高考四元聚焦·理數(shù)-《對點訓(xùn)練》 第41講　合情推理與演繹推理

第頁第八單元推理與證明eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(第41講合情推理與演繹推理))1.(2023·山東省濰坊市三縣高三10月聯(lián)合考試)給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集，R為實數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集)①“假設(shè)a，b∈R，那么a－b＝0?a＝b〞類比推出“假設(shè)a，b∈C，那么a－b＝0?a＝b〞；②“假設(shè)a，b，c，d∈R，那么復(fù)數(shù)a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d〞類比推出“假設(shè)a，b，c，d∈Q，那么a＋beq\r(2)＝c＋deq\r(2)?a＝c，b＝d〞；③“假設(shè)a，b∈R，那么a－b＞0?a＞b〞類比推出“假設(shè)a，b∈C，那么a－b＞0?a＞b〞．其中類比得到的結(jié)論正確的個數(shù)是(C)A．0B．1C．2D．3解析：因為虛數(shù)不能比擬大小，所以③錯誤，應(yīng)選C.2.(2023·衡水調(diào)研卷)an＝(eq\f(1,3))n，把數(shù)列{an}的各項排成如下的三角形：a1a2a3a5a6a7a記A(s，t)表示第s行的第t個數(shù)，那么A(11,12)＝(D)A．(eq\f(1,3))67B．(eq\f(1,3))68C．(eq\f(1,3))111D．(eq\f(1,3))112解析：該三角形數(shù)陣每行所對應(yīng)元素的個數(shù)為1,3,5…，那么第10行的最后一個數(shù)為a100，第11行的第12個數(shù)為a112，即A(11,12)＝(eq\f(1,3))112，應(yīng)選D.3.(2023·福建福州模擬)“因為指數(shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)(大前提)，而y＝(eq\f(1,3))x是指數(shù)函數(shù)(小前提)，所以y＝(eq\f(1,3))x是增函數(shù)(結(jié)論)〞，上面推理的錯誤是(A)A．大前提錯導(dǎo)致結(jié)論錯B．小前提錯導(dǎo)致結(jié)論錯C．推理形式錯導(dǎo)致結(jié)論錯D．大前提和小前提錯都導(dǎo)致結(jié)論錯解析：y＝ax是增函數(shù)這個大前提是錯誤的，從而導(dǎo)致結(jié)論錯，應(yīng)選A.4.(2023·廣東省肇慶市第一次模擬)設(shè)M為平面內(nèi)一些向量組成的集合，假設(shè)對任意正實數(shù)λ和向量a∈M，都有λa∈M，那么稱M為“點射域〞，那么以下平面向量的集合為“點射域〞的是(B)A．{(x，y)|y≥x2}B．{(x，y)|eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0x＋y≤0))}C．{(x，y)|x2＋y2－2y≥0}D．{(x，y)|3x2＋2y2－12<0}解析：由題知不可能是曲邊界的區(qū)域，如果邊界為曲邊區(qū)域，當(dāng)向量a∈M，對任意正實數(shù)λ所得的向量λa不能再通過平移到原區(qū)域內(nèi)，所以排除A、C、D，易知B正確．5.(2023·韶關(guān)一調(diào))在平面△ABC中的角C的內(nèi)角平分線CE分△ABC面積所成的比eq\f(S△AEC,S△BEC)＝eq\f(AC,BC)，將這個結(jié)論類比到空間：在三棱錐A-BCD中，平面DEC平分二面角A-CD-B且與AB交于E，那么類比的結(jié)論為eq\f(VA-CDE,VB-CDE)＝eq\f(S△ACD,S△BDC).解析：此類問題由平面類比空間，應(yīng)該面積類比體積，長度類比面積，由eq\f(S△AEC,S△BEC)＝eq\f(AC,BC)，類比得eq\f(VA-CDE,VB-CDE)＝eq\f(S△ACD,S△BDC).6.eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，假設(shè)eq\r(6＋\f(a,t))＝6eq\r(\f(a,t))(a，t均為正實數(shù))．類比以上等式可推測a，t的值，那么a＋t＝41.解析：由推理可得a＝6，t＝62－1，故a＋t＝41.7.(2023·南通市教研室數(shù)學(xué)全真模擬)記Sk＝1k＋2k＋3k＋…＋nk，當(dāng)k＝1,2,3，…時，觀察以下等式：S1＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n，S2＝eq\f(1,3)n3＋eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,6)n，S3＝eq\f(1,4)n4＋eq\f(1,2)n3＋eq\f(1,4)n2，S4＝eq\f(1,5)n5＋eq\f(1,2)n4＋eq\f(1,3)n3－eq\f(1,30)n，S5＝An6＋eq\f(1,2)n5＋eq\f(5,12)n4＋Bn2，可以推測，A－B＝eq\f(1,4).解析：觀察知A＝eq\f(1,6)，對于S5，可令n＝1得S5＝1，即有eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＋eq\f(5,12)＋B＝1，所以B＝－eq\f(1,12)，所以A－B＝eq\f(1,4).8.在△ABC中，∠C＝90°，那么cos2A＋cos2B＝1，用類比的方法猜測三棱錐的類似性質(zhì)，并證明你的猜測解析：如圖，由平面類比到空間，有以下猜測：“在三棱錐P-ABC中，三個側(cè)面PAB，PBC，PCA兩兩垂直，且與底面所成的角分別為α，β，γ，那么cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1證明：設(shè)P在平面ABC上的射影為O，記PO＝h，PC⊥PA且PC⊥PB?PC⊥PM(M為CO與AB的交點)，且∠PMC＝α，cosα＝sin∠PCO＝eq\f(h,PC)，同理cosβ＝eq\f(h,PA)，cosγ＝eq\f(h,PB)，又eq\f(1,6)PA·PB·PC＝eq\f(1,3)(eq\f(1,2)PA·PBcosα＋eq\f(1,2)PB·PCcosβ＋eq\f(1,2)PC·PAcosγ)·h，即(eq\f(cosα,PC)＋eq\f(cosβ,PA)＋eq\f(cosγ,PB))h＝1，即cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.9.(2023·山東省諸城市高三10月模擬)某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，以下圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個圖形包含f(n)個小正方形．(1)求f(5)的值；(2)利用合情推理的“歸納推理思想〞，歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達(dá)式．解析：(1)f(5)＝41.(2)因為f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，所以f(n＋1)－f(n)＝4n.由f(n