振動(dòng)理論與分析

振動(dòng)理論與分析第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日Computationfordifferentialequation1第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日Computationfordifferentialequation第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日Computationfordifferentialequation

%mainprogramt0=0;tN=5;y0=[10];[t,y]=ode45(@vib,[t0tN],y0);

subplot(1,2,1);plot(t,y);subplot(1,2,2);plot(y(:,1),y(:,2));%sub_functionfunctionydot=vib(t,z)x=z(1);xd=z(2);xdd=-1/3*(8*xd+100*x);ydot=[xd;xdd];Example1InputparametersInitialtimet0EndtimetN第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日Computationfordifferentialequationx(t)dx/dtx(t)dx/dtResponsetimehistoryPhasediagram第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日example2%example2t0=0;tN=5;tol=1e-7;y0=[00];[t,y]=ode45(@vib2,[t0tN],y0);

subplot(1,2,1);plot(t,y);subplot(1,2,2);plot(y(:,1),y(:,2));functionydot=vib2(t,z)x=z(1);xd=z(2);xdd=-1/3*(8*xd+100*x-100);ydot=[xd;xdd];第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日

StepresponseExample2STEPRESPONSE第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日example3t0=0;tN=20;tol=1e-7;y0=[00];[t,y]=ode45(@vib3,[t0tN],y0);

subplot(1,2,1);plot(t,y);subplot(1,2,2);plot(y(:,1),y(:,2));functionydot=vib3(t,z)x=z(1);xd=z(2);xdd=-1/3*(8*xd+100*x-cos(2*pi*0.5*t));ydot=[xd;xdd];第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日example3xdd=-1/3*(8*xd+100*x-cos(0.5*t));TransitcomponentSteadyresponseExample3Harmonicresponse第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日Example4nonlinearvibrationt0=0;tN=20;tol=1e-7;y0=[00.05];

[t,y]=ode45(@vdpol,[t0tN],y0);

subplot(1,2,1);plot(t,y);subplot(1,2,2);plot(y(:,1),y(:,2));functionydot=vdpol(t,y)ydot=zeros(2,1);%acolumnvectorydot(1)=-y(1)*(y(2)^2-1)-y(2);ydot(2)=y(1);第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日example4AnexampleofastiffsystemisprovidedbythevanderPolequationsinrelaxationoscillation.

Seep455Example4Nonlinearvibration第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日Lorenzequation第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日Lorenzequation%lorenz方程求解

%參數(shù)：SIGMA,R,andB.

%SIGMA和B的標(biāo)準(zhǔn)值為：10和8/3

%'lorenzf.m'定義了Lorenz方程

globalSIGMARB

SIGMA=10.;R=28.;B=8./3.;

%數(shù)據(jù)

x0=[101010];

%開始時(shí)間和結(jié)束時(shí)間

t0=0;tf=40;

%ode45求解

[tout,xout]=ode45('lorenzf',[t0,tf],x0);

%畫圖

figure(1);

hp=plot3(xout(:,1),xout(:,2),xout(:,3));

set(hp,'LineWidth',0.1);

boxon;

xlabel('x','FontSize',14);

ylabel('y','FontSize',14);

zlabel('z','FontSize',14);

axis([-2020-4040060]);

set(gca,'CameraPosition',[200-200200],'FontSize',14第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日Lorenzequationfunctionu=lorenzf(t,x)

globalSIGMARB

u=[SIGMA*(x(2)-x(1)),x(1)*(R-x(3))-x(2),x(1)*x(2)-B*x(3)]';第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日SolutionofLorenzequation第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日Lorenz吸引子

第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日蝴蝶效應(yīng)

蝴蝶效應(yīng)（TheButterflyEffect）,由美國氣象學(xué)家洛倫茲1963年提出。事物發(fā)展的結(jié)果，對初始條件具有極為敏感的依賴性，初始條件的極小偏差，都將可能會引起結(jié)果的極大差異。蝴蝶效應(yīng)的來歷美國氣象學(xué)家洛倫茲（Lorenz）1963年提出一篇論文，名叫《決定論的非周期流》，里面根據(jù)大氣運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，建立了一個(gè)簡化的數(shù)學(xué)模型，三變量的自治常微分方程組，也就是著名的Lorenz方程，Lorenz經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)這個(gè)方程組的參數(shù)取某些值的時(shí)候，軌線運(yùn)動(dòng)會變的復(fù)雜和不確定，具有對初始條件的敏感依賴性，也就是初始條件最微小的差異都會導(dǎo)致軌線的行為的無法預(yù)測。正是根據(jù)數(shù)值分析，Lorenz才得出結(jié)論說天氣的長期預(yù)報(bào)是不可能的，形象化的說法就是所謂的蝴蝶效應(yīng)。這個(gè)發(fā)現(xiàn)非同小可，以致科學(xué)家都不理解，幾家科學(xué)雜志也都拒登他的文章，認(rèn)為“違背常理”：相近的初值代入確定的方程，結(jié)果也應(yīng)相近才對，怎么能大大遠(yuǎn)離呢！

第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日

1979年12月，洛倫茲（Lorenz）在華盛頓的美國科學(xué)促進(jìn)會的再一次講演中提出：一只蝴蝶在巴西扇動(dòng)翅膀，有可能會在美國的德克薩斯引起一場龍卷風(fēng)。他的演講和結(jié)論給人們留下了極其深刻的印象。從此以后，所謂“蝴蝶效應(yīng)”之說就不脛而走，名聲遠(yuǎn)揚(yáng)了。他說，一只南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的蝴蝶，偶爾扇動(dòng)幾下翅膀，可能在兩周后在美國德克薩斯引起一場龍卷風(fēng)。其原因在于：蝴蝶翅膀的運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致其身邊的空氣系統(tǒng)發(fā)生變化，并引起微弱氣流的產(chǎn)生，而微弱氣流的產(chǎn)生又會引起它四周空氣或其他系統(tǒng)產(chǎn)生相應(yīng)的變化，由此引起連鎖反映，最終導(dǎo)致其他系統(tǒng)的極大變化。洛倫茲把這種現(xiàn)象戲稱做"蝴蝶效應(yīng)"，意思即一件表面上看來毫無關(guān)系、非常微小的事情，可能帶來巨大的改變。

“蝴蝶效應(yīng)”在社會學(xué)界用來說明：一個(gè)壞的微小的機(jī)制，如果不加以及時(shí)地引導(dǎo)、調(diào)節(jié)，會給社會帶來非常大的危害，戲稱為“龍卷風(fēng)”或“風(fēng)暴”；一個(gè)好的微小的機(jī)制，只要正確指引，經(jīng)過一段時(shí)間的努力，將會產(chǎn)生轟動(dòng)效應(yīng)，或稱為“革命”。第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日軍事和政治領(lǐng)域中的“蝴蝶效應(yīng)”

可以用在西方流傳的一首民謠對此作形象的說明。這首民謠說：丟失一個(gè)釘子，壞了一只蹄鐵；壞了一只蹄鐵，折了一匹戰(zhàn)馬；折了一匹戰(zhàn)馬，傷了一位騎士；傷了一位騎士，輸了一場戰(zhàn)斗；輸了一場戰(zhàn)斗，亡了一個(gè)帝國。馬蹄鐵上一個(gè)釘子是否會丟失，本是初始條件的十分微小的變化，但其“長期”效應(yīng)卻是一個(gè)帝國存與亡的根本差別。這就是軍事和政治領(lǐng)域中的所謂“蝴蝶效應(yīng)”。

第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日Example6clc;clear;%example5.1.1inp127M=[10;02];K=[2-1;-12];

[V,D]=eig(K,M);af=(diag(D));

Natural_frequency=sqrt(af)/(2*pi)modal_matrix=VDIAG_K=V'*K*V第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日example7SYS=SS(A,B,C,D)createsaSSobjectSYSrepresentingthecontinuous-timestate-spacemodeldx/dt=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)A=[0100;-100100;0001;10-110];B=[0;0;0;0];C=[1000;0010];D=0;sys=ss(A,B,C,D);%狀態(tài)方程t=0:0.01:12;[y,t1,x]=initial(sys,[000.050],t);%初始條件仿真plot(t,y);Y1=[10]*y';第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日example8clc;clear;M=[30.10000;0355.3000;00211.000;000398.30;0000389.3];K=1E6*[39.95-39.95000;-39.9553.43-13.4800;0-13.4822.6-4.56-4.56;00-4.564.560;00-