運(yùn)算求得結(jié)果．【詳解】、是方程的兩個(gè)根，，，，，故答案為：8．集合，且為單元素集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】或【分析】由為單元素集可知集合表示的圖像僅有一個(gè)交點(diǎn)，由此求解實(shí)數(shù)的取值范圍即可.【詳解】由可知集合表示經(jīng)過定點(diǎn)的直線，由可知集合表示表示第一、二象限的角平分線（含原點(diǎn)），因?yàn)闉閱卧丶?，所以與的圖像僅有一個(gè)交點(diǎn)，即直線與兩條射線中的一條相交或經(jīng)過原點(diǎn)，所以或，故答案為：或9．設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____．【答案】【分析】根據(jù)列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由于關(guān)于的不等式的解集為，且，所以①，其中；或，即或.所以①的解集為，也即的取值范圍是.故答案為：10．已知全集為，集合，，集合，且集合滿足，則實(shí)數(shù)的值是_________．【答案】【分析】根據(jù)集合交集、并集、補(bǔ)集的性質(zhì)，結(jié)合列舉法、二次函數(shù)的性質(zhì)、分式不等式的解法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)樗约希伤约?，集合且集合滿足，所以，所以解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，不符合，舍去，滿足題意，即．故答案為：11．已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，則m的最大值為____________．【答案】16【分析】問題轉(zhuǎn)化為恒成立，利用基本不等式求得的最小值，故答案為：【詳解】對(duì)恒成立，，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，，故答案為：1612．《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問題，這種方法是后西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明，現(xiàn)有圖形如圖所示，為線段上的點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，以為直徑作半圓，過點(diǎn)作的垂線交半圓于，連結(jié)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，若不添加輔助線，則該圖形可以完成的所有無字證明為_________．（填寫序號(hào)）①②③④【答案】①③【分析】先明確的幾何意義，即在圖中相對(duì)應(yīng)的線段，根據(jù)直角三角形的相似可得相應(yīng)的比例式，結(jié)合不等關(guān)系，即可證明①③選項(xiàng)；由于在該圖中沒有相應(yīng)的線段與之對(duì)應(yīng)，可判斷②④選項(xiàng).【詳解】由題意可知，由可知，即，所以；在中，，即當(dāng)時(shí)，點(diǎn)重合，，此時(shí)，所以①正確；在中，可得即，所以，由于，所以，當(dāng)時(shí)，,此時(shí)，所以③正確；由于在該圖中沒有相應(yīng)的線段與之對(duì)應(yīng)，故②④中的不等式無法通過這種幾何方法來證明，故答案為：①③．二、單選題13．下列說法中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）①“”是“且”的必要非充分條件；②“”的充要條件是“”；③空集是任何集合的真子集A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用充分條件、必要條件的定義判斷①②，利用空集的意義判斷③作答.【詳解】①當(dāng)且時(shí)，由不等式性質(zhì)得，但是當(dāng)成立時(shí)，且不一定成立，如，滿足，所以“”是“且”的必要非充分條件，①正確；②因?yàn)?，所以“”的充要條件是“”，②正確；③因?yàn)榭占侨魏畏强占系恼孀蛹?，所以③錯(cuò)誤，所以真命題的個(gè)數(shù)是2．故選：C14．圖中C1、C2、C3為三個(gè)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中指數(shù)的值依次可以是（）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象性質(zhì)，結(jié)合選項(xiàng)即可得出指數(shù)的可能取值．【詳解】由冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，可得：圖中C1對(duì)應(yīng)的，C2對(duì)應(yīng)的，C3對(duì)應(yīng)的，結(jié)合選項(xiàng)知，指數(shù)的值依次可以是．故選：D.15．設(shè)都是正數(shù)，且，則下列等式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)式、對(duì)數(shù)式互化，再利用對(duì)數(shù)換底公式及對(duì)數(shù)運(yùn)算求解作答.【詳解】因?yàn)槎际钦龜?shù)，設(shè)，則，即有，顯然，所以，即，A正確；，B不正確；，C不正確；，D不正確.故選：A16．已知a，b，，若關(guān)于x不等式的解集為，則（

）A．不存在有序數(shù)組，使得B．存在唯一有序數(shù)組，使得C．有且只有兩組有序數(shù)組，使得D．存在無窮多組有序數(shù)組，使得【答案】D【分析】根據(jù)，不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式的解的問題，利用兩個(gè)一元二次不等式解集有交集的結(jié)論，得出兩個(gè)不等式解集的形式，從而再結(jié)合一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系確定結(jié)論．【詳解】由題意不等式的解集為，即的解集是，則不等式的解是或，不等式的解集是，設(shè)，，，所以，，和是方程的兩根，則，，又，所以是的一根，所以存在無數(shù)對(duì)，使得．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查分式不等式的解集問題，解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化一元二次不等式的解集，從而結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得出結(jié)論．三、解答題17．已知且(1)求證：(2)求的最小值，并求此時(shí)與的值.【答案】(1)證明見解析(2)的最小值為，此時(shí)【分析】（1）將已知等式變形可得，，即可判斷，，利用基本不等式即可證得結(jié)論．（2）由（1）中結(jié)論及可得，計(jì)算可得的取值范圍，從而得解．【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?，，所以，，所以，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以．（2）解：由（1）得，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，此時(shí)．18．本市某區(qū)大力開展民心工程，近幾年來對(duì)全區(qū)的老房子進(jìn)行平坡（“平改坡”是指在建筑結(jié)構(gòu)許可條件下，將多層住宅平屋面改建成坡屋頂，并對(duì)外墻面進(jìn)行整修粉飾，達(dá)到改善住宅性能和建筑物外觀視覺效果的房屋修繕行為），且每年平改坡面積的百分比相等.若改造到面積的一半時(shí)，所用時(shí)間需10年.已知道今年為止，平改坡剩余面積為原來的.（1）求每年平改坡的百分比；（2）問到今年為止，該平改坡工程已進(jìn)行了多少年？【答案】（1）；（2）工程已經(jīng)進(jìn)行了5年【分析】（1）設(shè)出每年平改坡的百分比，根據(jù)改造到面積的一半時(shí)，所用時(shí)間需年列方程，解方程求得每年平改坡的百分比.（2）根據(jù)今年為止，平改坡剩余面積為原來的列方程，解方程求得該平改坡工程已進(jìn)行的時(shí)間.【詳解】（1）設(shè)每年平改坡的百分比為，則，即，解得（2）設(shè)到今年為止，該工程已經(jīng)進(jìn)行了年，則，即，解得所以.到今年為止，該工程已經(jīng)進(jìn)行了年.【點(diǎn)睛】本小題主要考查實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，考查指數(shù)方程的解法，屬于基礎(chǔ)題.19．（1）在中，角所對(duì)的邊分別是，求證：中至少有一個(gè)角大于或等于；（2）已知為不全相等的正數(shù)，且，求證．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合反證法，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．【詳解】證明：（1）假設(shè)結(jié)論不成立，即，，，則，這與相矛盾，所以假設(shè)不成立，所以中至少有一個(gè)角大于或等于；（2）因?yàn)槎际钦龜?shù)，且，所以，以上三個(gè)不等式相加，得，又因?yàn)闉椴蝗嗟鹊恼龜?shù)，所以取不到等號(hào)，所以．20．已知函數(shù)f（x）＝（m+1）x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．(1)若不等式的解集是空集，求m的取值范圍；(2)當(dāng)m＞﹣2時(shí)，解不等式f（x）≥m；(3)若不等式的解集為D，若[﹣1，1]?D，求m的取值范圍．【答案】(1)的取值范圍為；(2)當(dāng)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；(3)．【分析】（1）分和兩種情況求解即可，（2）分三種情況解不等式，（3）由條件知對(duì)任意的，不等式恒成立，即恒成立，然后求出的最大值即可【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，即，則由，得，不合題意，當(dāng)，即時(shí)，由不等式的解集為得，解得，所以的取值范圍為；（2）因?yàn)椋?，即，?dāng)，即時(shí)，解得，所以不等式的解集為，當(dāng)，即時(shí)，，因?yàn)?，所以不等式的解集為，?dāng)，即時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，所以不等式的解集為，綜上，當(dāng)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；（3）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，且，所以?duì)任意的，不等式恒成立，即，因?yàn)樗院愠闪?，令，則，，所以，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為，所以的取值范圍為.21．已知集合，對(duì)于的一個(gè)子集，若存在不大于的正整數(shù)，使得對(duì)中的任意一對(duì)元素，都有，則稱具有性質(zhì)．(1)當(dāng)時(shí)，試判斷集合和是否具有性質(zhì)？并說明理由；(2)當(dāng)時(shí)，若集合具有性質(zhì)，①判斷集合是否一定具有性質(zhì)？并說明理由；②求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值．【答案】(1)不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)，理由見解析(2)①具有性質(zhì)，理由見解析；②【分析】（1）當(dāng)時(shí)，集合，，根據(jù)性質(zhì)的定義可知其不具有性質(zhì)；，令，利用性質(zhì)的定義可驗(yàn)證；（2）當(dāng)時(shí)，則，①根據(jù)，任取，其中，可得，利用性質(zhì)的定義即可驗(yàn)證；②設(shè)集合有個(gè)元素，由①得，任取一個(gè)元素，則與中必有一個(gè)不超過，從而得到集合與集合中必有一個(gè)至少存在一半元素不超過，然后利用性質(zhì)的定義進(jìn)行分析即可求出，即，解此不等式即可得出答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，集合，不具有性質(zhì)，因?yàn)閷?duì)任意不大于的正整數(shù)，都可以找到該集合中的兩個(gè)元素與，使得成立，集合具有性質(zhì)，因?yàn)榭扇。瑢?duì)于該集合中任一元素，都有；（2）當(dāng)時(shí)，則，①若集合具有性質(zhì)，那么集合一定具有性質(zhì)，首先因?yàn)椋稳?，其中，因?yàn)?，所以，從而，即，所以，由具有性質(zhì)，可得存在不大于的正整數(shù)，使得對(duì)中任意一對(duì)元素，都有，對(duì)于上述正整數(shù)，從集合中任取一對(duì)元素，其中，則有，所以集合具有性質(zhì)；②設(shè)集合有個(gè)元素，由①得，若集合具有性質(zhì)，那么集合一定具有性質(zhì)，任取一個(gè)元素，則與中必有一個(gè)不超過，所以集合與集合中必有一個(gè)至少存在一半元素不超過，