第五章線性參數(shù)的最小二乘處理

#第五章線性參數(shù)的最小二乘處理習(xí)題5-1研究伯-鉞米尺基準(zhǔn)器的膨脹系數(shù)時(shí)得出，在不同溫度下該米尺基準(zhǔn)器的長(zhǎng)度的修正值可用下述公式表示：x+ty+t2^L式中文表示在0℃時(shí)米尺基標(biāo)準(zhǔn)器的修正值（微米）；），和z為溫度系數(shù)：，為溫度（℃）；L為，C基準(zhǔn)器的長(zhǎng)度的修正值（微米）。經(jīng)研究得在不同溫度下米尺基準(zhǔn)器長(zhǎng)度的修正值如下表：?I12345t17.2500.5515.36310.45914.277L160.285.7047.6141.49124.2567891017.80622.10324.63328.98634.417154.87192.64214.57252.09299.84求未知參量X,戶Z的最可依賴值。5-2對(duì)未知量x,y,z，組合測(cè)量的結(jié)果如下：.￥=0y=0

z=o

x-v=0.92,

-y+j=L35

-A+z=1.00試求X,y,z的最可依賴值及其標(biāo)準(zhǔn)誤差。5-3由等精度測(cè)定方程為：k+37yM36%=36.3x+32y+102&=41.4x+27y+72%=47.5K+2y+48&=54?7x+17y+28%=63?2x+12)H-144z=72.9x+7v+4%=83.7試用矩陣最小二乘法求X,y,Z的最可依賴值及其精度。5-4交流電路的電抗x=sL——,coC在角頻率CO1=3時(shí)，測(cè)得A-為*=0.8①l2時(shí)，測(cè)得x為4=0.2①3=1時(shí)，測(cè)得x為.。=-。.3試求：⑴L,。及其方差：（ii）co=3時(shí)（＜7。=0.1）電抗值及其方差。5-5試求下列方程給出的x,），的最大或然值及其標(biāo)準(zhǔn)誤差。2x+v=5.lX-V=l.l4x-v=7.4x+4v=5.95-6測(cè)得一直線上四段長(zhǎng)度AB、BC、CD、DE分別為24」,35.8,30.3和33.8厘米，但已知AD準(zhǔn)確長(zhǎng)90厘米和BE準(zhǔn)確長(zhǎng)100厘米。試求AB,BC,CD,DE的最大或然值。5-7由方程組3%+y=2.9x-2v=0.92x-3v=L9試求X,y的最大或然值及其標(biāo)準(zhǔn)誤差。5-8由下面的不等精度的測(cè)定方程組，求修，工的最可信賴值及其標(biāo)準(zhǔn)誤差。xi=0 權(quán)：Pi=8TOC\o"1-5"\h\zX2=0 P：=10%1+2巧=0.25 ?3=1Xi-3x2=0.92 P4=55-9由下面的不等精度的測(cè)定方程組，試用矩陣最小二乘法求大，y的最大或然值及其標(biāo)準(zhǔn)誤差。x-3.y=-5.6 權(quán)：Pi=l4x+y=8.l P：=22a-）=0.5 P3=35-10由下面的測(cè)定方程組，試求為），的最可依賴值及其標(biāo)準(zhǔn)誤差。2a+v=5』 權(quán)：Pi=lx-y=Ll P：=34x-）=7.2 P3=25-11試求滿足下列方程的x,y,z及其標(biāo)準(zhǔn)誤差（假設(shè)它們是等權(quán)的）。x+）h-t=4.01Zv-y+zE.04x+3y-2z=5.0231+)=4.975-12由座標(biāo)點(diǎn)(1,0)(3,1)和(-1,2)到某點(diǎn)的距離分別為3.1,2.2和32。試求該點(diǎn)座標(biāo)位置的最大或然值及其標(biāo)準(zhǔn)誤差。5-13對(duì)某一角度值，分兩個(gè)測(cè)回進(jìn)行測(cè)定，其權(quán)等于測(cè)定次數(shù)，測(cè)定值如下。試求該角度的最可信賴及其標(biāo)準(zhǔn)誤差。第一測(cè)回第二測(cè)回Pi劣734056，334。55'40"13405平234。55,30"134。55'20"134。55'0"234055，134。55'70"134。5510〃134。55'50"5-14某平面三角形三個(gè)角被測(cè)出為人=48。510”,B=60°25^24%C=70°427%令假設(shè)這種測(cè)量(1)各次權(quán)相等；(11)各次權(quán)分別為1、2、3；試求A、B、C的最大或然值。5-15數(shù)5系時(shí)間f的函數(shù)N=X1+x2t+產(chǎn)測(cè)定后的N的值如下。測(cè)定是在異權(quán)情況下進(jìn)行的，試求由，足，心的最可信賴值。?/123456789A1.51.10.70.3-0.1-0.5-1.0-1.5-2.06.203.452.001.802.404.558.8515.7024.40Pi0.7070.5005-16硝酸鈉在100份水內(nèi)的溶解度與溫度的關(guān)系，測(cè)定為溫度0°4°10°15°21°29°36°51°68°溶解度66.771.076.380.685.792.999.4113.6125.1上述關(guān)系可用直線67.5+0.87Z表示（式中t為溫度）。試用最小二乘法來檢證。5-17由下列測(cè)定的方程組，求X、Y最可信賴及其或然誤差。X+Y=37.0 權(quán)：Pi=5TOC\o"1-5"\h\z2X+Y=61.9 P2=43X+Y=86,7 P3=4X+2Y=49,2 P4=4X+3Y=60.6 P5=32X+3Y=86.7 P6=23X+2Y=98,4 P7=35-18由下列測(cè)定方程組，求X、Y最可信賴及其標(biāo)準(zhǔn)誤差。2X+4Y+8Z=0.16122.200X+4.840Y+10.648Z=0.19863.200X+10.240Y+32.768Z=0.50982.600X+6.760Y+17.576Z=0.28963X+9Y+27Z=0.41815-19假設(shè)有三個(gè)某種量規(guī)，其值分別為Y,Y?、丫3。現(xiàn)在將它們直接地或間接地與數(shù)值已知為N的標(biāo)準(zhǔn)量規(guī)比較，比較的方案為下述三種（三種組合）：（1）每一個(gè)量規(guī)各與標(biāo)準(zhǔn)量規(guī)比較二次：（11）第一個(gè)量規(guī)（YD與標(biāo)準(zhǔn)量規(guī)比較二次，第二個(gè)量規(guī)（Y0與第一個(gè)量規(guī)比較二次，第三個(gè)量規(guī)（丫3）與第二量規(guī)比較二次；（in）每一個(gè)量規(guī)各與標(biāo)準(zhǔn)量比較一次，然后它們相互按不同的組合比較一次；上述三種測(cè)量方案得到的條件方程式如下,表所示：(1)(2)(3)Yi—N=XiYi—N=XiYi—N=XiYi—N=X2Yi—N=X：y2—n=x2YlN=X3Y-Yi=X3y3—n=x3y2—n=x4Y-Yi=X4Yz—Yi=X4y3—n=x5y3—y2=x5Y3—Y^XsYlN=X6Y3—Yz=X6Y3—Y：=X6試研究采用那一種測(cè)量方案能夠獲得最好的結(jié)果。（提示：可以比較不同測(cè)量方案下未知數(shù)的權(quán)）。典型題解5-1由測(cè)量方程3x+y=2.9x-2y=0.9 2x-3y=L9試求X、的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。解：方法一：列出誤差方程組：匕=2.9-(3工+2)，)'v2=0.9-(x-2y)，v3=1.9-(2x-3y)J3￡V『=(2.9-(3x+y))2+(0.9-(.r-2y))2+(1.9-(2x-3y))2i=l分別對(duì)X,y求偏導(dǎo)，并令它們的結(jié)果為o,2((3%+y)-2.9)x3+2((x-2)，)-0.9)+2((2%-3y)-L9)x2=02((3%+y)-2.9)一2((x-2y)-0.9)x2+2((2%-3y)-L9)x3=0即，14x-5y=13.4,?一5x+14y=-4?6由上式可解得結(jié)果：x=0.9626y=0.0152方法二：直接列表計(jì)算給出正規(guī)方程常數(shù)項(xiàng)和系數(shù)■1%公a.iai2/.aj1319132.98.72.921-214-20.90.9-1.832-349-61.93.8-5.7Z——1111-5———13.4-4.6可得正規(guī)方程14x-5y=13.4,?一5x+14y=-4.6將X，y的結(jié)果代入分別求得：匕=2.9-(3x0.9626+0.0152)=-0.003嶺=0.9-(0.9626-2x0.0152)=一0.0322匕=L9一(2x0.9626-3x0.0152)=0.0204得，

3z4-=匕-+嶺-+匕-=(-0.003)2+(一0.0322/+(0.0204)2=0.00146由題已知，〃=3,，=2得=0.0382由不定乘數(shù)的方程組14d“-5d”=0—54]+14^22=141=0.0819d”=0.0819%=bV^T=°?°382j°?0819=001095=^7^22~=0.0382V0.0819=0.0109方法二：按矩陣形式計(jì)算，由誤差方程V=L-AX匕=2.9-(3x+2y)v2=0.9-(x-2y)v3=1.9-(2j-3y)J上式可以表示為V1v2V1v2X=L)?J可得X= =(7%工=(A/A)TA'LL5d式中C-1=(A，A)-I1-21414-514-514-21414-514-i17114所以=LA『L142.9171140.91.9474132.917129-23-320.91.9即解得,1164.61712.60.96260.0152x=0.9626y=0.0152J將最佳估計(jì)值代入誤差方程可得,0.96260.0152將計(jì)算得到的數(shù)據(jù)代入式中=0.0382=0.0382（，9j（，9j=L2）0因而先是矩陣C-I中各元素，即<1=4]di2=]145一 一方1145.du=du=——=0.081917114d”= =0.0819一171可得估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為4=bV^T=°0382jo°819=O°l°9crv="MT=0.0382j0.0819=0.01095-2已知誤差方程為\\=10.013-內(nèi) 匕=10.002-x3 v5=0.008-（k一七）v2=10.010-x2v4=0.004_（內(nèi)一與）v6=0.006-（x2一/）試給出為，匕，內(nèi)的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。解:根據(jù)矩陣形式，誤差方程丫=1-44可以表示為

可得式中1000100011-10可得式中1000100011-1010-101-1內(nèi)x=七=C1A7L=(A7A)1A7L玉13-1-1-13-1-1-13110-1010-1-1]-8441484=4481001101163=-1-1-1-L3-1-13=cXl10.01310.010844■1001 1 0-110.002—484010-10 1160.0044480010-1-1J 1J 10.0080.00610.01310.0108444 4 0110.002—484-40 4160.0044480-4-4J 10.0080.006

160.2000=—160.148016160.0520-10.0125-=10.009310.0033即解得^=10.0125,=10.0093>=10.0033將最佳估計(jì)值代入誤差方程可得^=10.013-^=10.013-10.0125=0.0005=5xW4v2=10.010-x2=10.010-10.0093=0.0007=7xl0-4v3=10.002-x3=10.002-10.0033=-0.0013=-13xl0-4v4=0.004-區(qū)一2)=0.004-(10.0125-10.0093)=0.0008=8xW4v5=0.008-(七一七)=0.008一(10.0125—10.0033)=-0.0012=-12xl0-4v6=0.006-(x2-4)=0.006-(10.0093-10.0033)=0得 一6z匕-=?+”+可+9+嶗+昨i=l=(5xI0-4)2+(7x10-4)2+(-13xI0-4)2+(8x10-4)2+(-12x10-4)2+0=(25+49+169+64+144)x1O-8=4.51x10-6可得不定乘數(shù)外的系數(shù)不定乘數(shù)外的系數(shù)為求出估計(jì)量占，七，七的標(biāo)準(zhǔn)差，首先求出不定乘數(shù)"4,與正規(guī)方程的系數(shù)相同，因而4/是矩陣c-1中各元素，即43_116八=—x8=0.51116d”=—x8=0.5一16=—x8=0.53316于是估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差，b、=2.21x10-375^=0.0016%.=cr7^7=2.21xl0^V65=0.0016b5=o-yfd^=2.21X10"3V05=0.00165-3測(cè)力計(jì)示值與測(cè)量時(shí)的溫度，的對(duì)應(yīng)值獨(dú)立測(cè)得如下表所示。t/℃151821242730F/N43.6143.6343.6843.7143.7443.78設(shè)，無誤差，尸值隨，的變化呈線性關(guān)系E=攵。+公，試給出線性方程中系數(shù)&和〃的最小二乘估計(jì)及其相應(yīng)精度。解：方法一：列出誤差方程式，匕=耳一—+")令k0=a,k=b為待估計(jì)量，則誤差方程可寫成為Vi=Fi-(a+bti)為計(jì)算方便，將數(shù)據(jù)列表如下：■1r,./℃t;/℃2FJNtFJoC.N11522543.61654.1521832443.63785.3432144143.68917.2842457643.711049.0452772943.741180.9863090043.781313.4Z1353195262.155900.19根據(jù)誤差方程，列出正規(guī)方程:TOC\o"1-5"\h\z6 6〃。+＞力=￡”

i=l i=l6 6 6i=l i=l i=l將表中計(jì)算出的相應(yīng)系數(shù)值代入上面的正規(guī)方程得

解得6解得6。+135〃=262.15135a+3195〃=5900.15。=43.4324、/?=0.01152k0=43.4324、^=0.01152將k0，〃代入誤差方程得：匕=￡.一(43.4324+0.001152；)將耳，.代入上式，可得殘余誤差為：匕=43.61-(43.4324+0.01152x15)=0.0048N匕=43.63一(43.4324+0.01152x18)=一0.00976N匕=43.68一(43.4324+0.01152x2l)=0.00568NV；=43.71-(43.4324+0.01152x24)=0.00112N匕=43.74-(43.4324+0.0U52x27)=-0.00344N=43.78-(43.4324+0.01152x30)=0.002N可得：6ZE?=(0.0048)2+(-0.00976)2+(0.00568)2+(0.00112)2+(-0.00344)2+(0.002)2i=l=0.000167374可得標(biāo)準(zhǔn)差為，赳=廣。赳=廣。00167374=oqo647N由上面所給的正規(guī)方程的系數(shù)，可列出求解不定乘數(shù)的方程組6人+1354,=1135d“+31954,=0A* 4.6八+135d”=0135J21+3195J22=1分別解得du=3.38095辦=000635估計(jì)量k0，k的標(biāo)準(zhǔn)差為

o%=b凡=0.00647V338095=0.00119*=^y[^22=0.00647>/0.00635=0.000516方法二：直接利用矩陣求解，誤差方程丫=1-慶9可寫成可得v=可得v=飛.匕為匕;L=7「L—■43.61'43.6343.6843.71:A=11115-182124%h43.74127?6.43.78130(71(71ArL=(ArA/1ArL式中C式中C1=(A7A尸1111一151821241111一151821241276319563195-135-615rLi35613531651319594513195945-135-1356所以

所以出"XL43.611F3195-135ir11出"XL43.611F3195-135ir11一麗[-135 6J[151811121242743.631]43.6830J43.7143.7443.7843.4324一0.01152將最佳估計(jì)值代入誤差方程V=L-A5C得43.43240.0115243.43240.01152可計(jì)算為求出估計(jì)量k，k的標(biāo)準(zhǔn)差,需要求出不定乘數(shù)%的系數(shù)，而不定乘數(shù)%的系數(shù)與正規(guī)方程的系數(shù)相同，因而是矩陣C"中各元素，即4]=J_r3195T35-

一凡<2J"945[-135 6.則3195

du= =3.3809511 945d”=—=0.00635一945可得估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為%。=b廊=0.0064773.38095=0.00119

b勺=b7^=°°°647j400635=0.0005165-4研究米尺基準(zhǔn)器的線膨脹系數(shù)，得出在不同溫度時(shí)該基準(zhǔn)器的長(zhǎng)度修正值可用公式AL=x+W+Z產(chǎn)表示。式中為0℃時(shí)米尺基準(zhǔn)器的修正值（單位為〃〃?）：y和Z為溫度系數(shù)；，為溫度。在不同溫度時(shí)米尺基準(zhǔn)器的修正值A(chǔ)L如下表所示：t/℃0.5515.36310.45914.27717.80622.10324.63328.98634.417AL////??5.7047.6191.49124.25154.87192.64214.57252.09299.84試求x,y,z的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。解：利用矩陣形式誤差方程丫=1-A文可以表示為V—viv,V3V4%1’6V7%?9.kl2§I.hl6L—11111111J0.5515.36310.45914.27717.80622.10324.63328.98634.4170.55125.363210.459214.277217.806222.103224.633228.986?34.4172Xy.z.vl-V2匕匕l(fā):hL--5.70-47.6191.49124.25一11110.5515.36310.45914.2770.5512'5.363210.459214.2772AXV=期5V6v?%一％_:L=k4154.87192.64214.57252.09.299.84.■A=1111.117.80622.10324.63328.98634.41717.806222.103224.633228.986234.417\；x=y■J可得C-1ArL=(ArA)1ArL式中C-1=(ArA)-1

，0.551 0.551215363 5.3632110.45910.4592114.27714.2772X117.80617.8062122.10322.1032124.63324.633?128.98628.9862134.41734.4172111111111110.5515.36310.45914.27717.80622.10324.63328.98634.417O.55125.363210.459214.277217.806222.103224.633?28.9S6234.4172-10.7857-0.08320.0019=-0.08320.0129-0.00030.0019-0.00030.0000所以XX=y=C1ArL0.7857-0.08320.0019=-0.08320.0129-O.OOO3x=-0.08320.0129-O.OOO3x0.0019-0.00030.00001

0.551

0.551215.3635.36321110.45914.2771

0.551

0.551215.3635.36321110.45914.27710.459214.2772117.80617.8062122.10322.1032124.63324.633二128.98628.986二1

34.417

34.41725.7047.6191.49124.25x154.87192.64214.57252.09299.841.1002=8.61450.0018即解得

x=1.1002y=8.6145>Z=0.0018將最佳估計(jì)值代入誤差方程可得匕k10.551 0.5512v2l215363 5.3632V3k110.45910.4592V4114.27714.2772Xv=%h117.80617.8062y1’6122.10322.1032■JLf124.63324.6332%128.98628.9862事.Ld134.41734.41715.70'10.551O.5512'47.6115.3635363291.49110.45910.4592124.25114.27714.2772-1.1002154.87—117.80617.80628.6145192.64122.10322.10320.0018214.57124.63324.6332252.09128.98628.9862299.84134.41734.4172可計(jì)算—■-0.1474"0.25720.0896-0.2140-0.20250.23610.1544-0.2530_0,0795.=0.2355Vn—丫_/0.33277-V9-3再由4九43■0.7857-0.08320.0019c-=%d[3—-0.08320.0129-0.0003〃32.33.0.0019-0.00030.0000du=0.7857d22=0.0129=0.0000可得估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為ax=o向=0.23555/0.7857=0.20875=0y=0.235570.0129=0.02674= =0.2355>/0.0000=0.00005-5不等精度測(cè)量的方程組如卜.:Pi=1；4x+y=8.1,R=2：2x—3y=0.5，g=3試求X、V的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。解：方法一：列出誤差方程TOC\o"1-5"\h\z匕=-5.6-(x-3y) P[=1叱=8.l-(4x+y) P2=2”0.5-(2x-3y) 鳥=3現(xiàn)用表格計(jì)算出正規(guī)方程常數(shù)項(xiàng)和系數(shù)，/%《2Pi^2PiLPfjPaJ11-3119-3一5.6—5.616.8241232288.164.816.232-13123-60.53—1.5Z4511-162.231.5根據(jù)誤差方程，列出正規(guī)方程45x-v=62.29r-x+14y=31.5解得x=1.4345,)，=2.35251由殘余誤差方程匕=/,一(為途+/)‘)

=lx[-5.6-(lxl.4345-3x2.3525)]2=lxO.O23O2Rv；=2x[8.1-(4xl.4345+lx2.3525)]2=2x0.00952=3x[0.5-(2xl.4345-lx2.3525)]2=3x(-0.0165)2于是可得標(biāo)準(zhǔn)差為n-t士而i=lxO.02302n-t士而i=lxO.02302+2x0.0095z+3x(-0.0165)2 -=0.03923-2由已經(jīng)計(jì)算出來的正規(guī)方程的系數(shù)，及不定乘數(shù)的方程組45J,[-4,=1

XX B二_41+14九=0.45d2-由已經(jīng)計(jì)算出來的正規(guī)方程的系數(shù)，及不定乘數(shù)的方程組45J,[-4,=1

XX B二_41+14九=0.45d2-d22=0—d.]+14dA=1可得估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為方法二：直接利用矩陣計(jì)算du=14一=0.02226^0.022362945——=0.07154^0.0715629%=o廊=0.0392V0.0223=0.00595 =0.039270.0715=0.0105X=^=(ArX=^=(ArPA)-1ArPL?r7PAL>!J1一31一345-1?r7PAL>!J1一31一345-1-1142-16-3100142=(ArPA)1A/PL=C"1A7PL-5.68.10.5-5.68.10.5629145-31-12352將最佳估計(jì)值代入誤差方程V=L-,得1.4352352可計(jì)算得1.43523521x0.02302+2x0.00952+3x(-0.0165)2八…… —=0.03923-2d[2146291145由已知，不定常數(shù)外的系數(shù)與正規(guī)方程的系數(shù)相同，因而先是矩陣cud[2146291145可得估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為14九=——可得估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為14九=——=0.02226：^0.022362945d”=——=0.07154a0.0715一6294=o廊=0.0392^0.0223=0.0059巴，==0.0392V0.0715=0.01055-6已知不等精度測(cè)量的單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差a=0.004,正規(guī)方程為

33內(nèi)+32工=70.184 32.^+117.^=111.994試給出X],￡的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。解：由正規(guī)方程可解得最小二乘法處理結(jié)果為^=1.6318?M=0.5104

.」由正規(guī)方程的系數(shù)，可求解不定常數(shù)33d”+324,=1,XX A一324]+117九=033乩1+324,=0'32^.4-117^=1"-1 MB .分別解得41=0.0412d22=0.0116估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為4= =0.004y0.0412=0.0008%==0.004x/0.0116=0.00045-7將下面的非線性誤差方程組化成線性的形式，并給出未知參數(shù)占，￡的二乘法處理及其相應(yīng)精度。\\=5.13一內(nèi)匕\\=5.13一內(nèi)匕=13.21-（內(nèi)+x2）v2=8.26-x2v4=3.01-解：由前面三個(gè)線性的誤差方程V=L-A>C可解得演，工的近似估計(jì)值%0,三。利用矩陣形式求解:可得vi

v2

兒'=C-1ArL=(ArA)-1ArL式中c-'Na尸10122-13-12所以,3-1-125.138.2613.213-1-125.138.2613.21115.2100"3[24.6000_'5.0700-一8.2000取孫出得近似值Xo=5.O7OO,0=8.200,令%=Jio+>可將誤差方程線性化，現(xiàn)分別對(duì)測(cè)量方程求偏導(dǎo)TOC\o"1-5"\h\za一亟I -1 0-“11-者（_1-彷I 八=二—v=v=0 4”=」dxt1110 一

Z(士+X2)^X1X2('1+Xl(xl+x2)-xlx2_ X2必=:；(V1+-V2)~X=?%七=七0區(qū)+工尸:益G+xJ.tz=A\0=0.3818=0.14605部=3則誤差方程化成線性方程組V=L'-A6匕v2匕匕匕v2匕匕（一71（^105^20）

，2一月（為0，工0）

13—力（410，七0）

4一九（入10，工0）_0.060.04-0.06-0.128=可得式中1010.38180110.1460可得式中1010.38180110.1460=(ArAf1A7'LC1=(ArA)"1-10.38180.14602.14581.0557-11.05572.02130.6272-0.32760.38180.1460-0.32760.6658所以0.060.6272-032761010.38180.04-0.32760.66582.14581.0557-11.05572.02130.6272-0.32760.38180.1460-0.32760.6658所以0.060.6272-032761010.38180.04-0.32760.665810.1460-0.06-0.12-0.32760.29960.19160.66580.3382-0.02790.060.04-0.06-0.125.13-0.32760.29960.19160.66580.3382-0.02790.060.04-0.06-0.125.138.2613.213.010.07640.0700-0.0336-0.1152再由,_0,6272--0.3276_--0.0164'--0.0100解得，e="0.0164=-0.0100一.則內(nèi)=x10+^=5.0700-0.0164=5.0536x2=x20+5>=8.2000-0.0100=8.1900將修，當(dāng)?shù)淖罴压烙?jì)值代入誤差方程計(jì)算可得,5.05368.1900_13.2436一3.1252可得,則,du=0.6272d22=0.6658可得估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為，0==0.112(\/0.6272=0.08874.=^7^27=0.112(\/0.6658=0.09145-8今有兩個(gè)電容器，分別測(cè)其電容，然后又將其串聯(lián)和并聯(lián)測(cè)量，測(cè)得如下結(jié)果:C]=0.2071〃/ G+G=0.4U1//F

G=0.2056〃尸 一^-=0.1035〃尸試求電容器電容量的最可信賴值及其精度。解：前面三個(gè)方程為線性方程組，同時(shí)取c：,c；為待估計(jì)量G,G的近似值，氏°,園為估計(jì)量與所取近似值的偏差，待估計(jì)量G,g的表達(dá)式為a=c：+d。C2=C?+6；測(cè)量的誤差方程組為匕=0.2071-G匕=0.2056-g>為=04111-(G+g)上式可以表示為：V=L-AX7「■Q.2071'7「■Q.2071'10v=v2;L=4—0.2056;A=01」3.h0.411111可得式中X=[：*]=C*AtL=(A'A)"atl式中C-1=(AtA)-,~nri01r101= 01011L1i」-21T1-12if2-f"3-12所以得,再令由題中,AQX°=1=C"A’L

G

一?一123-1-rri200.20710.20560.411112-1-3-1210.6197-30,61520.20656-0.205070.20710.20560.4111C：=0.20656//FC?=0.20507/zF<=G=。+鎮(zhèn)八=c=c?+犬/3=G+g=(c；+^)+(C+U)c：c；?c；（c：+c；）Yc；(C；+C；)2c：c；?c；（c：+c；）Yc；(C；+C；)240+c：（c：+c；）-c：c;（C：+C；尸―現(xiàn)將函數(shù)在c；,c?處展開，取一次項(xiàng)，則有力（G，g）=A（C°，力（G，g）=A（C°，。；）+不1（/=b2,3,4）將展開式代入誤差方程，并令「4TCC）（/=1,2,3,4）則，，'=0.2071-C：=0.2071-0.20656=0.00053k'=0.2056-C；=0.2056—0.20507=0.00053^*=0.4111-(^+C?)=0.4111-(0.20656+0.20507)=-0.00053

r /C°C?、 0.20656x0.20507L4'=0.1035—(―-—=0.1035- =0.00059C：+C； 0.20656+0.20507則誤差方程組化成線性方程組，V=L-A6即,匕=￡］一（。11戔°+。12蜃）v2=Lry +々22/）-=心-（。3閾+%2記）匕=4-（％同+%必）在由前面的方程組分別求偏導(dǎo)：oil===XLu1oil===XLu1->->一===12L32lol===LL、所ac叭ac罵元gc+G)_CC

(G+c2y3。=024819c:=c?第4|G(C]+C,)-第4|G(C]+C,)-cc%=忑hy= C+g尸則化成矩陣形式式中V'=L'-A'6GY"25181gY0.00054_0.00053--0.000530.000590.00054_0.00053--0.000530.000590.206560110.205078=A,TL=(AtTA)IATL,式中cT=(AtA)"0.206560.205072.042671.042361.042362.042050.206560.205072.04267-1.042363.08472-1.042362.042366=C'TL2.04267-1.042361010.206