2019級數(shù)學(xué)分析(2)期末復(fù)習(xí)

第第#頁2011級數(shù)學(xué)分析(2)期末復(fù)習(xí)第一部分各章內(nèi)容基本要求第6章微分中值定理及其應(yīng)用(續(xù)).掌握凸函數(shù)的概念及其一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)刻畫，掌握凸函數(shù)的詹森(Jensen)不等式，能夠利用凸函數(shù)性質(zhì)證明一些不等式。.掌握拐點的概念，理解其幾何意義，會通過函數(shù)的駐點、拐點、單調(diào)性、凸凹性以及周期性、奇偶性等描繪函數(shù)圖像。例1.應(yīng)用凸函數(shù)概念或性質(zhì)證明如下不等式：ab.(1)對任意非負實數(shù)a,b,有Vobe2 -(aeabeb);2ab對任何非負頭數(shù)a,b,有2arccot一廠arccotaarccotb；對任意實數(shù)a,be2/3有Ina-b——2-2(a2lnab2lnb).2ab2例2.確定下列函數(shù)的凸性區(qū)間與拐點：.. c。 1(1)y3xx; ⑵ylnx一;xyx2lnx; (4)y71""x2^.第7章實數(shù)的完備性.掌握區(qū)間套、聚點、開覆蓋的概念。會求指定點集的聚點，會判

斷一族開區(qū)間是否構(gòu)成一個區(qū)間(開或半開或閉)的開覆蓋。.理解區(qū)間套左端點為單調(diào)遞增有上界數(shù)列， 右端點為單調(diào)遞減有下界數(shù)列。.理解聚點的三種不同刻畫及其等價性，明白集合 S可能有聚點，也可能沒有聚點，聚點可以在S中，也可以不在S中，有限點集一定沒有聚點，無限點集不一定有聚點。.掌握聚點原理、區(qū)間套定理、有限覆蓋定理的內(nèi)容，弄清其成立的條件與結(jié)論，掌握一些反例。.理解實數(shù)完備性六個基本定理(確界原理、聚點原理、單調(diào)有界收斂定理、區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、 Cauchy收斂準(zhǔn)則)的等價性及其證明思想。.會用實數(shù)完備性的有關(guān)定理證明有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性、最值性、介值性和一致連續(xù)性及其相關(guān)問題。例3.分別求Si1|n1,2,3,...,&[0,1)的聚點，并證明之。n例4.驗證數(shù)集 1nX有且只有兩個聚點1 1和21.Inn例5.設(shè)an,bn是一個嚴(yán)格開區(qū)間套，即滿足a1a2 anbn b2bl,且limbnan 0.證明：存在唯一的一點，使得an bn,n1,2,.n如果沒有an和bn的嚴(yán)格單調(diào)性，結(jié)論是否成立？請說明。例6. 設(shè)H工」n1,2,l.問3nnH能否覆蓋0,1?能否從H中選出有限個開區(qū)間覆蓋&0,-, &&—1—,1?2 2011例7.設(shè)f在(a,b)內(nèi)連續(xù)，且limf(x)limf(x)2011.證明：f在xa xb(a,b)內(nèi)有最大值或最小值.例8.用有限覆蓋定理證明有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性。例9.用閉區(qū)間套定理證明有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性。例10.設(shè)函數(shù)f在a,)上連續(xù)，函數(shù)g在a,)上一致連續(xù)，且有l(wèi)imf(x)g(x)0.x證明：f在a,)上一致連續(xù).【分段考慮，用有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)性和上述極限】第8章不定積分.掌握原函數(shù)與不定積分的概念， 明白一個函數(shù)的任何兩個原函數(shù)之間只相差一個常數(shù)。.理解函數(shù)的不定積分運算是求導(dǎo)運算的逆運算， 一個函數(shù)的不定積分是一族函數(shù)，明白其幾何意義。.掌握不定積分的基本性質(zhì)：⑴f(x)dxf(x),df(x)dxf(x)dx.(先積后導(dǎo)，形式不變>f(x)dxf(x)c,df(x)f(x)c.(先導(dǎo)后積，加個常數(shù))⑶線性和的積分等于積分的線性和，即對，R,有(f(x)g(x))dxf(x)dxg(x)dx..熟記14個基本導(dǎo)數(shù)公式及其來源。.掌握三種基本積分法：分拆積分法、分部積分法、換元積分法及其道理和適用對象、應(yīng)用技巧，會用其計算某些函數(shù)(多項式函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及其乘積)的不定積分。.會通過三角代換將含有 70F,4^2的積分轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)有理式的積分；會通過萬能代換將三角函數(shù)有理式的積分轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分；會通過根式代換將某些無理根式函數(shù)的積分化為有理函數(shù)的不定積分；會通過因式分解和變量替換將有理函數(shù)積分轉(zhuǎn)化為三種特殊積分并會計算三種特殊積分TOC\o"1-5"\h\z, 1 ,x, kdx, rdx, kdxok 2 2k 2 2kxaxr xr例11.求下列不定積分(1)2.

xdx(2)(x1)2x(1-dx.)(3)(2xx、22)dx.(4)2x3x1.2e dx.(5)cos2x,——2dxsinx(6)2cossin2(axb)mdx, m1,0.(8)cos3xcos2xdx(9)sin2xdx.(10)dx(11)(13)(15)(17)2x3dx

x22x3dx

x(x21)B sin、x.,xdx.dxx(12Inx)arctgx,—= dxx(1x)(12)(14)(16)(19)dx0).(20)(21)dx2x2(22)(23)dx(24)cossincossinsincos14,xdx~A 104xdx~2 772(x1)dx.x(1x)(18)dxdxxx2dx1cosx1sinxxlnxdx.xarctgxdx.e2xcos3xdxTOC\o"1-5"\h\z(25)—— xlnxdx.xarctgxdx.e2xcos3xdx1sincos(27)xcosxdx. (28)(29) arccosxdx. (30)(31) sin3xcosxdx.例12.已知f(x)dx xWx2c,求xf(x)dx.例13.設(shè)f（x）0且具有連Z導(dǎo)函數(shù).計算積分(1) _L(x.lnf(x)dx； (2) f(x)f(x)lnf(x)dx.f(x)例14.求下述積分的遞推公式nInarccosxdx。第9章定積分.理解定積分的概念，明白其定義過程（分割、取點、近似求和、取極限）及幾何意義，明白函數(shù)的定積分是函數(shù)的整體性質(zhì)，一個函數(shù)的定積分是一個數(shù)值（不是函數(shù)），與函數(shù)本身以及積分區(qū)間（上下限）有關(guān)。.掌握定積分的基本性質(zhì)：線性可加性、區(qū)間可加性、不等式性質(zhì)（有序性）及其推論、反向反號性及其推論、積分第一中值定理。.掌握可積準(zhǔn)則（定理9.3）,并能夠證明下述三類函數(shù)的可積性： 連續(xù)函數(shù)、具有有限多個間斷點的有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)（可能有無窮多個間斷點）。.理解可導(dǎo)、連續(xù)、可積、有界四種性質(zhì)的關(guān)系。.理解可積函數(shù)的以下定性性質(zhì)：可積函數(shù)的絕對值函數(shù)的可積性（反之未必）；兩個可積函數(shù)之積的可積性

.掌握變上（下）限積分的定義與基本關(guān)系，掌握微積分學(xué)基本定理x【連續(xù)函數(shù)的變上（下）限積分函數(shù) f（t）dt是該函數(shù)的一個原函a數(shù)】，掌握微積分學(xué)基本公式【牛頓-萊布尼茨公式bf（t）dtF（b）F（a）】，理解積分第二中值定理及其推論。a.掌握不定積分與定積分的聯(lián)系與區(qū)別。.熟練掌握定積分的三種基本計算方法及其適用對象：分拆法；分部法；換元法。.會用換元積分法證明：周期函數(shù)在區(qū)間長度為一個周期的任何區(qū)間上積分值相同；奇函數(shù)在原點對稱的區(qū)間上積分為 0；偶函數(shù)在原點對稱的區(qū)間上積分為一半?yún)^(qū)間上積分的兩倍。.會用積分不等式、積分中值定理進行積分估值。.會用定積分定義求有關(guān)數(shù)列極限。.熟記推廣的（高階導(dǎo)數(shù)）分部積分公式，并會由此推導(dǎo)泰勒公式的積分型余項。例15.計算下列定積分(2)2(2)(1) 0cosxdx;2 一.xx2dx；5COSx,； -dx；01sinxsin2xdx;(5) °xS/a2~x2dx;(6)2lnx1xdx(8)2sinx」(8)⑺ 0國Fxdx；1xarctanxdx0(9)3x12xedx;(10)(11)2。4x(9)3x12xedx;(10)(11)2。4x2dx；(12)qaaxx2dx(13)2011sin2011xln(1(14)1 51x25x4dx5(15)1sin0(15)1sin0-arcsinxdx;(16)(2)例17.若f(X)連續(xù),求F'(x)x2⑴F(x)(2)例17.若f(X)連續(xù),求F'(x)x2⑴F(x)0x3⑶F(x)xf(t)dt；etdt。例18.若f(x)連續(xù)，且滿足(2)F(x)bf(t)dt；r1*「f(t)dt-2-f(x)，求證:tf(t)dt0。7/1~x3-小~x7dx0例16.求下列極限(利用定積分)n1(1)limcosnk1n【求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)為0】例19.求下列極限:x.2.sintdt⑴網(wǎng)J一；x0x(2)limxx0x022ln(t21)dt oln(t221)dt例20.比較下列各對定積分的大?、?2xdx,2sinxdx；0 0(2)x1一dx313xdx.0例21.證明下列不等式11x5 7⑴1kx6(2)20』1dx1 2 、2.cosx2例22.設(shè)f(x)在［a,b］連續(xù)且滿足以下四種條件之一，證明f(x)0,x[a,b].(1)bf(x)0,且f

a(x)dx0；(2)b2f(x)dx0；a(3)對［a,b］上任一連續(xù)函數(shù)b—f-^bg(x)均有f(x)g(x)dx0；(4)對［a,b］上滿足附加條件g(a)g(b)0的連續(xù)函數(shù)g(x)均b有af(x)g(x)dx0.【用反證法，取特殊的g］例23.若遞增點列 xn［0,1］,xn 1,函數(shù)f(x)在［0,1］上有界且當(dāng)xxn,n1,2,3,...時f(x)0,求證：f(x)在［0,1］上可積且1f(x)dx00。例24.證明limnn1x01x2dx0?！痉侄畏e分，積分不等式估值】例25.設(shè)f(x)是(-+ )上周期為p的連續(xù)周期函數(shù)，證明:1xlimf(t)dtxx0p0f(t)dt。例26.設(shè)f(x)在［0,+ )連續(xù)，且limf(x)l,證明：lim」xf(t)dtlox X 0X例27.設(shè)f'(x)在［a,b］連續(xù)，且f(a)0,求證【用微分中值定理和積分不等式】：f(x)dx(ba)2f(x)dx(ba)2

2maxf'(x)axb例28.設(shè)y(x)(x0)是連續(xù)的嚴(yán)格遞增函數(shù)， (0) 0,x (y)是它的反函數(shù)，證明【利用定積分的幾何意義】a bo(x)dx°(y)dyab(a0,b0).等號當(dāng)且僅當(dāng)b (a)時成立。x例29.設(shè)f(x)在［0,)連續(xù)且單調(diào)遞增，求證：函數(shù)F(x)—f(t)dtx0在(0,)上可導(dǎo)且單調(diào)遞增?！纠米兩舷薹e分性質(zhì)】例30.利用換元積分法證明：若f(x)在所示區(qū)間上是連續(xù)函數(shù)，則TOC\o"1-5"\h\z2 2 2a2a、dx1aa、dx.⑴f(x—)--f(x一)一，xx21xxa3 2 1a22) °xf(x)dx-°xf(x)dx(a0)。x xu例31.利用分部積分法證明： °f(u)(xu)du00f(t)dtdu例32.證明有界閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)必可積。第10章定積分應(yīng)用.掌握定積分的幾何意義，并會用其計算曲邊梯形的面積， 推而廣之，計算由若干條曲線所圍圖形的面積。.掌握光滑曲線的參數(shù)方程定義， 并明白直角坐標(biāo)表示是參數(shù)表示的特殊情況，極坐標(biāo)表示可以轉(zhuǎn)化為參數(shù)表示，會依據(jù)需要在參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間轉(zhuǎn)化。.掌握已知截面面積函數(shù)求空間立體體積公式， 并據(jù)此計算旋轉(zhuǎn)體體積。.掌握平面曲線弧長計算公式與原理，理解曲線曲率的概念、含義及其二階導(dǎo)數(shù)表示，了解曲率圓與曲率半徑的概念，會在三種曲線表示下，求已知曲線的弧長。.理解微元法，掌握已知曲線圍繞x軸或y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積，會求旋轉(zhuǎn)曲面的面積。.理解用定積分及微元法計算一些物理問題的思想， 會通過物理學(xué)的點態(tài)(靜態(tài))性質(zhì)解決一些整體(動態(tài))性質(zhì)。.牢記并會使用以下公式曲邊梯形面積公式b 1Aa|f2(x)G(x)dx；A|y(t)x(t)dt；A-r2()d。曲線弧長公式s j~f2(x)dx;sJx2(t)~y2(t)dt；s Jr2()~r2()d。a旋轉(zhuǎn)體體積公式bA(x)dx； Vbf(x)2dx(f=f(x)繞x軸旋轉(zhuǎn)體)；a apb[y(t)]2x(t)dt(繞x軸)；Vpb[y(t)]2x'(t)dt(繞y軸)。a a旋轉(zhuǎn)曲面?zhèn)让娣e公式S2bf(x)|71~f2(x)dx；S2 y(t)|Jx2(t)y2(t)dt。a例33.求下列各曲線所圍成的圖形面積：(1)直角坐標(biāo)下：2yx,yxsinx(0x);2yX,yx5.極坐標(biāo)下蚌線racosb(ba).【注意對稱性】r3cos和r1cos所圍圖形【注意求交點，確定積分區(qū)間】。參數(shù)方程下2 2 3 _ _x2tt2,y2t2t3;t[0,1].擺線xa(tsint),y a(1cost)(0t2)&x軸.例34.求下列平面圖形繞相關(guān)軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積：2 2(1)橢圓一%1繞x軸.abysinx,y0(0x萬)繞x軸.旋輪線xa(tsint),ya(1cost)(0t2),y0,繞y軸.例35.已知球半徑為R,試求高為h的球冠體積(h<R).例36.求下列曲線的弧長：2yx,0x1;，x、v1;星形線xacos31yasin3t(0t2);心臟線ra(1cos),0 2,a0.例37.求下列平面曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積：ysinx,0x繞x軸；xa(tsint),ya(1cost),a0,0t繞直線y2a.第11章反常積分.掌握兩種反常積分（無窮積分、瑕積分）的定義，掌握兩種特殊的反常積分 2(4) 0 2(4) 0(lnx)dx;0x 1x.掌握兩種反常積分（無窮積分、瑕積分）的基本性質(zhì)（起點無關(guān)性、線性可加性、區(qū)間可加性）。.掌握兩種反常積分（無窮積分、瑕積分）的條件收斂與絕對收斂概念及其關(guān)系。.掌握兩種反常積分（無窮積分、瑕積分）的 Cauchy收斂準(zhǔn)則。.掌握兩種反常積分（無窮積分、瑕積分）的比較判別法及其極限形式，理解其原理，會用其判斷一些反常積分的（絕對）收斂性與發(fā)散性。.掌握無窮積分的Dirichlet判別法與Abel判別法，理解其原理，會用其判斷一些無窮積分的（條件）收斂性與發(fā)散性，明白條件收斂的無窮積分的被積函數(shù)可能是無界函數(shù)，如 xsinx4dx。1.理解暇積分的Dirichlet 判別法與Abel判別法，明白其原理。例38.求下列反常積分的值:1⑴ 2士dx;2x1ax2(2) 0xedx(a0);0).；dx/0).；-2 2 (p,q0(xp)(xq)1x2⑸ -^==dx；0-..1x小、 1(6) pdx,(p1).abx例39.討論下列反常積分的收斂性(包括絕對收斂或條件收斂)mx..一、0-——ndx(n,m0);01x(2)-1Hsinfdx;1 2 '1x〔cosxdx,( 1);一xcosx,dx;0x1002dx1e1 . sinxdx0x(6)1lnx, 2dx;01x1 p011nx|dx;(8)dx;sinx(9)1sinx,-dx;0 3 'x2(10)1 1ln(12)dx.例40.若f(x)在［a,)上單調(diào)下降，且積分f(x)dx收斂。求證：limxf(x)

x0.【用Cauchy收斂準(zhǔn)則，考慮從u到2u的積例例41.設(shè) f(x)dx與af'(x)dx收斂，求證：limf(x)0.【對后者用a x牛頓-萊布尼茨公式，再用反證法】例42.設(shè)f(x)單調(diào)下降趨于零，「儀)在［0,)連續(xù).求證:_ 2of'(x)sinxdx收斂.【用分部積分法，再用 Dirichlet 判別法】例43.證明不等式:

【估計被積函數(shù)大小【估計被積函數(shù)大小第二部分各類問題基本方法一、證明問題.聚點問題求法與證明按照定義及其等價刻畫，先觀察(非孤立)，再證明。.一族區(qū)間I對一個區(qū)間S的覆蓋問題證明集合包含關(guān)系suI。.某些點的存在性與唯一性證明用有限覆蓋定理。用單調(diào)連續(xù)函數(shù)的介值性與單調(diào)性。用連續(xù)函數(shù)的介值定理。用微分中值定理或積分中值定理。.可積性與不可積性證明(1)用定義，分割、取點、求和、取極限。(2)用已知結(jié)論：三類可積函數(shù)以及可積函數(shù)的線性和的可積性、積的可積性。(3)用可積的必要條件(用于證不可積性)。(4)用可積性判據(jù)：(i)上和與下和趨于同一極限；(ii)上和與下和之差(擾量)趨于0；(iii)對任意分割T,當(dāng)||T|| 0時，其黎曼和趨于一固定極限A。.反常積分的斂散性證明(1)用定義(正常積分取極限)。(2)用比較判別法及其極限形式(絕對收斂)，注意兩個特殊積分14dx與4dx的斂散性條件以及一些常見的無窮小0xp 1xp量、無窮大量。用Dirichlet判別法與Abel判別法。(4)用已知結(jié)論及收斂的反常積分基本性質(zhì)(線性可加性、區(qū)間可加性)。.積分等式證明(1)用區(qū)間可加性，分段。(2)用奇函數(shù)、偶函數(shù)、周期函數(shù)的定積分性質(zhì)。(3)用換元積分法與分部積分法。(4)用變上限積分性質(zhì)(微積分基本定理)。.典型數(shù)列極限與組合恒等式證明用定積分定義與積分計算。.積分不等式證明(1)用積分單調(diào)性(積分不等式)。(2)用積分中值定理。二、計算問題.求不定積分(注意驗證，注意加一個任意常數(shù))(1)用基本積分表。(2)用分拆法(適合于若干個簡單函數(shù)之和， 包括多項式、有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式、指數(shù)函數(shù))(3)用換元法：湊微分法(適用于簡單變換：線性、對數(shù)、指數(shù)、募函數(shù)、正弦、余弦、反正切、反余切、反正弦、反余弦等) ，第二換元法(適用于根式有理化、三角有理化、簡化有理式，常用代換有三角代換、倒置代換、萬能代換等)，注意換元法得到的不定積分要換回原變量。(4)用分部法(適用于兩個函數(shù)之積，將被積函數(shù)視為 u(x)v'(x),注意函數(shù)u的選取優(yōu)先順序：反對代指三)，注意分部積分可能產(chǎn)生循環(huán)。熟記一些常用的三角公式：和角的正