學(xué)業(yè)水平考試模擬試卷三

學(xué)業(yè)水平考試模擬試卷(三)(時(shí)間：90分鐘滿分：100分)一、選擇題(本大題共15小題，每小題4分，共60分．每小題中只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的，不選、多選、錯(cuò)選均不得分)1．若純虛數(shù)z滿足(1－i)z＝1＋ai，則實(shí)數(shù)a等于()A．0B．－1或1C．－1D．解析：(1－i)z＝1＋ai?z＝eq\f(1＋ai,1－i)＝eq\f(1,2)(1－a)＋eq\f(1,2)(a＋1)i，∵z為純虛數(shù)，∴有1－a＝0且a＋1≠0，則a＝1且a≠－1，故本題的正確選項(xiàng)為D.答案：D2．已知集合A＝{1，2}，集合B滿足A∪B＝{1，2，3}，則集合B有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)解析：∵A∪B＝{1，2，3}，A＝{1，2}，∴集合B中應(yīng)含有元素3，故集合B可以為{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，故選D.答案：D3．函數(shù)f(x)＝ln(x2－x)的定義域?yàn)?)A．(0，1) B．[0，1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：要使函數(shù)有意義，需滿足x2－x>0，解得x<0或x>1，故選C.答案：C4．已知x，y的可行域如圖陰影所示，z＝mx＋y(m>0)在該區(qū)域內(nèi)取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則實(shí)數(shù)m的值為()A．－eq\f(7,4)\f(4,7)\f(1,2)D．2解析：由題意知y＝－mx＋z(m>0)，欲使目標(biāo)函數(shù)在可行域內(nèi)取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則需要－m＝kAC＝eq\f(1－3,2－1)＝－2，∴m＝2，因此選D.答案：D5．設(shè)α，β是兩個(gè)平面，l，m是兩條直線，下列命題中，可判斷α∥β的是()A．l?α，m?α且l∥β，m∥βB．l?α，m?β且m∥αC．l∥α，m∥β且l∥mD．l⊥α，m⊥β且l∥m解析：選項(xiàng)A，只有當(dāng)l與m相交時(shí)，才有α∥β；選項(xiàng)B，當(dāng)m∥α?xí)r，α與β還可能相交；選項(xiàng)C，α與β也可能相交；選項(xiàng)D，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)及面面平行的判定可知正確．答案：D6．設(shè)M＝x2，N＝－x－1，則M與N的大小關(guān)系是()A．M>NB．M＝NC．M<ND．與x有關(guān)解析：M－N＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>0，∴M>N.答案：A7．已知等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1，eq\f(1,2)a3，2a2成等差數(shù)列，則eq\f(a9＋a10,a7＋a8)＝()\r(2)B．3－2eq\r(2)C．3＋2eq\r(2)\r(3)解析：a1，eq\f(1,2)a3，2a2成等差數(shù)列，∴a3＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，解得q＝1＋eq\r(2)，eq\f(a9＋a10,a7＋a8)＝q2＝(1＋eq\r(2))2＝3＋2eq\r(2).答案：C8．若f(x)是偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)＝x－1，則f(x－1)＜0的解集是()A．(－1，0) B．(－∞，0)∪(1，2)C．(1，2) D．(0，2)解析：根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)f(x)的圖象如圖，把函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位，得到函數(shù)f(x－1)的圖象，如圖，則不等式f(x－1)＜0的解集為(0，2)．答案：D9．如果cos(π＋A)＝－eq\f(1,2)，那么sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋A))＝()A．－eq\f(1,2)\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)\f(\r(2),2)解析：∵cos(α＋A)＝－cosA＝－eq\f(1,2)，∴cosA＝eq\f(1,2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋A))＝cosA＝eq\f(1,2).答案：B10．過拋物線y＝2x2的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝()A．－2B．－eq\f(1,2)C．－4D．－eq\f(1,16)解析：由y＝2x2得x2＝eq\f(1,2)y，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))，取直線y＝eq\f(1,8)，則其與y＝2x2交于Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(1,8)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,8)))，∴x1x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝－eq\f(1,16).答案：D11．對任意的實(shí)數(shù)k，直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝2的位置關(guān)系一定是()A．相離 B．相切C．相交但直線不過圓心 D．相交且直線過圓心解析：∵x2＋y2＝2的圓心(0，0)到直線y＝kx＋1的距離d＝eq\f(|0－0＋1|,\r(1＋k2))＝eq\f(1,\r(1＋k2))≤1，又∵r＝eq\r(2)，∴0<d<r，∴直線與圓相交但直線不過圓心．答案：C12．“對x∈R，關(guān)于x的不等式f(x)>0有解”等價(jià)于()A．存在x∈R，使得f(x)>0成立B．存在x∈R，使得f(x)≤0成立C．任意x∈R，f(x)>0成立D．任意x∈R，f(x)≤0成立解析：“對x∈R，關(guān)于x的不等式f(x)>0有解”的意思就是存在x∈R，使得f(x)>0成立，故選A.答案：A13．設(shè)F為拋物線C∶y2＝4x的焦點(diǎn)，曲線y＝eq\f(k,x)(k>0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，則k＝()\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2解析：F(1，0)，又∵曲線y＝eq\f(k,x)(k＞0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，∴eq\f(k,1)＝2，∴k＝2.答案：D14．函數(shù)f(x)＝cos2x＋6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))的最大值為()A．4B．5C．6D．7解析：∵f(x)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(11,2)，而sinx∈[－1，1]，∴當(dāng)sinx＝1時(shí)，取最大值5，選B.答案：B15．已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，a10＝8，則a100＝()A．100B．99C．98D．97解析：由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9a1＋36d＝27，,a1＋9d＝8，))所以a1＝－1，d＝1，a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98，故選C.答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．將正確答案填在題中橫線上)16．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，a＝1，則b＝________．解析：∵cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，且A，C為三角形內(nèi)角，∴sinA＝eq\f(3,5)，sinC＝eq\f(12,13).sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(63,65)，又∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(21,13).答案：eq\f(21,13)17．已知函數(shù)f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3時(shí)取得最小值，則a＝________．解析：由題f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)，根據(jù)基本不等式4x＋eq\f(a,x)≥4eq\r(a)，當(dāng)且僅當(dāng)4x＝eq\f(a,x)時(shí)取等號，而由題知當(dāng)x＝3時(shí)取得最小值，即a＝36.答案：3618．要測量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測得塔頂A的仰角是45°，在D點(diǎn)測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，則電視塔的高度為__________解析：設(shè)電視塔AB高為xm，則在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，所以BD＝eq\r(3)x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(eq\r(3)x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，所以電視塔高為40m.答案：4019．在[－1，1]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為________．解析：直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交，需要滿足圓心到直線的距離小于半徑，d＝eq\f(|5k|,\r(1＋k2))＜3，解得－eq\f(3,4)＜k＜eq\f(3,4)，而k∈[－1，1]，所以發(fā)生的概率eq\f(\f(3,2),2)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)三、解答題(本大題共2小題，共24分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟)20．(12分)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a＝2，c＝5，cosB＝eq\f(3,5).(1)求b的值；(2)求sinC的值．解：(1)∵b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋25－2×2×5×eq\f(3,5)＝17，∴b＝eq\r(17).(2)∵cosB＝eq\f(3,5)，∴sinB＝eq\f(4,5)，由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得eq\f(\r(17),\f(4,5))＝eq\f(5,sinC)，∴sinC＝eq\f(4\r(17),17).21.(12分)在三棱錐V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝eq\r(2)，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)．(1)求證：VB∥平面MOC；(2)求證：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱錐V-ABC的體積．(1)證明：∵O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)，∴OM∥VB.又∵VB?平面MOC，OM?平面MOC，∴VB∥平面MOC.(2)證明：∵AC＝BC，O為AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB.又∵平面VAB