冪函數(shù)及其性質(zhì)

關(guān)于冪函數(shù)及其性質(zhì)第1頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三學習目標一、知識目標：1.通過實例了解并記住冪函數(shù)的概念.2.結(jié)合幾個常見冪函數(shù)的圖象觀察圖象特征并能自行發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)的性質(zhì).3.記住冪函數(shù)的性質(zhì)并會應用.能力目標：通過觀察圖象特征來歸納函數(shù)性質(zhì),從而培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的能力.情感目標：通過觀察圖象體會數(shù)學的簡潔美.第2頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三一、冪函數(shù)的概念的引入閱讀課本第85頁的具體實例（1）－（5），思考下列問題：1.它們的解析式分別是什么？若用表示自變量,表示的函數(shù),上述五個函數(shù)解析式分別是什么?

第3頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三問題引入：函數(shù)的生活實例問題1：如果張紅購買了每千克1元的蘋果w千克，那么她需要付的錢數(shù)p=

元，

。問題2：如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積是S=

，

。問題3：如果立方體的邊長為a，那么立方體的體積是V=

，

。問題4:如果正方形場地的面積為S，那么正方形的邊長a=

，

。問題5：如果某人ts內(nèi)騎車行進了1km，那么他騎車的平均速度v=

，

。

w這里p是w的函數(shù)a2這里S是a的函數(shù)a3這里V是a的函數(shù)S這里a是S的函數(shù)這里v是t的函數(shù)tkm/s若將它們的自變量全部用x來表示,函數(shù)值用y來表示,則它們的函數(shù)關(guān)系式將是:第4頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三以上問題中的函數(shù)有什么共同特征？（1）都是函數(shù)；（2）均是以自變量為底的冪；（3）指數(shù)為常數(shù)；（4）自變量前的系數(shù)為1;（5）冪前的系數(shù)也為1。

y=x

y=x2

y=x1/2

y=x3

y=x-1一般地，函數(shù)y=叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù).注意:冪函數(shù)中α的可以為任意實數(shù).第5頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三一、冪函數(shù)的定義：一般地，我們把形如的函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中為自變量，為常數(shù)。練習1：判斷下列函數(shù)哪幾個是冪函數(shù)？答案（2）（5）思考：指數(shù)函數(shù)y=ax與冪函數(shù)y=xα有什么區(qū)別？中前面的系數(shù)是1，后面沒有其它項。第6頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2.已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點待定系數(shù)法分析：例題要求函數(shù)的解析式，首先由題知，此函數(shù)是冪函數(shù)，也就符合冪函數(shù)的一般形式，而且我們知道圖像過點只要把點帶入解析式中即可求出a，也就可以求出函數(shù)的解析式。（3，），求這個函數(shù)的解析式。第7頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三

解：設(shè)所求冪函數(shù)的解析式為因為點在函數(shù)圖像上，所以代入解析式得：第8頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三3.如果函數(shù)f(x)=(m2+2m－2)是冪函數(shù)，求實數(shù)m,n的值。解：由題意得第9頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三式子名稱常數(shù)

x

y指數(shù)函數(shù):y=a

x（a>0且a≠1)

冪函數(shù):y=xα

a為底數(shù)指數(shù)α為指數(shù)底數(shù)冪值冪值二、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)比較判斷一個函數(shù)是冪函數(shù)還是指數(shù)函數(shù)的切入點：看未知數(shù)x是指數(shù)還是底數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)第10頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三二、五個常用冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)

(1)(2)

(3)(4)(5)第11頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三定義域：值域：奇偶性：單調(diào)性：函數(shù)的圖像第12頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三定義域：值域：奇偶性：單調(diào)性：函數(shù)的圖像第13頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三xy=x3-3-27-2.5-15.63-2-8-1.5-3.375-1-1-0.5-0.125000.50.125111.53.375282.515.625327用描點法作出函數(shù)y=x3的圖象.第14頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三定義域：值域：奇偶性：單調(diào)性：函數(shù)的圖像第15頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三x001121.41431.7324252.23662.44972.64682.82893103.162113.317123.464133.606143.742153.873164用描點法作出函數(shù)的圖象.第16頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三定義域：值域：奇偶性：單調(diào)性：函數(shù)的圖像第17頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三定義域：值域：奇偶性：單調(diào)性：函數(shù)的圖像第18頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三下面將5個函數(shù)的圖像畫在同一坐標系中

(1)(2)

(3)(4)(5)第19頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三第20頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三冪函數(shù)的定義域、值域、奇偶性和單調(diào)性，隨常數(shù)α取值的不同而不同.y=x3定義域值域單調(diào)性公共點y=xRRR[0，+∞）R[0，+∞）R[0，+∞）奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)在R上是增函數(shù)在（－∞,0]上是減函數(shù)，在(0,+∞）上是增函數(shù)在R上是增函數(shù)在(0，+∞)上是增函數(shù)在(－∞,0)，(0,+∞）上是減函數(shù)（1，1）奇偶性y=x2第21頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三α>10<α<1a=1小結(jié)：冪函數(shù)的性質(zhì):１.所有冪函數(shù)的圖象都通過點(1,1);冪函數(shù)的定義域、值域、奇偶性和單調(diào)性，隨常數(shù)α取值的不同而不同.如果α<0,則冪函數(shù)在(0,+∞)上為減函數(shù)。

α<03.如果α>0,則冪函數(shù)在(0,+∞)上為增函數(shù);2.當α為奇數(shù)時,冪函數(shù)為奇函數(shù),

當α為偶數(shù)時,冪函數(shù)為偶函數(shù).第22頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三練習：利用單調(diào)性判斷下列各值的大小。（1）5.20.8與5.30.8（2）0.20.3與0.30.3

(3)解:(1)y=x0.8在(0,∞)內(nèi)是增函數(shù),∵5.2<5.3∴5.20.8<5.30.8(2)y=x0.3在(0,∞)內(nèi)是增函數(shù)∵0.2<0.3∴0.20.3<0.30.3(3)y=x-2/5在(0,∞)內(nèi)是減函數(shù)∵2.5<2.7∴2.5-2/5>2.7-2/5第23頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三練習(4)1）2）3）4）＜＜＞＞第24頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三方法技巧:分子有理化例2：第25頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三第26頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三練習3:如圖所示，曲線是冪函數(shù)y=xk

在第一象限內(nèi)的圖象，已知k分別取四個值，則相應圖象依次為:________

一般地，冪函數(shù)的圖象在直線x=1的右側(cè)，大指數(shù)在上，小指數(shù)在下，指大圖高C4C2C3C11第27頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三思考4：根據(jù)上述五個函數(shù)的圖象，你能歸納出冪函數(shù)在第一象限的圖象特征嗎？xyoα<0α=1α>10<α<11.圖象都過點(1,1)2.α>0時圖象過原點且上升，α<0時圖象不過原點且下降，同時以兩坐標軸為慚近線.3.在x=1

的右側(cè)指大圖高.11第28頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三小結(jié):1．記住冪函數(shù)的定義；2．掌握冪函數(shù)